Transcript stáhnout
Řešení lineárních
rovnic s neznámou ve
jmenovateli
4. část
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Opakování
Ekvivalentní = rovnocenný, stejný, se stejným účinkem, se
stejnou platností.
Při řešení rovnic
Ekvivalentní úprava = úprava, při které rovnice původní
i upravená rovnicese
mají používají
stejné kořeny (řešení).
Jinými slovy: Změní se matematický zápis rovnice, nikoli však
ekvivalentní
rovnost stran a řešení.
Rovnost dvou stran rovnice můžeme přirovnat k rovnováze na
úpravy.
váhách.
Opakování ‒ Ekvivalentní úpravy
1. ekvivalentní úprava rovnic
Můžeme zaměnit levou a pravou stranu rovnice a rovnost se nezmění.
2. ekvivalentní úprava rovnic
K oběma stranám rovnice můžeme přičíst stejné číslo (výraz) a rovnost se
nezmění.
3. ekvivalentní úprava rovnic
Od obou stran rovnice můžeme odečíst stejné číslo (výraz) a rovnost se
nezmění.
4. ekvivalentní úprava rovnic
Obě strany rovnice můžeme vynásobit stejným číslem (výrazem)
různým od nuly a rovnost se nezmění.
5. ekvivalentní úprava rovnic
Obě strany rovnice můžeme vydělit stejným číslem (výrazem) různým
od nuly a rovnost se nezmění.
Opakování ‒ Základní postup při řešení rovnic
1. krok
Jsou-li v rovnici závorky, zbav se jich (výpočtem, roznásobením).
2. krok
Jsou-li v rovnici zlomky, odstraň je (vynásob rovnici společným
jmenovatelem).
Průběžně
Když můžeš jednotlivé strany rovnice zjednodušit, zjednoduš je (sečti,
odečti, vynásob či vyděl, co se dá).
3. krok
Členy s neznámou převeď na jednu stranu, ostatní členy na stranu
druhou.
4. krok
Vypočítej neznámou.
5. krok
Urči podmínky řešitelnosti a proveď zkoušku.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
A nyní už tedy jdeme na řešení lineárních rovnic s neznámou ve
jmenovateli. Poznáš, čím se liší od těch, které jsme do dneška řešili?
4
2
x
x4
x3
3x 5 10 6 x
1 1 x9
x 9
9x
3
5
x 1 2x 1
3
3 0
x 1
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
A nyní už tedy jdeme na řešení lineárních rovnic s neznámou ve
jmenovateli. Poznáš, čím se liší od těch, které jsme do dneška řešili?
4
2
x
x4
x3
3x 5 10 6 x
Neznámá se
vyskytuje
1 1 vexčlenech
9
zlomky
vyjádřených
x 9
9x
i ve jmenovateli 3
3
5
3
0
těchto
zlomků.
x
1
x 1 2x 1
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Na jednom příkladu zopakujeme, co už víme. Co to je?
při řešení
rovnic
ToZákladem
nám umožní
snáze
nalézt
s neznámou ve jmenovateli je
společného
jmenovatele,
rozklad všech jmenovatelů
kterým následně
celou
rovnici
vyskytujících
se v rovnici
na součin
vynásobíme,
abychom
se
pomocí dvou nám
již známých
možností.
Buď vytýkáním
před
zbavili
lomených
výrazů
závorku
nebo rozkladem pomocí
(zlomků).
rozkladných vzorců.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak jdeme na to. Vypočítej rovnici:
2x 1
6x
1 x
1 3x 1
/ .1 .x .(3x-1)
2x 1
6x
x
3x 1
/.x .(3x-1)
2x 1
6x
x
3x 1
Jedenkrát „cokoli“ je
„cokoli“. Proto je
zbytečné jedničku psát,
ale především na součin
s jedničkou jako jedním
z činitelů rozkládat!
