Transcript Calcul d`aires planes Aire

Calcul d’aires planes
Aire = ?
Rappel de l’intégrale de Riemann





Détermination d’une grandeur ou d’une quantité Q
Certaines grandeurs ou quantités ne peuvent pas être calculés
globalement par des formules usuelles.
Ces grandeurs ou quantités peuvent être l’aire d’une région plane,
le volume d’un solide, la longueur d’une courbe, le travail effectué
par une force variable, …
Nous découpons alors la quantité Q à évaluer en n petites
quantités élémentaires ΔQi que nous sommes capables d’évaluer
par une expression de la forme ΔQi=f(ci)·Δx où f est une fonction
continue sur un intervalle fermé.
Pour obtenir la quantité Q, nous calculons la limite de la
sommation des ΔQi lorsque n tend vers l’infini. Nous obtenons une
limite de sommes de Riemann que nous pouvons évaluer par le
théorème fondamental.
Q  lim
n 
n
b
  Q i  a d Q
i 1
où d Q  f ( x ) d x
Rappel du calcul d’une aire géométrique
b


Lorsque f (x) est
positive
A1
a
b
a
Lorsque f (x) est
a
négative

A1   f ( x ) dx
b
b
A2
A2    f ( x ) d x
a
b
Lorsque f (x) est
quelconque
a
A1
c
A2
 f ( x ) dx  A1  A2
b
a
c
b
a
c
A geom  A1  A2   f ( x ) dx    f ( x ) dx
Exemple

Calculons l’aire de la région comprise entre la courbe f(x) = x3-x2-6x
et l’axe des x
points d’intersection avec l’axe des x:
x  x  6 x  0  x  ( x  x  6)  0
3
2
2
 x  ( x  2)  ( x  3)  0  x   2, 0, 3
16
f(-1) = 4 >0 et f(1) = -6 < 0, on doit donc calculer
3
0
63
4
3
A geom   f ( x ) dx   f ( x ) dx
2
0
0
3
2
2
x
 x4 x3
x
x 
x 


 6

 6
 

4
3
2
4
3
2

 2 
0
4

4     81 27
9
 16  8
 0  

 6     

 6
3
2    4
3
2
 4

3


 16    63 

0








 3   4 

253
12
u
2
Généralisation
Au lieu de l’aire sous une courbe, on peut s’intéresser à l’aire de
la surface comprise entre deux courbes

y
f (x)
x
g(x)

Deux façons de procéder sont alors possibles selon le
découpage choisi
Calculs d’aire avec des rectangles verticaux
Aire du rectangle d’approximation
aire = (hauteur)(base)
y
 Ai  [ f ( c i )  g ( c i )]   x i
Rectangle représentatif
d A  [ f ( x )  g ( x )]  d x
f (x)
f (ci)
Valeur exacte de l’aire totale entre
les deux courbes
hauteur
n
A  lim
g(x)
g(ci)
n 
Δx
a
 lim
n 
b
x
 [ f ( c )  g ( c )]   x
i
b

A   dA 
a
b


a
f (x ) 
g ( x ) dx
i
i
i 1
b
 d A   [ f ( x )  g ( x )]dx
a
b
i
i 1
n
k
ci
 A
si f ( x )
a

g ( x ) s u r [ a, b ]
Exemple
Calculer l’aire de la région fermée comprise entre les courbes
f (x) = x et g(x) = 2 x2
Les bornes d’intégration correspondent aux points d’intersection des deux courbes
f ( x)  g ( x)   x  2  x  x  x  2  0
2
2
 ( x  1)  ( x  2)  0  x   1 ou x  2
g
C om m e y 2  y1 sur [  1, 2], alors
2
dA  ( g ( x )  f ( x )) d x   2  x  x  d x
2
x
f
A


x
x 
2
(2

x

x
)
dx

2
x





3
2


1
2
dA 
1
3
8 4 
1 1 

 4     2 
 
3 2 
3
2

8
9
3

1
2

9
2
u
2
2
2
1
Calculs d’aires avec rectangles horizontaux
x1= g(y)
y
b
x2= f (y)
ci
Aire du rectangle d’approximation
aire = (hauteur)(base)
 Ai  [ g ( c i )  f ( c i )]   y
d A  [ g ( y )  f ( y )]   y
Valeur exacte de l’aire totale entre
les deux courbes
Δy
n
A  lim
n 
hauteur
 A
i
i 1
n
 lim
n 
a
g(ci)
f (ci)
b
x
A   dA 
a
b


a
g (y ) 
f ( y )  dy
i
f ( c i )]   y
i 1
b
  d A   [ g ( y )  f ( y )] d y
a
b
 [ g (c ) 
a
si g ( y ) 
f ( y ) s u r [a, b ]
Exemple

Calculer l’aire de la région du premier quadrant comprise entre les
courbes
y 
y  x2
x et
On a x1(y) = y2 et x2(y)= y + 2
Les points d'intersections sont:
y  y2  y  y2 0
2
2
 ( y  1)( y  2)  0  y   1 ou y  2
 y
y 
A   dA   ( y  2  y )dy  
 2y 

3 
 2
0
0
2
2
2
3
2
2
y
8
4
   4    0  0  0
3
2
 6
8
3

10
3
u
2
0