Transcript µ - web page for staff

ENE 206 MATLAB Laboratory
Lab 3: การใช้ MATLAB สาหรับการสร้ างแบบจาลองเพื่อ
วิเคราะห์ (ต่อ)
โจทย์ปัญหาการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีเอกซ์
ในตัวกลางที่มีคา่ สัมประสิทธิ์ไม่คงที่
พิจารณาระบบรังสีเอกซ์ (X-ray) ผ่านตัวกลางที่มีคา่ การลดทอนรังสีไม่คงที่
ตัวกลางหนึง่ ซึง่ ตัวกลางดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็ นเมตริกซ์ที่มีคา่ การ
ลดทอนคงที่ได้ ดงั รูป
µ1 µ2 µ3 µ4
0.2I
0
I0
µ5 µ6 µ7 µ8
µ9 µ10 µ11 µ12
µ13 µ14 µ15 µ16
0.3I0
0.4I0
0.1I0
ในการหาค่าการลดทอนดังกล่าว กระทาได้ โดยการทดลองผ่านกลุม่ ของ
รังสีเอกซ์ขาเข้ าในทิศทางต่าง ๆ แล้ ววัดค่าความเข้ มของกลุม่ รังสีเอกซ์ขา
ออกภายหลังตัวกลางในทิศทางนัน้ ๆ เทียบกับความเข้ มรังสีตงต้
ั้ น
หลักการของรังสีเอกซ์
ก่อนการคานวณหาค่าการลดทอนที่ซบั ซ้ อนดังกล่าว จึงจาเป็ นต้ องทราบ
หลักการลดทอนของรังสีเอกซ์เบื ้องต้ นก่อน ซึง่ การลดทอนของรังสีเอกซ์จะ
เป็ นไปในแบบเอกซ์โพเนนเชียล กล่าวคือ หากผ่านรังสีเอกซ์ที่มีความเข้ ม
ตังต้
้ น I0 ผ่านตัวกลางที่มีความยาวเท่ากับ x และค่าการลดทอนคงที่
เท่ากับ µ รังสีเอกซ์ขาออกที่เหลือจะมีคา่ เท่ากับ I0e–µx ตามรูป
I0
µ
←x→
0.2I0 = I0e–µx
หลักการของรังสีเอกซ์ (ต่อ)
ดังนันในกรณี
้
ทวั่ ๆ ไปที่รังสีเอกซ์ผ่านตัวกลางที่มีคา่ การลดทอนคงที่มากกว่าหนึง่ ค่า
และมีความยาวในช่วงการลดทอนต่าง ๆ ดังรูปข้ างล่าง
I0
µ1
µ2
µ3
µ4
0.2I0
← x1 →← x2 →← x3 →← x4 →
จะได้ วา่ ค่ารังสีเอกซ์ขาออกที่เป็ นผลลัพธ์จากการผ่านตัวกลางดังกล่าวมีคา่ เท่ากับ
0.2I0 = I0e–(µ1·x1 + µ2·x2 + µ3·x3 + µ4·x4)
เพื่อให้ ง่ายต่อการคานวณ กาหนดให้ คา่ ความยาวของตัวกลางแต่ละช่วงมีคา่ เท่า ๆ
กัน x ดังนันสมการดั
้
งกล่าวจะลดรูปเป็ น
0.2I0 = I0e–(µ1 + µ2 + µ3 + µ4) · x
ประยุกต์หาความสัมพันธ์ของค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน
ของรังสีเอกซ์
ดังนันสมมติ
้
ให้ ตวั กลางมีคา่ การลดทอนแบ่ง
µ1 µ2
เป็ น 16 ช่วงเท่า ๆ กันเป็ นเมตริกซ์ดงั รูปด้ านขวา µ µ
5
6
I
และได้ ทาการทดลองวัดค่าความเข้ มของ
µ9 µ10
µ13 µ14
กลุม่ รังสีเอกซ์ขาออกที่ทิศทางต่าง ๆ ตามรูป
จะได้ ความสัมพันธ์รังสีเอกซ์ขาเข้ าและขาออก 0.4I 0.5I
เป็ น
0.2 I 0  I 0 e          x
I0
µ3
µ7
µ11
µ15
0
0
1
2
3
4
0.3I 0  I 0 e  5  6  7  8 x
0.4 I 0  I 0 e  9  10  11  12 x

