Transcript GRANDEURS et MESURES

Année scolaire 2010-2011
GRANDEURS
et
MESURES
J-L GUEGUEN CPC PONTIVY
1
L’apprentissage des grandeurs joue un grand rôle
dans les mathématiques pour le développement
du raisonnement et le renforcement de l’esprit
critique.
Il construit un chemin entre les insuffisances du
perceptif, l’intérêt des instruments de mesure et la
puissance du raisonnement.
C’est un domaine prétexte à l’interdisciplinarité
(sciences, EPS, histoire, géographie …).
Il nous faut profiter de cette richesse.
Catherine HOUDEMENT
2
Qu'est-ce qu'une grandeur ?
3
Une grandeur est une caractéristique
d’un objet qui est comparable entre
deux objets et qui est quantifiable
une fois que l’on définit une unité
pour la mesurer.
Des exemples pour un crayon de
couleur ( grandeurs / pas grandeurs )?
4
Grandeur
Sa taille, son poids, son volume, son
prix.
Pas une grandeur
sa couleur, sa forme.
5
Grandeurs repérables et grandeurs mesurables
On associe des nombres à certaines grandeurs pour
les repérer : dates, température, échelle de Richter.
Les correspondances sont des repères, ce ne sont
pas des mesures : le 3 mars ne peut pas s’ajouter au
14 mars, seule la durée (= intervalle de temps) se
mesure ;
Si je mets dans un même plat un steak à 5 degrés et
des haricots verts à 15 degrés, l’ensemble ne sera
pas à 20 degrés… seul se calcule l’écart des
températures.
Avec des élèves, on préférera le terme "relever la
température" au terme "mesurer la température".
6
• Ne pas confondre l’objet qui est le support
de plusieurs grandeurs et la grandeur
qu’on étudie. La grandeur est abstraite !
• Ne pas confondre une grandeur et sa
mesure qui est un nombre.
• Toutes les mesures sont des nombres qui
peuvent « masquer » les grandeurs qu’ils
sont censés représenter.
7
Exemples de confusion entre mesure et
grandeur :
Au cycle 2 : Des élèves peuvent déclarer que :
« 15 cm c’est plus que 3 m parce que 15 c’est
plus que 3 »
Au cycle 3 : L’introduction des décimaux à partir
des conversions décimales du système métrique
peut provoquer des confusions profondes dans la
conception d’un nombre décimal :
De la conversion : 1254 m = 1,254 km, des élèves
déduisent que 1254 = 1,254 !
8
Quel remède ?
• Le seul chemin possible est celui de la
construction du sens.
• Nos élèves sont tous intelligents, mais
différents dans leurs apprentissages. Ils
doivent construire un parcours cohérent,
individuellement et collectivement, sans
précipiter les étapes, pour se l’approprier et
devenir autonomes.
9
Rappel des programmes
et
attendus au socle commun
10
Quelles grandeurs ?
•
•
•
•
au CYCLE 2
Temps
Longueur
Masse
prix
•
•
•
•
•
•
•
•
au CYCLE 3
Temps
Longueur
Masse
prix
Angle
Aire
Volume
Capacité
11
Dans les programmes Cycle 2
Les élèves apprennent et comparent les
unités usuelles de longueur (m et cm ; km
et m), de masse (kg et g), de contenance
(le litre), et de temps (heure, demi heure),
la monnaie (euro, centime d’euro).
Ils commencent à résoudre des problèmes
portant sur des longueurs, des masses,
des durées ou des prix
12
Dans les programmes Cycle 2
Cours élémentaire
Cours préparatoire
première année
Grandeurs
et
mesures
-
Comparer et classer des
objets selon leur longueur
et leur masse.
-
Utiliser un calendrier
pour comparer les
durées
-
Repérer de évènements de
la journée en utilisant les
heures et les demi-heures
-
Connaître la relation
entre heure et minute,
mètre et centimètre,
kilomètre et mètre,
kilogramme et gramme,
euro et centime d’euro.
