Transcript Eléments de base sur les mesures
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GRANDEUR ET MESURES
David Rolland, formateur en mathématiques
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PLAN DU COURS
I- Vos connaissances
II- Généralités sur les grandeurs
III. Mesurer une grandeur
IV- Longueurs et distances dans le plan
V- Aires dans le plan
VI. Angles
VII. Les durées
VIII. Quelques éléments de didactique
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I. VOS CONNAISSANCES
1. Faites-vous une différence entre les expressions «longueur d’un
ruban» et «mesure d’un ruban» ? Si oui, laquelle ?
2. Faites-vous une différence entre les mots « aire » et « surface » ? Si
oui, laquelle ?
3. Quelles sont les grandeurs étudiées à l’école primaire ?
4. Quelle définition donneriez-vous du « mètre » ?
5. Comment définiriez-vous le périmètre d’une figure ?
6. « Plus l’aire d’une figure augmente, plus son périmètre augmente ».
Cette phrase est-elle vraie ou fausse ?
7. Si on multiplie les dimensions d’un rectangle par 5, par combien
est multipliée son aire ?
8. Si on multiplie par 3 les dimensions d’un pavé, par combien est
multiplié son volume ?
9. Convertir en heures, minutes, secondes : 7 h 47 min 12 s + 5 h 54
min 49 s puis 2,56 h.
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II. GÉNÉRALITÉS SUR LES GRANDEURS.
Nous avons tellement l’habitude de mesurer des
longueurs, calculer des aires, exprimer des durées
en heures, minutes et secondes, que nous avons du
mal à penser ces grandeurs autrement qu’en termes
de nombres, autrement dit que de manière
quantifiée.
Des expressions comme « calculer le périmètre d’un
rectangle ou d’un cercle », « appliquer une formule
pour trouver l’aire d’un disque ou d’un triangle »
signalent des liens profonds, une parenté très forte
entre la notion de grandeur et celle de nombre. En
effet, ces expressions évoquent la possibilité de
calculs avec des grandeurs alors que classiquement
les opérations s’effectuent entre nombres.
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Une grandeur est une qualité
commune à certaines catégories
OR UNE GRANDEUR
d’objets
:
N’EST PAS UN
- la longueur pour les lignes ;
- les aires NOMBRE
pour les surfaces ;
- l’angle pour les secteurs du plan ;
- le volume pour les solides ;
- la masse pour les objets matériels ;
- la durée pour les événements…
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CETTE QUALITÉ DOIT AVOIR DEUX
PROPRIÉTÉS PARTICULIÈRES :
- ELLE DOIT PERMETTRE DE CLASSER
LES OBJETS EN CATÉGORIES DISJOINTES
- ELLE DOIT PERMETTRE D’ORDONNER
LES OBJETS DE MANIÈRE TRANSITIVE.
Pour expliquer ces deux propriétés, prenons
l’exemple des lignes.
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La longueur possède ces deux propriétés.
Cela a du sens de dire que deux lignes ont
la même longueur et chaque catégorie de
lignes contient toutes les lignes ayant la
même longueur.
Cela a aussi du sens de dire qu’une ligne
est plus longue qu’une autre. D’autre part,
si une ligne L1 est plus longue qu’une ligne
L2, elle-même plus longue qu’une ligne L3,
alors L1 est plus longue que L3, c’est la
propriété de transitivité.
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Toutes les qualités que l’on peut attribuer
aux objets n’ont pas de telles propriétés.
En effet, considérons la qualité pour une
ligne d’être brisée ou non.
On peut constituer deux catégories de
lignes : celles des lignes brisées et celles
des lignes non brisées. En revanche, cette
qualité ne permet pas d’ordonner les
lignes.
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Une grandeur peut avoir une
troisième propriété, elle peut
être additive ou sommable.
Prenons des exemples.
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L’IDÉE DE SOMME DE DEUX LONGUEURS (DEUX
AIRES, DEUX MASSES, DEUX VOLUMES) EST ASSEZ
NATURELLE, IL SUFFIT DE METTRE DEUX LIGNES
BOUT À BOUT(DE JUXTAPOSER DEUX SURFACES,
DEUX OBJETS, DEUX SOLIDES).
LA SOMME DES LONGUEURS (DES DEUX AIRES,
DES DEUX MASSES, DES DEUX VOLUMES) EST LA
LONGUEUR (L’AIRE, LA MASSE, LE VOLUME) DE LA
RÉUNION DES DEUX LIGNES (DEUX SURFACES,
DEUX OBJETS, DEUX SOLIDES).
IL N’EST DONC PAS NÉCESSAIRE DE PASSER PAR
LES NOMBRES NI DE PASSER PAR LES MESURES
POUR DONNER DU SENS À DES EXPRESSIONS
COMME AJOUTER DEUX GRANDEURS
SOMMABLES.
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Toutes les grandeurs n’ont pas cette
propriété.
Examinons un contre-exemple, celui de la
température.
Considérons deux récipients remplis de
liquides, à des températures variées.
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CELA A DU SENS DE DIRE QUE DEUX LIQUIDES ONT
LA MÊME TEMPÉRATURE OU QU’UN LIQUIDE A UNE
TEMPÉRATURE SUPÉRIEURE À CELLE DE L’AUTRE
LIQUIDE.
TOUTEFOIS, LA TEMPÉRATURE N’EST PAS
SOMMABLE. EN EFFET, SI ON MÉLANGE DEUX
LIQUIDES AYANT DES TEMPÉRATURES
DIFFÉRENTES, LE MÉLANGE A UNE TEMPÉRATURE
COMPRISE ENTRE LES DEUX TEMPÉRATURES.
LA TEMPÉRATURE EST DONC UNE GRANDEUR
D’UNE AUTRE NATURE QUE LA LONGUEUR, L’AIRE,
LA MASSE, LE VOLUME OU LA DURÉE QUI SONT DES
GRANDEURS SOMMABLES.
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III. MESURER UNE GRANDEUR.
Les grandeurs que l’on qualifie de mesurables
possèdent les propriétés évoquées ci-dessus.
Pour mesurer une grandeur G, on choisit une
unité u, c’est-à-dire la grandeur d’un étalon U
de référence.
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Si la grandeur est sommable, ajouter
deux, trois, quatre unités, etc., cela a
du sens. On peut même définir les
multiples de u, c’est-à-dire les
grandeurs 2u, 3u, plus généralement
nu comme étant respectivement égales
à u+u, u+u+u, u+u+u+…+u, somme
dans laquelle u est répétée n fois.
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MESURER UNE GRANDEUR REVIENT À
COMPARER G AVEC LES MULTIPLES SUCCESSIFS
DE U.
Il se peut que G soit égale à un multiple
particulier de u, on écrit alors G = n u , ou
que G soit comprise entre deux multiples
successifs de u, on écrit alors nu
On a un encadrement de G que l’on peut
affiner en choisissant une autre unité u’,
inférieure à u
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REMARQUES :
Si la grandeur n’était pas sommable, parler des
multiples de l’unité ou écrire des égalités ou
inégalités comme ci-dessus n’auraient pas de
sens.
Dans la pratique, la mesure conduit à une
mesure exacte ou à un encadrement, cela
dépend des unités dont on dispose.
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IV.LONGUEURS ET DISTANCES DANS LE
PLAN.
1/ GÉNÉRALITÉS
La longueur est une grandeur attribuée aux
lignes. Ces lignes peuvent être composées de
segments ou de courbes.
La longueur d’une ligne fermée s’appelle son
périmètre. Pour un cercle, on dit
indifféremment : périmètre d’un cercle,
longueur d’un cercle ou circonférence d’un
cercle.
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Supposons que l’on ait choisi une longueur
de référence u. La mesure l de la longueur L
d’une ligne avec l’unité u est par définition le
nombre de fois que u est comprise dans L.
On dit que « la mesure de L avec l’unité u est
égale à l », on dit aussi « la mesure de L est
égale à l u ».
Ce nombre peut être entier, décimal ou
même non décimal.
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2/ PRATIQUE DES MESURES :
A/ UNITÉS :
Voici la liste des unités du système métrique :
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Kilomètre
km
1000 m
103 m
hectomètre
hm
100 m
102 m
décamètre
dam
10 m
10 1 m
mètre
m
1m
1m
décimètre
dm
0,1 m
10-1 m
centimètre
cm
0,01 m
10-2 m
millimètre
micromètre
(micron)
mm
0,001 m
10-3 m
μm (μ)
0,000 001 m
10-6 m
nanomètre
nm
0,000 000 001
10-9 m
picomètre
pm
0,000 000 000 001 m 10-12 m
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CHAQUE UNITÉ, DU KILOMÈTRE AU MILLIMÈTRE, EST
10 FOIS PLUS PETITE QUE CELLE QUI LA PRÉCÈDE
DANS LE TABLEAU.
Remarque :
Il peut être utile de connaître une unité utilisée
en astronomie : l’année lumière (a.l.) qui
équivaut à la distance parcourue par la lumière
en une année, soit environ 9,46x1012 km.
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B/ CHANGEMENT D’UNITÉS.
Quand on change d’unités pour mesurer une
longueur, ce n’est pas la longueur qui change
mais sa mesure.
Ainsi on peut parfaitement écrire :
30 cm = 0,3 m = 3 dm = 300 mm.
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C/ COMMENT TROUVER LA MESURE DE LA
LONGUEUR D’UN SEGMENT ?