0.4 I 0  I 0 e  1  5  9  13 x
0
µ4
µ8
µ12
µ16
0.1I0 0.3I0
0.2I0
0.3I0
0.4I0
0.1I0
ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์
จัดรูปสมการใหม่จะได้
 ln 0.2  1   2  3   4 x
 ln 0.3  5   6   7  8 x
 ln 0.4  9  10  11  12 x

 ln 0.4  1   5  9  13 x
 ln 0.2
1
  ln 0.3
0



 ln 0.4  x 0



  

 ln 0.4
1
1 1 1 0 0 0 0  0  1 
0 0 0 1 1 1 1  0   2 
0 0 0 0 0 0 0     3 
 
           
0 0 0 1 0 0 0  0  16 
ความสัมพันธ์ในรูปแบบเมตริกซ์ (ต่อ)
เห็นได้ วา่ ในกรณีทวั่ ๆ ไปที่ตวั กลางมีความยาวแต่ละช่วงไม่คงที่ สมการเมตริ กซ์
จะเป็ นดังนี ้
 ln 0.2 a
  ln 0.3 0

 
 ln 0.4  0

 


 
 ln 0.4 u
b

b c d
0
0
0
0 0 0
e
f
g
0 0 0 0
   
0

0

0 0 0 v
0
0
A
0  0  1 
h  0   2 
0     3 
 
     
0  0  16 
μ
ดังนัน้ โดยหลักการค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนทัง้ 16 ค่า สามารถหาได้ จากการ
แก้ สมการเมตริ กซ์ดงั กล่าว
การแก้ สมการเมตริกซ์
การแก้ สมการเมตริ กซ์ที่กล่าวมาแล้ วสามารถกระทาได้ หลายรูปแบบ วิธีที่ง่าย
ที่สดุ คือการหาค่าจากวิธี Inverse method โดย
µ = A-1b
อย่างไรก็ดี วิธีดงั กล่าวมีข้อจากัดของการหา inverse ของเมตริ กซ์ A ซึง่ โดยปกติ
rank(A) จาเป็ นต้ องมีคา่ เท่ากับจานวนตัวแปรของเวคเตอร์ µ
จะเห็นได้ วา่ วิธีดงั กล่าวอาจไม่สามารถใช้ ได้ ในทางปฏิบตั ิ ดังที่โจทย์ปัญหา
ตัวอย่างที่ตงขึ
ั ้ ้น เนื่องจากมีรังสีเอกซ์ที่ทาการทดลองเพียง 8 เส้ นรังสี ทาให้ ได้
เพียงแค่ 8 สมการความสัมพันธ์ หรื อ rank(A) < 16
การแก้ ปัญหาดังกล่าวจึงต้ องการอัลกอริ ทมึ ที่แก้ ปัญหาสมการเมตริ กซ์แบบ
underdetermined
เทคนิคการสร้ างข้ อมูลคืนทางพีชคณิต (Algebraic
Reconstruction Technique: ART)
เป็ นเทคนิคที่ถกู นามาใช้ ในการคานวณ
ระบบสมการเมตริกซ์แบบ underdetermined
ของโจทย์ปัญหารังสีเอกซ์ดงั กล่าวด้ วยวิธีวนซ ้า I
(iterative algorithm)
I0
0
µ1 µ2 µ3 µ4
µ5 µ6 µ7 µ8
µ9 µ10 µ11 µ12
µ13 µ14 µ15 µ16
0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0
 ln 0.2
1
  ln 0.3
0



 ln 0.4  x 0







 ln 0.4
1
1 1 1 0 0 0 0  0  1 
0 0 0 1 1 1 1  0   2 
0 0 0 0 0 0 0     3 
 
           
0 0 0 1 0 0 0  0  16 
0.2I0
0.3I0
0.4I0
0.1I0
หลักการวนซ ้าเพื่อปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน
หลักการวนซ ้าสาหรับการหาค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน จะสมมติคา่
สัมประสิทธิ์ทงหมดเป็
ั้
นค่าตังต้
้ น จากนันจะมี
้ กระบวนการในการปรับปรุง
ค่าสัมประสิทธิ์ทงหมดตามข้
ั้
อมูลรังสีเอกซ์ทกุ ทิศทางไปเรื่ อย ๆ โดยในการ
ปรับปรุงแต่ละรอบจะสามารถคานวณความเข้ มของรังสีเอกซ์ขาออก
ทังหมดเพื
้
่อเปรี ยบเทียบกับความเข้ มของรังสีเอกซ์ขาออกที่วดั จากโจทย์ได้
กระบวนการวนซ ้าจะสิ ้นสุดเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่คานวณได้ ให้ ความ
ผิดพลาดของความเข้ มรังสีเอกซ์ขาออกทังหมดน้
้
อยกว่าค่าหนึ่งที่ต้องการ
ART1: กาหนดค่าเริ่มต้ น
1. กาหนดค่าเริ่มต้ นของเวคเตอร์ สมั ประสิทธิ์ให้ เป็ นศูนย์ทงหมด
ั้
2. ในที่นี ้ เพื่อความเข้ าใจระยะความยาวของตัวกลาวแต่ละช่วง
กาหนดให้ เป็ น 1 หน่วย (x = 1)
***ในกรณีทวั่ ไปค่าสัมประสิทธิ์ใน A จะเปลี่ยนแปลงตามค่าระยะความ
ยาวของตัวกลางด้ วย
 ln 0.2 1
  ln 0.3 0

