Transcript Diaporama A. Pressiat
Slide 1
L’enseignement des grandeurs
André PRESSIAT
Maître de Conférences
de mathématiques à l’IUFM d’Orléans-Tours
DIDIREM - INRP
1
Slide 2
3
4
2
Slide 3
1. Des aires sans leurs mesures : d’Euclide à Hilbert
Euclide : notions communes
1 - Les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles.
2 - Si à des grandeurs égales, on ajoute des grandeurs égales, les touts
seront égaux.
3 - Si de grandeurs égales, on retranche des grandeurs égales, les
restes seront égaux.
4 - Si à des grandeurs inégales, on ajoute des grandeurs égales, les
touts seront inégaux.
5 - Si de grandeurs inégales, on retranche des grandeurs égales, les
restes seront inégaux.
6 - Les grandeurs qui sont doubles d’une même grandeur sont égales
entre elles.
7 - Les grandeurs qui sont les moitiés d’une même grandeur sont
égales entre elles.
8 - Les grandeurs qui s’adaptent entre elles sont égales entre elles.
9 - Le tout est plus grand que la partie.
3
Slide 4
Les aires chez Euclide
La notion d’égalité de figures (triangles) est déjà présente.
Pour traiter les questions concernant ce que nous appelons
“aire”, Euclide parle d’un nouveau type d’égalité des
figures, sans utiliser un nouveau mot pour cela.
Propriétés satisfaites par la nouvelle relation d’“égalité”
2 - Les sommes de figures “égales” entre elles sont “égales”
3 - Les différences de figures “égales” entre elles sont “égales”
4 - Les moitiés de deux figures “égales” sont “égales”. (7’)
5 - Le tout est plus grand que la partie. (9)
De plus, Euclide utilise deux autres propriétés admises :
1 - Des figures congruentes sont “égales”
6 - Si deux carrés sont “égaux”, leurs côtés sont égaux.
4
Slide 5
Euclide, revisité par Hilbert …
Figures équidécomposables
Deux figures P et P' sont équidécomposables s'il est possible
d'écrire chacune d'elles sous forme de réunions de triangles
n'empiétant pas l'un sur l'autre :
P T1 T2 ... Tn
P ' T ' 1 T ' 2 ... T ' n
telles que, pour chaque i, les triangles Ti et T'i soient “égaux”
(Hilbert emploie le mot “congruents” au lieu de “égaux”).
En allemand, le mot correspondant est “zerlegungsgleich” qui
signifie “égale décomposition”, ou “égal découpage”.
T1
T' 1
T4
T2
T3
T'4
T'2
T'3
5
Slide 6
Figures de même contenance
(ou équicomplémentaires)
Deux figures P et P' sont équicomplémentaires s'il existe des
figures Q et Q' telles que :
- P et Q n'empiètent pas l'une sur l'autre ;
- P' et Q' n'empiètent pas l'une sur l'autre ;
- Q et Q' sont équidécomposables ;
- P Q et P ' Q ' sont équidécomposables.
Dans les six premières éditions, Hilbert emploie le mot
“inhaltsgleich”, qui signifie littéralement “contenu égal”, ou
“superficie égale” ; dans les quatre éditions suivantes, il emploie
“ergängzungsgleich” qui signifie “égal par complément”.
6
Slide 7
A
E
B
F
G
D
C
ABCD et CDEF sont les deux parallélogrammes dont il s'agit de
démontrer qu'ils ont même contenance (Proposition I-35 d’Euclide)
Pour cela, on ajoute le triangle BEG à chacun des parallélogrammes.
Il s’agit alors de démontrer que les deux figures ainsi obtenues :
A
F
G
G
D
E
B
E
B
C
D
C
sont équidécomposables.
7
Slide 8
Pour cela, on décompose chacune d'elles en deux triangles :
A
E
B
F
G
G
D
E
B
C
D
C
- les triangles ADE et CDG pour la première,
- les triangles BCF et CDG pour la seconde.
Il suffit de démontrer que ADE et BCF sont congruents.
P ~ Q : P et Q sont équidécomposables.
P ≈ Q : P et Q sont équicomplémentaires.
8
Slide 9
Figures faites par Hilbert dans les
“Grundlagen der Geometrie” pour
illustrer la démonstration de la
transitivité de l’équidécomposabilité.
9
Slide 10
Et dans nos classes ?
• On peut calculer des aires par la méthode de décomposition,
qui repose sur le fait que deux figures équidécomposables ont
même aire. En notant + les réunions de figures quasi-disjointes,
pour calculer l’aire d’une figure F, on la décompose sous la
forme : F = F1 + F2 + … + Fn, de telle manière qu’en faisant subir
à chacune des Fn un déplacement convenable, on obtienne
n figures H1, H2, … Hn quasi-disjointes dont la réunion
H1 + H2 + … + Hn est une figure H dont on connaît déjà l’aire.
(2)
(1)
(2')
(1')
?
10
Slide 11
(1)
(1)
(1')
(2) (2')
(2)
(2')
(1')
(1)
(2)
(7)
(3)
(5)
(5)
(4)
(3')
(2')
(1')
(8)
(3)
(1)
(6)
(4)
(2)
(1)
(2)
(4)
(5)
(1')
(2')
(3)
(7')
(4')
(3')
(5')
(2')
(1')
(8')
(6')
(5')
(4')
(3')
11
Slide 12
• On peut calculer des aires par la méthode de
complémentation, qui repose sur le fait que deux figures
équicomplémentaires ont même aire.
