Transcript Кинематика
Глава 1 Кинематика §1Система отсчета Механическое движение – перемещение материальных тел в пространстве. Материальная точка – тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Абсолютно твердое тело – тело, не подверженное деформации (рассстояние м/у любой парой его точек не изменяется в процессе движения). Любое движение твердого тела сводится к комбинации двух основных видов движения: Поступательное – все точки тела движутся с одинаковыми скоростями по параллельным траекториям Вращательное – все точки тела вращаются по окружностям вокруг некоторой оси. Если ориентация оси вращения изменяется во времени, вращение носит сложный характер. Механическое движение относительно – состояние движения (или покоя) любого физического объекта определяется только по отношению к другим телам. Тело отсчета (т.о.) – тело, относительно которого определяется движение физических объектов (т.о. – условно неподвижно) Часы– физическое устройство периодического действия, позволяющее отсчитывать промежутки времени м/у событиями. Система координат (с.к.)– геометрическая система, позволяющая определять положение точек посредством задания трех переменных (координат). Совокупность тела отсчета и неподвижных относительно него часов и сист. координат образует систему отсчета (с.о.). Декартова с.к. Задаются три взаимно перпендикулярные пространственные оси z z r x y y x Положение каждой точки может быть определено радиус-вектором r (вектор, соединяющий начал координат с точкой) или тремя координатами – (проекциями радиус – вектора): r ix jy kz i , j , k - единичные векторы, ориентированные вдоль координатных осей x,y,z (координатные орты) Терминология : точка r - точка, задаваемая радиус вектором r Правила обращения с векторами Вектор – отрезок, характеризуещийся величиной и направлением y ay a ax x Величина (длина или модуль) вектора a a - длина отрезка. Проекция вектора на координатную ось – длина отрезка, образованного основаниями перпендикуляров, опущенных на ось из концов вектора. Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует острый угол с положительным направлением оси, отрицательна – если угол тупой и равна нулю, если угол прямой. Векторы можно умножать на число и складывать друг с другом. При умножении вектора на число изменяется его длина. a ca (c 0) Если число c отрицательно, то вектор изменяет направление на противоположное: a ca (c 0) При умножении вектора на число каждая из его декартовых проекций умножается на это число: ca icax jca y kcaz Складываются векторы по правилу треугольника или параллелограмма: a b b a При сложении векторов складываются их одноименные проекции: a b i (ax bx ) j (a y by ) k (az bz ) Предупреждение: a b a b Векторы складываются по длине только если они параллельны. Скалярное произведение векторов – число (скаляр), равное произведению модулей векторов на косинус угла м/у ними: (a, b ) a b a b cos b a a b 0 b a a b 0 b a a b 0 Скалярное произведение положительно, если векторы составляют острый угол и отрицательно, если угол – тупой. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю. §2 Кинематика материальной точки (поступательное движение) При движении мат. точки изменяется ее радиус- вектор. Если положение м.т. в каждый момент времени известно, то говорят, что задан кинематический закон движения: r r (t ) Движение точки в трехмерном пространстве закон движения в векторной форме эквивалентен трем скалярным законам для каждой из координат точки: x x (t ) r r (t ) : y y (t ) z z (t ) В декартовой системе координат скалярное произведение может быть представлено как сумма произведений одноименных проекций двух векторов: a b ax bx a y by az bz Длина вектора выражается через его проекции по теореме Пифагора: a a ax2 a y2 az2 Квадрат длины – результат скалярного произведения вектора самого на себя: a2 ax2 ay2 az2 a a Траектория движения – воображаемая линия, которую описывает точка в процессе движения. Перемещение– вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории. r r2 r1 r (t2 ) r (t1 ) Пройденный путь – скалярная положительная величина, равная длине траектории. s t2 2 r t1 Красная линия – траектория, зеленый вектор - перемещение. 