Transcript Analýza výsledků lineárního optimalizačního modelu

ANALÝZA VÝSLEDKŮ
LINEÁRNÍHO
OPTIMALIZAČNÍHO
MODELU
1
Obsah
•
•
•
•
•
•
•
•
Formulace modelu
Výpočet modelu
Optimální řešení
Alternativní řešení
Suboptimální řešení
Analýza citlivosti vzhledem k změnám cen
Analýza citlivosti vzhledem k změnám pravých stran
Změny formulace modelu - rozsahu modelu
2
Formulace (definice) modelu
• Proměnné - procesy (jednotky)
• Omezující podmínky - soustava
lineárních rovnic a nerovnic
• Kritérium - účelová funkce (lineární)
3
Optimální řezný plán
Z desek 5x7 je potřeba nařezat obdélníky 2x3 a čtverce 1x1.
Možné řezné plány:
A
B
C
Potřeba přířezů
Obdélníky
0
5
4
100
Čtverce
35
5
11
200
Kolik minimálně rozřezat desek?
4
Optimální řezný plán
Proměnné
x1, x2, x3 desky rozřezané podle řezného plánu A, B, C (počet
kusů)
Omezující podmínky
Minimální počet obdélníků (ks)
Minimální počet čtverců (ks)
Účelová funkce
Celkový počet rozřezaných desek  MIN
x1
0
35
1
x2
5
5
1
x3
4
11
1
x1, x2, x3
>=
>=
MIN
>=
(ks)
100
200
0
5
Simplexový algoritmus
• Podmínky algoritmu:
– b0
–=
– kanonická báze
•
•
•
•
Simplexová tabulka
Test optimality
Test přípustnosti
Nové bázické řešení - JEM
6
Jordanova eliminační metoda
• kanonická – jednotková báze
• změna báze – nahrazení jednoho bázického
vektoru druhým – Steinitziova věta o
výměně
• matice bázických vektorů B
• matice přechodu od báze k bázi B-1
7
Simplexový algoritmus
• Algoritmus končí nalezením optimálního
řešení,
• pokud není v bázi pomocná proměnná, je to optimální
přípustné řešení modelu,
• pokud pomocná proměnná v bázi zůstala a je
nenulová, neexistuje přípustné řešení problému,
• nebo zjištěním, že účelová funkce je
neomezená
• pokud nelze najít proměnnou pro vyřazení z báze.
8
Analýza výsledků řešení
Do modelu můžeme přidat další podmínku, rovnici
účelové funkce
x1 + x2 + x3 = z
a po úpravě
z - x1 - x2 - x3 = 0
z
0
0
1
x1
x2
0
5
35
5
-1
-1
x1, x2, x3
x3
4
11
1
>=
>=
>=
=
0
100
200
0
9
Analýza simplexové tabulky
Vliv proměnné x3 na
optimální řešení
x2
x1
z
Matice E
x1
0,00
1,00
0,00
x2
1,00
0,00
0,00
Inverzní matice
báze B-1
x3
d1
d2
p1
p2
b
0,80 -0,20 0,00 0,20 0,00 20,00
0,20 0,03 -0,03 -0,03 0,03 2,86
0,00 -0,17 -0,03 -9,83 -9,97 22,86
Hodnoty zj - cj
Hodnoty
bázických
proměnných
Hodnota
kritéria
10
Řešení modelu
• Optimální řešení
– bázické řešení s optimální hodnotou kritéria ve výsledné
simplexové tabulce
• Alternativní řešení
– každé další bázické i nebázické optimální řešení, lze
odvodit z výsledné simplexové tabulky
• Suboptimální řešení
– bázické i nebázické řešení problému s dostatečně dobrou
hodnotou kritéria, odvozuje se z výsledné simplexové
tabulky
11
Další řešení modelu
• Interval přípustných hodnot nebázické
proměnné xj
0 , m in
 ij 0
i
 ij
• Test přípustnosti
• Nové řešení bázické nebo nebázické
12
Optimální řezný plán
x2
x1
1,00
1,00
řezný plán A
řezný plán B
řezný plán C
x1
1,00
0,00
1,00
0,00
x2
1,00
1,00
0,00
0,00
x3
d1
d2
b
1,00 0,00 0,00
0,80 -0,20 0,00 20,00
