Transcript Кинематика
Глава 1
Кинематика
§1Система отсчета
Механическое движение – перемещение материальных тел в пространстве.
Материальная точка – тело, размерами которого в данной задаче можно
пренебречь.
Абсолютно твердое тело – тело, не подверженное деформации (рассстояние
м/у любой парой его точек не изменяется в процессе движения).
Любое движение твердого тела сводится к комбинации двух основных видов
движения:
Поступательное – все точки тела движутся с одинаковыми скоростями по
параллельным траекториям
Вращательное – все точки тела вращаются по окружностям вокруг
некоторой оси.
Если ориентация оси вращения изменяется во времени, вращение носит
сложный характер.
Механическое движение относительно – состояние движения (или покоя)
любого физического объекта определяется только по отношению к другим
телам.
Тело отсчета (т.о.) – тело, относительно которого определяется движение
физических объектов (т.о. – условно неподвижно)
Часы– физическое устройство периодического действия, позволяющее
отсчитывать промежутки времени м/у событиями.
Система координат (с.к.)– геометрическая система, позволяющая
определять положение точек посредством задания трех переменных
(координат).
Совокупность тела отсчета и неподвижных относительно него часов и сист.
координат образует систему отсчета (с.о.).
Декартова с.к.
Задаются три взаимно перпендикулярные пространственные оси
z
z
r
x
y
y
x
Положение каждой точки может быть определено радиус-вектором r
(вектор, соединяющий начал координат с точкой) или тремя координатами –
(проекциями радиус – вектора):
r ix jy kz
i , j , k - единичные векторы, ориентированные вдоль координатных осей
x,y,z (координатные орты)
Терминология : точка r - точка, задаваемая радиус вектором r
Правила обращения с векторами
Вектор – отрезок, характеризуещийся величиной и направлением
y
ay
a
ax
x
Величина (длина или модуль) вектора a a
- длина отрезка.
Проекция вектора на координатную ось – длина отрезка, образованного
основаниями перпендикуляров, опущенных на ось из концов вектора.
Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует острый угол с
положительным направлением оси, отрицательна – если угол тупой и равна
нулю, если угол прямой.
Векторы можно умножать на число и складывать друг с другом.
При умножении вектора на число изменяется его длина.
a
ca
(c 0)
Если число c отрицательно, то вектор изменяет направление на
противоположное:
a
ca
(c 0)
При умножении вектора на число каждая из его декартовых проекций
умножается на это число:
ca icax jca y kcaz
Складываются векторы по правилу треугольника или параллелограмма:
a b
b
a
При сложении векторов складываются их одноименные проекции:
a b i (ax bx ) j (a y by ) k (az bz )
Предупреждение:
a b a b
Векторы складываются по длине только если они параллельны.
Скалярное произведение векторов – число (скаляр), равное произведению
модулей векторов на косинус угла м/у ними:
(a, b ) a b a b cos
b
a
a b 0
b
a
a b 0
b
a
a b 0
Скалярное произведение положительно, если векторы составляют острый
угол и отрицательно, если угол – тупой. Скалярное произведение взаимно
перпендикулярных векторов равно нулю.
§2 Кинематика материальной точки
(поступательное движение)
При движении мат. точки изменяется ее радиус- вектор. Если положение м.т.
в каждый момент времени известно, то говорят, что задан кинематический
закон движения:
r r (t )
Движение точки в трехмерном пространстве закон движения в векторной
форме эквивалентен трем скалярным законам для каждой из координат
точки:
x x (t )
r r (t ) : y y (t )
z z (t )
В декартовой системе координат скалярное произведение может быть
представлено как сумма произведений одноименных проекций двух
векторов:
a b ax bx a y by az bz
Длина вектора выражается через его проекции по теореме Пифагора:
a a
ax2 a y2 az2
Квадрат длины – результат скалярного произведения вектора самого на себя:
a2 ax2 ay2 az2 a a
Траектория движения – воображаемая линия, которую описывает точка в
процессе движения.
Перемещение– вектор, соединяющий начальную и конечную точки
траектории.
r r2 r1 r (t2 ) r (t1 )
Пройденный путь – скалярная положительная величина, равная длине
траектории.
s
t2
2
r
t1
Красная линия – траектория, зеленый
вектор - перемещение.