On peut si l’on dispose d’une figure à l’échelle
mesurer la longueur de ce segment à l’aide d’une
règle graduée. On obtient alors une valeur
approchée de la mesure. Cette valeur est
approchée pour au moins deux raisons :
- imprécision des graduations
- inexactitude possible de la figure.
On peut utiliser une méthode plus mathématique à
l’aide de théorèmes connus, comme celui de
Pythagore.
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D/ COMMENT TROUVER LA MESURE DE LA
LONGUEUR D’UNE LIGNE COURBE ?
La tâche est plus délicate. Dans la pratique, on
utilise un instrument, par exemple un
curvimètre ou un mètre souple.
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En l’absence d’un tel instrument, on peut
tracer une ligne brisée dont les sommets sont
sur la ligne courbe. En mesurant la ligne
brisée on obtient une approximation de la
mesure de la ligne courbe. Intuitivement, il
paraît clair que plus les points choisis sont
resserrés, plus l’erreur commise est réduite.
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E/ REMARQUES SUR LA DISTINCTION ENTRE
VALEUR EXACTE ET VALEUR APPROCHÉE
D’UNE MESURE.
Pour exprimer le résultat d’une mesure
physique, il est préférable d’utiliser le symbole
≈ signifiant « à peu près égal à » ou de fournir
un encadrement.
Par exemple, si en mesurant un segment de
longueur L avec une règle graduée au demimillimètre, on trouve 3,2 cm, on écrira L ≈ 3,2
cm ou mieux, puisque la précision est connue :
3,15 cm < L < 3,25 cm.
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Quand les calculs permettent d’obtenir la
mesure exacte d’une longueur, en supposant
exactes les données de l’énoncé, on donne
cette valeur exacte comme réponse et on
donne une valeur approchée si l’énoncé le
demande en tronquant ou en arrondissant
convenablement le développement décimal de
la valeur exacte fournie par les calculs.
Exemple : L = 2 π cm
valeur arrondie de L à 0,1 près : L ≈ 6,3 cm.
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3/ Formules :
a/ rappel de quelques mesures obtenues en
utilisant le théorème de Pythagore :
Mesure de la diagonale d’un carré de côté
mesurant a :
avec la même unité.
Mesure de la hauteur d’un triangle équilatéral
de côté mesurant a :
avec la même unité.
b/ Mesure du périmètre d’un polygone : somme
des mesures des longueurs des côtés.
c/ Mesure du périmètre d’un cercle de rayon R :
2πR
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4/ NOTION DE DISTANCE :
a/ Distance de deux points A et B
La distance entre deux points A et B est la
mesure de la longueur du segment [AB].
On la note d(A,B) ou AB.
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PROPRIÉTÉ
Si l’on considère toutes les lignes de
l’espace dont les extrémités sont A et B,
elles ont toutes une longueur supérieure ou
égale à AB.
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On a en particulier ce que l’on appelle
l’inégalité triangulaire : AB ≤ AC + CB
quels que soient les 3 points A,B et C.
L’inégalité est stricte sauf si A, B et C
sont alignés et C entre A et B.
En langage courant, on dit : « la ligne
droite est le plus court chemin d’un
point à un autre ».
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B/ DISTANCE D’UN POINT M À UNE DROITE (D)
Par un point M
extérieur à une droite
(D), on peut mener
une seule droite (D’)
perpendiculaire à la
droite (D). Soit H le
point d’intersection
de (D) et de (D’).
On appelle « distance
de M à (D) » la
mesure de la
longueur [MH].
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NB : si le point M est sur (D),
alors H=M, la distance de M à
(D) est nulle.
En langage courant, on dit que
« MH est le plus court chemin du
point M à la droite (D) ».
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C/ DISTANCE D’UN POINT M À
ENSEMBLE DE POINTS
Voici quatre figures :
Dans chaque figure, F est une région délimitée par une ligne fermée. N est un
point quelconque de cette ligne et M est un point fixe extérieur à F.
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LA MESURE DE LA LONGUEUR DE [MN] DÉPEND DE LA
POSITION DE N SUR LA LIGNE BORDANT F. LA VALEUR
MINIMALE DE CETTE MESURE QUAND N SE DÉPLACE EST CE
QU’ON APPELLE LA « DISTANCE DE M À F ».
Les figures ci-dessous montrent où doit être
placé le point N pour que la mesure de MN soit
minimale. Sur les trois premières figures à
partir de la gauche, il n’y a qu’une seule
possibilité, c’est le point H. Sur la quatrième, il y
a les deux possibilités H1 et H2.
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C/ DISTANCE DE DEUX DROITES DISTINCTES
PARALLÈLES
Sur cette figure, on a
deux droites fixes (D) et
(D’) et deux points M de
(D) et N de (D’). La
mesure de la longueur
du segment [MN] dépend
de la position de M et N.
La valeur minimale de
cette mesure est ce
que l’on appelle la
distance de (D) et (D’).
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La distance de deux droites s’obtient en
traçant une perpendiculaire commune (D’’) à
ces deux droites. La mesure du segment
porté par (D’’), délimité par (D) et (D’) donne
la valeur de cette distance (sur la figure :
H1M1 ou H2M2).
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V.AIRES DANS LE PLAN.
1/ GÉNÉRALITÉS
L’aire est une grandeur attribuée aux surfaces
(régions) du plan. Toute surface occupe une
étendue ; cette étendue est ce que l’on appelle
« l’aire ». Les mots « aire » et « superficie » sont
synonymes en mathématiques.
Dans le plan, les seules surfaces que nous
allons considérer seront composées d’une ou
d’un nombre fini de régions délimitées chacune
par un nombre fini de lignes fermées.
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Mesure d’une aire :
Supposons que l’on ait choisi une aire de référence
u. La mesure a de l’aire A d’une surface avec
l’unité u est par définition le nombre de fois que u
est comprise dans A. On dit « la mesure de A avec
l’unité u est égale à a.u » ou « la mesure de A est
égale à au ».
On écrit : mesu A= a ou plus simplement
A = au.
Ce nombre peut être entier, décimal ou non décimal.
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Les contenus mathématiques de ce
paragraphe mettent en relation trois notions
différentes :
La surface (objet géométrique)
L’aire (grandeur)
La mesure (nombre).
Vous devez faire attention dans les
expressions et les notations utilisées de ne
pas confondre ces trois notions.
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En particulier, il vaudrait mieux ne pas utiliser
le mot « surface » quand on veut parler
« d’aire ».
Il faudrait aussi éviter de dire ou d’écrire que
les deux surfaces sont égales sous le prétexte
qu’elles ont la même aire.
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EXEMPLES :
Les aires de ces trois figures sont toutes égales
à 4 cm2, mais les trois surfaces ne sont pas
égales entre elle, elles ne sont même pas
superposables.
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2/ PRATIQUE DES MESURES
A/ UNITÉS :
Voici la liste des unités les plus usitées du
système métrique.
Kilomètre carré
km2
1 000 000 m
106 m
Hectomètre carré
hm2
10 000 m
104 m
Décamètre carré
dam2
100 m
10 2 m
Mètre carré
m2
1m
1m
Décimètre carré
dm2
0,01 m
10-2 m
Centimètre carré
cm2
0,000 1 m
10-4 m
Millimètre carré
mm2
0,000 001 m
10-6 m
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Chaque unité est cent fois plus petite que celle qui la
précède dans le tableau.
Les unités d’aires du système international sont
construites comme produit de deux longueurs.
Ainsi :
1 décamètre2 = (1 décamètre)2 = (10 mètres)2 = 102
mètres2 = 100 mètres2.
La puissance deux (« au carré ») affecte aussi le
préfixe déca qui ne signifie plus 10 mais 102.
On dit souvent qu’un cm2 c’est un carré de un cm de
côté. Cette phrase est maladroite. Elle laisse à
penser que l’unité d’aire, ici le cm2, est une surface
de forme carrée. Il vaut mieux dire « un cm2, c’est
l’aire d’un carré de un cm de côté » de ne pas oublié
que qu’un cm2, c’est aussi l’aire des diverses
surfaces dessinées ci-après.
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IL PEUT ÊTRE UTILE DE CONNAÎTRE LES UNITÉS DU
SYSTÈME AGRAIRE (DONT LA CONNAISSANCE N’EST
PAS EXIGIBLE À L’ÉCOLE PRIMAIRE, MÊME SI ELLES
PEUVENT ÊTRE UTILISÉES).
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B/ CHANGEMENT D’UNITÉS :
Quand on change d’unités pour mesurer une
aire, ce n’est pas l’aire qui change mais sa
mesure. Ainsi, on peut parfaitement écrire :
30 cm2 = 0,003 m2 = 0,3 dm2 = 3 000 mm2.
Plus l’unité choisie est petite, plus le nombre
qui exprime la mesure augmente, mais l’aire ne
change pas.
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C/ COMMENT TROUVER LA MESURE DE
L’AIRE D’UNE SURFACE ?
Pour certaines surfaces, il existe des formules.
Pour les surfaces planes quelconques, il est
souvent commode de les décomposer en
surfaces plus simples pour lesquelles il existe
une formule de calcul. On peut aussi procéder
par soustraction.
Exemple :
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La décomposition de l’octogone en cinq carrés et quatre
triangles isocèles rectangles permet d’en calculer l’aire :
Mescm² (aire de l’octogone) = 5 + 4 x 0,5.
L’aire de l’octogone est de 7 cm².
