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趣味數學 參考書目 • Rob Eastaway(2009)， 幾隻襪子湊一雙？：臉譜，城邦文化出版。 • Rob Eastaway and Jeremy Wyndham(2008)， 一條線有多長？：臉譜，城邦文化出版。 • Rob Eastaway and Jeremy Wyndham(2008)， 為什麼公車一次來三班？：臉譜，城邦文化出版。 • Theoni Pappas(2003)， 原來數學這麼有趣：世茂出版社。 鏡子 想像某天清晨，你在浴室裡剛刷完牙，正看著鏡 中的自己。從你僅靠著洗臉槽的站立位置，你應該 可以看到你的上半身——假設你在鏡中所能看見的 最低點只到達你的肚臍。 現在開始你往後退，離開鏡子，當你後退時， 你能看到？ (1)較少的你 (2)同樣多的你 (3)較多的你 生日問題 全班有50位同學，來自於四面八方。在老師核 對資料時，老師發現：「有人同一天生日！—— 不需要同年，只要同月同日出生即可。」 大家都知道一年有365天，那麼對於全班同 學有人同月同日生的巧合，你的直覺做何反應？ (1)一點也不訝異，你認為有人在同一天生日幾乎是必然的。 (2)覺得應該有約50-50的機會。 (3)你非常訝異！十次有一次就差不多了。 (4)你覺得這種機會跟中樂透一樣低。 364 • 任意2人不同日生的機率＝ 365 365365 364 1 0.2% 有人同天生日的機率＝ 1 365 365365 365 364363 • 任意3人均不同日生的機率＝ 365 365365365 364363 0.8% 有人同天生日的機率＝ 1 365 365365365 364363 316 • 任意50人均不同日生的機率＝ 365 365365365 365 364363 316 97% 有人同天生日的機率＝ 1 365 365365365 365 足球場 某足球隊贏得聯賽冠軍，俱樂部決定為球隊舉辦歡迎儀式。 球場管理員靈機一動，買了一些彩旗和一條旗繩沿著球場邊線 拉起。想法是讓球員從觀眾席中央的更衣室跑出來，走過旗繩 底下，踏上球場。足球場長100公尺，而球場管理員買的旗繩長 為101公尺。 目睹他的作法的經理提出質疑：「你的旗繩只寬鬆1公尺阿！假 如你從中間舉高旗繩，地下會有足夠的空間讓球員穿過去嗎？」 (1)管理員瘋了！旗繩太緊了。 球員幾乎不可能從繩子下幾過去。 (2)球員要蹲的很低才能從繩子底下過去。 (3)經理錯怪管理員，大部分的球員都能輕易的過去。 • 利用畢氏定理，高度約7公尺。 所以當時遊覽車都能輕鬆開過去！！ 熊 • 一個人離開了他的帳棚，他往南走1公里，然後他 往東1公里，接著往北走1公里。 讓他驚訝的是，他已經走回他的帳棚，而這時候 他看見一隻熊，請問這隻熊是什麼顏色的？ Ans：白色 熊—PART2 • 同一時間，另一個人（在別處紮營）走出他的帳 棚，往北直直走了10公里。然後他坐下來喝一杯 茶。喝完茶之後，他又往北直直走了10公里。讓 他驚訝的是他發覺自己一樣回到了他的帳棚。請 問他可能看到熊嗎？ • Ans：不一定（地球暖化嚴重，請救救北極熊） 燃燒的細繩 你有一段細繩，別人告訴你如果從繩子一端點火 燃燒，燒完整條繩子剛好是一小時。如果你需要準 確測出三十分鐘，手邊沒有手錶，只有這條細繩和 一支打火機。基本上，很容易，只要將細繩對折， 然後燃燒半段細繩得時間有多長，不是嗎？ 這裡有個陷阱：這條繩子粗細非常不均，有些 地方細，有些地方粗，所以每段燃燒的速率不同。 你知道前半段粗繩要五十五分鐘才能燒完，而後半 段卻只需要五分鐘。似乎無法準確的測量出三十分 鐘，但確實有個解決方式。你能找出來嗎？ Ans：兩邊同時點火，燒完剛好30分鐘 燃燒的細繩—PART2 有兩條不均勻分佈的繩子,每條繩子燒完的時間是 一個小時,你能用什麼方法來確定一段15分鐘的時間。 