Transcript Řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli

Řešení lineárních
rovnic s neznámou ve
jmenovateli
2. část
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Opakování
Ekvivalentní = rovnocenný, stejný, se stejným účinkem, se
stejnou platností
Při
řešení
rovnic
Ekvivalentní úprava = úprava, při které rovnice původní
i upravená rovnice mají stejné kořeny (řešení).
se používají
Jinými slovy: Změní se matematický zápis rovnice, nikoli však
rovnost stran aekvivalentní
řešení.
Rovnost dvou stran rovnice můžeme přirovnat k rovnováze na
úpravy.
váhách.
Opakování − Ekvivalentní úpravy
1. ekvivalentní úprava rovnic
Můžeme zaměnit levou a pravou stranu rovnice a rovnost se nezmění.
2. ekvivalentní úprava rovnic
K oběma stranám rovnice můžeme přičíst stejné číslo (výraz) a rovnost se
nezmění.
3. ekvivalentní úprava rovnic
Od obou stran rovnice můžeme odečíst stejné číslo (výraz) a rovnost se
nezmění.
4. ekvivalentní úprava rovnic
Obě strany rovnice můžeme vynásobit stejným číslem (výrazem)
různým od nuly a rovnost se nezmění.
5. ekvivalentní úprava rovnic
Obě strany rovnice můžeme vydělit stejným číslem (výrazem) různým
od nuly a rovnost se nezmění.
Opakování − Základní postup při řešení rovnic
1. krok
Jsou-li v rovnici závorky, zbav se jich (výpočtem, roznásobením).
2. krok
Jsou-li v rovnici zlomky, odstraň je (vynásob rovnici společným
jmenovatelem).
Průběžně
Když můžeš jednotlivé strany rovnice zjednodušit, zjednoduš je (sečti,
odečti, vynásob či vyděl, co se dá).
3. krok
Členy s neznámou převeď na jednu stranu, ostatní členy na stranu
druhou.
4. krok
Vypočítej neznámou.
5. krok
Urči podmínky řešitelnosti a proveď zkoušku.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
A nyní už tedy jdeme na řešení lineárních rovnic s neznámou ve
jmenovateli. Poznáš, čím se liší od těch, které jsme do dneška řešili?
4
2
x
x4
x3

3x  5 10  6 x
1 1 x9
 
x 9
9x
3
5

x  1 2x  1
3
3  0
x 1
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
A nyní už tedy jdeme na řešení lineárních rovnic s neznámou ve
jmenovateli. Poznáš, čím se liší od těch, které jsme do dneška řešili?
4
2
x
x4
x3

3x  5 10  6 x
Neznámá se
vyskytuje
1 1 vexčlenech
9
  zlomky
vyjádřených
x 9
9x
i ve jmenovateli 3
3
5

3

0
těchto
zlomků.