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3/ FORMULES D’AIRES POUR DES SURFACES
PLANES
A/ TABLEAU DES FORMULES :
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Les Points A1, A2, A3, A4 sont tous sur la droite D
parallèle à (BC). Ils sont tous à la même distance de la
droite (BC). Donc les hauteurs issues de A1, A2, A3, A4
dans les triangles A1BC, A2BC, A3BC, A4BC ont la même
mesure. Comme ces triangles ont une base commune
[BC], les triangles A1BC, A2BC, A3BC, A4BC ont la même
aire.
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V.ANGLES DANS LE PLAN.
L’angle est une grandeur attribuée aux
secteurs du plan, régions délimitées par
deux demi-droites de même origine.
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La notion d’angle correspond à l’idée
intuitive d’ouverture. Sur la figure, les
secteurs, numérotés dans l’ordre
croissant sont de plus en plus ouverts, les
angles associés à ces secteurs sont de
plus en plus grands.
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Mesure d’un angle :
Supposons que l’on ait choisi un angle de
référence u. La mesure a de l’angle A d’un
secteur avec l’unité u est par définition le nombre
de fois que u est comprise dans A. On écrit :
mesu A = a ou plus simplement A = au . Quand
l’unité est le degré (°), on dit que la mesure de A
est égale à a° ou que A est égal à a° .
On écrit : A = a°.
Ce nombre peut être entier, décimal ou non. Il est
compris entre 0° et 360°.
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L’unité utilisée est le degré ; son abréviation est °.
Pour les angles dont la mesure en degrés n’est
pas un nombre entier, on peut utiliser deux
notations :
La notation décimale, par exemple 23,6°
La notation sexagésimale, par exemple
23°12’43 ‘’, qui se lit 23 degrés 12
minutes 43 secondes. On a les égalités
suivantes : 1° = 60’= 3 600’’ et
1’ = 60’’.
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Il existe d’autres unités.
Le
grade (abréviation gr). Certains
rapporteurs sont gradués en
grades. Un angle droit mesure 100
gr.
Le radian (abréviation rd), que l’on
utilise dès la seconde du lycée (le
degré étant abandonné au profit du
radian).
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Soit un cercle de centre O et de rayon R, deux points
A et B de ce cercle tels que la longueur de l’arc soit
égale à R. Par définition, l’angle mesure 1 rd.
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VI.LES DURÉES
.
1/ COMPARAISON ET MESURE DES DURÉES
A/ GÉNÉRALITÉS :
La durée est une grandeur attribuée
aux phénomènes, aux événements qui se
découlent dans notre vie, dans notre
environnement.
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Pour comparer les durées de deux phénomènes, il y a
deux cas théoriquement simples :
Si
les deux phénomènes débutent en
même temps, le plus long est celui qui
s’achèvent en deuxième ;
Si les deux phénomènes s’achèvent en
même temps, le plus long est celui qui a
débuté en premier.
Dans les autres cas, on compare le plus souvent leurs
mesures.
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POUR CELA, IL FAUT DISPOSER D’UN ÉTALON DE
DURÉE, C’EST-À-DIRE, D’UN PHÉNOMÈNE QUI SE
DÉROULE TOUJOURS AVEC LA MÊME DURÉE ET QUI
PUISSE SE REPRODUIRE INDÉFINIMENT.
Ce phénomène peut être naturel – la
rotation de la terre autour de son axe, la
révolution de la terre autour du soleil – ou
artificiel, créé par l’homme, comme par
exemple les oscillations d’un pendule
entretenue par des poids dans une horloge.
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Les anciens (Babyloniens, Hébreux, Grecs,
Egyptiens, Musulmans…) dont les connaissances
en astronomie étaient parfois assez développées,
ont pour la plupart défini les unités de durées à
partir de l’observation de phénomènes comme le
passage du soleil dans le plan méridien d’un lieu,
les phases de la lune, les équinoxes du printemps,
phénomènes qui se reproduisent à intervalles
réguliers respectivement d’un jour, d’un mois (en
fait 29,5 jours) et d’un an.
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Malheureusement à cause du caractère elliptique
de l’orbite terrestre, de l’inclinaison de son axe par
rapport au plan de son orbite, du fait aussi que la
direction de cet axe varie un peu au cours des
siècles, les périodes des phénomènes observés
ne sont pas rigoureusement constantes. L’unité de
base pour la mesure des durées, la seconde, est
actuellement définie à partir de phénomènes se
passant au niveau des électrons de l’atome de
césium.
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B/ LES UNITÉS :
VOICI LA LISTE DES UNITÉS COMMUNÉMENT
UTILISÉES.
Semaine
7 jours = 168 h = 604 800 s
Jour
j
24 h =86 400 s
heure
h
3600 s
minute
mn
60 s
seconde
s
milliseconde
ms
0,001 s = 10-3 s
microseconde
μs
0,000 001 s = 10-6 s
nanoseconde
ns
0,000 000 001 s = 10-9 s
picoseconde
ps
0,000 000 000 001 s = 10-12 s
On remarque qu’en dessous de la seconde, la logique est
décimale alors qu’au dessus, les équivalences obéissent à un
principe sexagésimal jusqu’à l’heure.
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Au-delà du jour de la semaine qui sont des multiples
fixes de la seconde, on a coutume d’utiliser le mois,
l’année, le siècle comme autres unités, mais celles-ci
sont variables.
Les mois à 31 jours sont janvier, mars, mai, juillet, août,
octobre et décembre.
Ceux à 30 jours sont avril, juin, septembre et novembre.
Le mois de février compte 29 jours ou 28 selon que l’année
est bissextile ou non.
Sont bissextiles les années des centenaires multiples de 400,
donc 2000, 2400, 2800 mais pas 1900, 2100, 2200.
Parmi les années autres que celles de ces centenaires, sont
bissextiles les années multiples de 4, donc 1996, 2004,
2008 mais pas 2002,2003,2005.
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VII/ QUELQUES ELEMENTS DE DIDACTIQUE SUR
LES MESURES
1/ LES CONTENUS ENSEIGNÉS
De façon générale, le maître doit aider les élèves à
percevoir les différences qu’il y a entre « un objet »,
« une grandeur » et « une mesure ».
Les difficultés à comprendre que l’on peut associer
plusieurs grandeurs à un même objet sont une des
principales sources d’erreurs chez les élèves.
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L’élève doit aussi être capable de mettre en
place des procédures de comparaisons de
grandeurs sans faire appel aux nombres.
Enfin, il doit comprendre que la notion de
mesure intervient lorsque les procédures de
comparaisons précédentes deviennent
insuffisantes pour comparer des grandeurs (il
peut être impossible par exemple de comparer
l’aire d’un carré et celle d’un disque en les
superposant).
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En
conséquence, dès l’école maternelle,
les programmes demandent d’aborder la
notion de grandeur au travers des activités
de classement, de rangements d’objets ou
à travers des activités de repérage
d’événements dans le temps.
Ces premières activités visent à construire
chez les élèves le sens de la grandeur,
indépendamment de la mesure et avant
que celle-ci n’intervienne.
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AU CYCLE 2 SONT INTRODUITES LES
NOTIONS DE MESURES DE LONGUEUR, DE
MASSES, DE DURÉES.
Au cycle 3 sont abordées les mesures d’aires et de
capacité.
Attention : le m3, ses multiples et ses sous-multiples
ne sont pas au programme de l’école primaire.
Dans ce cycle, le travail sur les mesures permet de
renforcer les connaissances sur les décimaux.
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LE VOCABULAIRE DES GRANDEURS
Le maître doit exercer une certaine vigilance sur le langage
utilisé pour évoquer les grandeurs.
Le mot grandeur n’a pas à être utilisé en classe : il est
remplacé par longueur, masse, aire, etc. selon le contexte.
Les mots du domaine des longueurs sont assez nombreux.
Citons hauteur d’un monument, d’un arbre (attention la
hauteur du soleil est un angle); altitude d’un sommet, d’un avion
en vol; dénivelé d’une route; profondeur d’une piscine; taille d’une
personne; tour de cou; distance entre deux lieux; largeur d’un
fleuve; périmètre d’un polygone; circonférence d’un cercle.
Il est important pour l’élève que tous ces mots, utilisés dans
des contextes différents, se réfèrent au même concept, appelé en
mathématiques longueur.
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Certains mots désignant des unités de longueur
(mètre, décimètre, décamètre) sont aussi utilises pour
nommer un outil de mesure : mètre ruban, mètre de
couturière, double-décimètre de l’élève, décamètre
d’arpenteur.
Le mot aire doit être différencié de ses homonymes :
l’air que nous respirons, l’air qu’on fredonne, l’aire
géographique (apparentée à une surface), l’ère
(l’époque).
Dans le domaine des volumes, le terme contenance
désigne un volume intérieur, les deux termes contenance
et volume peuvent être utilisés, tout en soulignant leur
différence avec le volume du son (qui évoque son
intensité), le volume posé sur l’étagère (le livre)…
A l’école primaire, le mot masse est considéré comme
synonyme de poids, comme dans le langage courant.
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DIFFÉRENCIATION AIRE/PÉRIMÈTRE
D’abord identifier les grandeurs et les
différencier de la mesure.
Objet
Figures
Lignes
Grandeur
Aire
Longueur
Mesure
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DÉCOUPAGE/RECOLLEMENT
Le parallélogramme a la même « étendue » que le
rectangle :
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DIFFÉRENCIER DEUX GRANDEURS
Un rectangle mesure 24 carreaux :
6
4
Peut-on trouver un autre rectangle qui ait la même aire ?
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EXERCICE
Trouver une figure dont l’aire est plus
petite que le rectangle et le périmètre
plus grand
Trouver une figure dont l’aire est plus
grande et qui ait le même périmètre.