(P )
(R)
(T)
(T)
12
Slide 13
T1
T'2
T2
C1
T'4
C
T4
(T'1)
(P')
(T1)
T3
T'1
T'3
C2
(P)
(T'2)
(T2)
• Technique élémentaire pour “redresser” un parallélogramme
13
Slide 14
Pour aller plus loin …
• Appliquée dans le cas de deux parallélogrammes ayant une base
en commun et de même aire, voici une technique (utilisée par
Hilbert) qui fournit une T- équidécomposition des deux
parallélogrammes, lorsqu’aucun des deux ne contient entièrement
une de ses hauteurs.
A
B
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(8)
D
(7)
(2')
(3')
(4')
(5')
(6')
(7')
C
F
(8')
E
Cette technique est une adaptation d’une méthode proposée par
Montucla pour décomposer un rectangle en un carré de même
aire.
14
Slide 15
• Technique de Montucla (décrite dans Ozanam, 1778)
Elle permet d’obtenir une T-équidécomposition de deux
rectangles de même aire.
3
(4')
(5)
(1) (1')
(2')
(3')
(5')
(2)
(3)
(4)
Et pour les volumes ?
15
Slide 16
On peut adapter à l’espace la relation d’équidécomposabilité
vue dans le plan, en remplaçant les triangles par des tétraèdres
(pyramides à base triangulaire).
Euclide, pour établir que deux pyramides ayant même base et
même hauteur ont le même volume sans recourir aux
mesures, a besoin d’autre chose que de la relation
d’équidécomposabilité.
Il utilise un procédé, appelé procédé d’exhaustion, qui du
point de vue moderne s’apparente à un passage à la limite.
Le troisième problème de Hilbert
En 1900, le mathématicien Max Dehn a montré qu’il était
possible que deux solides aient le même volume (un cube et un
tétraèdre régulier) sans être équidécomposables.
De manière étonnante, du point de vue de la théorie, la question
16
des volumes est plus compliquée que celles des aires.
Slide 17
2. La mesure des aires
Lebesgue, La mesure des grandeurs, Albert Blanchard, 1975.
Boltianskii, Hilbert’s third problem, John Wiley & Sons, 1978.
Rogalski M., avec Robert A., Pouyanne N., Carrefours entre analyse,
algèbre, géométrie, Ellipses, 2001.
Un carré C
Le réseau R plan construit à
partir de C (niveau 0).
Une partie F bornée du
plan
17
Slide 18
Un carré C
Le réseau R plan construit à partir de C (niveau 0).
Une partie F bornée du plan
a0 : nombre de carrés du réseau R formés entièrement de points
de F.
b0 : nombre de carrés du réseau R dont certains points
appartiennent à F.
On subdivise chaque carré de R en 100 carrés de même côté.
Réseau R1 (niveau 1), et on recommence indéfiniment …
Réseaux Rk (niveau k).
Au niveau k :
ak : nombre de carrés du réseau Rk formés entièrement de points
de F.
bk : nombre de carrés du réseau Rk dont certains points
appartiennent à F.
18
Slide 19
a0
a1
10
2
a2
10
4
...
F est quarrable si :
lim
n
ak
10
2k
...
bn – an
10
2n
bk
10
2k
...
b2
10
4
b1
10
2
b0
0
Invariance par déplacement du réseau initial ? (Voir plus loin)
On définit ainsi une application s qui associe à chaque figure
quarrable F du plan un nombre réel s(F), appelé “aire de F”.
19
Slide 20
Propriétés de l’aire
() La fonction s est positive.
() s est additive : si F et F’ sont deux figures quarrables n’ayant
pas de points intérieurs en commun, s F F' s ( F ) s ( F' )
() s est invariante par translation.
() s est normalisée : s(Q) = 1, Q désignant un carré du réseau
initial R.
Tout polygone est quarrable.
Il existe une fonction s et une seule définie sur l’ensemble des
polygones qui satisfait les conditions (), (), () et ().
Ce dernier résultat permet de définir axiomatiquement l’aire,
sans recourir aux réseaux précédents : on a seulement besoin
d’un carré unité (qui est fixé).
20
Slide 21
Invariance par déplacement du réseau initial ?
21
Slide 22
Autres propriétés de l’aire
• () s est croissante. En remplaçant (), (), (), () par (), (),
() et () on obtient un système d’axiomes équivalent.
• Quelles que soient les figures quarrables F et F’,
s F F ' s( F ) s( F ' ) – s F F '
• L’aire d’un rectangle est égale à ab, produit des longueurs de ses
côtés.
• () s est invariante par déplacement.
• s ne change pas si l’on remplace le carré initial par un carré
isométrique, (d’où l’invariance de s par rapport au déplacement du
réseau initial).
• Si F est quarrable et f est une similitude de rapport k, f(F) est
quarrable et s(f(F)) = k2 s(F).
22
Slide 23
Une autre méthode de calcul pour les aires
• L’axiome () (ou l’axiome ()) peut être utilisé pour obtenir
des inégalités d’aires, et par passage à la limite des égalités
d’aires.