1
r1
r2
0 - начало координат
Скорость
Отношение перемещения точки к интервалу времени t t2 t1, в
течение которого это перемещение совершилось, называется средней
скоростью движения:
vср
r
t
Скорость по направлению совпадает с перемещением!
t+Δt
v
vср
t
Если интервал рассматриваемый интервал времени движения Δt уменьшать,
вектор средней скорости может изменяться как по величине, так и по
направлению. При Δt → 0 vср перестает изменяться по величине и занимает
положение касательной к траектории.
Предел отношения перемещения к интервалу времени, в течение которого это
перемещение происходит, называется мгновенной скоростью:
v lim t 0
r
t
В математике такой предел называют производной – мгновенная скорость
есть производная перемещения по времени.
dr
v
dt
Величину dr следует рассматривать как бесконечно малое перемещение за
бесконечно малое время:
dr vdt
Векторное определение скорости эквивалентно трем скалярным:
dx
v
x
dt
dr
dy
v
: v y
dt
dt
dz
v z dt
x,y,z – переменные координаты точки; dx,dy,dz – проекции вектора
перемещения dr на декартовы оси; vx , vy , vz - проекции скорости.
Модуль скорости определяет путь, проходимый телом в единицу времени:
ds
v v
dt
ds vdt - путь, пройденный за время dt
Если скорость не изменяется по величине v v const , то движение
является равномерным (за равные промежутки времени тело проходит
одинаковые расстояния)
Если не изменяется направление скорости (или изменяется на противоположное) -движение прямолинейно.
Движение с постоянным вектором скорости является равномерным и
прямолинейным.
Ускорение – скорость изменения скорости:
a
dv
dt
dv adt - приращение скорости за время dt
Ускорение отлично от нуля, если скорость изменяется по величине или по
направлению.
Проекция вектора ускорения на направление скорости называется
тангенциальным ускорением, а на направление, перпендикулярное скорости,
- нормальным ускорением.
Примером последнего является центростремительное ускорение.
v
an
a
a
Тангенциальное ускорение a обуславливает изменение модуля скорости :
dv
a
dt
Если a 0 скорость увеличивается, если a 0 - уменьшается.
Нормальное ускорение an обуславливает изменение направления движения
и приводит к искривлению траектории.
Траекторию движения тела в достаточно малой окрестности каждой точки
можно заменить (аппроксимировать) дугой окружности с некоторым
радиусом R . Тогда нормальное ускорение становится центростремительным:
v2
an
R
Радиус окружности, аппроксимирующей траекторию движения вблизи
данной точки называют радиусом кривизны траектории.
v2
R
an
Если траектория движения отличается от окружности или прямой, радиус
кривизны – переменная величина (меняется от точки к точке)
При an 0 скорость не меняет направления – движение прямолинейно.
При a 0 скорость не меняет величины – движение равномерно.
Интегральные соотношения
Мгновенные скорость и ускорение определяют лишь бесконечно малые
приращения координат и скорости. Для определения конечных приращений
кинематических величин необходимо использовать интегральные формулы.
Пусть известен закон изменения скорости во времени:
v v (t )
Можно определить перемещение на каждом бесконечно малом отрезке
времени
dr v (t )dt
Перемещение на конечном отрезке времени t t2 t1 складывается из
бесконечно малых векторов dr . Такая сумма называется определенным
интегралом:
2
r r2 r1
dr
1
t2
v (t )dt
t1
В первом случае интегрирование ведется по траектории м/у начальной и
конечной точками 1 и 2, во втором – по времени м/у начальным и конечным
моментами t1 и t2 .
Если v const (скорость не меняется по величине и направлению), то
r v t
Аналогично определяется изменение скорости по известному ускорению:
2
v v2 v1
dv
1
Если a const , то
v a t
t2
a (t )dt
t1
Равнопеременное движение. (движение с постоянным вектором ускорения)
a const
Пусть v 0 - скорость тела в момент времени t=0
За время t t 0 t
скорость изменится на
v v (t ) v0 at at
Поэтому
v (t ) v0 at
Кинематический закон движения с постоянным ускорением:
at 2
r (t ) r0 v0 t
2
Равнопеременное движение прямолинейно, если векторы начальной
скорости v 0 и ускорения a параллельны или v0 = 0.
Если векторы v 0 и a направлены под углом друг к другу, то траектория
движения – парабола, лежащая в плоскости, образованной этими векторами.