Ans：一條繩子兩邊同時點火，燒完剛好30分鐘。另 一條先點一邊，當第一條燒完時，還剩30分鐘，這 時在另一端也點火，就是15分鐘了！ 鐵匠問題 某鐵匠有一條鏈子，斷成相等的五段，每段有三個 環；現在要將這條鏈子修好。 在做滬件事之前，鐵匠想了一下，必須鑿開幾個環， 才能接好？ Ans：3個。（把一個鍊子全部拆開） 鐘面問題 把圖裡的鐘面分割成任意形狀的六塊，使每一塊裡 所有數字的和都相等。 挑戰題1 在房裡有三盞燈,房外有三個開關,在房外看不 見房內的情況,你只能進門一次,你用什麼方法來區 分那個開關控制那一盞燈。 Ans：應該是利用燈泡的冷暖，先開一個幾分鐘，然後關掉， 開第二個，然後進去，就知道現在的是那個了，然後摸一下 燈泡，就知道剛才開的是那個了。 挑戰題2 在一個3×3方陣上有九個點，如何利用四條連續 直線段把他們連接起來？（使用鉛筆不能離開紙張， 且經過路徑不能折回） 挑戰題3 在一個4×4方陣上有十六個點，如何利用六條連 續直線段把他們連接起來？（使用鉛筆不能離開紙 張，且經過路徑不能折回） 挑戰題4 西洋棋盤是8x8的方形格，總計有64個方格，假設 你把棋盤的對角兩個黑格切除，如本圖所示： 現在你拿到三十一塊骨牌，每 塊的大小都等於淇盤中兩格相 連的尺寸。把骨牌排在棋盤上， 總共可以蓋滿六十二個方格， 而且就剛好是上圖棋盤所保留 的方格數量。 問題：你能不能想出辦法， 用這三十一塊骨牌把棋盤 上的方格全部蓋住？」 Ans：不可能！ 檢視兩角殘缺的棋盤，被切除的棋格都是黑格， 這就表示你希望覆蓋的圖案，是由三十二塊白格 和三十塊黑格所構成。 現在想像你正拿著一塊骨牌，蓋住棋盤上的任意 兩個方格。你始終都是蓋住一個黑和一個白。所 以絕對不可能用手中的骨牌，蓋掉最後那兩個方 格。 爸爸在哪裡 • 一個婦人比兒子大二十一歲。六年後，他的年齡 將是兒子的五倍。孩子的爸爸現在在哪裡？ Ans：在媽媽旁邊 設媽媽現在的年齡M歲；兒子S歲 媽媽比兒子多21歲：M＝S＋21 6年後年齡是5倍：（M＋6）＝（S＋6）× 5 S＋27＝5S＋30 → 4S＝－3 → S＝－3/4（年）＝－9個月 所以爸爸在媽媽旁邊 免費買戒指，還到賺一百萬 一位女士在珠寶電話一百萬買了一只戒指，他才剛要離開 商店，卻停住腳步回到櫃臺。 女士：我不喜歡這只戒指，我能不能換夠那只兩百萬的？ 珠寶商：當然可以了，請再給我一百萬！ 女士：對不起，不過我沒欠你錢！ 我剛剛才拿一百萬給你，除此之外又把價值 一百萬的戒指拿給你，等於總共給你兩百萬。 於是她緊抓價值兩百萬的戒指衝出珠寶店，留下珠寶商 在店中推敲，懷疑自己哪裡搞錯了。 珠寶商： 拿出100萬戒指+拿出200萬戒指 女士： 拿出100萬現金+還回100萬戒指 顯然，女士賺了100萬！ 買賣問題 • 一個人花8塊錢買了一隻雞，9塊錢賣掉了，然後 他覺得不划算，花10塊錢又買回來了，11塊錢賣 給另外一個人了。 請問他最後的收益是多少？ （你覺得他賺了多少錢？） Ans：賺2元 買：8元+10元 賣：9元+11元 賺了2元 誰少給了小費 餐廳裡有三位男士拿到帳單，總額為二十五鎊。 他們付給服務生三張十鎊鈔票，服務生找回五鎊 零錢，三位先生各拿走一鎊，留下兩鎊的小費。 這時三位先生分別支付九鎊，總共為二十七鎊， 服務生得到兩鎊小費。27+2＝29鎊，不過他們總 共給服務生三十鎊，所以少了一鎊，誰騙了誰？ Ans：我騙了你！！ 餐費25鎊+小費2鎊＝支付27鎊 支付的30鎊 ＝餐費25鎊+小費2鎊+3人各拿1鎊 只是27+2＝29接近30，轉移注意力罷了！ 預言嬰兒性別的神棍 某份廣告傳單內容如下： 判定寶寶的性別 妳是否希望知道肚子的寶寶是男是女，卻不喜歡 用聲波打入妳的子宮？我們採用完全非侵入方法， 只以人工觸診就可以斷定妳的寶寶性別，價格只收 一萬元！