Méthode d’exhaustion
F étant une figure quarrable, et (Gn) une suite de parties de F telle
que l’aire de F \ Gn puisse être rendue aussi petite que l’on veut à
s (G n ) .
condition que n soit suffisamment grand, alors s( F ) n lim
F étant une figure quarrable, et (Gn) une suite de parties de F, et
s( H n – G n ) 0,
(Hn) une suite de parties contenant F telles que n lim
alors s( F ) n lim
s (G n ).
(Calcul de l’aire du disque).
Et chez nos voisins ?
23
Slide 24
24
Slide 25
M=u.h
M = 6 . 6 cm . 9 cm
M = 324 cm2
G = 6.
a
2
3
.
4
u=6 a
h = 9 cm
G = 6.
a = 6 cm
M = 6 . 6 cm . 9 cm
2
4
G 93, 53 cm
M=u.h
M = 324 cm
6 cm
.
2
V=G.h
V 93,5 cm2 . 9 cm
V 841,5 cm3
2
25
3
Slide 26
26
Slide 27
27
Slide 28
Source : Elemente der Mathematik
10. Schuljahr
Schroedel Schulbuchverlag
28
Slide 29
Source : Matemáticas
Eso: Curso 3 (correspond à la classe de 3e)
Edelvives
29
Slide 30
Un train part de Palencia à 8 h du matin vers Alicante à la vitesse de 80 km/h.
Une heure et demie plus tard, un deuxième train part de la même gare en
direction d’Alicante à la vitesse de 100 km/h. Combien de temps le deuxième
train mettra-t-il pour rattraper le premier ? A quelle distance de Palencia le
rattrape-t-il
?
On peut exprimer de deux manières la distance parcourue par chacun des deux
trains au moment où le deuxième rattrape le premier. On peut choisir comme
inconnue x le temps en heures mis par le deuxième train pour rattraper le
premier.
Au moment où ceci se produit, le premier train a roulé pendant une durée de
(x + 3/2) h.
La distance parcourue par le premier train jusqu’à ce que le deuxième le rattrape
est donc :
80 km/h (x + 3/2) h soit 80 (x +3/2) km.
Quant à la distance parcourue par le second, elle est égale à 100 km/h x h,
c’est-à-dire 100x km.
En égalant les nombres de kilomètres parcourus on obtient l’équation permettant
de répondre à la première question : 80 (x + 3/2) = 100x …
30
Slide 31
3 - La question des unités
En classe de mathématiques, les objets supports des grandeurs
(une règle de telle longueur, un vase de telle capacité, …) sont
évoqués, mais ne sont pas amenés dans la classe pour y être
exploités (sauf exception).
Les grandeurs pourraient y être aisément présentes sous la
forme de “nombres concrets” :
15 km est une longueur,
50 km/h est une vitesse, …
Or les unités - et donc les grandeurs - ont disparu pendant
quelques dizaines d’années.
« Triangle des Bermudes ».
Exemple
:
En 6e (ou 5e) il s’agit de déterminer combien il y a de minutes
dans une demi-heure, dans un quart d’heure, dans un cinquième
d’heure.
31
Slide 32
Les traces écrites d’un élève au tableau sont les suivantes :
1
2
30 min
1
4
15 min
1
5
12 min
Le professeur commente la solution de l’élève, mais ne la corrige
pas. Il est pourtant clair que ces égalités ne sont pas correctes :
le nombre
1/5 (= 0,2) ne saurait être égal à la durée 12 min, pas
davantage que 12 cm n’est égal à 12 kg. Les écritures correctes
auraient été simplement :
1
2
h = 30 min
1
4
h = 15 min
1
5
h = 12 min
32
Slide 33
Un manuel de mathématiques de 5e (assez ancien) commence ainsi fort à
propos par indiquer les normes de l’AFNOR (Association française de
normalisation) en la matière :
Il est tout à fait autorisé d’écrire :
1,825 km = 1 825 m
2 m 3,5 m = 7 m2
Mais les auteurs reprennent dans un exercice l’usage traditionnel :
aire de base A2 = (6 6) : 2 = 18 cm2
aire de base A3 = 72 – 18 = 54 cm2
V2 = 18 12 = 216 cm3
V3 = 864 – 216 = 648 cm3
Technique de calcul bien installé en France dans la classe de
sciences physiques (oubli des unités dans les calculs
intermédiaires).
33
Slide 34
L’absence ou la raréfaction des unités pose un problème majeur :
celui du changement d’unités.
La technique généralement mise en place, illustrée sur l’exemple suivant,
extrait d’un manuel de 3e, est fort complexe et peu fiable.
Convertir les unités de grandeurs composées
Méthode : Convertir successivement les unités des deux grandeurs
Exemple : Convertir 1,25 g/cm3 en kg/m3
Réponse :
– On convertit l’unité de masse : 1,25 g = 0,001 25 kg
donc 1,25 g/cm3 = 0,001 25 kg/cm3.
– On convertit l’unité de volume : 1 m3 = 1 000 000 cm3.
0,001 25 1 000 000 = 1 250
donc 0,001 25 kg/cm3 = 1 250 kg/m3.
– On conclut : 1,25 g/cm3 = 1 250 kg/m3.
La technique apparaît lourde, avec une accumulation de calculs partiels non
34
intégrés, qui en diminuent la fiabilité.
