Векторы

• Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными : площадь, длина, объём, температура, работа, масса.

• Другие величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением, называются векторными : сила, скорость, ускорение, перемещение точки.

Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

• Вектор – направленный отрезок.

В конец вектора

a AB

А начало вектора

b c a



b

- одинаково направленные

a



c

- противоположно направленные

• Нулевой вектор – вектор, начало и конец которого совпадают.

0 • Длина вектора (длина ∼ модуль ∼ абсолютная величина) концом.

– расстояние между началом и о бозначение:

a

или

AB

; 0  0

• Векторы, противоположно направленные и имеющие одинаковые длины, называются противоположными.

a



a

• Вектор, называется длина которого единичным .

равна единице, обозначение:

e

• Векторы называются лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

коллинеарными , если они

a k b c a b b c k c a k

• Два вектора называются коллинеарны, одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

равными , если они

a



b



a b

,

a



b

,

a



b a k c b m

• Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами.

• Сумма векторов.

b a a



b

С

b

А В

a AB



BC



AC

правило треугольника Чтобы сложить два вектора, надо от конца первого вектора отложить второй вектор. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго и будет суммой векторов.

Аналогично определяется сумма трёх и более векторов.

c c b b a m m a



b



c



m a

Каждый называется последующий вектор правилом замыкающей .

отложен из конца предыдущего. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом последнего и будет суммой векторов. Указанный способ построения суммы

b a b a a

 правило параллелограмма

b

Чтобы сложить два вектора, надо оба вектора отложить из одной общей точки.

Построить на векторах параллелограмм.

суммой векторов.

Тогда одна из диагоналей параллелограмма, имеющая началом общую точку и будет

• Разность векторов.

a



b



a



b a

правило треугольника

a



b



b a



b

правило параллелограмма 

b a a



b

b a



b b a a b b



a a

Чтобы вычесть один вектор из другого, надо оба вектора отложить из одной общей точки, соединить их концы.

Результирующий вектор направлен к тому вектору, от которого вычитают.

• Умножение вектора на число (скаляр).

Произведением вектора вектор





a

a

на число λ называется , удовлетворяющий условиям: 1 )  

a

  

a a

3

a

2 ) 

a a

3 ) 

a



a

, 

a



a

,   0   0  2

a

• Свойства линейных операций.



V

  

1 , 2 

R

1 )

a



b



b



a

закон коммутативности 2 ) 

c



a

 закон ассоциативности 3 ) 

a

 0 

V

:

a

 0  0 

a



a

4 ) 

a



b

:

a



b



b



a

 0

b

 

a

противоположный вектор

5 ) 



1 



2  

a





1 

a





2 

a

закон дистрибутивности относительно сложения чисел 6 )     

a

  

b

закон дистрибутивности относительно сложения векторов 7 )  1



  2



  1



 2 



a

закон относительно умножения чисел ассоциативности 8 ) 

a

1 

a



a

1. Построить векторы:

m

 

a



b

 2

c

,

n

 2

b

 1 2

a

 3

c

,

k

 1 2

c

 3

b



a c b

2

c m



b



a a

m

 

a



b

 2

c

,

n

 2

b

 1 2

a

 3

c

,

k

 1 2

c

 3

b



a c b a a

 1 2

a

2

b n

 3

b k

 3

c

1 2

c

A 1 2. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Найти вектор, равный

AB



B

1

C

1 

C

1

C

B 1 C 1 B D 1 C

AB



B

1

C

1 

C

1

C



AB



AD



C

1

C

 

DB



C

1

C



DB



D

1

D

 

D

1

D



DB



D

1

B

A D Ответ:

AB



B

1

C

1 

C

1

C



D

1

B

3. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб.

Выразить через векторы К- середина DD 1 .

AA

1 

a

,

AB



b

,

a

,

b

,

c

вектор

AD



c C

1

K

, если B 1 C 1 A 1 D 1

C

1

K



C

1

D

1 

D

1

K

 

b

 1 2

a a b

B K C A

c

D Ответ:

C

1

K

 

b

 1 2

a

4. Дан параллелограмм ABCD. Точка О- точка пересечения его диагоналей. Выразить вектор ОР через векторы если

AC



a

,

BD



b

Р- середина ВС.

a

,

b

B Р C A О

b a

D

OP

 1 2

DC

 1 2 

OC



OD

   1 2 1 2

a

 1 2

b

 1 4

a

 1 4

b

Ответ:

OP

 1 4

a

 1 4

b

5. Дан правильный шестиугольник ABCDEF.

AB



a

, Выразить через векторы

a

,

b

векторы:

BC

,

CD

,

AE



b DA

C B D

a

A

b

E Ответ: F

BC

 1 2

a

 1 2

b BC

 1 2

AD

 1 2

CD

 1 2

BE

 1 2

DA

 

AD

 

CD

 1 2

b

 1 2

a

 1 2

a

 1 2

b

 1 2

b

 1 2

a

 

a



b DA

 

a



b

Проекция вектора на ось.

• Проекцией вектора

AB

на ось ℓ число, равное длине вектора

A

1

B

1 называется , т.е.

A

1

B

1 B

pr



AB



A

1

B

1 ,

A

1

B

1   A A 1 B 1 ℓ

pr



AB

 

A

1

B

1 ,

A

1

B

1  

pr



AB

Если

AB

 0 или

AB

  , то

pr



AB

 0

• Угол φ между вектором

a

и осью ℓ :

a

φ

a

1 ℓ 0

≤

φ ≤ π

Основные свойства проекции.

1 )

pr



a



a

 cos 

a

Доказательство.

Если      2 φ ℓ

a

1 , то

pr



a

 

a

1 

a

 cos 

1 )

pr



a



a

 cos 

a

(π φ ) Если   

pr



a

 

a

1     2

a

, то  cos      

a

1

a

 cos  Если      2 , то

pr



a

 0 

a

 cos  φ ℓ

2 )

pr

 

pr



a



pr



b a a



b b

ℓ

pr



a pr



pr



b

3 )

pr

   

pr



a

При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число.

Доказательство.

свойство (1)

Если

pr

    0   , то  

a

 cos    

a

 cos    

pr



a

Если   0 , то    

a pr

  

a

   cos     

a

 cos        cos    

pr



a