萬一我們弄錯了，你不只能全額退費，還 能多領五千元的賠償金，打電話給xxx，號碼是…….. 完全沒有根據的情況下， 猜對和猜錯的機率各半， 猜對此人可賺10000元， 猜錯此人會賠 5000元 （別忘了已經先收10000元） 所以，他不需要任何能力，就會賺錢！ E-mail詐欺術 某天小明打開信箱發現一封感興趣的垃圾郵件， 郵件主旨：NBA驚人預測結果，內容如下 親愛的NBA球迷： 我們知道你一定心存質疑，不過我們設計出一套神準的公 式，能預測比賽結果，今天下午湖人對公牛，我們預測公牛獲 勝，我們建議你先不要下注，不過或許你會有興趣下午的比賽 結果。 NBA神算中心 結果小明不以為意，下午看了比賽結果，結果真的是公牛獲勝。 E-mail詐欺術 兩天後小明打開信箱，又收到一封信， 郵件主旨：NBA驚人預測結果，內容如下 親愛的NBA球迷： 記不記得我們上次的正確預測公牛獲勝？今天馬刺對上小 牛，我們公式預測小牛會獲勝，我們強烈建議你先不要下注， 不過請密切關注比賽結果，我們是否預測正確。 NBA神算中心 結果小明稍加關注，看了比賽結果，結果真的是小牛獲勝。 幾天之後，又來了一封信，預測不被看好的山貓獲勝，果真又 正確預測。 再過兩天後，又來一封信，說快艇會擊敗熱火，小明趕緊告訴 他的朋友，一起密切關注比賽實況，最後果真快艇又逆轉獲勝， 公式得到正確預測！ E-mail詐欺術 隔天又寄來一封電子郵件， 郵件主旨：NBA驚人預測結果，內容如下 親愛的NBA球迷： 你已經目睹我們的神算公式，你信服了嗎？我們預測五次， 中了五次，你一定同意，這已經違反常態機率，特別是獲勝隊 伍不一定勝算較高的隊伍。我們提供特別優待，你有機會試用 我們的比賽預測服務，訂閱一個月，只收一萬元。你把兩支隊 伍名稱寄給我們，我就把預測結果寄給你，期望收到你的訂單。 NBA神算中心 一萬元有點貴，但如果能正確預測，就能從彩券中賺回來！ 小明一副躍躍欲試的樣子，這是騙局嗎？ • 其實，小明的同學小華也收到相同的電子郵件，只是在快 艇對熱火時，預測熱火贏，至此後也就沒在收到這個郵件。 • 方法很簡單，這個發件著將所有的信箱，如：100000個信 箱群組發送郵件，每一場預測都一半猜A贏，一半猜B贏， 到了下一場，預測正確的50000名繼續發出類似的郵件， 五場後，完全正確的仍有3125名，所以只要其中有些人相 信，那就可一大撈一筆了！ 金字塔傳銷（老鼠會） 這是危害最大也最成功的騙術～ 這個系統極為簡單： 要花10000元才能加入，不過這個10000元是「投資」不是 「支出」，接著他就可以找人成為他的下線，成為他的下線有 個條件，就是要在他身上投資「10000元」，一旦他名下有八的 下線，他就可以離開這個系統。 這個時候，他已經有8位贊助人，每人各給他10000元，所 以他得到80000元，但是他一開始加入體係投資了10000元，所 以他淨賺70000元。 • 就數學而言，這個體系不可能讓所有人都 賺錢！ 金字塔傳銷的受害國 • 一九九六年的阿爾巴尼亞(Albania)，就差點毀在這個體 系裡，我們稱這套系統為「斯芬克斯投資體系」，簡述如 下： 斯芬克斯推出的驚人方案，會慫恿你投資10000元。 他們每年會根據投資的金額支付25％的利率，換句話說， 只要你保持投資10000元，每年都可以提領2500元。這表 示四年之內就可以讓金額加倍。 當時斯芬克斯的推出此方案時，在他的銀行裡沒有絲 毫的存款，他只想利用你的錢來支付利息！只要利用夠優 惠，就可以持續有新的投資人。 金字塔傳銷的受害國 頭一年，有一千人因為可以賺2500元的利息，受吸引 決定加入斯芬克斯系統，並存入了10000元。不過他還是 必需支付利息共，2,500,000元。斯芬克斯自己給自己10 ％的佣金1,000,000元。因此銀行內還有6,500,000元。 