 
 ln 0.4  0

 


 
 ln 0.4 1
μ0
1 1 1 0 0 0 0  0  1 
0 0 0 1 1 1 1  0   2 
0 0 0 0 0 0 0     3 
 
           
0 0 0 1 0 0 0  0  16 
ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี
1. เลือกกลุม่ ทิศทางของรังสีเอกซ์เดียวกันมาหนึง่ ทิศทาง (ในที่นี ้เลือกแนวนอน
ก่อน)
2. ทาการปรับปรุง (update) ค่าสัมประสิทธิ์จากค่าที่สมมติไว้ โดยอาศัยหลักการ
ที่วา่ “ค่ าสัมประสิทธิ์การลดทอนของตัวกลางที่รังสีเอกซ์ เส้ นเดียวกันจะ
ถูกปรั บปรุ งด้ วยค่ าที่เท่ ากัน” ในที่นี ้ เลือกรังสี I1 เป็ นตัวอย่าง หากคานวณค่า
ปรับปรุงได้ เป็ น ∆μ1 ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนของรังสีแถวแรกจะถูก
ปรับปรุงเป็ น
μ1 → μ1 + ∆μ1
μ2 → μ2 + ∆μ1
μ3 → μ3 + ∆μ1
μ4 → μ4 + ∆μ1
µ1 µ2 µ3 µ4
µ5 µ6 µ7 µ8
µ9 µ10 µ11 µ12
µ13 µ14 µ15 µ16
0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0
0.2I0 → I1
0.3I0 → I2
0.4I0 → I3
0.1I0 → I4
ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์
ดังนัน้ เมื่อประยุกต์หลักการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ดงั กล่าว เข้ าจะทาให้
การคานวณค่าสัมประสิทธิ์จากรังสีเอกซ์แถวแรกเป็ น
 ln 0.2 1
  ln 0.3 0

 
 ln 0.4 0

 


  
  ln 0.1 0

 
 ln 0.5 0
 ln 0.4 1

 
1 1 1 0 0 0 0  0  1  1 
0 0 0 1 1 1 1  0   2  1 
0 0 0 0 0 0 0  0  3  1 


            4  1 
0 1 0 0 0 1 0  0  0 



1 0 0 0 1 0 0  0 

0 0 0 1 0 0 0  0  16 
 ln 0.2  1  1   2  1   3  1   4  1 
 ln 0.2  1  2  3  4   1  1  1  1 
 ln 0.2  1  2  3  4   41
ตัวอย่างการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์
ต่อมา แทนค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่สมมติเบื ้องต้ นเป็ นศูนย์ ดังนันใน
้
รอบแรกของการปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ค่าปรับปรุงในทิศ I1 จะมีคา่ เท่า ๆ
กันโดยมีคา่ เท่ากับ
 ln 0.2  1   2  3   4   41
 ln 0.2  0  0  0  0  41
1 
 ln 0.2
4
ใช้ วิธีเดียวกันคานวณค่าสัมประสิทธิ์ปรับปรุงกับรังสีเอกซ์ในทิศทาง
เดียวกันที่เหลือ I2, I3, และ I4 ได้ เป็ น ∆μ2, ∆μ3, และ ∆μ4
ตามลาดับ
ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี
3.
หลังจากคานวณค่าปรับปรุงของสัมประสิทธิ์ในทิศทางที่เลือกไว้ แล้ ว
ให้ นาค่าเหล่านี ้กลับไปปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้ องกับรังสี
เอกซ์ทิศนัน้ ๆ ดังนันจึ
้ งนาค่า ∆μ1, ∆μ2, ∆μ3, และ ∆μ4 ไปบวก
เข้ ากับ μ ของรังสี I1, I2, I3, และ I4 ตามลาดับ
0.4
0.4
0.4
0.4
0.2I0 → I1
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3I0 → I2
0.23 0.23 0.23 0.23
0.4I0 → I3
0.58 0.58 0.58 0.58
0.1I0 → I4
ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี
4.
หลังจากปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ ค่าความเข้ มของรังสีเอกซ์ขาออกใน
ทิศทาง I1, I2, I3, และ I4 จะมีคา่ เท่ากับค่าที่ให้ ในโจทย์เสมอ ดังนัน้
ให้ คานวณค่าความเข้ มของรังสีเอกซ์ขาออกในทิศทางของรังสีที่เหลือ
คือ I5, I6, I7, และ I8 ซึง่ จะไม่ตรงกับค่าความเข้ มรังสีขาออกตามที่
โจทย์ให้ และคานวณความผิดพลาดของความเข้ มรังสีขาออกโดย
เฉลี่ยจากทุกทิศทาง
0.4 0.4 0.4 0.4
0.2I → I
0
1
0.3
0.3I0 → I2
0.23 0.23 0.23 0.23
0.4I0 → I3
0.58 0.58 0.58 0.58
0.1I0 → I4
0.3
0.3
0.3
0.22I0 0.22I0 0.22I0 0.22I0
การคานวณค่าความผิดพลาดของความเข้ มรังสีเอกซ์ขา
ออก