x

1
x  1 2x  1
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
4 x 1
 2
x
3
Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.
4 x 1
 2
x
3
4 x 1
 2
2
3
Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem.
4x 1
  2 /  3x
.
x
3
4 x
1
 3x   3x  2  3x
x
3
12  3 x  x  6 x
4x 1
  2 / 6
.
2
3
4 x 3 1 2
6  6  26
2
3
12  3x  2  12
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
4 x 1
 2
x
3
12  3 x  x  6 x
12  3x  2  12
Další postup je již identický s doposud řešenými lineárními rovnicemi.
12  2 x  6 x
/  2x
12  6 x  2 x
12  8x / : 8
12
x
8
x  1,5
 3x  2  0 /  2
 3x  2 / : (3)
3
2
x
3
3
2
x
3
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
4 x 1
 2
x
3
Nedílnou součástí řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli je i určení
podmínek řešitelnosti.
4 x 1
 2
x
3
Nelze dělit nulou 
x0
Na úplný závěr nesmíme zapomenout ani na zkoušku!
Tak ještě jednou a nyní už se vším všudy.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
4
2 y
1 
y
3y
Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.
4
2 y
1 
y
3y
4
2 y
1 
2
6
Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem.
Neznámá ještě
nebyla ve
jmenovateli.
Místo ní tam byla jen
čísla.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
4
2 y
1 
y
3y
Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.
4
2 y
1 
y
3y
4
2 y
1 
2
6
Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem.
4
2 y
1 
y
3y
y=y
3y = y . 3
n(y; 3y) = y . 3 = 3y
4
2y
1 
2
23
2=2
6=2.3
n(2; 6) = 2 . 3 = 6
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
4
2 y
1 
y
3y
Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.
4
2 y
1 
y
3y
4
2 y
1 
2
6
Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem.
4
2 y
1 
y
3y
y=y
3y = y . 3
n(y; 3y) = y . 3 = 3y
/ .y
.3y
.3
4
2y
1 
/ .6
.2 .3
2
23
2=2
6=2.3
n(2; 6) = 2 . 3 = 6
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
4
2 y
1 
y
3y
Srovnejme si řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.
4
2 y
1 
y
3y
4
2 y
1 
2
6
Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem.
4
2 y
1 
/ .3y
y
3y
4
2 y
 3 y  1 3 y 
3y
y
3y
12  3 y  2  y
4
2y
1 
/ .6
2
23
43
2 y
 6  1 6 
6
2
6
12  6  2  y
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
4
2 y
1 
y
3y
12  3 y  2  y
12  6  2  y
Další postup je již identický s doposud řešenými lineárními rovnicemi,
tzn. s využitím známých ekvivalentních úprav.
12  3 y  2  y /  3 y
12  2  y  3 y
12  2  2 y /  2
12  2  2 y
10  2 y / : 2
y5
6  2  y / 2
6  2  y
4   y / (1)
4  y
y  4
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
4
2 y
1 
y
3y
Nedílnou součástí řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli je i určení
podmínek řešitelnosti.
4
2 y
1 
y
3y
Nelze dělit nulou 
y0
Na úplný závěr nesmíme zapomenout ani na zkoušku!
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
4
2 y
1 
y
3y
Zkouška:
4
4
4 5
1
L  1  1    
y
5
5 5
5
2 y 25 3
1
P



3y
3  5 15
5
LP
Nyní se tedy můžeme vrátit na snímek s řešením rovnice a výsledný kořen bez
obav podtrhnout a tím potvrdit správnost našich výpočtů.
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou!
Vypočítej rovnici:
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
Srovnejme si ještě jednou řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
1 5 5 x
   
2 4 6 6
1
5
5
x



2 2  2 3 2 3 2
Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem.
Nejmenší společný jmenovatel je vlastně nejmenší společný násobek čísel
představujících jednotlivé jmenovatele zlomků.
2=2
4=2.2
6=2.
3
n(2; 4; 6) = 2 . 2 . 3 = 12
Všechny jmenovatele si
nejdříve rozložíme na
součin prvočinitelů tak,
jak jsme to udělali
v tomto příkladu.
Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu:
1
5
5
x



2 2  2 3 2 2 3
/ .2
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou!
Vypočítej rovnici:
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
Srovnejme si ještě jednou řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
1 5 5 x
   
2 4 6 6
1
5
5
x



2 2  2 3 2 3 2
Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem.
Nejmenší společný jmenovatel je vlastně nejmenší společný násobek
čísel
Z každého
představujících jednotlivé jmenovatele zlomků.
jmenovatele, ve kterém
2=2
4=2.2
6=2.
3
n(2; 4; 6) = 2 . 2 . 3 = 12
se vyskytuje,
„vezmeme“ dvojku, a to
právě jedenkrát.
Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu:
1
5
5
x



2 2  2 3 2 2 3
/ .2 .2.3
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou!
Vypočítej rovnici:
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
Srovnejme si ještě jednou řešení zadané rovnice s doposud řešenými rovnicemi.
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
1 5 5 x
   
2 4 6 6
1
5
5
x



2 2  2 3 2 3 2
Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem.
Nejmenší společný jmenovatel je vlastně nejmenší společnýPo
násobek
čísel
„vyčerpání
všech
představujících jednotlivé jmenovatele zlomků. prvočinitelů, je
2=2
4=2.2
6=2.
3
n(2; 4; 6) = 2 . 2 . 3 = 12
nejmenší společný
jmenovatel na světě!
Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu:
1
5
5
x