Trouver une figure dont l’aire est plus
grande et le périmètre plus petit.
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2. LES DIFFICULTÉS DES ÉLÈVES
A/ DIFFICULTÉS À CONCEVOIR CERTAINES
GRANDEURS
Décrivons quelques activités pour
lesquelles les élèves de l’école
élémentaire ou du début de collège
manifestent souvent des hésitations ou
des erreurs de jugement.
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ACTIVITÉ N°1
Slide 80
Deux baguettes de même longueur sont présentées
à un enfant, comme l’indique la figure 1a. il est invité
à dire si une baguette est plus longue que l’autre.
En général, l’enfant répond que non. La même
question lui est reposée ensuite après que les
baguettes aient été placées, sous ses yeux, dans la
disposition représentée sue la figure 1b.
Beaucoup d’enfants (GS, CP) donnent alors une
réponse positive ; pour eux, tout se passe comme si
la longueur d’une baguette au moins avait été
modifiée, comme si elle ne s’était pas conservée
entre les deux moments de l’expérience.
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ACTIVITÉ N°2
Figure 2a
Figure 2b
Figure 2c
Slide 82
Deux ficelles de même longueur sont présentées à
un enfant, comme l’indique la figure 2a. Il est invité à
dire si une ficelle est plus longue que l’autre. En
général, il convient facilement que non.
La même question lui est reposée ensuite après que
l’une des ficelles ait été froissée (figure 2b) ou
enroulée (figure 2c) sous ses yeux.
Beaucoup d’enfants (GS, CP) donnent alors une
réponse positive ; pour eux, tout se passe comme si
la longueur d’une ficelle au moins avait été modifiée,
comme si elle ne s’était pas conservée entre les
deux moments de l’expérience.
Slide 83
Ces deux expériences rappellent les
expériences décrites et analysés par J. Piaget
dans « la Géométrie spontanée de l’enfant »
(PUF, 1948).
Pour lui, la « conservation » de la
longueur n’est en général atteinte
qu’aux alentours de 6 ans et demi.
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ACTIVITÉ N°3
IL S’AGIT DE L’EXERCICE N°14 DE
L’ÉVALUATION NATIONALE DE DÉBUT CE2
(SEPTEMBRE 1991).
Entoure le chien qui suivra le chemin le plus court
pour arriver à l’os
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En voici les résultats nationaux :
Réponse juste (chien de gauche entouré)
……………………………………………………..… 58,9 %
Chien de droite entouré
…………………………………………..…………… 23,1 %
Autres réponses…..……………………….… 16,9 %
Absence de réponse ……….……………… 1,1
%
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Les élèves se laissent influencer par
ce qu’ils voient
– le chien de droite est « à vol
d’oiseau » plus près de l’os que le
chien de gauche –
mais en répondant ainsi ils ne
prennent pas en compte la longueur
des chemins.
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ACTIVITÉ N°4
IL S’AGIT DE L’EXERCICE N°15 DU LIVRET
D’ÉVALUATION À L’ENTRÉE EN 6E (1997). LE CÔTÉ
DE LA MAILLE DU RÉSEAU QUADRILLÉ MESURE 1
CM.
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67% des élèves pensent que l’aire du carré est plus
grande que celle de la croix, la réponse exacte est
apportée par une majorité d’élèves mais pas par la
totalité.
22% des élèves seulement pensent que le
périmètre du carré est égal à celui de la croix.
56% pensent que le périmètre du carré est plus
grand que celui de la croix. Les élèves semblent
raisonner, à propos des périmètres, comme ils le
font pour les aires. Or il leur serait facile de compter
les segments unités le long de chaque contour pour
contrôler leur réponse. Ils ne le font pas parce qu’ils
sont sûrs de leur jugement.
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ACTIVITÉ N°5
IL S’AGIT DE L’EXERCICE DE G-S CLOSE (IN
CHILDREN’S UNDERSTANDING OF ANGLE AT
THE PRIMARY/ SECONDARY TRANSFER AGE,
1982)
Les élèves sont invités à se prononcer sur
l’éventuelle égalité d’angles regroupés par
paires ; dans six cas les angles sont bien
égaux, dans deux cas la somme des
mesures vaut 360°.
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Slide 91
Il n’y a que :
39% de réussite pour la paire {(c) , (d)] et
44% de réussite pour la paire {(g) , (h)] .
Pour des élèves de 6e, le taux de réussite de
cette activité est d’environ 40%.
Pour plus de la moitié d’entre eux, tout
se passe comme s’ils pensaient que plus
les côtés d’un angle sont longs, plus
l’angle est grand.
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ACTIVITÉ N°6
LES TROIS QUESTIONS SUIVANTES ONT ÉTÉ
POSÉS PAR G. VERGNAUD ET SON ÉQUIPE DE
CHERCHEURS À DES ÉLÈVES DU COLLÈGE.
Question I1 : volume de l’aquarium
Matériel : l’élève a devant lui une boîte en carton
(« l’aquarium ») de 39 cm de longueur, 17 cm de
hauteur, 20 cm de largeur. Il dispose d’un mètre
ruban.
Consigne : « Est-ce-que tu peux me dire la quantité
d’eau qu’on peut mettre dans cet aquarium en le
remplissant complètement ? »
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QUESTION I2 : VOLUME DE LA PIÈCE
MATÉRIEL : LA PIÈCE OÙ SE DÉROULE L’EXPÉRIENCE.
CONSIGNE : « EST-CE-QUE TU PEUX ESTIMER LE VOLUME DE
CETTE PIÈCE ? »
Question I4 : calcul du nombre de cubes (1cm d’arête)
nécessaires pour construire un parallélépipède rectangle
dont les arêtes mesurent 4 cm, 3 cm et 2 cm.
Matériel : une centaine de cubes emboîtables de 1 cm
d’arête.
Consigne : « Combien faut-il que je te donne de cubes
pour construire une boîte pleine (comme une boîte de
sucres) de 3 cm de large, 4 cm de long et 2 cm de haut ? »
Remarque : la question I4 n’a été posée qu’aux élèves
ayant échoué aux questions I1 et I2.
Slide 94
Questions
I1
I2
I4
Taux de
réussite
globale
(6e, 5e, 4e, 3e)
44 %
48 %
54 %
Les réussites sont obtenues grâce au produit des trois
dimensions.
Les erreurs consistent souvent à ajouter les trois
dimensions, ou à ajouter deux et à multiplier le
résultat par la troisième.
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Toutes ces activités montrent que les élèves :
Se laissent influencer par des aspects perceptifs de
la situation (ce qu’ils voient les pousse à une fausse
interprétation de la tâche ou les abuse).
Ou confondent certaines grandeurs voisines :
longueur d’une ligne / distance des extrémités ; aire
/ périmètre ; grandeur d’un angle et longueur des
côtés dessinés.
Ou mettent difficilement en relation les grandeurs
entre elles.
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Les difficultés persistantes au
collège à propos des volumes ont
conduit les auteurs des
programmes de 2002 à limiter, à
l’école élémentaire, l’étude des
volumes à celles des contenances
ou capacités.
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B/ D’AUTRES DIFFICULTÉS SONT D’ORDRE
PRATIQUE :
Lecture de la graduation d’une règle ou d’un
verre doseur
Mauvais positionnement de l’origine des
graduations
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C/ MALGRÉ L’EMPLOI SOUVENT INTENSIF DES
TABLEAUX DE CONVERSION, LES ERREURS OU
LES MALADRESSES, À PROPOS DES UNITÉS
SONT FRÉQUENTES
Oubli d’indiquer les unités dans les réponses
aux problèmes
Oubli de convertir les mesures dans la même
unité avant de calculer dans un problème (d’où
des réponses invraisemblables)
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La confusion entre unités, fréquente à propos du
poids et de la taille chez les jeunes élèves, se
poursuit au cycle 3, entre celles de longueur et
d’aire, entre les cL et les cm3, etc. (d’où l’abandon
des unités issues du m3)
Seul le litre, ses multiples et ses sous-multiples
sont au programme de l’école primaire.
Slide 100
La représentation des unités par des élèves est
souvent stéréotypée : un cm² est presque
toujours imaginé par les élèves comme un
carré de un cm de côté ; on peut faire
l’hypothèse qu’un telle « définition » va faire
obstacle pour comprendre ce que représente
l’aire d’une surface qui ne peut visiblement pas
être recouverte de tels carrés
Difficulté à comprendre que si l’on change
d’unités, c’est la mesure qui change et non la
grandeur qui change
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Méconnaissance
de quelques ordres de
grandeur de référence (hauteur d’une
maison, d’un immeuble, d’un arbre…)
Difficultés
sur les durées (elles ne
s’expriment pas dans le système
décimal)
Slide 102
BIBLIOGRAPHIE
- Préparer l’épreuve de mathématiques, vol. 3 « approche pédagogique », CNED,
2004
- Cours de mathématiques 2009 de M. Bourguet, formateur à l’IUFM de la Polynésie
française.
- Children’s understanding of angle at the primary/ secondary transfer age, G-S
Close,1982)
- La Géométrie spontanée de l’enfant, J. Piaget, PUF, 1948.
- Documents d’application des programmes, CNDP, 2002
- Livret d’évaluation nationale à l’entrée en 6e (1997).
- Livret d’ évaluation nationale de début CE2 (1991).