- Utiliser la règle graduée pour
tracer des segments,
comparer des longueurs.
- Mesurer des segments,
des distances.
- Connaître et utiliser l’euro.
- Résoudre des problèmes
de longueur et de
masse
- Résoudre des problèmes de
vie courante.
13
Dans le socle – Palier 1 CE1
• Utiliser les unités usuelles de mesure;
estimer une mesure
• Être précis et soigneux dans les tracés,
les mesures et les calculs
• Résoudre des problèmes de longueur et
de masse
14
Dans les programmes Cycle 3
Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités
légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions,
périmètre d’un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle,
de la longueur du cercle, du volume du pavé droit.
Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles,
conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle.
Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle
droit, aigu, obtus.
Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier.
Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée
entre deux instants donnés.
La monnaie
La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les
connaissances et capacités
15
Dans les programmes Cycle 3
Grandeurs
et mesures
Cours élémentaire
Cours moyen
Cours moyen
deuxième année
première année
deuxième année
- Connaître les unités
de mesure suivantes et
les relations qui les
lient :
. Longueur : le mètre,
le kilomètre, le
centimètre, le
millimètre ;
. Masse : le
kilogramme, le
gramme ;
. Capacité : le litre, le
centilitre ;
. Monnaie : l’euro et le
centime ;
. Temps : l’heure, la
minute, la seconde, le
mois, l’année.
- Connaître et utiliser
les unités usuelles de
mesure des durées,
ainsi que les unités du
système métrique
pour les longueurs, les
masses et les
contenances, et leurs
relations.
- Calculer une durée à
partir de la donnée de
l’instant initial et de
l’instant final.
- Reporter des
longueurs à l’aide du
compas.
- Formule de la
longueur d’un cercle.
- Formules du
périmètre du carré et
du rectangle.
- Formule du volume
du pavé droit
(initiation à
l’utilisation d’unités
métriques de volume).
16
Dans les programmes Cycle 3
Grandeurs et
mesures
Cours élémentaire
Cours moyen
Cours moyen
deuxième année
première année
deuxième année
- Utiliser des instruments
pour mesurer des
longueurs, des masses,
des capacités, puis
exprimer cette mesure
par un nombre entier ou
un encadrement par deux
nombres entiers.
- Vérifier qu’un angle est
droit en utilisant l’équerre
ou un gabarit.
- Calculer le périmètre
d’un polygone.
- Lire l’heure sur une
montre à aiguilles ou une
horloge.
Aires
- Mesurer ou estimer
l’aire d’une surface
grâce à un pavage
effectif à l’aide d’une
surface de référence
ou grâce à l’utilisation
d’un réseau quadrillé.
- Calculer l’aire d’un
carré, d’un rectangle,
d’un triangle en
utilisant la formule
appropriée.
- Classer et ranger des
surfaces selon leur
aire.
- Connaître et utiliser
les unités d’aire
usuelles (cm2, m2 et
km2).
Angles
- Comparer les angles
d’une figure en
utilisant un gabarit.
- Reproduire un angle
donné en utilisant un
gabarit.
- Estimer et vérifier en
utilisant l’équerre,
qu’un angle est droit,
aigu ou obtus.
17
Dans les programmes Cycle 3
Cours élémentaire
Cours moyen
Cours moyen
deuxième année
première année
deuxième année
Problèmes
Grandeurs
et mesures
- Résoudre des
problèmes dont la
résolution
implique les
grandeurs cidessus.
- Résoudre des
problèmes dont la
résolution implique
éventuellement des
conversions.
- Résoudre des
problèmes dont la
résolution implique
des conversions.
- Résoudre des
problèmes dont la
résolution implique
simultanément des
unités différentes de
mesure.