Slide 35
Par contraste avec cette technique “ abstraite ”, voici une technique
“ concrète ” qui consiste à calculer avec les unités, c’est-à-dire sur
des nombres “ concrets ”.
Le fait mathématique essentiel est le suivant : les durées constituent
un demi-espace vectoriel de dimension 1 sur R.
Le problème posé aux élèves est exactement un problème de
changement de base.
La durée qui a pour coordonnée 1/5 dans la base {h} a pour
coordonnée 12 dans la base {min} : 1/5 h = 12 min.
1
5
h =
1
5
60 min
1
= 60 min = 12 min
5
35
Slide 36
On peut montrer que cette technique concrète s’étend à tous les problèmes de
changement d’unités.
Considérons ainsi le problème suivant :
Un réservoir parallélépipédique a 0,6 m de longueur, 10 cm de largeur, et 50 mm de
profondeur. Quelle est, en litres, sa capacité ? (1 litre = 1 dm3.)
Dans la technique concrète, on utilise bien la formule
V=Lp
mais L, , p sont alors, non des nombres (“ abstraits ”), mais des grandeurs (des
“ nombres concrets ”).
Puisque on a L = 0,6 m, = 10 cm, p = 50 mm
il vient simplement :
V = 0,6 m 10 cm 50 mm.
Si l’on décidait de prendre pour unité de volume le produit
= m cm mm
on aurait : V = 0,6 m 10 cm 50 mm = (0,6 10 50) m cm mm = 300 .
Si, comme ici, on cherche à exprimer le volume en dm3, on peut par exemple
procéder ainsi :
V = 0,6 m 10 cm 50 mm = 0,6 (10 dm) 10 (10–1 dm) 50 (10–2 dm)
= 6 dm 1 dm 0,5 dm = 3 dm3 = 3 litres.
36
Slide 37
Comparaison des techniques “abstraite” et “concrète”, la technique
abstraite étant le corrigé fourni par un professeur de physique de lycée :
P rob lè m e I. Un b a rreau d’ a cier de se c tion con sta nt e et de 4 dm
de l ongueur
pè se 2,85 kg . D é te rmi ne r sa m a sse li né ique en
g/cm .
T echn ique conc rète
T echn ique abs tr ait e
m
2 ,85 kg
2 ,85 (1000 g)
Conv e rtir l a m as se e n g
=
3
M = 2,85 kg = 2,85 10 g
l
4 dm
4 (10 cm)
E t l a longu e ur en cm
285
=
g/cm = 71 ,25 g /cm
= 4 dm = 40 cm
4
L a m asse li né ique =
=
2 ,85 10
40
m
l
3
= 71 ,2 g /cm
37
Slide 38
P rob lè m e II. A u tenn is les ba ll es att eignen t la
vit es se de 95 mi le s par heu re. Que r e pré sen te ce tt e
vit es se en m ètr es pa r seconde ? (On a : 1 mil e =
1 m i = 1,609 km .)
T echn ique conc rète
T echn ique abs tr ait e
v = 95 m i/h =
v = 95 m ile s/heu re
d
95 miles
95 mi
95 (1609 m)
v =
t
1 heure
1h
3600 s
Conv e rtir les mil es en
42,5 m /s
m ètr es
d = 95 m i = 95 1,609 k m
3
= 95 1,609 10 m
5
= 1,53 10
Conv e rtir t = 1 h
= 3600 s
D ’où v = 42,4 m /s
38
Slide 39
P rob lè m e III. L a m asse vo lumi que du zinc es t de
3
7,29 kg /dm . Que ll e es t, e n g ramm es , la m as se de
3
9 cm de ce m étal ?
T echn ique conc rète
T echn ique abs tr ait e
m
m = v =
3
=
=
7,29
kg
/d
m
3
3
(7,29 kg /dm )(9 cm ) =
v
3
–3
3
Conv e rtir en g /cm
7,29 kg dm 9 c m =
3
3
–3
= 7,29 kg /dm
7,29 (10 g) (10 c m)
3
9 c m = 7,29 9 g
65 ,6 g
=
7 ,29 kg
1 dm
3
3
7 ,29 10 g
3
10 cm
3
3
= 7,29 g/cm
D ’où m = v = 7,29 9
65,6 g
Dans le corrigé du problème III, le professeur utilise subrepticement
l’arithmétique concrète.
39
Slide 40
60 km/h
60 km
1h
60 000 m
3 600 s
60000
3600
m/s =
100
6
m/s 16, 67 m/s
Importance dans cette technique de :
h=1h
à rapprocher du
1u u
de la définition d’un espace vectoriel.
1 cm
2 km
1 cm
2000
m
1 cm
200 000 cm
1
200 000
Toute question qui conduit à une multiplication est un problème de
changement
d’unité,
ou d’objet
: 5 sacs de 300 pommes ; 2m.75
d’étoffe à 28 fr. 45 le mètre.
Henri Lebesgue, La mesure des grandeurs.
Note en bas de page 13.
40
Slide 41
• Les calculs avec unités rendent visible le travail sur les grandeurs,
et permettent d’assurer un contrôle plus grand sur les calculs.
Ils permettent de rendre plus visible les raisonnements sur les
grandeurs proportionnelles.