2 2  2 3 2 2 3
/ .12
.2 .2.3
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Tak ještě jednou!
Vypočítej rovnici:
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
A stejným
se „tvoří“
Srovnejme si ještě jednou
řešenízpůsobem
zadané rovnice
s doposud řešenými rovnicemi.
1
x
společný jmenovatel
i v případě
rovnic
1
5
5
x
5
5 s neznámou
x
1
5
5



ve
jmenovateli.
Základem







2
4
6
6
2 x 3x je tedy
6 rozklad na součin pomocí2 dvou
2  2 3 2
nám již známých možností. Buď
Odstraníme zlomky − vynásobíme rovnici nejmenším společným jmenovatelem.
vytýkáním před závorku nebo
Nejmenší společný jmenovatel je vlastně nejmenší společný násobek čísel
rozkladem
pomocí
rozkladných
představujících
jednotlivé
jmenovatelevzorců.
zlomků.
2=2
4=2.2
6=2.
3
n(2; 4; 6) = 2 . 2 . 3 = 12
Tvorbu nejmenšího společného jmenovatele si ukážeme na našem příkladu:
1
5
5
x



2 2  2 3 2 2 3
/ .12
x
3 2
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
Tak to tedy zkusme v našem příkladu:
1
5
5
x



x 2  x 3 x 2 3
/ .2.3.x
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
Tak to tedy zkusme v našem příkladu:
1
5
5
x



/ .2.3.x
x 2  x 3 x 2 3
1 5
5 x



/ 6 x
x 2 x 3x 6
1
5 3
5 2
x
 6x 
 6x   6x   6x
x
2x
3x
6
6  15  10  x 22
1 x
/
x  1
Podmínky: x  0
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
Zkouška pro x = 1:
1 5
5 1 5
5 1 5 5
L 

 

   
x 2 x 3 x 1 2 1 3 1 1 2 3
6 15 10 1
   
6 6 6 6
1
P
6
LP
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej rovnici:
1 5
5 x



x 2 x 3x 6
Zkouška pro x = - 1:
1 5
5
1
5
5
L 





x 2 x 3 x  1 2   1 3   1
1 5
5
1 5 5
6 15 10
 

      
1 2 3
1 2 3
6 6 6
1

1
1
6
P

LP
6
6
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej další rovnici:
1 3
2 1



x 2 x 3x 6
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej další rovnici:
1 3
2 1



x 2 x 3x 6
1
3
2
1



/ .2.3.x
x 2  x 3 x 2 3
1 3
2 1



/ 6 x
x 2 x 3x 6
1
3
2
1
 6x 
 6x   6x   6x
x
2x
3x
6
69 4  x
1 x
x 1
Podmínky: x  0
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
Vypočítej další rovnici:
1 3
2 1



x 2 x 3x 6
Zkouška:
1 3
2 1 3
2 1 3 2
L 

 

   
x 2 x 3 x 1 2 1 3 1 1 2 3
6 9 4 1
   
6 6 6 6
1
P
6
LP
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1
7
2 1



2 10 x 5 x 5
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1
7
2 1



2 10 x 5 x 5
1
7
2 1
Podmínky: x  0



/10 x
2 10 x 5 x 5
Zkouška:
1
7
2
1
7
2
1
L




10 x 
10 x  10 x  10 x
2 10  (1) 5  (1)
2
10 x
5x
5
1 7 2 5 7 4
5x  7  4  2 x
      
2 10 5 10 10 10
5x  3  2 x /  5x
2 1


3  2 x  5x
10 5
3  3x / : (3)
1
3 : (3)  3x : (3)
P
LP
5
1  x
x  1
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
4
2 4
2 
x
x 3
Příklady k procvičení:
4
2 4
2 
x
x 3
4
2 4
2 
/ 3 x
x
x 3
12  6 x  6  4 x / 4 x
12  6 x  4 x  6  4 x  4 x
12  2 x  6 / 12
12  2 x  12  6  12
 2 x  6 / : (2)
 2 x : (2)  6 : (2)
x3
Vyřeš rovnici:
Podmínky:
x0
Zkouška:
L
4
4 6
2
2    
3
3 3
3
2 4
2
P  
3 3
3
LP
Příklady k procvičení:
Vyřeš rovnici:
1
2 1


2 x 3x 6
Příklady k procvičení:
1
2 1


2 x 3x 6
1
2 1


/ 6 x
2 x 3x 6
1
2
1
 6x   6x   6x
2x
3x
6
3 4  x
Vyřeš rovnici:
1  x
x  1
Podmínky:
x0
Zkouška:
1
2
1 2
L

  
2   1 3   1
2 3
3 4 1
  
6 6 6
P
1
6
LP
Použité obrázky:
Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-05-07].
Dostupné pod licencí Public domain na WWW:
<http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>