18
Dans le socle – Palier 2 CM2
• Utiliser des instruments de mesure;
effectuer des conversions
• Connaître et utiliser les formules du
périmètre et de l’aire d’un carré, d’un
rectangle, d’un triangle
• Utiliser les unités de mesures usuelles
• Résoudre des problèmes dont la
résolution implique des conversions
19
Évaluations CM2
2011
résultats nationaux
Organisation et gestion
de données
Grandeurs et mesures
Géométrie
Calculs
Nombres
Orthographe
Grammaire
Vocabulaire
Ecrire
Lire
Nombre d'items
15
10
10
15
10
7
13
7
6
7
Médiane
58%
58%
55%
57%
61%
57%
61%
68%
58%
55%
A titre indicatif, la médiane de 58% en GM correspond à une moyenne de 51%.
20
Lire l’heure sur un
cadran à aiguilles.
Item 77 : 43%
Lecture correcte des 2
pendules.
13h50 ou en-deçà vraisemblable
Calculer des durées
Item 79 : 42 %
21
calcul de périmètre
item 80 : 60%
Exercice 14
Résous le problème suivant :
Un jardinier achète 9 rosiers à 4 € pièce
et 3 sapins à 17 € pièce. Quel est le
montant de sa dépense ?
Item 87 : 66%
22
Résoudre des
problèmes dont la
résolution
implique
éventuellement
des conversions
Item 91 : 72%
Item 98 : 25%
23
Autre exercice non comptabilisé mais qui
utilise le champs grandeurs et mesures.
Exercice 15
A/ Le directeur doit acheter des cahiers et des livres pour
l’école. 6 livres coûtent 150 €.
Combien coûtent 9 livres ?
Item 88: 51%
B/ 10 objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de
ces objets ?
Item 89: 31%
24
Autre exercice non comptabilisé mais qui utilise le
champs grandeurs et mesures.
A/ Pierre et Catherine, accompagnés de leur fille Léa de 7 ans et de leur
chien, installent leur caravane dans ce camping. Ils souhaitent y rester trois
semaines. Combien paieront-ils pour une semaine ?
Item 96: 59%
B/ Jacques et Henri, âgés de 17 et 20 ans plantent leur tente pour deux
semaines dans le camping des Trois Chênes. Combien paieront-ils ?
Item 97: 48%
25
CONSTATS
- Le champ de compétence « grandeurs et
mesures », même s’il n’est pas explicitement
évalué intervient dans presque tous les
problèmes concrets ainsi que dans certains
exercices de géométrie.
- Les compétences développées dans ce
champ sont réutilisées dans beaucoup
d’autres disciplines comme l’histoire
(Chronologie), la géographie (température,
précipitations, distances, aires, …)
26
- Les items évalués sont peu
nombreux.
- grandeurs évaluées : temps,
longueur, masse, prix.
- grandeurs non évaluées : angle,
aire, volume, capacité.
27
Évaluations CE1 2010
résultats ACADEMIE de
RENNES
•
8 items : 79, 80, 81, 82, 97, 64, 65, 66
• MOYENNE : 61,75%
Exercice 10 : Utiliser un calendrier pour comparer les
durées (item 79)
Cette année le premier match de la coupe de monde de
football a lieu le 11 juin. Le dernier match a lieu le 11 juillet.
Combien de jours durera cette compétition ?
?
item 79
32%
Exercice 11 : Utiliser les unités usuelles de mesures ; estimer une
mesure ( items 80, 81, 82)
Item 80 : 79%
Item 81 : 56%
Item 82 : 73%
Item 97 : 79 %
Exercice 4 : Résoudre un problème de la vie courante
avec de l’argent en euros (items
64, 65, 66)
• Maman veut acheter des gâteaux.
• Elle a dans son porte-monnaie :
- un billet de 10 €
- un billet de 5 €
- deux pièces de 2 €
- trois pièces de 1 €.
• Elle achète 3 gâteaux qui coûtent 7 € chacun.
• Combien d'argent lui reste-t-il après avoir payé?
