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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 4

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 6

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 8

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 10

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 12

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 15

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 16

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 17

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 18

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 19

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


Slide 21

GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net


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GRANDEURS ET MESURES

Sommaire

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
II Exemples de grandeurs

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
IV Le calcul sur les grandeurs
V Quelques problèmes

I Qu’est-ce qu’une grandeur ?
Les notions de grandeur et de mesure tiennent une place importante dans la vie
quotidienne :
« Sur les routes, la vitesse est limitée »
« Cette valise n’est pas assez grande pour y placer toutes mes affaires »
« Les êtres vivants grandissent » etc.
Mais il n’est pas facile de définir ce qu’est une grandeur.
On peut se contenter de la « définition » suivante : une grandeur est un attribut
d’un objet, d’une personne, d’un phénomène,… susceptible de variation (pour
un même « objet » ou d’un « objet » à l’autre).
grandeurs mesurables
(on peut en plus définir somme
les grandeurs
et rapport)
repérables (on
Ex : la longueur
Parmi les grandeurs,
peut définir une
(on sait définir la somme de deux
on peut distinguer
relation d’ordre)
longueurs et le rapport entre
deux longueurs)
les grandeurs non repérables
Ex : la gentillesse (notion trop
subjective pour qu’on puisse
définir une relation d’ordre)

grandeurs non mesurables
Ex : la dureté d’un matériau (on
sait seulement définir ce que veut
dire «être plus dur que »)

les grandeurs de base
Exemples : longueur, masse, durée, angle,…
On distingue également
les grandeurs dérivées
Exemples : aire, volume, vitesse,…
Remarques :
- Première remarque : On peut définir plusieurs grandeurs pour un même objet .
Exemple : on peut définir le périmètre d’une surface (c’est une longueur) et on
peut définir l’aire de cette surface.
- Deuxième remarque : Définir précisément ce qu’est telle ou telle grandeur
n’est pas toujours facile.
Exemple : comment définir la masse d’un objet ?
A l’école, on ne va pas donner une définition de la masse. On va approcher
cette notion à l’aide de manipulations permettant de faire des comparaisons :

objet A
objet B

objet A

objet C

« B est plus lourd que A »

objet A

objet D

Les objets A, C et D ont même masse.
- Troisième remarque : aujourd’hui, nous sommes entourés d’appareils qui
évitent que nous ayons à faire des comparaisons entre objets (exemple
concernant la masse : nous utilisons des balances à affichage digital).
Il faut, bien entendu, apprendre à utiliser ce genre d’appareils mais en
amont les comparaisons d’objets sont indispensables pour avoir une idée de
ce qu’est telle ou telle grandeur (exemple concernant la masse : utilisation
de balances permettant des comparaisons directes entre objets).

- Quatrième remarque : Certaines grandeurs sont difficiles à mesurer.
Exemple : comment mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Si on ne dispose pas de l’instrument de mesure adéquat, on mesurera, par
exemple, l’épaisseur de 100 feuilles de papier puis on effectuera un calcul.
- Cinquième remarque : Les tableaux de conversion doivent être connus et utilisés
mais pas de façon systématique (les relations entre les unités usuelles peuvent se
faire sans recours à ce tableau)

- Autre remarques :

On écrit « 10 g 25 cg » ou « 10,25 g » mais pas « 10 g,25 »

Attention : cm² signifie (cm)² et pas c(m)² donc 1 cl =
(être conscient de cette difficulté)
km

1
l
100

mais 1cm²

≠

1
m²
100

On écrit km/h (ou h ) mais pas kilomètre/h ou km/heure et surtout pas kmh
(on a intérêt à dire « kilomètre par heure »)

II Exemples de grandeurs
1°) Exemples de grandeurs relevant des mathématiques et des sciences
physiques abordées à l’école primaire
OBJETS

Grandeurs de base (ou
grandeurs simples)

Grandeurs dérivées (ou
grandeurs omposées)

GRANDEURS

Lignes

Longueur

Secteurs angulaires

Angle

Objets variés

Masse

Événements

Durée

Surfaces

Aire

Solides

Volume

Objets variés

Vitesse

2°) Autre exemples de grandeurs : masse volumique, intensité d’un
courant électrique, etc.