Problème : L’eau sucrée
Pour faire une expérience de chimie, un professeur verse dans un récipient 6 dL
d’eau et 15 g de sucre. Il distribue à chacun de ses élèves un récipient contenant
de l’eau. Dans le récipient de Jacques, il y a 8 dL d’eau, dans celui de Pierre il y a
18 dL, dans celui d’Isabelle 15 dL, dans celui de Benoît il y a 30 dL et dans celui
de Laurence il y a 12 dL. Le professeur demande ensuite à chaque élève de mettre
juste ce qu’il faut de sucre dans son récipient pour obtenir une eau aussi sucrée
que la sienne, pas plus, pas moins.
Quelle quantité de sucre doit mettre chaque élève dans son récipient ?
41
Slide 42
Résolution par procédure scalaire
• 18 dL, c’est trois fois 6 dL.
Donc, il faudra trois fois 15 g de sucre, c’est-à-dire 45 g.
• 12 dL = 2 6 dL. Donc il faudra : 2 15 g de sucre, c’est-à-dire
30 g.
• … 30 dL = 5 6 dL … 5 15 g de sucre … 75 g de sucre.
• 15 dL c’est la moitié de 30 dL. Donc, pour 15 dL, il faudra la
moitié de 75 g, soit 37,5 g.
Cette procédure trouve sa justification dans la définition suivante
de deux grandeurs proportionnelles, que l’on trouve dans de vieux
dictionnaires à l’article “Proportionnel”.
Deux grandeurs proportionnelles sont des grandeurs telles que :
si l’on multiplie (ou divise) l’une d’elles par un nombre,
la grandeur correspondante est multipliée (ou divisée) par
le même nombre.
42
Slide 43
Emploi de la procédure dite “du coefficient de proportionnalité”
• Il faut 15 g de sucre pour 6 dL.
Pour obtenir 15, on peut multiplier 6 par 2,5.
Donc, pour 8 dL, on multiplie 8 par 2,5 : on trouve 20.
Il faut donc 20 g de sucre pour 8 dL.
Avec le registre des tableaux, cette procédure se traduit ainsi :
2,5
6
8
15
15
43
Slide 44
Remarque
Le traitement précédent s’appuie sur les nombres (mesures de
grandeur) plutôt que sur les grandeurs. On peut rester dans le
cadre des grandeurs, comme le montre ce qui suit :
6 dL
2,5 g / dL
8 dL
15 g
Il apparaît alors que 2,5 est la mesure, exprimée en grammes par
décilitre, d’une troisième grandeur : la concentration en sucre,
grandeur quotient de la masse (de sucre) par le volume d’eau.
(Ces grandeurs quotients figurent explicitement au programme de 4e et de 3e).
44
Slide 45
Cette procédure trouve sa justification dans la définition suivante de
deux grandeurs proportionnelles, que l’on trouve dans les
dictionnaires
d’aujourd’hui
:
Deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est constant.
Si on ne s’intéresse qu’aux mesures des grandeurs en question,
ce rapport constant est un nombre, appelé coefficient de
proportionnalité (entre les deux suites de mesures apparaissant
dans le tableau) : 2,5 dans l’exemple.
Si on reste dans le cadre des grandeurs, ce rapport est une
grandeur constante, appelée “concentration en sucre” : 2,5 g/dL
dans l’exemple.
45
Slide 46
En revanche, quand on utilise la concentration en sucre 2,5 g/dL
pour trouver la masse de sucre correspondant à 8 dL :
8 dL 2,5 g/dL = 20 g,
2,5 g/dL n’est pas un scalaire.
La procédure dite “du coefficient de proportionnalité” masque
cette difficulté : elle ne fait apparaître que le nombre 2,5 tout
comme la procédure scalaire fait apparaître le nombre 3. Ces deux
nombres ne jouent cependant pas le même rôle.
Alors que 3 est un “nombre pur”, 2,5 n’a de signification qu’en
tant que mesure d’une grandeur, pour laquelle l’unité g/dL a été
choisie.
Pour contourner cette difficulté, on évite de parler de 2,5 g/dL, en
disant : pour 1 dL, il faut 2,5 g de sucre. On fait de même pour les
prix unitaires, ou les prix par kilogramme (dont l’affichage est
obligatoire dans les commerces) :
15 €/ u 15 € l’unité || 12 €/kg 12 € au kilo 12 € le kilo
46
Slide 47
• Les calculs avec unités permettent de rendre plus visible le
passage des grandeurs proportionnelles à la fonction linéaire.
Désignons par V la grandeur “volume”, et par M la grandeur “masse”.
À un volume d’eau v dL, il correspond une masse de sucre, que nous noterons
provisoirement “m. pour v dL”.
On a alors :
m. pour (v + v’) dL = m. pour v dL + m. pour v’ dL
m. pour kv dL = k m. pour v dL,
m. pour v dL = 2,5 g/dL v dL = 2,5v g
V = R
+
dL
m. : R
+
M = R
dL
v dL
R
+
+
g
g
2,5 v g
Désignons par M la grandeur “masse”, et par Pla grandeur “valeur marchande”
(autrement dit les prix). À une masse m kg de fromage, il correspond un prix, que
nous noterons provisoirement “p. de m kg”.
On a alors :
p. de (m + m’) kg = p. de m kg + p. de m’ kg
p. de km kg = k p. de m kg ,
p. de m kg = 16 €/g m g = 16m €.