คานวณโดยใช้ คา่ ความผิดพลาดยกกาลังสองที่ต่าที่สดุ ต่อหนึง่
หน่วยเซล หรื อพิกเซล (Minimized Square Error per pixel) ดังนี ้
MSE/pixel = [(0.2I0 – 0.2I0)2 + (0.4I0 – 0.4I0)2 + (0.3I0 – 0.3I0)2 +
(0.1I0 – 0.1I0)2 + (0.22I0 – 0.3I0)2 + (0.22I0 – 0.1I0)2 +
(0.22I0 – 0.5I0)2 + (0.22I0 – 0.4I0)2 +] / 8
MSE/pixel = 0.0325I02
ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี
5.
หากค่าความผิดพลาดยังอยูใ่ นระดับที่สงู ให้ ทาการปรับปรุงค่า
สัมประสิทธิ์ด้วยวิธีเดียวกัน กับกลุม่ รังสีเอกซ์ในทิศทางถัดไป ในที่นี ้
คือกลุม่ รังสี I5, I6, I7, และ I8 ซึง่ อยูใ่ นกลุม่ ทิศแนวดิง่ เดียวกัน
(หากมีกลุม่ รังสีที่มีทิศทางมากกว่าสองทิศทางให้ แบ่งการปรับปรุงเป็ น
กลุม่ ๆ ตามลาดับใดก็ได้ )
MSE/pixel = 0.005I02
0.25
0.2
0.6
0.32
0.25I0
0.15
0.1
0.5
0.22
0.38I0
0.08 0.03 0.43 0.15
0.5I0
0.43 0.38 0.78
0.12I0
0.5
0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0
ART2: ปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละทิศทางรังสี
6.
คานวณความผิดพลาดโดยเฉลี่ยใหม่ หากยังอยูใ่ นระดับที่สงู ให้
ย้ อนกลับไปเริ่มปรับปรุงค่าสัมประสิทธิ์ในทิศที่เคยทามาแล้ ว
(ตามลาดับเดิมที่เคยได้ ทามาตังแต่
้ ข้อ 1) กระทาเช่นนี ้ไปเรื่ อย ๆ จน
ค่าความผิดพลาดเฉลี่ยอยูใ่ นระดับที่น้อยมาก จึงหยุดการคานวณและ
ถือว่าค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนที่ได้ เป็ นคาตอบของตัวกลางดังกล่าว
แบบฝึ กหัด

จงประยุกต์ใช้ ART ตามที่ได้ อธิบายมาแล้ วกับการทดลองวัดรังสีเอกซ์
ในทิศทางต่าง ๆ ดังรูปข้ างล่าง โดยให้ แสดงผลลัพธ์ของเมตริกซ์คา่
สัมประสิทธิ์การลดทอนที่ได้ จากการปรับปรุงด้ วยอัลกอริทมึ ART
ภายหลังจากค่า MSE/pixel มีคา่ น้ อยกว่า 0.00001I02 และ plot กราฟ
ค่า MSE/pixel เทียบกับจานวนรอบ (iteration) จนกระทัง่ อัลกอริทึม
I
ART จบการคานวณ
0
I0
µ1 µ2 µ3 µ4
µ5 µ6 µ7 µ8
µ9 µ10 µ11 µ12
0.2I0
µ13 µ14 µ15 µ16
0.1I0
0.4I0 0.5I0 0.1I0 0.3I0
0.3I0
0.4I0