III Démarche commune à l’étude des différentes grandeurs
1°) Première étape : comparaisons (directes et indirectes) permettant de
« faire apparaître » la nouvelle grandeur qu’on veut étudier.
Quelle surface a la plus grande aire ?
Premier exemple (notion d’aire) :
Il va sans dire qu’il faudra adapter cet exercice
pour la classe (on peut penser, par exemple, à
une situation avec deux terrains de jeux où on se
demande quel est le terrain où il y a le plus de
place pour jouer)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Quelle surface a la plus grande aire ?

Il s’agit de découvrir qu’on peut couper la première surface en deux
morceaux et réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième
surface.

Deuxième exemple (notion de volume)

Quel est celui des deux récipients qui peut contenir
le plus de liquide ?

On peut envisager une comparaison directe par transvasement ou une comparaison
indirecte (on utilise un troisième récipient transparent qui permet de comparer les
hauteurs de liquide obtenues quand on transvase dans celui-ci soit le contenu du
premier récipient soit le contenu du deuxième récipient).

2°) Deuxième étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement,
appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage)

Premier exemple (notion d’aire)

Quelle surface a la plus grande aire ?

Autres exemples d’exercices pour cette deuxième étape :
1°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 1
2°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 2

Unité 1
Unité 2
Unité 3

3°) Mesurer les aires des deux surfaces
coloriées en utilisant l’unité 3

Deuxième exemple (notion de volume)
Combien de verres peut-on verser dans le
premier récipient ?
Combien de verres peut-on verser dans le
deuxième récipient ?

3°) Troisième étape : introduction d’une unité « légale »

4°) Quatrième étape : utilisation de tout un système d’unités
5°) Cinquième étape : établissement de formules

IV Le calcul sur les grandeurs
Des écritures du type 2 m + 5 m = 7 m et 124 cm + 2m = 3,24 m sont correctes
(leur usage est même recommandé) car il s’agit d’égalités entre longueurs (et non
entre nombres) qui ont du sens puisqu’on sait définir la somme de deux longueurs.
Exemples de calculs sur les grandeurs :
1 m 7 cm = 1,07 m

2 h 30 min = 2,5 h

3 h 15 min = 3,25 h

3 kg + 500g = 3000 g + 500 g = 3 500 g
3h 45 min + 1h 28 min = 4h 73 min = 4h + 60min + 13 min = 4h + 1h + 13 min =
5h 13 min

3 × 25 min = 75 min = 60 min + 15 min = 1h 15 min
Pour le périmètre d’un carré : 4 × 37 cm = 148 cm = 1,48 m

Pour la périmètre d’un polygone :
1,5 cm + 21 mm + 0,5 dm + 3 cm = 1,5 cm + 2,1 cm + 5 cm + 3 cm = 11,6 cm

Pour l’aire d’un rectangle : 3 cm × 4 cm = 12 cm²
3 cm × 1,5 m = 3 cm × 150 cm = 450 cm²
ou
3 cm × 1,5 m = 0,03 m × 1,5 m = 0,045 m²
Pour la calcul de la vitesse d’un véhicule qui parcourt 40 km en 2 h 30 min :
40 km
40 km

 16 km / h
2 h 30 min 2,5 h

90 km / h 

90 km 90 000 m

 25 m / s
1h
3 600 s

3 kg × 5 €/kg = 15 €
Si B est un point du segment [AC] et si AB = 5 cm et BC = 4 cm, on
pourra écrire :
Calcul avec des grandeurs
AB + BC = 5 cm + 4 cm = 9 cm
ou
AB + BC = 5 + 4 = 9 (en cm)

Calcul avec des nombres

Remarque concernant les calculs faisant intervenir des grandeurs :
Comme dans d’autres domaines, des techniques de calcul réfléchi peuvent être
utilisées (en particulier pour des calculs concernant des durées).

