Transcript stáhnout

Řešení lineárních
rovnic s neznámou ve
jmenovateli
4. část
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Opakování
Ekvivalentní = rovnocenný, stejný, se stejným účinkem, se
stejnou platností.
Při řešení rovnic
Ekvivalentní úprava = úprava, při které rovnice původní
i upravená rovnicese
mají používají
stejné kořeny (řešení).
Jinými slovy: Změní se matematický zápis rovnice, nikoli však
ekvivalentní
rovnost stran a řešení.
Rovnost dvou stran rovnice můžeme přirovnat k rovnováze na
úpravy.
váhách.
Opakování ‒ Ekvivalentní úpravy
1. ekvivalentní úprava rovnic
Můžeme zaměnit levou a pravou stranu rovnice a rovnost se nezmění.
2. ekvivalentní úprava rovnic
K oběma stranám rovnice můžeme přičíst stejné číslo (výraz) a rovnost se
nezmění.
3. ekvivalentní úprava rovnic
Od obou stran rovnice můžeme odečíst stejné číslo (výraz) a rovnost se
nezmění.
4. ekvivalentní úprava rovnic
Obě strany rovnice můžeme vynásobit stejným číslem (výrazem)
různým od nuly a rovnost se nezmění.
5. ekvivalentní úprava rovnic
Obě strany rovnice můžeme vydělit stejným číslem (výrazem) různým
od nuly a rovnost se nezmění.
Opakování ‒ Základní postup při řešení rovnic
1. krok
Jsou-li v rovnici závorky, zbav se jich (výpočtem, roznásobením).
2. krok
Jsou-li v rovnici zlomky, odstraň je (vynásob rovnici společným
jmenovatelem).
Průběžně
Když můžeš jednotlivé strany rovnice zjednodušit, zjednoduš je (sečti,
odečti, vynásob či vyděl, co se dá).
3. krok
Členy s neznámou převeď na jednu stranu, ostatní členy na stranu
druhou.
4. krok
Vypočítej neznámou.
5. krok
Urči podmínky řešitelnosti a proveď zkoušku.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
A nyní už tedy jdeme na řešení lineárních rovnic s neznámou ve
jmenovateli. Poznáš, čím se liší od těch, které jsme do dneška řešili?
4
2
x
x4
x3

3x  5 10  6 x
1 1 x9
 
x 9
9x
3
5

x  1 2x  1
3
3  0
x 1
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
A nyní už tedy jdeme na řešení lineárních rovnic s neznámou ve
jmenovateli. Poznáš, čím se liší od těch, které jsme do dneška řešili?
4
2
x
x4
x3

3x  5 10  6 x
Neznámá se
vyskytuje
1 1 vexčlenech
9
  zlomky
vyjádřených
x 9
9x
i ve jmenovateli 3
3
5

3

0
těchto
zlomků.

x

1
x  1 2x  1
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Na jednom příkladu zopakujeme, co už víme. Co to je?
při řešení
rovnic
ToZákladem
nám umožní
snáze
nalézt
s neznámou ve jmenovateli je
společného
jmenovatele,
rozklad všech jmenovatelů
kterým následně
celou
rovnici
vyskytujících
se v rovnici
na součin
vynásobíme,
abychom
se
pomocí dvou nám
již známých
možností.
Buď vytýkáním
před
zbavili
lomených
výrazů
závorku
nebo rozkladem pomocí
(zlomků).
rozkladných vzorců.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak jdeme na to. Vypočítej rovnici:
2x 1
6x

1 x
1 3x  1
/ .1 .x .(3x-1)
2x 1
6x

x
3x  1
/.x .(3x-1)
2x 1
6x

x
3x  1
Jedenkrát „cokoli“ je
„cokoli“. Proto je
zbytečné jedničku psát,
ale především na součin
s jedničkou jako jedním
z činitelů rozkládat!
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak jdeme na to. Vypočítej rovnici:
2x 1
6x

1 x
1 3x  1
/ .1 .x .(3x-1)
2x 1
6x

x
3x  1
/.x .(3x-1)
2x 1
66xx

x
3
3xx11
2x 1
6x

x
3x  1
Jmenovatele 3x-1 musíme
brát
celek, ai proto
je
Dá
se jako
tak předejít
snahám
z počátku
o možné
kráceníatam,
kde tosnad
není
i
vhodné
si
jej
pro
větší
možné. Tzn. například tam,
názornost
při výpočtech
kde
nejsou všechny
členy
do závorky.
v dát
„součinu“.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak jdeme na to. Vypočítej rovnici:
2x 1
6x