Slide 103
Fin
David Rolland, PIUFM
Mathématiques
GRANDEUR ET MESURES
David Rolland, formateur en mathématiques
Slide 2
PLAN DU COURS
I- Vos connaissances
II- Généralités sur les grandeurs
III. Mesurer une grandeur
IV- Longueurs et distances dans le plan
V- Aires dans le plan
VI. Angles
VII. Les durées
VIII. Quelques éléments de didactique
2
Slide 3
I. VOS CONNAISSANCES
1. Faites-vous une différence entre les expressions «longueur d’un
ruban» et «mesure d’un ruban» ? Si oui, laquelle ?
2. Faites-vous une différence entre les mots « aire » et « surface » ? Si
oui, laquelle ?
3. Quelles sont les grandeurs étudiées à l’école primaire ?
4. Quelle définition donneriez-vous du « mètre » ?
5. Comment définiriez-vous le périmètre d’une figure ?
6. « Plus l’aire d’une figure augmente, plus son périmètre augmente ».
Cette phrase est-elle vraie ou fausse ?
7. Si on multiplie les dimensions d’un rectangle par 5, par combien
est multipliée son aire ?
8. Si on multiplie par 3 les dimensions d’un pavé, par combien est
multiplié son volume ?
9. Convertir en heures, minutes, secondes : 7 h 47 min 12 s + 5 h 54
min 49 s puis 2,56 h.
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II. GÉNÉRALITÉS SUR LES GRANDEURS.
Nous avons tellement l’habitude de mesurer des
longueurs, calculer des aires, exprimer des durées
en heures, minutes et secondes, que nous avons du
mal à penser ces grandeurs autrement qu’en termes
de nombres, autrement dit que de manière
quantifiée.
Des expressions comme « calculer le périmètre d’un
rectangle ou d’un cercle », « appliquer une formule
pour trouver l’aire d’un disque ou d’un triangle »
signalent des liens profonds, une parenté très forte
entre la notion de grandeur et celle de nombre. En
effet, ces expressions évoquent la possibilité de
calculs avec des grandeurs alors que classiquement
les opérations s’effectuent entre nombres.
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Une grandeur est une qualité
commune à certaines catégories
OR UNE GRANDEUR
d’objets
:
N’EST PAS UN
- la longueur pour les lignes ;
- les aires NOMBRE
pour les surfaces ;
- l’angle pour les secteurs du plan ;
- le volume pour les solides ;
- la masse pour les objets matériels ;
- la durée pour les événements…
Slide 6
CETTE QUALITÉ DOIT AVOIR DEUX
PROPRIÉTÉS PARTICULIÈRES :
- ELLE DOIT PERMETTRE DE CLASSER
LES OBJETS EN CATÉGORIES DISJOINTES
- ELLE DOIT PERMETTRE D’ORDONNER
LES OBJETS DE MANIÈRE TRANSITIVE.
Pour expliquer ces deux propriétés, prenons
l’exemple des lignes.
Slide 7
La longueur possède ces deux propriétés.
Cela a du sens de dire que deux lignes ont
la même longueur et chaque catégorie de
lignes contient toutes les lignes ayant la
même longueur.
Cela a aussi du sens de dire qu’une ligne
est plus longue qu’une autre. D’autre part,
si une ligne L1 est plus longue qu’une ligne
L2, elle-même plus longue qu’une ligne L3,
alors L1 est plus longue que L3, c’est la
propriété de transitivité.
Slide 8
Toutes les qualités que l’on peut attribuer
aux objets n’ont pas de telles propriétés.
En effet, considérons la qualité pour une
ligne d’être brisée ou non.
On peut constituer deux catégories de
lignes : celles des lignes brisées et celles
des lignes non brisées. En revanche, cette
qualité ne permet pas d’ordonner les
lignes.
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Une grandeur peut avoir une
troisième propriété, elle peut
être additive ou sommable.
Prenons des exemples.
Slide 10
L’IDÉE DE SOMME DE DEUX LONGUEURS (DEUX
AIRES, DEUX MASSES, DEUX VOLUMES) EST ASSEZ
NATURELLE, IL SUFFIT DE METTRE DEUX LIGNES
BOUT À BOUT(DE JUXTAPOSER DEUX SURFACES,
DEUX OBJETS, DEUX SOLIDES).
LA SOMME DES LONGUEURS (DES DEUX AIRES,
DES DEUX MASSES, DES DEUX VOLUMES) EST LA
LONGUEUR (L’AIRE, LA MASSE, LE VOLUME) DE LA
RÉUNION DES DEUX LIGNES (DEUX SURFACES,
DEUX OBJETS, DEUX SOLIDES).
IL N’EST DONC PAS NÉCESSAIRE DE PASSER PAR
LES NOMBRES NI DE PASSER PAR LES MESURES
POUR DONNER DU SENS À DES EXPRESSIONS
COMME AJOUTER DEUX GRANDEURS
SOMMABLES.
Slide 11
Toutes les grandeurs n’ont pas cette
propriété.
Examinons un contre-exemple, celui de la
température.
Considérons deux récipients remplis de
liquides, à des températures variées.
Slide 12
CELA A DU SENS DE DIRE QUE DEUX LIQUIDES ONT
LA MÊME TEMPÉRATURE OU QU’UN LIQUIDE A UNE
TEMPÉRATURE SUPÉRIEURE À CELLE DE L’AUTRE
LIQUIDE.
TOUTEFOIS, LA TEMPÉRATURE N’EST PAS
SOMMABLE. EN EFFET, SI ON MÉLANGE DEUX
LIQUIDES AYANT DES TEMPÉRATURES
DIFFÉRENTES, LE MÉLANGE A UNE TEMPÉRATURE
COMPRISE ENTRE LES DEUX TEMPÉRATURES.
LA TEMPÉRATURE EST DONC UNE GRANDEUR
D’UNE AUTRE NATURE QUE LA LONGUEUR, L’AIRE,
LA MASSE, LE VOLUME OU LA DURÉE QUI SONT DES
GRANDEURS SOMMABLES.
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III. MESURER UNE GRANDEUR.
Les grandeurs que l’on qualifie de mesurables
possèdent les propriétés évoquées ci-dessus.
Pour mesurer une grandeur G, on choisit une
unité u, c’est-à-dire la grandeur d’un étalon U
de référence.
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Si la grandeur est sommable, ajouter
deux, trois, quatre unités, etc., cela a
du sens. On peut même définir les
multiples de u, c’est-à-dire les
grandeurs 2u, 3u, plus généralement
nu comme étant respectivement égales
à u+u, u+u+u, u+u+u+…+u, somme
dans laquelle u est répétée n fois.
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MESURER UNE GRANDEUR REVIENT À
COMPARER G AVEC LES MULTIPLES SUCCESSIFS
DE U.
Il se peut que G soit égale à un multiple
particulier de u, on écrit alors G = n u , ou
que G soit comprise entre deux multiples
successifs de u, on écrit alors nu
On a un encadrement de G que l’on peut
affiner en choisissant une autre unité u’,
inférieure à u
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REMARQUES :
Si la grandeur n’était pas sommable, parler des
multiples de l’unité ou écrire des égalités ou
inégalités comme ci-dessus n’auraient pas de
sens.
Dans la pratique, la mesure conduit à une
mesure exacte ou à un encadrement, cela
dépend des unités dont on dispose.
Slide 17
IV.LONGUEURS ET DISTANCES DANS LE
PLAN.
1/ GÉNÉRALITÉS
La longueur est une grandeur attribuée aux
lignes. Ces lignes peuvent être composées de
segments ou de courbes.
La longueur d’une ligne fermée s’appelle son
périmètre. Pour un cercle, on dit
indifféremment : périmètre d’un cercle,
longueur d’un cercle ou circonférence d’un
cercle.
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Supposons que l’on ait choisi une longueur
de référence u. La mesure l de la longueur L
d’une ligne avec l’unité u est par définition le
nombre de fois que u est comprise dans L.
On dit que « la mesure de L avec l’unité u est
égale à l », on dit aussi « la mesure de L est
égale à l u ».
Ce nombre peut être entier, décimal ou
même non décimal.
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2/ PRATIQUE DES MESURES :
A/ UNITÉS :
Voici la liste des unités du système métrique :
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Kilomètre
km
1000 m
103 m
hectomètre
hm
100 m
102 m
décamètre
dam
10 m
10 1 m
mètre
m
1m
1m
décimètre
dm
0,1 m
10-1 m
centimètre
cm
0,01 m
10-2 m
millimètre
micromètre
(micron)
mm
0,001 m
10-3 m
μm (μ)
0,000 001 m
10-6 m
nanomètre
nm
0,000 000 001
10-9 m
picomètre
pm
0,000 000 000 001 m 10-12 m
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CHAQUE UNITÉ, DU KILOMÈTRE AU MILLIMÈTRE, EST
10 FOIS PLUS PETITE QUE CELLE QUI LA PRÉCÈDE
DANS LE TABLEAU.
Remarque :
Il peut être utile de connaître une unité utilisée
en astronomie : l’année lumière (a.l.) qui
équivaut à la distance parcourue par la lumière
en une année, soit environ 9,46x1012 km.
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B/ CHANGEMENT D’UNITÉS.
Quand on change d’unités pour mesurer une
longueur, ce n’est pas la longueur qui change
mais sa mesure.
Ainsi on peut parfaitement écrire :
30 cm = 0,3 m = 3 dm = 300 mm.
Slide 23
C/ COMMENT TROUVER LA MESURE DE LA
LONGUEUR D’UN SEGMENT ?
