Transcript KVADRATICKÉ FUNKCE
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích
Pedagogická fakulta
Katedra matematiky
Didaktika matematiky
Akademický rok: 2003 – 2004
Zpracoval
:
Jan HAMERNÍK
M – T V T / Z Š
3 . r o č n í k
Kvadratické funkce
Kvadratická funkce
Příklad 1: Zemědělec chce vybudovat pro drůbež výběh pravoúhlého tvaru, přitom jedna strana bude částí stěny hospodářské budovy. K dispozici má 18 metrů pletiva. Máme určit rozměry výběhu, pro které by jeho obsah byl co největší.
hospodářská budova výběh x 18 – 2x x
Řešení:
Neznámé jsou délky stran hledaného pravoúhelníku. Má-li každá z „bočních stran“ délku
x
metrů, pak na zbývající třetí stranu připadne (18 – 2x) metrů.
Obsah S pravoúhlého trojúhelníku je tedy (18–2x).x
Sestavíme si tabulku: x (18 – 2x).x
1 16 2 28 3 36 4 40 5 40 6 36 7 28 8 16
Zobrazíme uspřádané dvojice z tabulky do soustavy souřadnic
O x y
Obrázek zřetelně ukazuje na syme trické rozložení bodů podle přím ky rovnoběžné s osou
y
a vedené bodem [4,5;0]. Odtud se dá usoudit, že ho dnota výrazu (18 – 2x) . x je maximální pro x = 4,5.
Je tomu ale skutečně tak?
Upravíme výraz (18 – 2x) . x doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: (18 – 2x) . x = – 2x 2 + 18x = – 2(x 2 – 9x + 4,5 2 = – 2(x 2 – 9x + 4,5 2 ) + 2 . 4,5 2 = – 2(x – 4,5) 2 – 4,5 + 40,5 2 ) = Výraz – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 má maximální hodnotu pro x = 4,5, a to 40,5. Pro každé x 4,5 je totiž – 2(x – 4,5) 2 < 0, a tedy – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 < 40,5 O d p o v ě ď : Zemědělec by měl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru s „bočními stranami“ o délce 4,5 metru.
Kvadratická funkce
je každá funkce na množině
R
( tj. o definičním oboru
R
), daná ve tvaru
y = ax 2 + bx + c,
kde a
R
– {0}, b, c
R
Příklad č. 2: Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí
v =
50 m.s
-1 . Určete, jaké největší výšky dosáhne.
(Užijte vzorec
s
v
t
1
g
t
2
; g = 10
m.s
-2 .
2
Řešení:
Použijeme výše uvedený vzorec:
s
v
t
1 2 Dále využijeme zadané
g =
10 m.s
-2
g
t
2 Zbývá nám tedy spočítat proměnnou
t.
t
v g
50 10 5 s Dosadíme do vzorce:
s
v
t
1
t
2
s
50 5 2 1 2
g
10 5 2 250 250 2 250 125 125 m Těleso dosáhne nejvýše výšky 125 m
Příklad č. 3: Výkon
P
turbíny závisí na počtu
n
otáček za sekundu.
Určete počet otáček, pro něž bude výkon maximální, víte-li, že tento výkon je vyjádřen vztahem
P =
=
n -
n
2 , kde 0,455 43 m 2 .kg.s
-1 .
=
0,455 43 m 2 .kg.s
–2 ,
Příklad č. 4: Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany
a
cm a výšce 4 cm. Zapište funkci, která vyjadřuje a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy; b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy.
Grafy kvadratických funkcí
Uvažujme kvadratickou funkci
g: y = x 2
Zapište do tabulky funkční hodnoty v bodech –3; –2; –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 2 a 3. Získané uspořádané dvojice pak vyznačte v soustavě souřadné
Oxy.
Obr.1 Obr. 2
Grafem kvadratické funkce křivka, která se nazývá
y = x
parabola
.
2
je nepřerušovaná Z obrázku lze usoudit, že funkce
y = x 2
má tyto vlastnosti: jejím oborem hodnot je interval v intervalu ;0 0,+ klesající, v intervalu ; funkce je 0,+ rostoucí; v bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maximum; je zdola omezená, není shora omezená; je sudá.
Příklad č. 1: Na obrázku je graf funkce něho graf funkce
h
2
y
3 4
h
1
x
2
y
3 3 4
x
Obr. 3
Řešení:
Pro každé
x
h
1 ( 2 ) 3 4 ( 2 )
R
je
h
2
(x) = h
1
(x)
2 3
h
2 ( 2 ) – 3; např. pro
x
3 3 3 4 ( 2 ) 2 = – 2 je 3 0 Ke grafu funkce
h
1
h
2 dospějeme tedy od grafu funkce posunutím o tři jednotky ve směru
záporné
poloosy
y.