新投資人數 新投資人數 存入金額 年終支付的 利息(25%) 斯芬克斯的 佣金(10%) 斯芬克斯銀 行的餘額 1000 10,000,000 2,500,000 1,000,000 6,500,000 隔年又有一千人加入 新投資人數 新投資人數 前一年餘額 年終支付的 斯芬克斯的 斯芬克斯銀 存入金額 利息(25%) 佣金(10%) 行的餘額 1000 10,000,000 6,500,000 5,000,000 1,000,000 10,500,000 金字塔傳銷的受害國 若是每年都增加1000人投資，就會出現下列的現象： 年度 利率 投資 新投資人 人數 存入金額 至金存入 總金額 年終支付 的利息 斯芬克斯 佣金10% 斯芬克斯銀行 餘額 1 25% 1000 10,000,000 10,000,000 2,500,000 1,000,000 6,500,000 2 25% 1000 10,000,000 20,000,000 5,000,000 1,000,000 10,500,000 3 25% 1000 10,000,000 30,000,000 7,500,000 1,000,000 12,000,000 4 25% 1000 10,000,000 40,000,000 10,000,000 1,000,000 11,000,000 5 25% 1000 10,000,000 50,000,000 12,500,000 1,000,000 7,500,000 6 25% 1000 10,000,000 60,000,000 15,000,000 1,000,000 1,500,000 7 25% 1000 10,000,000 70,000,000 17,500,000 1,000,000 -7,000,000 第七年便無法付出利息來了! 金字塔傳銷的受害國 這套金字塔系統就如同其他老鼠會一樣，少數人已從 中獲利，那就是最早加入，並散布消息推廣的人。事實上 第一年加入的，到了第六年已經賺了15,000的利息。因此 損失存款也賺了5,000元。不過，大多數的人都是損失的。 當然如果新增投資人成長，這套體系便不會崩盤，但 投資人不可能無限制的成長。 發生斯芬克斯現象的阿爾巴尼亞，當時情形更糟。由 於政府也上當，並推廣這套體系，所以到最後都是詐取窮 人的錢財，最後該體系利率提高到高的荒唐，以增加新投 資人，加速崩盤。 火車謎題 有一個關於火車的古老例子。話說兩列火車 在同一軌道上，各以時速50公里迎頭對開。 當兩列火車相距100公里時，一隻總是以時速 60公里飛行的蒼蠅從火車A前頭出發筆直的飛向火 車B。當他飛到火車B後隨即回轉，直線地朝火車A 飛去。就這樣持續在兩列火車間飛來飛去，直到 兩列火車對撞，蒼蠅也在過程中被壓死。 請問蒼蠅在這兩列車間共飛了多遠？ Ans: 60公里 火車時速50公里，距離100公里。 所以在一小時後，兩列火車會對撞。 蒼蠅在這一小時都在做什麼？ 以60公里的時速飛來飛去。 所以蒼蠅總共飛了一小時，時速60公里， 共飛60公里。 淘汰賽 有六十四人參加溫布敦網球錦標賽。每一場 賽事會有一個人淘汰另一個人，直到剩下參加決 賽的兩人，決賽獲勝者可以贏得冠軍。請問整個 賽事下來，需要多少場比賽？ Ans：63場 每一場比賽就有一個人淘汰， 要選出冠軍需要淘汰 63人 所以需要63場比賽。 巧克力塊 有這些看來和巧克力塊問題一點關係也沒有。假設你 有一分隔成二十小塊的超大巧克力片，如圖所示： 說來真巧，你正好有十九個想和他們分享這片巧克力 的朋友。因此，你決定沿著巧克力塊上面的水平和垂直凹 線，將巧克力「掰開」成一個個小塊。每一次掰開都只能 選定一塊方形巧克力，沿著一條凹線，將它一分為二。不 能兩塊或多塊「相疊」一起折斷，避免造成不平整的缺口。 問題是，要將這一大片巧克力掰開成二十個單一小方 塊，怎麼做最有效率？而用這種方法，總共需要掰幾次？ Ans：19次 然而，經過證明，這樣的「策略」是多餘的。