• Explique tes recherches et tes calculs. Donne une
phrase de réponse.
Item 64: 63%
Une démarche écrite
Item 65 : 71%
une réponse rédigée + unité
Item 66: 41%
réponse exacte
Des propositions
1. Equilibrer, dans la démarche,
perception/mesure/raisonnement
2. Mettre en place des moments de manipulation
et d’expérimentation pour préparer, consolider,
remédier.
3. Utiliser les TUIC.
4. Analyser les obstacles rencontrés par les
élèves et les intégrer dans la démarche
5. Développer l’utilisation de l’ordre de grandeur
en identifiant correctement le but (entrée,
régulation, degré de validation).
33
Des propositions
( suite )
6 - Entretenir les connaissances acquises en
faisant lien avec les activités des autres
disciplines.
7 - Pour toutes les évaluations, réfléchir à leur
pertinence, leurs interprétations et aux
conditions psychologiques de passation.
8 - Diversifier, explicitement pour les élèves,
les conditions des tâches à effectuer
9 - Utiliser le calcul mental en relation avec les
grandeurs travaillées
10 – Clarifier le vocabulaire utilisé.
34
11-Travailler des procédures personnelles aux
procédures expertes, collectivement et
individuellement, en liaison avec le sens.
35
Quelle démarche mettre en place ?
36
Une triple approche
Perception
Mesure
Raisonnement
Il faut toujours privilégier une approche sensible dans
un premier temps, en comparant par exemple des
grandeurs et seulement ensuite passer à la mesure
(en définissant correctement l’unité de mesure et les
instruments).
Il faut habituer l’élève à donner une mesure « à l’œil » avant de faire la
mesure ou le calcul qui permet d’obtenir la mesure.
37
SITUATION 3
Quelle est l’épaisseur d’une feuille de papier ?
38
Quelle est l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Perception
Moins de 1 mm
Très petit
Impossible à la règle
Mesure
Raisonnement
Utilisation d’un pied à
coulisse, d’un palmer.
On mesure 100 feuilles et on divise.
39
Passage de la perception à la
mesure
Pour pouvoir mesurer il faut :
Définir une unité
de mesure.
Se doter d’instruments
pour réaliser cette mesure
40
Les relations entre les unités avant le
tableau de conversion
Le tableau de conversion doit être connu et
utilisé mais pas systématiquement. Les
relations entre les unités usuelles doivent se
faire sans recourt à ce tableau (passage du m
au km, du g au kg ou au mg, …).
41
Plan général de l’approche d’une
grandeur :
• 1- Comparaisons (directes et indirectes)
permettant de « faire apparaître la nouvelle
grandeur que l’on veut étudier ».
• 2- Mesurages en utilisant un « objet » choisi
arbitrairement, appelé objet étalon (la grandeur
de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le
mesurage).
• 3- Introduction d’une unité « légale ».
• 4- Utilisation de tout un système d’unités
• 5- Établissement de formules (calcul d’aires, de
périmètres).
Progression proposée
par D. Pernoux.
42
La mesure d’une grandeur a pour but de remplacer les
manipulations sur les objets par des opérations sur des
nombres (comparaison, addition, rapport…), elle reste
donc un objectif essentiel de notre enseignement.
Mais lorsqu’elle est abordée trop tôt ou trop rapidement,
elle s’érige en obstacle à la perception de la grandeur
qu’elle est censée représenter.
43
• A la moitié du parcours, pour des besoins de
communication, une unité de référence doit être
choisie.
• Des conversions peuvent devenir nécessaires.
La construction et l’utilisation d’instruments de
mesure, la nécessité d’utiliser des sous-unités, entrent
aussi dans cette dernière étape accompagnant les
calculs.
• Mais, cette étape occupe souvent 95% du temps
consacré à l’étude d’une grandeur au détriment du
peu de temps consacré à sa construction conceptuelle.
44
Quelle est la place
et
le rôle de la manipulation ?