1 x
1 3x  1
/ .1 .x .(3x-1)
2x 1
6x

x
3x  1
/.x .(3x-1)
2x 1
6x

3x  1
x
2x 1
6x
 x  3x  1 
 x  3x  1
3x  1
x
2x 1
6x

x
3x  1
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak jdeme na to. Vypočítej rovnici:
2x 1
6x

x
3x  1
2x 1
6x
 x  3x  1 
 x  3x  1
3x  1
x
2x  1 3x 1  6x2
6 x 2  2 x  3x  1  6 x 2
x 1  0
x 1
Zkouška:
/ 1
2 1  1 3
L
 3
1
1
6 1
6
6
P

 3
3 1  1 3  1 2
Podmínky:
x  0  3x  1  0
3x  1
1
x
3
LP
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
y  3 y 1

y2 y4
y 3
y 1

/ .1.(y-2).(y+4)
1  y  2 1  y  4
y 3
y 1

/  y  2    y  4 
 y  2  y  4
y 3
y 1
  y  2   y  4 
  y  2   y  4
 y  2
 y  4
 y  3  y  4   y  2  y  1
y 2  4 y  3 y 12  y 2  y  2 y  2
y  12   y  2
/ 12
/ y
y   y  10
2 y  10
/:2
y5
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
Podmínky (nulou nelze dělit!):
y  3 y 1

y2 y4
y2  0
y2
 y40
y  4
y  3 y 1

y2 y4
Zkouška pro y = 5:
53 2
L

52 3
5 1 6 2
P
 
5 4 9 3
LP
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
y  3 y 1

y2 y4
y 3
y 1

1  y  2 1  y  4
y 3
y 1

/  y  2    y  4 
 y  2  y  4
y 3
y 1
  y  2   y  4 
  y  2   y  4
 y  2
 y  4
 y  3  y  4   y  2  y  1
y 2  4 y  3 y 12  y 2  y  2 y  2
y  12   y  2
/ 12
/ y
y   y  10
2 y  10
/:2
y5
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
x7
1
x4
 
2  x  1 1 4  x  1
x7
1
x4
 
2  x  1 1 2  2  x  1
x7
x4
 1
2x  2
4x  4
/ .2 .2 .(x+1)
Jedenkrát „cokoli“ je
„cokoli“. Proto je zbytečné
jedničku opět do
společného jmenovatele
psát, ale především na
součin
s jedničkou jako jedním
z činitelů jednotlivé
jmenovatele rozkládat!
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
x7
x4
 1
2x  2
4x  4
x7
1
x4
 
2  x  1 1 4  x  1
x7
1
x4
 
/ .2 .2 .(x+1)
2  x  1 1 2  2  x  1
x7
1
x4
 2  2  x  1   2  2  x  1 
 2  2  x  1
2  x  1
1
2  2  x  1
x  7 2  4  x  1  x  4
2 x  14  4 x  4  x  4
2 x  14  5 x  8
2 x  5x  6
 3x  6
x2
/ 14
/ 5 x
/ :  3
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
x7
x4
 1
2x  2
4x  4
Podmínky (nulou nelze dělit!):
Zkouška pro x = 2:
x7
x4
 1
2x  2
4x  4
x7
x4
 1
2x  1
4x  1
27
9
9 3
1
L

  1
22  2 4  2 6 2
2
24
6
P  1
 1

42  4
8 4
6 2 1 3
1
 1     1
12 2 2 2
2
x 1  0
x  1
LP
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou. Vypočítej rovnici:
x7
x4
 1
2x  2
4x  4
x7
1
x4
 
2  x  1 1 4  x  1
x7
1
x4
 
/ .2 .2 .(x+1)
2  x  1 1 2  2  x  1
x7
1
x4
 2  2  x  1   2  2  x  1 
 2  2  x  1
2  x  1
1
2  2  x  1
x  7 2  4  x  1  x  4
2 x  14  4 x  4  x  4
2 x  14  5 x  8
2 x  5x  6
 3x  6
x2
/ 14
/ 5 x
/ :  3
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
2a  3 1 a  5
 
3a  1 4 3a  1
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
2a  3 1 a  5
 
3a  1 4 3a  1
2a  3 1 a  5
 
/ 4  3a  1
3a  1 4 3a  1
2a  3
1
a5
 4  3a  1   4  3a  1 
 4  3a  1
3a  1
4
3a  1
2a  3 4  3a  1  a  5 4
8a  12  3a  1  4a  20
/ 11
5a  11  4a  20
/ 4 a
5a  4a  9
a9
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
Podmínky:
2a  3 1 a  5
 