M = R
+
p. : R
kg
+
P R €
+
kg
m kg
R €
+
16 m €
47
Slide 48
m : R
v
+
+
R
2,5 v
m(v + v’) = m(v) + m(v’)
f :R R
m(k v) = k m(v)
x
m(v) = 2,5v
p : R R
+
m
+
16 m
p(m + m’) = p(m) + p(m’)
p(k m) = k p(m)
p(m) = 16m
ax
f(u + v) = f(u) + f(v)
f(k u) = k f(u)
La fonction linéaire …
… que l’on peut aisément
recontextualiser avec
deux grandeurs
proportionnelles
48
quelconques.
Slide 49
De même, des relations quadratiques entre plusieurs couples de
grandeurs permettent d’introduire les fonctions polynômes du
second degré …
…
des couples de grandeurs inversement proportionnelles
permettent de motiver l’étude de fonctions numériques de la
forme
x
k
x
Et donc de motiver celle de la fonction “inverse” …
Toutes ces fonctions
vont permettre de construire un nouveau
domaine, celui de l’analyse …
49
Slide 50
4. Entre Objets et Mesures : les Grandeurs
Il est essentiel de rappeler qu’un même objet est le support de plusieurs grandeurs
d’espèces différentes, usuelles ou non, dont la considération a ses raisons d’être.
C’est ce que rappelle l’extrait suivant d’une brochure consacrée autrefois par
l’APMEP aux mots “ Grandeur ” et “ mesure ” (Mots, tome VI, Paris, APMEP,
1982) :
“ À propos d’un même objet, plusieurs grandeurs peuvent être envisagées. Le type
de manipulation à laquelle on soumet cet objet permet de préciser la grandeur dont
il s’agit, ce qui conduit à un vocabulaire approprié :
- pour une feuille de papier : la longueur de son bord, ou périmètre, et
l’aire de sa surface ; on suit le bord du bout du doigt, on balaie la surface de la
paume de la main ;
- pour une portion de route, sa longueur s’il s’agit de la parcourir, son aire
s’il s’agit de la goudronner, [...] sa pente s’il s’agit d’y faire passer de lourds
convois [...]. ”
L’abord de la notion de grandeur à partir du langage ordinaire recèle en
conséquence quelques pièges qu’il convient de bien repérer. Considérons les deux
cas suivants :
50
Slide 51
“ Ce récipient est plus grand que cet autre” : s’agit-il de sa hauteur,
de sa plus grande dimension horizontale, de son volume intérieur ou
capacité, de son volume extérieur ?
“La planète Saturne est grosse comme 95 Terres” : s’agit-il de
volumes, de diamètres, de masses ? ”
Dans ce dernier cas, bien sûr, des données supplémentaires
permettent de trancher :
“ Le diamètre équatorial de Saturne, anneaux exclus, est 9,4 fois
celui de la Terre : son volume est 745 fois celui de la Terre (et non
9,43 [ 831], car elle est sensiblement plus aplatie que la Terre).
Sa masse est 95 fois celle de la Terre.”
Les mots “grosse comme” signifiaient donc : “lourde comme”.
51
Slide 52
Grandeurs de même espèce
Pour préciser la notion d’espèce de grandeurs, on suppose un
ensemble X d’objets et une relation d’équivalence ~ sur X qui
définit une certaine espèce de grandeurs (volume, longueur, etc.) :
deux objets x1, x2 X équivalents seront dits avoir même grandeur.
Bien entendu, il existe en général plusieurs relations d’équivalence
“ intéressantes ” définissant autant d’espèces de grandeurs
différentes.
On suppose d’abord qu’on a défini sur X une relation de préordre
total associée à ~ : pour tous x, y, z
un et un seul des énoncés x y, y x, x ~ y est vrai
si x y et y z alors x z.
En d’autres termes, on suppose qu’on peut dire que deux objets
ont même grandeur ou non, et, dans ce dernier cas, on peut
comparer ces deux objets.
52
Slide 53
On suppose ensuite qu’on a défini sur X une opération binaire,
notée , telle que
xy est défini si, et seulement si, x ≠ y ;
si x ≠ y, alors xy ~ yx, et si, de plus, x ≠ z et y ~ z, alors
xy ~ xz ;
si (xy)z et x(yz) sont définis, alors (xy)z ~ x(yz).
On suppose enfin que sont satisfaites trois conditions unissant
~, et :
si x ≠ y, alors x xy ;
si x z, alors il existe y tel que xy ~ z ;
pour tout x et tout entier n N*, il existe y1, …, yn tels que
y1 ~ … ~ yn, y1 … yn est défini et x ~ y1…yn.
53
Slide 54
Désignons par G (comme grandeur) l’ensemble des classes
d’équivalence pour ~ dans X : G = X/~. Dans la suite, la classe de x
est notée c(x) ; un élément de G sera désigné par g.
À partir de la structure (X, ~, , ) ainsi supposée, on définit
alors sur G :
un ordre total, noté < ;
une addition, notée + ;
une soustraction, notée – ;
une division par n N* : si y ~ y1 ~ … ~ yn, avec x ~ y1…yn,
c y
c x
n
54
Slide 55
Pour tout g G, posons en outre 1g = g. On a alors le résultat
suivant : pour tous g, g1, g2, g3 G,
Gr1. Un et un seul des énoncés g1 g2, g1 = g2, g1 g2 est vrai
Gr2. Si g1 g2 et g2 g3 alors g1 g3
Gr3. g1+g2 = g2+g1
Gr4. (g1+g2)+g3 = g1+(g2+g3)
Gr5. g1 g1+g2
Gr6. Si g1 g2 alors il existe un élément h de G et un seul tel que :
g1+ h = g2
Gr7. Pour tout entier naturel n N* il existe un élément h de G et
un seul tel que : g = nh.