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak jdeme na to. Vypočítej rovnici:
2x 1
6x
1 x
1 3x 1
/ .1 .x .(3x-1)
2x 1
6x
x
3x 1
/.x .(3x-1)
2x 1
66xx
x
3
3xx11
2x 1
6x
x
3x 1
Jmenovatele 3x-1 musíme
brát
celek, ai proto
je
Dá
se jako
tak předejít
snahám
z počátku
o možné
kráceníatam,
kde tosnad
není
i
vhodné
si
jej
pro
větší
možné. Tzn. například tam,
názornost
při výpočtech
kde
nejsou všechny
členy
do závorky.
v dát
„součinu“.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak jdeme na to. Vypočítej rovnici:
2x 1
6x
1 x
1 3x 1
/ .1 .x .(3x-1)
2x 1
6x
x
3x 1
/.x .(3x-1)
2x 1
6x
3x 1
x
2x 1
6x
x 3x 1
x 3x 1
3x 1
x
2x 1
6x
x
3x 1
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak jdeme na to. Vypočítej rovnici:
2x 1
6x
x
3x 1
2x 1
6x
x 3x 1
x 3x 1
3x 1
x
2x 1 3x 1 6x2
6 x 2 2 x 3x 1 6 x 2
x 1 0
x 1
Zkouška:
/ 1
2 1 1 3
L
3
1
1
6 1
6
6
P
3
3 1 1 3 1 2
Podmínky:
x 0 3x 1 0
3x 1
1
x
3
LP
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
y 3 y 1
y2 y4
y 3
y 1
/ .1.(y-2).(y+4)
1 y 2 1 y 4
y 3
y 1
/ y 2 y 4
y 2 y 4
y 3
y 1
y 2 y 4
y 2 y 4
y 2
y 4
y 3 y 4 y 2 y 1
y 2 4 y 3 y 12 y 2 y 2 y 2
y 12 y 2
/ 12
/ y
y y 10
2 y 10
/:2
y5
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
Podmínky (nulou nelze dělit!):
y 3 y 1
y2 y4
y2 0
y2
y40
y 4
y 3 y 1
y2 y4
Zkouška pro y = 5:
53 2
L
52 3
5 1 6 2
P
5 4 9 3
LP
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
y 3 y 1
y2 y4
y 3
y 1
1 y 2 1 y 4
y 3
y 1
/ y 2 y 4
y 2 y 4
y 3
y 1
y 2 y 4
y 2 y 4
y 2
y 4
y 3 y 4 y 2 y 1
y 2 4 y 3 y 12 y 2 y 2 y 2
y 12 y 2
/ 12
/ y
y y 10
2 y 10
/:2
y5
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
x7
1
x4
2 x 1 1 4 x 1
x7
1
x4
2 x 1 1 2 2 x 1
x7
x4
1
2x 2
4x 4
/ .2 .2 .(x+1)
Jedenkrát „cokoli“ je
„cokoli“. Proto je zbytečné
jedničku opět do
společného jmenovatele
psát, ale především na
součin
s jedničkou jako jedním
z činitelů jednotlivé
jmenovatele rozkládat!
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
x7
x4
1
2x 2
4x 4
x7
1
x4
2 x 1 1 4 x 1
x7
1
x4
/ .2 .2 .(x+1)
2 x 1 1 2 2 x 1
x7
1
x4
2 2 x 1 2 2 x 1
2 2 x 1
2 x 1
1
2 2 x 1
x 7 2 4 x 1 x 4
2 x 14 4 x 4 x 4
2 x 14 5 x 8
2 x 5x 6
3x 6
x2
/ 14
/ 5 x
/ : 3
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
x7
x4
1
2x 2
4x 4
Podmínky (nulou nelze dělit!):
Zkouška pro x = 2:
x7
x4
1
2x 2
4x 4
x7
x4
1
2x 1
4x 1
27
9
9 3
1
L
1
22 2 4 2 6 2
2
24
6
P 1
1
42 4
8 4
6 2 1 3
1
1 1
12 2 2 2
2
x 1 0
x 1
LP
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
x7
x4
1
2x 2
4x 4
x7
1
x4
2 x 1 1 4 x 1
x7
1
x4
/ .2 .2 .(x+1)
2 x 1 1 2 2 x 1
x7
1
x4
2 2 x 1 2 2 x 1
2 2 x 1
2 x 1
1
2 2 x 1
x 7 2 4 x 1 x 4
2 x 14 4 x 4 x 4
2 x 14 5 x 8
2 x 5x 6
3x 6
x2
/ 14
/ 5 x
/ : 3
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
2a 3 1 a 5
3a 1 4 3a 1
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
2a 3 1 a 5