0,20 0,03 -0,03 2,86
0,00 -0,17 -0,03 22,86
Optimální řešení
2,86 desek
20 desek
0 desek
13
Optimální řezný plán
x2
x1
1,00
1,00
x2
x3
1,00
1,00
řezný plán A
řezný plán B
řezný plán C
x1
1,00
0,00
1,00
0,00
-4,00
5,00
0,00
x2
1,00
1,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
x3
1,00
0,80
0,20
0,00
0,00
1,00
0,00
Optimální řešení
2,86 desek
20 desek
0 desek
d1
0,00
-0,20
0,03
-0,17
-0,31
0,14
-0,17
d2
0,00
0,00
-0,03
-0,03
0,11
-0,14
-0,03
b
20,00
2,86
22,86
8,57
14,29
22,86
Alternativa
0 desek
8,57 desek
14,29 desek
14
Optimální řezný plán
x2
x1
1,00
1,00
x1
1,00
0,00
1,00
0,00
x2
1,00
1,00
0,00
0,00
x3
d1
d2
b
1,00 0,00 0,00
0,80 -0,20 0,00 20,00
0,20 0,03 -0,03 2,86
0,00 -0,17 -0,03 22,86
Suboptimální řešení
první řezný plán
2,86 - 0,03 d1
druhý řezný plán
20 + 0,2 d1
překročení obdélníků z intervalu 0, 95.3
15
Analýza citlivosti vzhledem k
změnám vstupních dat
• Analýza citlivosti vzhledem k změnám cen
• Analýza citlivosti vzhledem k změnám
hodnot pravých stran
• Analýza citlivosti vzhledem k změnám
koeficientů v omezujících podmínkách
16
Analýza citlivosti vzhledem k
změnám cen
• Změnu sledované ceny cj vyjádříme jako
cj + 
• Přepočítáme kriteriální řádek a získáme
hodnoty s parametrem 
• Test optimality - soustava lineárních nerovnic s
parametrem 
• Interval stability - nemění se báze řešení ani
hodnoty proměnných, mění se hodnota kritéria
17
Optimální řezný plán
x2
x1
1,00
1,00
x1
1,00
0,00
1,00
0,00
x2
1,00
1,00
0,00
0,00
x3
d1
d2
b
1,00 0,00 0,00
0,80 -0,20 0,00 20,00
0,20 0,03 -0,03 2,86
0,00 -0,17 -0,03 22,86
18
Analýza citlivosti vzhledem k
změnám hodnot pravých stran
• Změnu sledované pravé strany bi vyjádříme jako
bi + 
• Přepočítáme vektor pravých stran a získáme
hodnoty s parametrem 
• Test přípustnosti - soustava lineárních nerovnic s
parametrem 
• Interval stability - nemění se báze řešení, mění
se hodnoty proměnných a hodnota kritéria
19
Přepočet pravých stran
• Řešení soustavy lineárních rovnic pomocí
JEM
– Ax = b
– báze B
– x = B-1Ax = B-1b
• Parametrizovaný vektor pravých stran
– b + µ bude přepočítán B-1(b + µ)
20
Optimální řezný plán
p1
p2
10
10
p1
x1
10
1
x2
x1
1
1
x1
x2
x3
d1
1,00
1,00
1,00
0,00
0,00
5,00
4,00
-1,00
35,00 5,00 11,00
0,00
349,00 99,00 149,00 -10,00
0,00
5,00
4,00
-1,00
1,00
0,14
0,31
0,00
0,00 49,14 39,31 -10,00
0,00
1,00
0,80
-0,20
1,00
0,00
0,20
0,03
0,00
0,00
0,00
-0,17
d2
0,00
0,00
-1,00
-10,00
0,00
-0,03
-0,03
0,00
-0,03
-0,03
b
100,00
200,00
3000,00
100,00
5,71
1005,71
20,00
2,86
22,86
21
Analýza citlivosti vzhledem k
změnám koeficientů v
omezujících podmínkách
• Změna koeficientu bázické proměnné - tvoří
nový vektor s ostatními bázickými vektory
opět bázi?
– Nejlépe přidat nový vektor, novou proměnnou
• Změna koeficientu nebázické proměnné
– Přepočítat vektor pomocí B-1, test optimality a
případně další výpočet
22
Změny formulace modelu rozsahu modelu
•
•
•
•
Přidání podmínky
Vynechání podmínky
Přidání proměnné
Vynechání proměnné (bázická, nebázická)
23