因為不管你 用什麼方法，總是需要掰正好十九次，才能得到二十個單 一小塊。 為什麼呢？ 因為每掰一次就多出一塊巧克力。 剛開始，你有一塊（非常大的）巧克力，而最後你有二十 塊。這意味著不管你用什麼方式，一定需要掰十九次來產 生這些小塊。一要掰開的次數，永遠比你最終所要的小塊 數字少1。 螞蟻謎題 有一種特別習性的螞蟻。牠們總是走直線，以每分鐘1公 尺的恆速前進。一旦碰到其他螞蟻，牠們會馬上調頭往回 走。最後，牠們走到一個表面的邊緣，會掉下去。 有一百隻這種螞蟻，被灑在一公尺長的直尺邊緣。一些螞 蟻往左，一些往右，但這是完全隨機的。這把尺窄到無法 容兩隻螞蟻擦身而過，所以當兩隻螞蟻相遇時，牠們就會 調頭。而當牠們走到尺的末端，會從末端掉下去。 問題：「所有」螞蟻都從尺的末端掉下去時，需多久時間？ Ans：一分鐘 仔細想想兩隻螞蟻相撞時，會發生什麼情況。 就在相撞前的瞬間，其中一隻螞蟻正以每分鐘1公尺的速 度往右行走，另一隻以同樣的速度往左前進。相撞後（兩 隻螞蟻都調頭時），依然是兩隻螞蟻以同樣的速度，交換 彼此的路線前進。(交換彼此的靈魂，代替對方前進) 換言之，只要讓你的視線朦朧一下，沒有任何改變。意即 以數學意義來看。兩隻螞蟻相撞如同兩隻螞蟻錯身而過。 我們或許可以把問題視為一百隻螞蟻各有各的軌道，往左 或往右行走，永遠不會撞到任何東西。 一隻螞蟻所能行走的最長距離是尺的全長，也就是1公尺， 所以所有螞蟻都從尺上面掉下去所需等待的最長時間， 就是一分鐘。 無限問題1 —旅館 你一輩子都不可能遇到的一家旅館。這家旅館有 無限多房間。有一天旅館碰巧全客滿了。所有房 間，包括房號1、2、3、4……，一直到你想得到 的任何數字的房間，都有人入住。 就在這個時候，一個客人來敲門說要住房。經理 想了一下。「沒問題!」他說道：「雖然所有房間 都滿了，我還是會找出一間房間給你。」 經理怎麼做呢？ 他傳遞了一個訊息給所有房客，要求每個人搬往 比他們現在所住的房號正好多一號的房間。 這是可能的，因為一間無限旅館中有任何你想得 到的房間號碼，總會還有一個多一號的房間。 結果現在每間房間又滿了，除了房間1之外，這位 新房客登記入住這個房間。 無限問題2—公車 隔天，更不尋常的事發生了。一輛滿載無限乘客 的公車來到旅館前面。 令人訝異地，經理的眼皮連眨都不眨一下。「我 會為你們所有人整理出房間。」他說道。 經理又是怎麼做呢？ 他再次傳了一個訊息給他的房客們（這次可能引 起一些不滿），要求每個人搬往他們現在所住的 房號兩倍數的房間。 每個數字都有它的兩倍數，所以每個人都可以搬 到另一個房間。 遊戲1 9個記上1到9的數字的籌碼放在桌上，兩個玩家可 任意從桌上拿走1個籌碼，勝利者是第一個獲得在 他的籌碼中有3個的和為15的人。 這個遊戲有技巧嗎？ Ans：三階魔方陣 遊戲2 你有8枚便士，7枚一樣重、1枚比較輕， 你有1個秤，你要如何在3次機會中找出那 個最輕的？ Ans：先左右各放四枚，輕的必定在上升那邊， 再從輕的四個中，左右各放兩枚，最後再把輕的 兩枚比較重量。 遊戲3 兩個玩家輪流喊1、2、3、4、5之中的任一數字。 誰先喊出一個數字使得之前所喊所有數字總和為 31，他就贏了。假如你先喊的話，你要喊多少最 有利？ Ans：1 之後每次都取與對手所取之數和為6的數。 撒旦的帽子謎題 一個殘忍的獨裁者撒旦。一天晚上， 他集合一百位囚犯，對他們宣示， 隔天他打算處決他們其中一些人。 「我會讓你們排成一列， 然後把每個人埋進土裡，只露出頭來，每個人面向前面， 所以最後面的囚犯能看見其他九十九位囚犯，而最前面的 囚犯看不見任何人。接下來，我會走到每個人後面，拿頂 帽子戴在你們頭上，帽子不是白色就是黑色。你看不見自 已所戴的帽子顏色，等所有人都有了自己的帽子，我會從 隊伍後面開始問起，每個囚犯說出一種顏色，黑或白。如 果你說的顏色正好是自己頂上帽子的顏色，你就免於一死： 如果不是的話一碰一去死吧！」 