On obtient ainsi une axiomatique de la notion d’espèce de
grandeurs (G, , +).
55
Slide 56
Revenons alors sur les restrictions imposées aux opérations sur les
objets dans la mathématisation précédente. On ne saurait ajouter,
concrètement, un objet x à lui-même : on ne peut l’ajouter qu’à un
autre objet, y, ayant même grandeur que x.
Plus encore, c’est la condition relative au fractionnement qui doit
être méditée : les objets y1, …, yn de même grandeur tels que
y1…yn ~ x
ne sont pas uniques.
Pour n = 2, par exemple, on ne peut pas parler de la moitié de x, tout
simplement parce que, en dehors d’une convention sociale plus ou
moins explicite, l’“ objet moitié ” d’un objet x n’existe pas : il existe
en effet une infinité de couples d’objets distincts (yi, yj) tels que
yi ~ yj et yiyj ~ x.
56
Slide 57
Les figures ci-dessous illustrent ainsi la non-existence d’une “ moitié
de triangle ” et d’un “ quart de carré ” du point de vue de l’aire
(on notera en passant que les périmètres de ces “ moitiés ”, d’une
part, de ces “ quarts ”, d’autre part, sont inégaux).
Nombre d’énoncés proposés dans des manuels sont à cet égard
fautifs, tels les suivants :
“ Dites, pour chacun des dessins ci-dessous, quelle fraction du
cercle a été peinte en rouge ”
“ Quelle fraction de tarte reste-t-il ? Quelle fraction de tarte a-t-on
déjà mangée ? ”
“ L’aire d’un champ est de 6394 m2. On vend les 3/4 du champ.
Quelle est l’aire de la partie vendue ? ”
57
Slide 58
Ces remarques sur l’impossible arithmétique des objets
expliquent la nécessité indépassable d’une théorie des
grandeurs : elle seule en effet fournit des entités sur lesquelles on
puisse opérer comme d’aucuns rêvent vainement, on l’a vu,
d’opérer sur les objets eux-mêmes. Il convient donc d’assumer le
détour par les grandeurs dans le trajet qui conduit des objets aux
mesures.
C’est, non une pièce de ruban, mais sa longueur, non un champ,
mais sa surface, non le contenu d’un tonneau de vin, mais la
quantité correspondante de vin que l’on peut diviser “ en un
nombre absolument quelconque de parties égales ”, ces parties
étant des parties (“ aliquotes ”) de grandeurs (h G est une
partie aliquote de g G s’il existe n N* tel que g = nh), et non
des parties (“ concrètes ”) d’un ruban, d’un champ, ou du contenu
d’un tonneau.
58
Slide 59
La grandeur “Longueur”
Objets x : les segments de droite
X = ensemble des segments de droite
Relation
d’équivalence
:
~
Deux segments sont équivalents (ont même longueur) s’ils
sont
superposables.
À un autre niveau d’enseignement, [AB] ~ [CD] si on peut obtenir [CD] en
faisant subir à [AB] une succession de symétries orthogonales.
Addition des segments : la somme des segments [AB] et [CD]
est le segment obtenu en mettant “bout à bout” deux segments
équivalents à [AB] et [CD].
Multiplication par un nombre entier, …
59
Slide 60
60
Slide 61
Division par un nombre entier n :
Cas où n est une puissance de 2
Et sinon ?
Importance de l’outil “guide-âne” pour partager un segment en n
parties égales (dessiné dans le document d’application du cycle 3)
Faire manipuler
réellement aux
élèves de tels
réseaux de
parallèles
équidistantes.
61
Slide 62
Résultats de l’évaluation nationale 2004 et 2005 en 6e
Voici un segment :
a) Construis un segment dont la longueur est
1
4
de la longueur du segment donné.
Résultats
Code 1
2004
2005
(échantillon national représentatif)
Population entière
54,9%
Code 6 (segment de 4 carreaux)
21,5 %
Code 9
20,6 %
Code 0
3%
49,76%
Les résultats pour 2005 sont
disponibles sur le site suivant :
http://evace26.education.gouv.fr
62
Slide 63
b) Construis un segment dont la longueur est
1
6
de la longueur du segment donné.
Résultats (échantillon national représentatif) en 2004
Code 1
41,9%
Code 6 (segment de 6 carreaux)
25,8 %
Code 9
26,0 %
Code 0
6,3 %
Résultats (population entière) en 2005
Code 1
1
6
a été remplacé par
44,14%
1
3
63
Slide 64
c) Construis un segment dont la longueur est
5
4
de la longueur du segment donné.
Résultats
2004
2005
Echantillon national représentatif
Population entière
Code 1
34,6%
Code 6 (segment de 4 ou 5 carreaux)
12,7 %
Code 9
36,2 %
Code 0
16,5 %
36,79%
64
Slide 65
(2004)
QuickTime™ et un
décompresseur TIFF (LZW)
sont requis pour visionner cette image.