On peut si l’on dispose d’une figure à l’échelle
mesurer la longueur de ce segment à l’aide d’une
règle graduée. On obtient alors une valeur
approchée de la mesure. Cette valeur est
approchée pour au moins deux raisons :
- imprécision des graduations
- inexactitude possible de la figure.
On peut utiliser une méthode plus mathématique à
l’aide de théorèmes connus, comme celui de
Pythagore.
Slide 24
D/ COMMENT TROUVER LA MESURE DE LA
LONGUEUR D’UNE LIGNE COURBE ?
La tâche est plus délicate. Dans la pratique, on
utilise un instrument, par exemple un
curvimètre ou un mètre souple.
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En l’absence d’un tel instrument, on peut
tracer une ligne brisée dont les sommets sont
sur la ligne courbe. En mesurant la ligne
brisée on obtient une approximation de la
mesure de la ligne courbe. Intuitivement, il
paraît clair que plus les points choisis sont
resserrés, plus l’erreur commise est réduite.
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E/ REMARQUES SUR LA DISTINCTION ENTRE
VALEUR EXACTE ET VALEUR APPROCHÉE
D’UNE MESURE.
Pour exprimer le résultat d’une mesure
physique, il est préférable d’utiliser le symbole
≈ signifiant « à peu près égal à » ou de fournir
un encadrement.
Par exemple, si en mesurant un segment de
longueur L avec une règle graduée au demimillimètre, on trouve 3,2 cm, on écrira L ≈ 3,2
cm ou mieux, puisque la précision est connue :
3,15 cm < L < 3,25 cm.
Slide 27
Quand les calculs permettent d’obtenir la
mesure exacte d’une longueur, en supposant
exactes les données de l’énoncé, on donne
cette valeur exacte comme réponse et on
donne une valeur approchée si l’énoncé le
demande en tronquant ou en arrondissant
convenablement le développement décimal de
la valeur exacte fournie par les calculs.
Exemple : L = 2 π cm
valeur arrondie de L à 0,1 près : L ≈ 6,3 cm.
Slide 28
3/ Formules :
a/ rappel de quelques mesures obtenues en
utilisant le théorème de Pythagore :
Mesure de la diagonale d’un carré de côté
mesurant a :
avec la même unité.
Mesure de la hauteur d’un triangle équilatéral
de côté mesurant a :
avec la même unité.
b/ Mesure du périmètre d’un polygone : somme
des mesures des longueurs des côtés.
c/ Mesure du périmètre d’un cercle de rayon R :
2πR
Slide 29
4/ NOTION DE DISTANCE :
a/ Distance de deux points A et B
La distance entre deux points A et B est la
mesure de la longueur du segment [AB].
On la note d(A,B) ou AB.
Slide 30
PROPRIÉTÉ
Si l’on considère toutes les lignes de
l’espace dont les extrémités sont A et B,
elles ont toutes une longueur supérieure ou
égale à AB.
Slide 31
On a en particulier ce que l’on appelle
l’inégalité triangulaire : AB ≤ AC + CB
quels que soient les 3 points A,B et C.
L’inégalité est stricte sauf si A, B et C
sont alignés et C entre A et B.
En langage courant, on dit : « la ligne
droite est le plus court chemin d’un
point à un autre ».
Slide 32
B/ DISTANCE D’UN POINT M À UNE DROITE (D)
Par un point M
extérieur à une droite
(D), on peut mener
une seule droite (D’)
perpendiculaire à la
droite (D). Soit H le
point d’intersection
de (D) et de (D’).
On appelle « distance
de M à (D) » la
mesure de la
longueur [MH].
Slide 33
NB : si le point M est sur (D),
alors H=M, la distance de M à
(D) est nulle.
En langage courant, on dit que
« MH est le plus court chemin du
point M à la droite (D) ».
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C/ DISTANCE D’UN POINT M À
ENSEMBLE DE POINTS
Voici quatre figures :
Dans chaque figure, F est une région délimitée par une ligne fermée. N est un
point quelconque de cette ligne et M est un point fixe extérieur à F.
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LA MESURE DE LA LONGUEUR DE [MN] DÉPEND DE LA
POSITION DE N SUR LA LIGNE BORDANT F. LA VALEUR
MINIMALE DE CETTE MESURE QUAND N SE DÉPLACE EST CE
QU’ON APPELLE LA « DISTANCE DE M À F ».
Les figures ci-dessous montrent où doit être
placé le point N pour que la mesure de MN soit
minimale. Sur les trois premières figures à
partir de la gauche, il n’y a qu’une seule
possibilité, c’est le point H. Sur la quatrième, il y
a les deux possibilités H1 et H2.
Slide 36
Slide 37
C/ DISTANCE DE DEUX DROITES DISTINCTES
PARALLÈLES
Sur cette figure, on a
deux droites fixes (D) et
(D’) et deux points M de
(D) et N de (D’). La
mesure de la longueur
du segment [MN] dépend
de la position de M et N.
La valeur minimale de
cette mesure est ce
que l’on appelle la
distance de (D) et (D’).
Slide 38
La distance de deux droites s’obtient en
traçant une perpendiculaire commune (D’’) à
ces deux droites. La mesure du segment
porté par (D’’), délimité par (D) et (D’) donne
la valeur de cette distance (sur la figure :
H1M1 ou H2M2).
Slide 39
V.AIRES DANS LE PLAN.
1/ GÉNÉRALITÉS
L’aire est une grandeur attribuée aux surfaces
(régions) du plan. Toute surface occupe une
étendue ; cette étendue est ce que l’on appelle
« l’aire ». Les mots « aire » et « superficie » sont
synonymes en mathématiques.
Dans le plan, les seules surfaces que nous
allons considérer seront composées d’une ou
d’un nombre fini de régions délimitées chacune
par un nombre fini de lignes fermées.
Slide 40
Slide 41
Mesure d’une aire :
Supposons que l’on ait choisi une aire de référence
u. La mesure a de l’aire A d’une surface avec
l’unité u est par définition le nombre de fois que u
est comprise dans A. On dit « la mesure de A avec
l’unité u est égale à a.u » ou « la mesure de A est
égale à au ».
On écrit : mesu A= a ou plus simplement
A = au.
Ce nombre peut être entier, décimal ou non décimal.
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Les contenus mathématiques de ce
paragraphe mettent en relation trois notions
différentes :
La surface (objet géométrique)
L’aire (grandeur)
La mesure (nombre).
Vous devez faire attention dans les
expressions et les notations utilisées de ne
pas confondre ces trois notions.
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En particulier, il vaudrait mieux ne pas utiliser
le mot « surface » quand on veut parler
« d’aire ».
Il faudrait aussi éviter de dire ou d’écrire que
les deux surfaces sont égales sous le prétexte
qu’elles ont la même aire.
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EXEMPLES :
Les aires de ces trois figures sont toutes égales
à 4 cm2, mais les trois surfaces ne sont pas
égales entre elle, elles ne sont même pas
superposables.
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2/ PRATIQUE DES MESURES
A/ UNITÉS :
Voici la liste des unités les plus usitées du
système métrique.
Kilomètre carré
km2
1 000 000 m
106 m
Hectomètre carré
hm2
10 000 m
104 m
Décamètre carré
dam2
100 m
10 2 m
Mètre carré
m2
1m
1m
Décimètre carré
dm2
0,01 m
10-2 m
Centimètre carré
cm2
0,000 1 m
10-4 m
Millimètre carré
mm2
0,000 001 m
10-6 m
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Chaque unité est cent fois plus petite que celle qui la
précède dans le tableau.
Les unités d’aires du système international sont
construites comme produit de deux longueurs.
Ainsi :
1 décamètre2 = (1 décamètre)2 = (10 mètres)2 = 102
mètres2 = 100 mètres2.
La puissance deux (« au carré ») affecte aussi le
préfixe déca qui ne signifie plus 10 mais 102.
On dit souvent qu’un cm2 c’est un carré de un cm de
côté. Cette phrase est maladroite. Elle laisse à
penser que l’unité d’aire, ici le cm2, est une surface
de forme carrée. Il vaut mieux dire « un cm2, c’est
l’aire d’un carré de un cm de côté » de ne pas oublié
que qu’un cm2, c’est aussi l’aire des diverses
surfaces dessinées ci-après.
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IL PEUT ÊTRE UTILE DE CONNAÎTRE LES UNITÉS DU
SYSTÈME AGRAIRE (DONT LA CONNAISSANCE N’EST
PAS EXIGIBLE À L’ÉCOLE PRIMAIRE, MÊME SI ELLES
PEUVENT ÊTRE UTILISÉES).
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B/ CHANGEMENT D’UNITÉS :
Quand on change d’unités pour mesurer une
aire, ce n’est pas l’aire qui change mais sa
mesure. Ainsi, on peut parfaitement écrire :
30 cm2 = 0,003 m2 = 0,3 dm2 = 3 000 mm2.
Plus l’unité choisie est petite, plus le nombre
qui exprime la mesure augmente, mais l’aire ne
change pas.
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C/ COMMENT TROUVER LA MESURE DE
L’AIRE D’UNE SURFACE ?
Pour certaines surfaces, il existe des formules.
Pour les surfaces planes quelconques, il est
souvent commode de les décomposer en
surfaces plus simples pour lesquelles il existe
une formule de calcul. On peut aussi procéder
par soustraction.
Exemple :
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La décomposition de l’octogone en cinq carrés et quatre
triangles isocèles rectangles permet d’en calculer l’aire :
Mescm² (aire de l’octogone) = 5 + 4 x 0,5.
L’aire de l’octogone est de 7 cm².