怎樣能救出最多的囚犯呢？ 一百位囚犯中有九十九位會獲救，甚至第一百位 也有50-50的存活機會。 規則一： 每個囚犯注視在他前面的一整列囚犯，數清楚他看 到的 白帽有幾頂。如果他能看到的白帽數量是「偶」數，就說 自己的帽子是「黑色」。如果他看到的是「奇」數，就大 聲說「白色」。 規則二： 從後面開始，每個囚犯必須大聲喊出此刻心中所想自己帽 子的顏色，要夠響亮，讓排在前面的囚犯都能聽見。 規則三： 每次當囚犯聽見他後面的囚犯中有人喊「白色」時，轉變 現在心裡所想的顏色（亦即被分類為「黑色」的囚犯，第 一次聽到喊出「白色」時轉變成「白色」 。第二次變為 「黑色」依此類推）。 舉例說明： 根據規則一，每個囚犯一開始數出他能看見的前面 的白帽數量。最後面的囚犯（圖片最左邊）能看到的白帽 數量（2）是偶數，所以他喊出自己是「黑色」。最後第 二位囚犯能看到的是奇數，說自己是「白色」 。依此類 推。在沒有任何囚犯大聲喊出之前，他們設想他們的顏色 如左圖。 現在他們開始宣告自己的顏色。最左邊的囚犯大聲喊 出「黑色」。不幸地，他因而陣亡。現在第二位喊出「白 色，得救了一聽到喊出「白色」時，其他每個囚犯都轉變 顏色（根據規則三），如右圖。最後除了最後那位囚犯喊 出的顏色不幸與他戴的帽子不符，其他人都得救了。 迴文 悠悠綠水傍林偎，日落觀山四望回， 幽林古寺孤明月，冷井寒泉碧映台。 台映碧泉寒井冷，月明孤寺古林幽， 回望四山觀落日，偎林傍水綠悠悠。 蘇軾的《題織錦圖》： 春晚落花餘碧草，夜涼低月半梧桐， 人隨雁遠邊城暮，雨映疏簾繡閣空。 空閣繡簾疏映雨，暮城邊遠雁隨人， 桐梧半月低涼夜，草碧餘花落晚春。 常見的迴文字 MILK KLIM GOD DOG madam 我為人人，人人為我 爸爸愛我，我愛爸爸 開車不喝酒，喝酒不開車 Are you who you are? 你是表裡如一的人嗎? Was it a cat I saw? 我看到的是一隻貓嗎? 數學迴文 1×1＝1 11×11＝121 111×111＝12321 1111×1111＝1234321 11111×11111＝123454321 11＝11 112＝121 113＝1331 114＝14641 創造迴文 幾乎任何數字都可以轉變成迴文。以數字142為例。 142加上反數241，142十241＝383，一個迴文數。 例如： 59＋95＝154 154＋451＝605 605＋506＝1111 神奇的1089 332＝1089 1089×1＝1089 1089×9＝9801 1089×2＝2178 1089×8＝8712 1089×3＝3267 1089×7＝7623 1089×4＝4536 1089×6＝6354 1089×5＝5445 神奇的1089 拿任何三位數為例，如478， 反轉成另一個數字，然後以兩個數字中較大的數 字減去較小的數字： 874- 478 =396。 現在再將這個數字加上它的反數： 396 + 693， 得到的答案是1089。結果是，1089幾乎適用於你 選擇的任何一個三位數（試試看吧！ ）。 神奇的142857 1/7＝0.142857，神奇的142857 1×142857＝142857 142＋857＝999 2×142857＝285714 285＋714＝999 3×142857＝428571 4×142857＝571428 5×142857＝714285 6×142857＝857142 神奇的142857 數字142857還有更神祕的地方。以它去乘你喜歡 的任何三位數，如649 ： 142857 X 649 = 92 714 193 將答案從右邊開始，每隔三個數字拆開，再把這 些新的數字加在一起： 92+ 714+193 =999 這個範例的答案是999，而且其實大多數的答案都 會是999。如果你運氣不好，它會是999 X 2=1998。