45
Manipuler et/ou expérimenter ?
une dialectique plus qu’une opposition
objectif principal
aider au passage progressif de la perception à
l'abstraction
De je vois
De l'objet
à
je sais
au
concept
46
Manipuler et/ou expérimenter ?
une dialectique plus qu’une opposition
Manipuler
déplacer, manier, toucher, palper, actionner, utiliser
Expérimenter
contrôler, essayer, tester, vérifier, éprouver
47
Manipuler et/ou expérimenter ?
DES ETAPES
48
0. Des manipulations avec le matériel, avec des outils.
1. Le choix de la situation didactique par le professeur.
2. Une expérimentation avec une résolution du problème
conduite par les élèves.
3. Une organisation du travail qui permet les échanges
argumentés.
4. Un étayage constant et raisonné par le professeur.
5. Un temps dédié à la structuration des connaissances.
6.Des traces écrites pour se rappeler, pour mémoriser.
7.Des manipulations pour consolider, s’entraîner, aller plus
loin, remédier.
49
un lieu et un matériel dédié aux
manipulations/expérimentations
Liste de matériel possible :
- matériel à manipuler : jetons, bouchons, cartes, pions, cubes,
buchettes, planche de bois + clous + élastiques,ficelles, les jeux
de la classe, Tangrams, meccano, légo, récipients, matériel
fabriqué …
- supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages, feuilles
cartonnées, brouillon, calendrier, grands tableaux, schémas (ou
ébauches de schémas), agrandissements …
- outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons, colle …
- instruments : Instruments pour tracer, pour mesurer,
calculatrices, tables de multiplication, ordinateur, horloges,
balances …
50
Importance de la manipulation
La manipulation est en général bien utilisée pour introduire
les longueurs mais très largement insuffisante pour les
autres unités en particulier pour les masses, les volumes et
les capacités.
La manipulation permet à l’élève de s’approprier l’unité qu’il
utilise et de mettre en évidence la nécessité de l’utilisation des
multiples et des sous multiples. Il permet aussi de mettre en
évidence des liens entre les différentes grandeurs.
Une manipulation sur les capacités peut être envisagée en
comparant les contenances de différents récipients, en les
remplissant d’eau par exemple, puis en mettant cette eau dans
un récipient de référence sur lequel on pourra noter la hauteur
d’eau.
51
Utiliser les TUIC
pour
découvrir,
consolider,
s’entraîner,
aller plus loin,
remédier.
Voir Powerpoint joint : Utiliser les TUIC en GRANDEURS et MESURES
52
Quelques obstacles
rencontrés par les élèves
en
GRANDEURS et MESURES
Voir Powerpoint joint
Quelque obstacles en Grandeurs et Mesures
53
ANALYSE et AIDES
pour
EVALUATION CM2 2011
GRANDEURS et MESURES
Voir Powerpoint joint GM EVA 2011
54
et les programmes dans tout ça ?
extraits des programmes 2008
• L’apprentissage des mathématiques développe
l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le
goût du raisonnement.
• La résolution de problèmes joue un rôle essentiel
dans l’activité mathématique. Elle est présente
dans tous les domaines et s’exerce à tous les
stades des apprentissages.
• La résolution de problèmes concrets contribue
à consolider les connaissances et capacités
relatives aux grandeurs et à leur mesure, et, à
leur donner sens.
55
• Grandeurs et mesure au cycle 3
• Auteur : Groupe École primaire de l'IREM
de Lille, coordination Louis ROYE
Collection : Outils pour les cycles
Niveau(x) : cycle 3
Discipline(s) : mathématiques
Ref : 590 CY 021
Prix : 25€
• En savoir plus.
• Compléments en ligne
• Sur ce site, vous trouverez, en complément
de l'ouvrage imprimé, des fiches
téléchargeables à imprimer :
-
travaux sur les longueurs ;
-
travaux sur les aires de surfaces planes ;
-
travaux sur les angles.
56