1 r1 r2 0 - начало координат Скорость Отношение перемещения точки к интервалу времени t t2 t1, в течение которого это перемещение совершилось, называется средней скоростью движения: vср r t Скорость по направлению совпадает с перемещением! t+Δt v vср t Если интервал рассматриваемый интервал времени движения Δt уменьшать, вектор средней скорости может изменяться как по величине, так и по направлению. При Δt → 0 vср перестает изменяться по величине и занимает положение касательной к траектории. Предел отношения перемещения к интервалу времени, в течение которого это перемещение происходит, называется мгновенной скоростью: v lim t 0 r t В математике такой предел называют производной – мгновенная скорость есть производная перемещения по времени. dr v dt Величину dr следует рассматривать как бесконечно малое перемещение за бесконечно малое время: dr vdt Векторное определение скорости эквивалентно трем скалярным: dx v x dt dr dy v : v y dt dt dz v z dt x,y,z – переменные координаты точки; dx,dy,dz – проекции вектора перемещения dr на декартовы оси; vx , vy , vz - проекции скорости. Модуль скорости определяет путь, проходимый телом в единицу времени: ds v v dt ds vdt - путь, пройденный за время dt Если скорость не изменяется по величине v v const , то движение является равномерным (за равные промежутки времени тело проходит одинаковые расстояния) Если не изменяется направление скорости (или изменяется на противоположное) -движение прямолинейно. Движение с постоянным вектором скорости является равномерным и прямолинейным. Ускорение – скорость изменения скорости: a dv dt dv adt - приращение скорости за время dt Ускорение отлично от нуля, если скорость изменяется по величине или по направлению. Проекция вектора ускорения на направление скорости называется тангенциальным ускорением, а на направление, перпендикулярное скорости, - нормальным ускорением. Примером последнего является центростремительное ускорение. v an a a Тангенциальное ускорение a обуславливает изменение модуля скорости : dv a dt Если a 0 скорость увеличивается, если a 0 - уменьшается. Нормальное ускорение an обуславливает изменение направления движения и приводит к искривлению траектории. Траекторию движения тела в достаточно малой окрестности каждой точки можно заменить (аппроксимировать) дугой окружности с некоторым радиусом R . Тогда нормальное ускорение становится центростремительным: v2 an R Радиус окружности, аппроксимирующей траекторию движения вблизи данной точки называют радиусом кривизны траектории. v2 R an Если траектория движения отличается от окружности или прямой, радиус кривизны – переменная величина (меняется от точки к точке) При an 0 скорость не меняет направления – движение прямолинейно. При a 0 скорость не меняет величины – движение равномерно. Интегральные соотношения Мгновенные скорость и ускорение определяют лишь бесконечно малые приращения координат и скорости. Для определения конечных приращений кинематических величин необходимо использовать интегральные формулы. Пусть известен закон изменения скорости во времени: v v (t ) Можно определить перемещение на каждом бесконечно малом отрезке времени dr v (t )dt Перемещение на конечном отрезке времени t t2 t1 складывается из бесконечно малых векторов dr . Такая сумма называется определенным интегралом: 2 r r2 r1 dr 1 t2 v (t )dt t1 В первом случае интегрирование ведется по траектории м/у начальной и конечной точками 1 и 2, во втором – по времени м/у начальным и конечным моментами t1 и t2 . Если v const (скорость не меняется по величине и направлению), то r v t Аналогично определяется изменение скорости по известному ускорению: 2 v v2 v1 dv 1 Если a const , то v a t t2 a (t )dt t1 Равнопеременное движение. (движение с постоянным вектором ускорения) a const Пусть v 0 - скорость тела в момент времени t=0 За время t t 0 t скорость изменится на v v (t ) v0 at at Поэтому v (t ) v0 at Кинематический закон движения с постоянным ускорением: at 2 r (t ) r0 v0 t 2 Равнопеременное движение прямолинейно, если векторы начальной скорости v 0 и ускорения a параллельны или v0 = 0. Если векторы v 0 и a направлены под углом друг к другу, то траектория движения – парабола, лежащая в плоскости, образованной этими векторами.