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3/ FORMULES D’AIRES POUR DES SURFACES
PLANES
A/ TABLEAU DES FORMULES :
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Les Points A1, A2, A3, A4 sont tous sur la droite D
parallèle à (BC). Ils sont tous à la même distance de la
droite (BC). Donc les hauteurs issues de A1, A2, A3, A4
dans les triangles A1BC, A2BC, A3BC, A4BC ont la même
mesure. Comme ces triangles ont une base commune
[BC], les triangles A1BC, A2BC, A3BC, A4BC ont la même
aire.
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V.ANGLES DANS LE PLAN.
L’angle est une grandeur attribuée aux
secteurs du plan, régions délimitées par
deux demi-droites de même origine.
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La notion d’angle correspond à l’idée
intuitive d’ouverture. Sur la figure, les
secteurs, numérotés dans l’ordre
croissant sont de plus en plus ouverts, les
angles associés à ces secteurs sont de
plus en plus grands.
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Mesure d’un angle :
Supposons que l’on ait choisi un angle de
référence u. La mesure a de l’angle A d’un
secteur avec l’unité u est par définition le nombre
de fois que u est comprise dans A. On écrit :
mesu A = a ou plus simplement A = au . Quand
l’unité est le degré (°), on dit que la mesure de A
est égale à a° ou que A est égal à a° .
On écrit : A = a°.
Ce nombre peut être entier, décimal ou non. Il est
compris entre 0° et 360°.
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L’unité utilisée est le degré ; son abréviation est °.
Pour les angles dont la mesure en degrés n’est
pas un nombre entier, on peut utiliser deux
notations :
La notation décimale, par exemple 23,6°
La notation sexagésimale, par exemple
23°12’43 ‘’, qui se lit 23 degrés 12
minutes 43 secondes. On a les égalités
suivantes : 1° = 60’= 3 600’’ et
1’ = 60’’.
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Il existe d’autres unités.
Le
grade (abréviation gr). Certains
rapporteurs sont gradués en
grades. Un angle droit mesure 100
gr.
Le radian (abréviation rd), que l’on
utilise dès la seconde du lycée (le
degré étant abandonné au profit du
radian).
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Soit un cercle de centre O et de rayon R, deux points
A et B de ce cercle tels que la longueur de l’arc soit
égale à R. Par définition, l’angle mesure 1 rd.
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VI.LES DURÉES
.
1/ COMPARAISON ET MESURE DES DURÉES
A/ GÉNÉRALITÉS :
La durée est une grandeur attribuée
aux phénomènes, aux événements qui se
découlent dans notre vie, dans notre
environnement.
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Pour comparer les durées de deux phénomènes, il y a
deux cas théoriquement simples :
Si
les deux phénomènes débutent en
même temps, le plus long est celui qui
s’achèvent en deuxième ;
Si les deux phénomènes s’achèvent en
même temps, le plus long est celui qui a
débuté en premier.
Dans les autres cas, on compare le plus souvent leurs
mesures.
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POUR CELA, IL FAUT DISPOSER D’UN ÉTALON DE
DURÉE, C’EST-À-DIRE, D’UN PHÉNOMÈNE QUI SE
DÉROULE TOUJOURS AVEC LA MÊME DURÉE ET QUI
PUISSE SE REPRODUIRE INDÉFINIMENT.
Ce phénomène peut être naturel – la
rotation de la terre autour de son axe, la
révolution de la terre autour du soleil – ou
artificiel, créé par l’homme, comme par
exemple les oscillations d’un pendule
entretenue par des poids dans une horloge.
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Les anciens (Babyloniens, Hébreux, Grecs,
Egyptiens, Musulmans…) dont les connaissances
en astronomie étaient parfois assez développées,
ont pour la plupart défini les unités de durées à
partir de l’observation de phénomènes comme le
passage du soleil dans le plan méridien d’un lieu,
les phases de la lune, les équinoxes du printemps,
phénomènes qui se reproduisent à intervalles
réguliers respectivement d’un jour, d’un mois (en
fait 29,5 jours) et d’un an.
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Malheureusement à cause du caractère elliptique
de l’orbite terrestre, de l’inclinaison de son axe par
rapport au plan de son orbite, du fait aussi que la
direction de cet axe varie un peu au cours des
siècles, les périodes des phénomènes observés
ne sont pas rigoureusement constantes. L’unité de
base pour la mesure des durées, la seconde, est
actuellement définie à partir de phénomènes se
passant au niveau des électrons de l’atome de
césium.
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B/ LES UNITÉS :
VOICI LA LISTE DES UNITÉS COMMUNÉMENT
UTILISÉES.
Semaine
7 jours = 168 h = 604 800 s
Jour
j
24 h =86 400 s
heure
h
3600 s
minute
mn
60 s
seconde
s
milliseconde
ms
0,001 s = 10-3 s
microseconde
μs
0,000 001 s = 10-6 s
nanoseconde
ns
0,000 000 001 s = 10-9 s
picoseconde
ps
0,000 000 000 001 s = 10-12 s
On remarque qu’en dessous de la seconde, la logique est
décimale alors qu’au dessus, les équivalences obéissent à un
principe sexagésimal jusqu’à l’heure.
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Au-delà du jour de la semaine qui sont des multiples
fixes de la seconde, on a coutume d’utiliser le mois,
l’année, le siècle comme autres unités, mais celles-ci
sont variables.
Les mois à 31 jours sont janvier, mars, mai, juillet, août,
octobre et décembre.
Ceux à 30 jours sont avril, juin, septembre et novembre.
Le mois de février compte 29 jours ou 28 selon que l’année
est bissextile ou non.
Sont bissextiles les années des centenaires multiples de 400,
donc 2000, 2400, 2800 mais pas 1900, 2100, 2200.
Parmi les années autres que celles de ces centenaires, sont
bissextiles les années multiples de 4, donc 1996, 2004,
2008 mais pas 2002,2003,2005.
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VII/ QUELQUES ELEMENTS DE DIDACTIQUE SUR
LES MESURES
1/ LES CONTENUS ENSEIGNÉS
De façon générale, le maître doit aider les élèves à
percevoir les différences qu’il y a entre « un objet »,
« une grandeur » et « une mesure ».
Les difficultés à comprendre que l’on peut associer
plusieurs grandeurs à un même objet sont une des
principales sources d’erreurs chez les élèves.
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L’élève doit aussi être capable de mettre en
place des procédures de comparaisons de
grandeurs sans faire appel aux nombres.
Enfin, il doit comprendre que la notion de
mesure intervient lorsque les procédures de
comparaisons précédentes deviennent
insuffisantes pour comparer des grandeurs (il
peut être impossible par exemple de comparer
l’aire d’un carré et celle d’un disque en les
superposant).
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En
conséquence, dès l’école maternelle,
les programmes demandent d’aborder la
notion de grandeur au travers des activités
de classement, de rangements d’objets ou
à travers des activités de repérage
d’événements dans le temps.
Ces premières activités visent à construire
chez les élèves le sens de la grandeur,
indépendamment de la mesure et avant
que celle-ci n’intervienne.
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AU CYCLE 2 SONT INTRODUITES LES
NOTIONS DE MESURES DE LONGUEUR, DE
MASSES, DE DURÉES.
Au cycle 3 sont abordées les mesures d’aires et de
capacité.
Attention : le m3, ses multiples et ses sous-multiples
ne sont pas au programme de l’école primaire.
Dans ce cycle, le travail sur les mesures permet de
renforcer les connaissances sur les décimaux.
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LE VOCABULAIRE DES GRANDEURS
Le maître doit exercer une certaine vigilance sur le langage
utilisé pour évoquer les grandeurs.
Le mot grandeur n’a pas à être utilisé en classe : il est
remplacé par longueur, masse, aire, etc. selon le contexte.
Les mots du domaine des longueurs sont assez nombreux.
Citons hauteur d’un monument, d’un arbre (attention la
hauteur du soleil est un angle); altitude d’un sommet, d’un avion
en vol; dénivelé d’une route; profondeur d’une piscine; taille d’une
personne; tour de cou; distance entre deux lieux; largeur d’un
fleuve; périmètre d’un polygone; circonférence d’un cercle.
Il est important pour l’élève que tous ces mots, utilisés dans
des contextes différents, se réfèrent au même concept, appelé en
mathématiques longueur.
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Certains mots désignant des unités de longueur
(mètre, décimètre, décamètre) sont aussi utilises pour
nommer un outil de mesure : mètre ruban, mètre de
couturière, double-décimètre de l’élève, décamètre
d’arpenteur.
Le mot aire doit être différencié de ses homonymes :
l’air que nous respirons, l’air qu’on fredonne, l’aire
géographique (apparentée à une surface), l’ère
(l’époque).
Dans le domaine des volumes, le terme contenance
désigne un volume intérieur, les deux termes contenance
et volume peuvent être utilisés, tout en soulignant leur
différence avec le volume du son (qui évoque son
intensité), le volume posé sur l’étagère (le livre)…
A l’école primaire, le mot masse est considéré comme
synonyme de poids, comme dans le langage courant.
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DIFFÉRENCIATION AIRE/PÉRIMÈTRE
D’abord identifier les grandeurs et les
différencier de la mesure.
Objet
Figures
Lignes
Grandeur
Aire
Longueur
Mesure
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DÉCOUPAGE/RECOLLEMENT
Le parallélogramme a la même « étendue » que le
rectangle :
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DIFFÉRENCIER DEUX GRANDEURS
Un rectangle mesure 24 carreaux :
6
4
Peut-on trouver un autre rectangle qui ait la même aire ?