Obr. 4
Příklad č. 2: Sestrojte graf funkce h 3 : 3 grafu funkce h 1 :
y
x
2 4 y
Řešení:
3 4 ( x 1 ) 2 , a to opět využitím Pro každé h 1 ( x )
x
h 1 ( 3 ) 3 4
R
je 3 2
h
3 (
x
27 4 , – 1) h 3 ( x
= h
1 (
x
); např. pro 1 ) h 3 ( 2 ) 3 4 ( 2
x
= 3 je 1 ) 2 27 4 Jestliže funkce h 1 nabývá nějakou hodnotu v bodě tutéž hodnotu funkce h 3 v bodě
x
– 1
x
, nabývá Graf funkce h 3 získáme z grafu funkce h 1 jednotku ve směru
záporné
poloosy
x
.
posunutím o jednu Graf funkce h 1 .
Obr. 5
Příklad č. 3: Sestrojte graf funkce h 5 :
y
3 4
x
2 3 2
x
9 4 .
Řešení:
Nejdříve upravíme výraz
y
3 4
x
2 3 2
x
9 4 na druhou mocninu dvojčlenu.
3 4 3 4 3
x
2
x
2 2
x
2
x
9 4 1 3 4 3
x
2 9 4 4 3 2 3 4
x
9 4
x
1 2 3 4 3
x
2 doplněním 2
x
9 4
Obr. 6
Jak budeme postupovat při sestrojování grafů kvadratických funkcí
y = ax
2
+ bx + c?
1. Upravíme nejprve výraz
ax
2
+ bx + c
doplněním na druhou mocninu dvojčlenu:
ax
2
bx
c
a b
2
a
2
c
b
2 4
a
2. Sestrojíme graf funkce
f
1 :
y = ax
2 .
3. Sestrojíme graf funkce
f
2 :
ax
2
bx
c
a b
2
a
2
c
b
2 4
a
a to z grafu funkce
f
1 pomocí jednotek ve směru osy x,
posunutí o
2
a
přičemž
b
pro > 0 jde o posunutí ve směru
záporné
poloosy
x,
b
pro < 0 o posunutí ve směru
kladné
poloosy
x,
b
pro = 0 o posunutí o 0 jednotek na ose
x,
(tj. „nulové posunutí“ ve směru osy
x
),
2 a o jednotek ve směru osy x, 4
a
přičemž
c
b
pro 4 2
a
> 0 jde o posunutí ve směru
kladné
poloosy
y,
c
b
pro 4 2
a
< 0 o posunutí ve směru
záporné
poloosy
y,
c
b
pro 4 2
a
= 0 o posunutí o 0 jednotek na ose
x,
(tj. „nulové posunutí“ ve směru osy
y,
Grafem každé kvadratické funkce je
parabola
, která je souměrná podle osy rovnoběžné s osou
y
.
Závěrem si uvedeme vlastnosti kvadratických funkcí
y = ax
2 +
bx + c
v závislosti na hodnotách
a
.
Funkce
y = ax
2 +
bx + c
(
a
0)
Obr. 7 a > 0 Oborem hodnot je
c
b
4 2
a
, .
b
2
a
, ,
b
2
a
Je zdola omezená, není shora omezená.
x
minimum.
2
b a
Obr. 8 a < 0 Oborem hodnot je ,
c
b
2 4
a
.
,
b
2
a
b
2
a
, Je shora omezená, není zdola omezená.
x
maximum.
2
b a
Příklad č. 3: Načrtněte grafy grafy těchto funkcí:
a) y = x
2 – 2
x +
3
b) y =
–
x
2 – 6
x
– 8
c) y =
– 2
x
2 + 5
x
– 1
d) y =
– 0,5
x
2 +
x +
2
e) y =
2
x
x
3
Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic
Příklad č. 1:
x
R
2
x
2 5 3
x
2
x
1
Řešení:
Nejprve převedeme danou nerovnici na anulovaný tvar:
x
2
x
6 0
Zjistíme, ve kterých bodech je hodnota funkce
y
x
2
x
6 rovna nule. K tomu vyřešíme početně kvadratickou rovnici
x
2
x
6 0
D
b
2 4
ac
( 1 ) 2 4 .( 1 ).
6 25
x
1 , 2
b
2
a D
1 2 25
x
1 = – 3,
x
2 = 2
Na první pohled také vidíme, že kvadratická funkce
y
x
2
x
6 má v nějakém bodě maximum (koeficient u
x
2 je – 1); parabola, která je jejím grafem, se tedy „rozevírá směrem dolů“.
Obr. 9
Příklad č. 2: 0 , 5
x
x
1 , 5 0
x
R
Řešení:
Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici: 0 , 5
x
2
x
1 , 5 0
D
b
2 4
ac
( 1 ) 2 4 .
0 , 5 .
1 , 5 1 3 2 Diskriminant je záporné číslo, rovnice nemá v
R
řešení. Nejsme ve slepé uličce?
žádné
Graf kvadratické funkce
y
0 , 5
x
2
x
1 , 5 nemá s osou
x
žádné společné body, přitom tato funkce má v nějakém bodě minimum. Tyto dvě skutečnosti zachycuje obr. 10. A z něho lze vyčíst, že řešeními dané nerovnice jsou všechna
x
R
.
Obr. 10
Příklad č. 3: S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou
x
R
.
a) x
2 – 5
x +
6 0 b) 2
x
2 – 5
x
+ 2 < 0 c) – 2
x
2 + 6
x
– 9 0
d) x
2 – 2
x +
3 < 0