Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích

Pedagogická fakulta

Katedra matematiky

Didaktika matematiky

Akademický rok: 2003 – 2004

Zpracoval

:

Jan HAMERNÍK

M – T V T / Z Š

3 . r o č n í k

Kvadratické funkce

Kvadratická funkce

Příklad 1: Zemědělec chce vybudovat pro drůbež výběh pravoúhlého tvaru, přitom jedna strana bude částí stěny hospodářské budovy. K dispozici má 18 metrů pletiva. Máme určit rozměry výběhu, pro které by jeho obsah byl co největší.

hospodářská budova výběh x 18 – 2x x

Řešení:

Neznámé jsou délky stran hledaného pravoúhelníku. Má-li každá z „bočních stran“ délku

x

metrů, pak na zbývající třetí stranu připadne (18 – 2x) metrů.

Obsah S pravoúhlého trojúhelníku je tedy (18–2x).x

Sestavíme si tabulku: x (18 – 2x).x

1 16 2 28 3 36 4 40 5 40 6 36 7 28 8 16

Zobrazíme uspřádané dvojice z tabulky do soustavy souřadnic

O x y

Obrázek zřetelně ukazuje na syme trické rozložení bodů podle přím ky rovnoběžné s osou

y

a vedené bodem [4,5;0]. Odtud se dá usoudit, že ho dnota výrazu (18 – 2x) . x je maximální pro x = 4,5.

Je tomu ale skutečně tak?

Upravíme výraz (18 – 2x) . x doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: (18 – 2x) . x = – 2x 2 + 18x = – 2(x 2 – 9x + 4,5 2 = – 2(x 2 – 9x + 4,5 2 ) + 2 . 4,5 2 = – 2(x – 4,5) 2 – 4,5 + 40,5 2 ) = Výraz – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 má maximální hodnotu pro x = 4,5, a to 40,5. Pro každé x  4,5 je totiž – 2(x – 4,5) 2 < 0, a tedy – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 < 40,5 O d p o v ě ď : Zemědělec by měl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru s „bočními stranami“ o délce 4,5 metru.

Kvadratická funkce

je každá funkce na množině

R

( tj. o definičním oboru

R

), daná ve tvaru

y = ax 2 + bx + c,

kde a 

R

– {0}, b, c 

R

Příklad č. 2: Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí

v =

50 m.s

-1 . Určete, jaké největší výšky dosáhne.

(Užijte vzorec

s



v



t

 1

g



t

2

; g = 10

m.s

-2 .

2

Řešení:

Použijeme výše uvedený vzorec:

s



v



t

 1 2 Dále využijeme zadané

g =

10 m.s

-2

g



t

2 Zbývá nám tedy spočítat proměnnou

t.

t



v g

 50 10  5 s Dosadíme do vzorce:

s



v



t

1

t

2

s

 50  5   2 1 2

g

 10  5 2  250  250 2  250  125  125 m Těleso dosáhne nejvýše výšky 125 m

Příklad č. 3: Výkon

P

turbíny závisí na počtu

n

otáček za sekundu.

Určete počet otáček, pro něž bude výkon maximální, víte-li, že tento výkon je vyjádřen vztahem

P =



=



n -



n

2 , kde 0,455 43 m 2 .kg.s

-1 .



=

0,455 43 m 2 .kg.s

–2 ,

Příklad č. 4: Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany

a

cm a výšce 4 cm. Zapište funkci, která vyjadřuje a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy; b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy.

Grafy kvadratických funkcí

Uvažujme kvadratickou funkci

g: y = x 2

Zapište do tabulky funkční hodnoty v bodech –3; –2; –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 2 a 3. Získané uspořádané dvojice pak vyznačte v soustavě souřadné

Oxy.

Obr.1 Obr. 2

Grafem kvadratické funkce křivka, která se nazývá

y = x

parabola

.

2

je nepřerušovaná Z obrázku lze usoudit, že funkce

y = x 2

má tyto vlastnosti: jejím oborem hodnot je interval v intervalu  ;0   0,+ klesající, v intervalu   ; funkce je 0,+  rostoucí; v bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maximum; je zdola omezená, není shora omezená; je sudá.

Příklad č. 1: Na obrázku je graf funkce něho graf funkce

h

2

y

 3 4

h

1

x

2

y

  3 3 4

x

Obr. 3

Řešení:

Pro každé

x



h

1 (  2 )  3 4 (  2 )

R

je

h

2

(x) = h

1

(x)

2  3

h

2 (  2 )  – 3; např. pro

x

3 3 3 4 (  2 ) 2    = – 2 je 3  0 Ke grafu funkce

h

1

h

2 dospějeme tedy od grafu funkce posunutím o tři jednotky ve směru

záporné

poloosy

y.

Obr. 4

Příklad č. 2: Sestrojte graf funkce h 3 : 3 grafu funkce h 1 :

y



x

2 4 y 

Řešení:

3 4 ( x  1 ) 2 , a to opět využitím Pro každé h 1 ( x ) 

x

h 1 ( 3 )   3 4

R

je  3 2 

h

3 (

x

27 4 , – 1) h 3 ( x

= h

1 (

x

); např. pro  1 )  h 3 ( 2 )  3 4  ( 2

x

= 3 je  1 ) 2  27 4 Jestliže funkce h 1 nabývá nějakou hodnotu v bodě tutéž hodnotu funkce h 3 v bodě

x

– 1

x

, nabývá Graf funkce h 3 získáme z grafu funkce h 1 jednotku ve směru

záporné

poloosy

x

.

posunutím o jednu Graf funkce h 1 .