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EXERCICE
Trouver une figure dont l’aire est plus
petite que le rectangle et le périmètre
plus grand
Trouver une figure dont l’aire est plus
grande et qui ait le même périmètre.
Trouver une figure dont l’aire est plus
grande et le périmètre plus petit.
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2. LES DIFFICULTÉS DES ÉLÈVES
A/ DIFFICULTÉS À CONCEVOIR CERTAINES
GRANDEURS
Décrivons quelques activités pour
lesquelles les élèves de l’école
élémentaire ou du début de collège
manifestent souvent des hésitations ou
des erreurs de jugement.
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ACTIVITÉ N°1
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Deux baguettes de même longueur sont présentées
à un enfant, comme l’indique la figure 1a. il est invité
à dire si une baguette est plus longue que l’autre.
En général, l’enfant répond que non. La même
question lui est reposée ensuite après que les
baguettes aient été placées, sous ses yeux, dans la
disposition représentée sue la figure 1b.
Beaucoup d’enfants (GS, CP) donnent alors une
réponse positive ; pour eux, tout se passe comme si
la longueur d’une baguette au moins avait été
modifiée, comme si elle ne s’était pas conservée
entre les deux moments de l’expérience.
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ACTIVITÉ N°2
Figure 2a
Figure 2b
Figure 2c
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Deux ficelles de même longueur sont présentées à
un enfant, comme l’indique la figure 2a. Il est invité à
dire si une ficelle est plus longue que l’autre. En
général, il convient facilement que non.
La même question lui est reposée ensuite après que
l’une des ficelles ait été froissée (figure 2b) ou
enroulée (figure 2c) sous ses yeux.
Beaucoup d’enfants (GS, CP) donnent alors une
réponse positive ; pour eux, tout se passe comme si
la longueur d’une ficelle au moins avait été modifiée,
comme si elle ne s’était pas conservée entre les
deux moments de l’expérience.
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Ces deux expériences rappellent les
expériences décrites et analysés par J. Piaget
dans « la Géométrie spontanée de l’enfant »
(PUF, 1948).
Pour lui, la « conservation » de la
longueur n’est en général atteinte
qu’aux alentours de 6 ans et demi.
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ACTIVITÉ N°3
IL S’AGIT DE L’EXERCICE N°14 DE
L’ÉVALUATION NATIONALE DE DÉBUT CE2
(SEPTEMBRE 1991).
Entoure le chien qui suivra le chemin le plus court
pour arriver à l’os
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En voici les résultats nationaux :
Réponse juste (chien de gauche entouré)
……………………………………………………..… 58,9 %
Chien de droite entouré
…………………………………………..…………… 23,1 %
Autres réponses…..……………………….… 16,9 %
Absence de réponse ……….……………… 1,1
%
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Les élèves se laissent influencer par
ce qu’ils voient
– le chien de droite est « à vol
d’oiseau » plus près de l’os que le
chien de gauche –
mais en répondant ainsi ils ne
prennent pas en compte la longueur
des chemins.
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ACTIVITÉ N°4
IL S’AGIT DE L’EXERCICE N°15 DU LIVRET
D’ÉVALUATION À L’ENTRÉE EN 6E (1997). LE CÔTÉ
DE LA MAILLE DU RÉSEAU QUADRILLÉ MESURE 1
CM.
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67% des élèves pensent que l’aire du carré est plus
grande que celle de la croix, la réponse exacte est
apportée par une majorité d’élèves mais pas par la
totalité.
22% des élèves seulement pensent que le
périmètre du carré est égal à celui de la croix.
56% pensent que le périmètre du carré est plus
grand que celui de la croix. Les élèves semblent
raisonner, à propos des périmètres, comme ils le
font pour les aires. Or il leur serait facile de compter
les segments unités le long de chaque contour pour
contrôler leur réponse. Ils ne le font pas parce qu’ils
sont sûrs de leur jugement.
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ACTIVITÉ N°5
IL S’AGIT DE L’EXERCICE DE G-S CLOSE (IN
CHILDREN’S UNDERSTANDING OF ANGLE AT
THE PRIMARY/ SECONDARY TRANSFER AGE,
1982)
Les élèves sont invités à se prononcer sur
l’éventuelle égalité d’angles regroupés par
paires ; dans six cas les angles sont bien
égaux, dans deux cas la somme des
mesures vaut 360°.
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Il n’y a que :
39% de réussite pour la paire {(c) , (d)] et
44% de réussite pour la paire {(g) , (h)] .
Pour des élèves de 6e, le taux de réussite de
cette activité est d’environ 40%.
Pour plus de la moitié d’entre eux, tout
se passe comme s’ils pensaient que plus
les côtés d’un angle sont longs, plus
l’angle est grand.
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ACTIVITÉ N°6
LES TROIS QUESTIONS SUIVANTES ONT ÉTÉ
POSÉS PAR G. VERGNAUD ET SON ÉQUIPE DE
CHERCHEURS À DES ÉLÈVES DU COLLÈGE.
Question I1 : volume de l’aquarium
Matériel : l’élève a devant lui une boîte en carton
(« l’aquarium ») de 39 cm de longueur, 17 cm de
hauteur, 20 cm de largeur. Il dispose d’un mètre
ruban.
Consigne : « Est-ce-que tu peux me dire la quantité
d’eau qu’on peut mettre dans cet aquarium en le
remplissant complètement ? »
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QUESTION I2 : VOLUME DE LA PIÈCE
MATÉRIEL : LA PIÈCE OÙ SE DÉROULE L’EXPÉRIENCE.
CONSIGNE : « EST-CE-QUE TU PEUX ESTIMER LE VOLUME DE
CETTE PIÈCE ? »
Question I4 : calcul du nombre de cubes (1cm d’arête)
nécessaires pour construire un parallélépipède rectangle
dont les arêtes mesurent 4 cm, 3 cm et 2 cm.
Matériel : une centaine de cubes emboîtables de 1 cm
d’arête.
Consigne : « Combien faut-il que je te donne de cubes
pour construire une boîte pleine (comme une boîte de
sucres) de 3 cm de large, 4 cm de long et 2 cm de haut ? »
Remarque : la question I4 n’a été posée qu’aux élèves
ayant échoué aux questions I1 et I2.
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Questions
I1
I2
I4
Taux de
réussite
globale
(6e, 5e, 4e, 3e)
44 %
48 %
54 %
Les réussites sont obtenues grâce au produit des trois
dimensions.
Les erreurs consistent souvent à ajouter les trois
dimensions, ou à ajouter deux et à multiplier le
résultat par la troisième.
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Toutes ces activités montrent que les élèves :
Se laissent influencer par des aspects perceptifs de
la situation (ce qu’ils voient les pousse à une fausse
interprétation de la tâche ou les abuse).
Ou confondent certaines grandeurs voisines :
longueur d’une ligne / distance des extrémités ; aire
/ périmètre ; grandeur d’un angle et longueur des
côtés dessinés.
Ou mettent difficilement en relation les grandeurs
entre elles.
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Les difficultés persistantes au
collège à propos des volumes ont
conduit les auteurs des
programmes de 2002 à limiter, à
l’école élémentaire, l’étude des
volumes à celles des contenances
ou capacités.
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B/ D’AUTRES DIFFICULTÉS SONT D’ORDRE
PRATIQUE :
Lecture de la graduation d’une règle ou d’un
verre doseur
Mauvais positionnement de l’origine des
graduations
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C/ MALGRÉ L’EMPLOI SOUVENT INTENSIF DES
TABLEAUX DE CONVERSION, LES ERREURS OU
LES MALADRESSES, À PROPOS DES UNITÉS
SONT FRÉQUENTES
Oubli d’indiquer les unités dans les réponses
aux problèmes
Oubli de convertir les mesures dans la même
unité avant de calculer dans un problème (d’où
des réponses invraisemblables)
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La confusion entre unités, fréquente à propos du
poids et de la taille chez les jeunes élèves, se
poursuit au cycle 3, entre celles de longueur et
d’aire, entre les cL et les cm3, etc. (d’où l’abandon
des unités issues du m3)
Seul le litre, ses multiples et ses sous-multiples
sont au programme de l’école primaire.
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La représentation des unités par des élèves est
souvent stéréotypée : un cm² est presque
toujours imaginé par les élèves comme un
carré de un cm de côté ; on peut faire
l’hypothèse qu’un telle « définition » va faire
obstacle pour comprendre ce que représente
l’aire d’une surface qui ne peut visiblement pas
être recouverte de tels carrés
Difficulté à comprendre que si l’on change
d’unités, c’est la mesure qui change et non la
grandeur qui change
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Méconnaissance
de quelques ordres de
grandeur de référence (hauteur d’une
maison, d’un immeuble, d’un arbre…)
Difficultés
sur les durées (elles ne
s’expriment pas dans le système
décimal)
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BIBLIOGRAPHIE
- Préparer l’épreuve de mathématiques, vol. 3 « approche pédagogique », CNED,
2004
- Cours de mathématiques 2009 de M. Bourguet, formateur à l’IUFM de la Polynésie
française.
- Children’s understanding of angle at the primary/ secondary transfer age, G-S
Close,1982)
- La Géométrie spontanée de l’enfant, J. Piaget, PUF, 1948.
- Documents d’application des programmes, CNDP, 2002
- Livret d’évaluation nationale à l’entrée en 6e (1997).
- Livret d’ évaluation nationale de début CE2 (1991).
Slide 103
Fin
David Rolland, PIUFM
Mathématiques