3a 1 4 3a 1
2a 3 1 a 5
/ 4 3a 1
3a 1 4 3a 1
2a 3
1
a5
4 3a 1 4 3a 1
4 3a 1
3a 1
4
3a 1
2a 3 4 3a 1 a 5 4
8a 12 3a 1 4a 20
/ 11
5a 11 4a 20
/ 4 a
5a 4a 9
a9
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
Podmínky:
2a 3 1 a 5
3a 1 4 3a 1
3a 1 0
3a 1
1
a
3
Zkouška:
2 9 3 1 18 3 1 21 1 3 1 2 1
L
3 9 1 4 27 1 4 28 4 4 4 4 2
95
14
14 1
P
3 9 1 27 1 28 2
LP
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
2a 3 1 a 5
3a 1 4 3a 1
2a 3 1 a 5
/ 4 3a 1
3a 1 4 3a 1
2a 3
1
a5
4 3a 1 4 3a 1
4 3a 1
3a 1
4
3a 1
2a 3 4 3a 1 a 5 4
8a 12 3a 1 4a 20
/ 11
5a 11 4a 20
/ 4 a
5a 4a 9
a9
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1 x 3 x
4
x 1 x 1 x 1
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1 x 3 x
4
x 1 x 1 x 1
1 x 3 x
4
/ x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
1 x
3 x
4
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
x 1
x 1
1 x x 1 3 x x 1 4 x 1
x 1 x 2 x 3x 3 x 2 x 4x 4
x 1 x 2 x 3x 3 x 2 x 4 x 4
4 4x 4
8 4x
2x
/ 4
/:4
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
Podmínky:
1 x 3 x
4
x 1 x 1 x 1
x 1 0 x 1 0
x 1
x 1
Zkouška:
1 2 3 2 3 5 9 5 4
1
L
1
2 1 2 1 1 3 3 3 3
3
4
4
1
P
1
2 1 3
3
LP
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1 x 3 x
4
x 1 x 1 x 1
1 x 3 x
4
/ x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
1 x
3 x
4
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
x 1
x 1
1 x x 1 3 x x 1 4 x 1
x 1 x 2 x 3x 3 x 2 x 4x 4
x 1 x 2 x 3x 3 x 2 x 4 x 4
4 4x 4
8 4x
2x
/ 4
/:4
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
4
3
1
x3 x 2 x4
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
4
3
1
x3 x 2 x4
4
3
1
/ x 3 x 2 x 4
x 3 x 2 x 4
4
3
1
x 3 x 2 x 4
x 3 x 2 x 4
x 3 x 2 x 4
x 3
x2
x4
4 x 2 x 4 3 x 3 x 4 x 3 x 2
4 x2 4x 2x 8 3 x2 4x 3x 12 x 2 2x 3x 6
4 x 2 16x 8x 32 3x 2 12x 9 x 36 x 2 2 x 3x 6
3 x 4 5 x 6
3x 5 x 10
2 x 10
x5
/ 4
/ 5 x
/:2
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
Podmínky:
4
3
1
x3 x 2 x4
x3 0 x2 0
x3
x2
x4 0
x4
Zkouška:
4
3
4 3
L
2 1 1
53 52 2 3
1
1
P
1
54 1
LP
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
4
3
1
x3 x 2 x4
4
3
1
/ x 3 x 2 x 4
x 3 x 2 x 4
4
3
1
x 3 x 2 x 4
x 3 x 2 x 4
x 3 x 2 x 4
x 3
x2
x4
4 x 2 x 4 3 x 3 x 4 x 3 x 2
4 x2 4x 2x 8 3 x2 4x 3x 12 x 2 2x 3x 6
4 x 2 16x 8x 32 3x 2 12x 9 x 36 x 2 2 x 3x 6
3 x 4 5 x 6
3x 5 x 10
2 x 10
x5
/ 4
/ 5 x
/:2
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1
2
1
y 2 3y 6 3
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1
2
1
y 2 3y 6 3
1
2
1
/ 3 y 2
y 2 3 y 2 3
1
2
1
3 y 2
3 y 2 3 y 2
y2
3 y 2
3
3 2 y 2
3 y
y3
Podmínky:
Zkouška:
y2 0
y2
1
2
1
2
1 2 3 2 1
L
3 2 33 6 1 9 6 1 3 3 3 3
1
P
LP
3
Použité obrázky:
Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2011-02-07]. Dostupné
pod licencí Public domain na WWW:
<http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>.