Векторы • Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными: площадь, длина, объём, температура, работа, масса. • Другие величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением,
Download ReportTranscript Векторы • Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными: площадь, длина, объём, температура, работа, масса. • Другие величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением,
Векторы
• Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными : площадь, длина, объём, температура, работа, масса.
• Другие величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением, называются векторными : сила, скорость, ускорение, перемещение точки.
Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.
• Вектор – направленный отрезок.
В конец вектора
a AB
А начало вектора
b c a
b
- одинаково направленные
a
c
- противоположно направленные
• Нулевой вектор – вектор, начало и конец которого совпадают.
0 • Длина вектора (длина ∼ модуль ∼ абсолютная величина) концом.
– расстояние между началом и о бозначение:
a
или
AB
; 0 0
• Векторы, противоположно направленные и имеющие одинаковые длины, называются противоположными.
a
a
• Вектор, называется длина которого единичным .
равна единице, обозначение:
e
• Векторы называются лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
коллинеарными , если они
a k b c a b b c k c a k
• Два вектора называются коллинеарны, одинаково направлены и равны по абсолютной величине.
равными , если они
a
b
a b
,
a
b
,
a
b a k c b m
• Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами.
• Сумма векторов.
b a a
b
С
b
А В
a AB
BC
AC
правило треугольника Чтобы сложить два вектора, надо от конца первого вектора отложить второй вектор. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго и будет суммой векторов.
Аналогично определяется сумма трёх и более векторов.
c c b b a m m a
b
c
m a
Каждый называется последующий вектор правилом замыкающей .
отложен из конца предыдущего. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом последнего и будет суммой векторов. Указанный способ построения суммы
b a b a a
правило параллелограмма
b
Чтобы сложить два вектора, надо оба вектора отложить из одной общей точки.
Построить на векторах параллелограмм.
суммой векторов.
Тогда одна из диагоналей параллелограмма, имеющая началом общую точку и будет
• Разность векторов.
a
b
a
b a
правило треугольника
a
b
b a
b
правило параллелограмма
b a a
b
b a
b b a a b b
a a
Чтобы вычесть один вектор из другого, надо оба вектора отложить из одной общей точки, соединить их концы.
Результирующий вектор направлен к тому вектору, от которого вычитают.
• Умножение вектора на число (скаляр).
Произведением вектора вектор
a
a
на число λ называется , удовлетворяющий условиям: 1 )
a
a a
3
a
2 )
a a
3 )
a
a
,
a
a
, 0 0 2
a
• Свойства линейных операций.
V
1 , 2
R
1 )
a
b
b
a
закон коммутативности 2 )
c
a
закон ассоциативности 3 )
a
0
V
:
a
0 0
a
a
4 )
a
b
:
a
b
b
a
0
b
a
противоположный вектор
5 )
1
2
a
1
a
2
a
закон дистрибутивности относительно сложения чисел 6 )
a
b
закон дистрибутивности относительно сложения векторов 7 ) 1
2
1
2
a
закон относительно умножения чисел ассоциативности 8 )
a
1
a
a
1. Построить векторы:
m
a
b
2
c
,
n
2
b
1 2
a
3
c
,
k
1 2
c
3
b
a c b
2
c m
b
a a
m
a
b
2
c
,
n
2
b
1 2
a
3
c
,
k
1 2
c
3
b
a c b a a
1 2
a
2
b n
3
b k
3
c
1 2
c
A 1 2. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Найти вектор, равный
AB
B
1
C
1
C
1
C
B 1 C 1 B D 1 C
AB
B
1
C
1
C
1
C
AB
AD
C
1
C
DB
C
1
C
DB
D
1
D
D
1
D
DB
D
1
B
A D Ответ:
AB
B
1
C
1
C
1
C
D
1
B
3. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб.
Выразить через векторы К- середина DD 1 .
AA
1
a
,
AB
b
,
a
,
b
,
c
вектор
AD
c C
1
K
, если B 1 C 1 A 1 D 1
C
1
K
C
1
D
1
D
1
K
b
1 2
a a b
B K C A
c
D Ответ:
C
1
K
b
1 2
a
4. Дан параллелограмм ABCD. Точка О- точка пересечения его диагоналей. Выразить вектор ОР через векторы если
AC
a
,
BD
b
Р- середина ВС.
a
,
b
B Р C A О
b a
D
OP
1 2
DC
1 2
OC
OD
1 2 1 2
a
1 2
b
1 4
a
1 4
b
Ответ:
OP
1 4
a
1 4
b
5. Дан правильный шестиугольник ABCDEF.
AB
a
, Выразить через векторы
a
,
b
векторы:
BC
,
CD
,
AE
b DA
C B D
a
A
b
E Ответ: F
BC
1 2
a
1 2
b BC
1 2
AD
1 2
CD
1 2
BE
1 2
DA
AD
CD
1 2
b
1 2
a
1 2
a
1 2
b
1 2
b
1 2
a
a
b DA
a
b
Проекция вектора на ось.
• Проекцией вектора
AB
на ось ℓ число, равное длине вектора
A
1
B
1 называется , т.е.
A
1
B
1 B
pr
AB
A
1
B
1 ,
A
1
B
1 A A 1 B 1 ℓ
pr
AB
A
1
B
1 ,
A
1
B
1
pr
AB
Если
AB
0 или
AB
, то
pr
AB
0
• Угол φ между вектором
a
и осью ℓ :
a
φ
a
1 ℓ 0
≤
φ ≤ π
Основные свойства проекции.
1 )
pr
a
a
cos
a
Доказательство.
Если 2 φ ℓ
a
1 , то
pr
a
a
1
a
cos
1 )
pr
a
a
cos
a
(π φ ) Если
pr
a
a
1 2
a
, то cos
a
1
a
cos Если 2 , то
pr
a
0
a
cos φ ℓ
2 )
pr
pr
a
pr
b a a
b b
ℓ
pr
a pr
pr
b
3 )
pr
pr
a
При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число.
Доказательство.
свойство (1)
Если
pr
0 , то
a
cos
a
cos
pr
a
Если 0 , то
a pr
a
cos
a
cos cos
pr
a