3a  1 4 3a  1
3a  1  0
3a  1
1
a
3
Zkouška:
2  9  3 1 18  3 1 21 1 3 1 2 1
L
 
 
    
3  9  1 4 27  1 4 28 4 4 4 4 2
95
14
14 1
P



3  9  1 27  1 28 2
LP
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
2a  3 1 a  5
 
3a  1 4 3a  1
2a  3 1 a  5
 
/ 4  3a  1
3a  1 4 3a  1
2a  3
1
a5
 4  3a  1   4  3a  1 
 4  3a  1
3a  1
4
3a  1
2a  3 4  3a  1  a  5 4
8a  12  3a  1  4a  20
/ 11
5a  11  4a  20
/ 4 a
5a  4a  9
a9
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1 x 3  x
4


x 1 x 1 x 1
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1 x 3  x
4


x 1 x 1 x 1
1 x 3  x
4


/  x  1  x  1
x 1 x  1 x  1
1 x
3 x
4
 x  1   x  1 
  x  1   x  1 
  x  1   x  1
x 1
x 1
x 1
1  x x  1  3  x x 1  4  x 1


x  1  x 2  x  3x  3  x 2  x  4x  4
x  1  x 2  x  3x  3  x 2  x  4 x  4
4  4x  4
8  4x
2x
/ 4
/:4
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
Podmínky:
1 x 3  x
4


x 1 x 1 x 1
x 1  0  x 1  0
x 1
x  1
Zkouška:
1 2 3  2 3 5 9 5 4
1
L

     1
2 1 2 1 1 3 3 3 3
3
4
4
1
P
 1
2 1 3
3
LP
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1 x 3  x
4


x 1 x 1 x 1
1 x 3  x
4


/  x  1  x  1
x 1 x  1 x  1
1 x
3 x
4
 x  1   x  1 
  x  1   x  1 
  x  1   x  1
x 1
x 1
x 1
1  x x  1  3  x x 1  4  x 1


x  1  x 2  x  3x  3  x 2  x  4x  4
x  1  x 2  x  3x  3  x 2  x  4 x  4
4  4x  4
8  4x
2x
/ 4
/:4
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
4
3
1


x3 x 2 x4
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
4
3
1


x3 x 2 x4
4
3
1


/  x  3  x  2  x  4
x 3 x 2 x 4
4
3
1
 x  3   x  2  x  4 
  x  3   x  2  x  4 
  x  3  x  2   x  4
x 3
x2
x4

4  x  2 x  4  3  x  3 x  4  x  3 x  2



4  x2  4x  2x  8  3  x2  4x  3x  12  x 2  2x  3x  6
4 x 2  16x  8x  32  3x 2  12x  9 x  36  x 2  2 x  3x  6
 3 x  4  5 x  6
 3x  5 x  10
2 x  10
x5
/ 4
/ 5 x
/:2
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
Podmínky:
4
3
1


x3 x 2 x4
x3  0  x2  0
x3
x2
 x4 0
x4
Zkouška:
4
3
4 3
L

   2 1  1
53 52 2 3
1
1
P
 1
54 1
LP
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
4
3
1


x3 x 2 x4
4
3
1


/  x  3  x  2  x  4
x 3 x 2 x 4
4
3
1
 x  3   x  2  x  4 
  x  3   x  2  x  4 
  x  3  x  2   x  4
x 3
x2
x4

4  x  2 x  4  3  x  3 x  4  x  3 x  2



4  x2  4x  2x  8  3  x2  4x  3x  12  x 2  2x  3x  6
4 x 2  16x  8x  32  3x 2  12x  9 x  36  x 2  2 x  3x  6
 3 x  4  5 x  6
 3x  5 x  10
2 x  10
x5
/ 4
/ 5 x
/:2
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1
2
1


y  2 3y  6 3
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1
2
1


y  2 3y  6 3
1
2
1


/ 3   y  2 
y  2 3   y  2 3
1
2
1
 3   y  2 
 3   y  2   3   y  2
y2
3   y  2
3
3 2  y  2
3 y
y3
Podmínky:
Zkouška:
y2  0
y2
1
2
1
2
1 2 3 2 1
L

 
    
3  2 33  6 1 9  6 1 3 3 3 3
1
P
LP
3
Použité obrázky:
Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2011-02-07]. Dostupné
pod licencí Public domain na WWW:
<http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>.