Exemples :
Combien de temps dure le trajet d’un train qui part à 7 h 17 min et arrive à
9 h 05 min ?
On peut utiliser une ligne numérique dessinée (ou virtuelle) et travailler sur les
écarts en utilisant des points d’appui « faciles » :

43 min

7 h 17 min
ou dire :

1h

8h

5 min

soit 1h 48 min

9 h 9h 5 min

Si le train roulait durant 2 h, il arriverait à 9 h 17 min. Comme il arrive à 9 h 5
min, il roule donc 12 min de moins que 2h. Il roule donc durant 1 h 48 min.

V Quelques problèmes :

Le dimanche matin, un escargot commence l’escalade d’un mur de 4 mètres de haut.
Chaque jour, il grimpe de 2 mètres.
Chaque nuit, il redescend d'un mètre.
Quel jour atteint-il le sommet du mur ?
Solution
4m

3m

2m

1m

Dimanche matin

Dimanche soir

Lundi matin

Lundi soir

Mardi matin

Mardi soir

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit
en équilibre. Justifiez votre réponse.

Solution
1 kg
1 kg

4 kg

2 kg

3 kg
5 kg

2 kg
3 kg

41kg

5 kg

Masse totale à répartir entre les deux plateaux de la balance :
1 kg + 2 kg + 3 kg + 4 kg + 5 kg + 6 kg + 7 kg = 28 kg
Sur chacun des plateaux, il doit y avoir 14 kg. On doit donc ajouter 8 kg sur le plateau
de droite et 7 kg sur le plateau de gauche.
La seule possibilité pour ajouter 8kg sur le plateau de droite est d’ajouter 3kg et 5kg.
On ajoute alors bien 7 kg sur le plateau de gauche car 1 kg + 2 kg + 4 kg = 7 kg

Si on prend comme unité d’aire l’aire d’un carreau, quelle est l’aire
de la partie hachurée de la figure ci-dessous ?

Solution :
1°) Aire totale de la figure = 10
2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5
3°) Aire de la partie hachurée : 10 - 6,5 = 3,5

A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de quatre minutes toutes les heures
et l'autre retarde d'une minute toutes les heures.
Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h 36min et l'autre
15h 36 min.
Quelle heure est-il?
Solution :

Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure la différence entre les heures
indiquées par les deux horloges a atteint 2 heures soit 120 minutes.
Or cette différence valait 0 quand le directeur a mis les pendules à l’heure et a
augmenté ensuite de 5 minutes toutes les heures (car une des horloges avance de
quatre minutes toutes les heures alors que l’autre retarde d’une minute toutes les
heures).
Depuis que le directeur a mis les pendules à l’heure, il s’est donc écoulé 120 : 5 heures
soit 24 heures.
On peut maintenant trouver l’heure qu’il est de deux manières :
La pendule qui avance a pris 24 × 4 soit 96 minutes d’avance c’est-à-dire 1h 36 minutes
d’avance. Il n’est donc pas 17h 36min comme l’indique la pendule qui avance mais
17h 36min – 1h 36min soit 16h.
ou
La pendule qui retarde a pris 24 × 1 minutes soit 24 minutes de retard. Il n’est donc pas
15h 36min comme l’indique la pendule qui retarde mais 15h 36 min + 24 min soit 16h.

Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en
quatre régions de même aire.
Quelques réponses possibles :

Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi :

Chacun des petits cubes composant cet objet à des arêtes
qui mesure 1cm.
Quel est le volume de cet objet ?

Exemple de solution
Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe l’objet en tranches
horizontales) : 9 + 9 + 25 + 9 + 9 = 61
Chaque petit cube a un volume égal à 1 cm³.
Le volume de l’objet est donc égal à 61 cm³

D. Pernoux http://dpernoux.net