Obr. 5

Příklad č. 3: Sestrojte graf funkce h 5 :

y

 3 4

x

2  3 2

x

 9 4 .

Řešení:

Nejdříve upravíme výraz

y

 3 4

x

2  3 2

x

 9 4 na druhou mocninu dvojčlenu.

3 4  3 4 3

x

2  

x

2 2 

x

2

x

 9  4  1   3 4 3

x

2  9 4 4   3 2 3 4

x

 9 4  

x

 1  2 3 4  3 

x

2 doplněním  2

x

  9 4 

Obr. 6

Jak budeme postupovat při sestrojování grafů kvadratických funkcí

y = ax

2

+ bx + c?

1. Upravíme nejprve výraz

ax

2

+ bx + c

doplněním na druhou mocninu dvojčlenu:

ax

2 

bx



c



a b

2

a

2   

c



b

2 4

a

  2. Sestrojíme graf funkce

f

1 :

y = ax

2 .

3. Sestrojíme graf funkce

f

2 :

ax

2 

bx



c



a b

2

a

2   

c



b

2 4

a

 

a to z grafu funkce

f

1 pomocí jednotek ve směru osy x,

posunutí o

2

a

přičemž

b

pro > 0 jde o posunutí ve směru

záporné

poloosy

x,

b

pro < 0 o posunutí ve směru

kladné

poloosy

x,

b

pro = 0 o posunutí o 0 jednotek na ose

x,

(tj. „nulové posunutí“ ve směru osy

x

),

 2 a o jednotek ve směru osy x, 4

a

přičemž

c



b

pro 4 2

a

> 0 jde o posunutí ve směru

kladné

poloosy

y,

c



b

pro 4 2

a

< 0 o posunutí ve směru

záporné

poloosy

y,

c



b

pro 4 2

a

= 0 o posunutí o 0 jednotek na ose

x,

(tj. „nulové posunutí“ ve směru osy

y,

Grafem každé kvadratické funkce je

parabola

, která je souměrná podle osy rovnoběžné s osou

y

.

Závěrem si uvedeme vlastnosti kvadratických funkcí

y = ax

2 +

bx + c

v závislosti na hodnotách

a

.

Funkce

y = ax

2 +

bx + c

(

a

 0)

Obr. 7 a > 0 Oborem hodnot je

c



b

4 2

a

,    .



b

2

a

,        , 

b

2

a

Je zdola omezená, není shora omezená.

x

minimum.

  2

b a

Obr. 8 a < 0 Oborem hodnot je   ,

c



b

2 4

a

.

    , 

b

2

a



b

2

a

,    Je shora omezená, není zdola omezená.

x

maximum.

  2

b a

Příklad č. 3: Načrtněte grafy grafy těchto funkcí:

a) y = x

2 – 2

x +

3

b) y =

–

x

2 – 6

x

– 8

c) y =

– 2

x

2 + 5

x

– 1

d) y =

– 0,5

x

2 +

x +

2

e) y =

 2

x



x

 3

Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic

Příklad č. 1:

x



R

2

x

2  5  3

x

2 

x

 1

Řešení:

Nejprve převedeme danou nerovnici na anulovaný tvar: 

x

2 

x

 6  0

Zjistíme, ve kterých bodech je hodnota funkce

y

 

x

2 

x

 6 rovna nule. K tomu vyřešíme početně kvadratickou rovnici 

x

2 

x

 6  0

D



b

2  4

ac

 (  1 ) 2  4 .(  1 ).

6  25

x

1 , 2  

b

 2

a D

 1   2 25

x

1 = – 3,

x

2 = 2

Na první pohled také vidíme, že kvadratická funkce

y

 

x

2 

x

 6 má v nějakém bodě maximum (koeficient u

x

2 je – 1); parabola, která je jejím grafem, se tedy „rozevírá směrem dolů“.

Obr. 9

Příklad č. 2: 0 , 5

x



x

 1 , 5  0

x



R

Řešení:

Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici: 0 , 5

x

2 

x

 1 , 5  0

D



b

2  4

ac

 (  1 ) 2  4 .

0 , 5 .

1 , 5  1  3   2 Diskriminant je záporné číslo, rovnice nemá v

R

řešení. Nejsme ve slepé uličce?

žádné

Graf kvadratické funkce

y

 0 , 5

x

2 

x

 1 , 5 nemá s osou

x

žádné společné body, přitom tato funkce má v nějakém bodě minimum. Tyto dvě skutečnosti zachycuje obr. 10. A z něho lze vyčíst, že řešeními dané nerovnice jsou všechna

x



R

.

Obr. 10

Příklad č. 3: S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou

x



R

.

a) x

2 – 5

x +

6  0 b) 2

x

2 – 5

x

+ 2 < 0 c) – 2

x

2 + 6

x

– 9  0

d) x

2 – 2

x +

3 < 0