Résultats (en %)
item 85
item 84
code 1 (0,8 ou 8/10)
code 6 (8)
code 9
code 0
60,5
16,0
12,8
10,7
code 1 (1,6 ou 1 + 6/10)
code 6 (16)
code 7 (6 ou 0,6)
code 9
code 0
54,9
10,2
4,2
19,4
11,3
65
Slide 66
2004
Code 1
78,6%
78,4 %
76,5 %
66
Slide 67
2005
Code 1
80,78%
74,38 %
73,76%
67
Slide 68
5. Grandeurs et mesures
L’un des problèmes de l’enseignement des mathématiques est la
construction d’un système de nombres N vérifiant la condition
suivante :
Si (X, ~, , ) est le support d’une certaine espèce de grandeurs
G, alors il existe, à un facteur multiplicatif près, une application
unique : X N telle que :
la relation d’équivalence définie par sur X est identique à ~ :
x y équivaut à x ~ y ;
la relation de préordre définie par sur X est identique à :
x y équivaut à x y ;
par l’application , l’image d’une somme est la somme des
images : (xy) = (x) + (y).
68
Slide 69
Pour les longueurs, si on choisit une longueur u comme unité,
posons u(u) = 1.
De quels nombres a-t-on besoin pour mesurer les longueurs ?
Soit g = nu.
Alors u(g) = u(nu) = n.
Donc on a besoin des nombres entiers : N N
Soit g tel que ng = u.
Alors n u(g) = 1. Donc u(g) est un nombre r tel que nr = 1.
Plus généralement, si v = mu et ng = v, on a besoin d’un
nombre r tel que nr = m.
Ainsi s’introduisent les fractions d’entiers.
69
Slide 70
Fractions ou quotients d’entiers ?
Deux constructions d'un segment ayant pour longueur
Construction sollicitant l'aspect
“fraction” et l'expression
“Douze septièmes”
12
7
cm.
Construction sollicitant l'aspect
“quotient” et l'expression
“Le septième de
12 cm”
1,0 0 cm
Les deux segments obtenus ont-ils bien la même longueur ?
7 fois “douze septièmes”
84 septièmes
12 fois 7 septièmes
12 fois 1
12
70
Slide 71
Bibliographie
:
Chevallard Y. Bosch M., 2000-2001, Les grandeurs en mathématiques au
collège. Partie I : Une Atlantide oubliée, Petit x n°55, pp. 5-32, IREM de
Grenoble.
Chevallard Y. Bosch M., 2002, Les grandeurs en mathématiques au collège.
Partie II : Mathématisations, Petit x n°59, pp. 43-76, IREM de Grenoble.
Encyclopædia Universalis, article “Dimensionnelle (analyse et similitude)”.
Pressiat A., 2002, Grandeurs et mesures : évolution des organisations
mathématiques de référence et problèmes de transposition, in Dorier J.-L.,
Artaud M., Artigue M., Berthelot R., Floris R., Actes de la 11e Ecole d’Eté de
Didactique des Mathématiques, Corps - 21–30 Août 2001.
Pressiat A., 2006, Calculer avec les grandeurs, Actes de l’Université d’été de
Saint-Flour 2005 “Le calcul sous toutes ses formes”, site académique de
Clermont-Ferrand.
71
L’enseignement des grandeurs
André PRESSIAT
Maître de Conférences
de mathématiques à l’IUFM d’Orléans-Tours
DIDIREM - INRP
1
Slide 2
3
4
2
Slide 3
1. Des aires sans leurs mesures : d’Euclide à Hilbert
Euclide : notions communes
1 - Les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles.
2 - Si à des grandeurs égales, on ajoute des grandeurs égales, les touts
seront égaux.
3 - Si de grandeurs égales, on retranche des grandeurs égales, les
restes seront égaux.
4 - Si à des grandeurs inégales, on ajoute des grandeurs égales, les
touts seront inégaux.
5 - Si de grandeurs inégales, on retranche des grandeurs égales, les
restes seront inégaux.
6 - Les grandeurs qui sont doubles d’une même grandeur sont égales
entre elles.
7 - Les grandeurs qui sont les moitiés d’une même grandeur sont
égales entre elles.
8 - Les grandeurs qui s’adaptent entre elles sont égales entre elles.
9 - Le tout est plus grand que la partie.
3
Slide 4
Les aires chez Euclide
La notion d’égalité de figures (triangles) est déjà présente.
Pour traiter les questions concernant ce que nous appelons
“aire”, Euclide parle d’un nouveau type d’égalité des
figures, sans utiliser un nouveau mot pour cela.
Propriétés satisfaites par la nouvelle relation d’“égalité”
2 - Les sommes de figures “égales” entre elles sont “égales”
3 - Les différences de figures “égales” entre elles sont “égales”
4 - Les moitiés de deux figures “égales” sont “égales”. (7’)
5 - Le tout est plus grand que la partie. (9)
De plus, Euclide utilise deux autres propriétés admises :
1 - Des figures congruentes sont “égales”
6 - Si deux carrés sont “égaux”, leurs côtés sont égaux.
4
Slide 5
Euclide, revisité par Hilbert …
Figures équidécomposables
Deux figures P et P' sont équidécomposables s'il est possible
d'écrire chacune d'elles sous forme de réunions de triangles
n'empiétant pas l'un sur l'autre :
P T1 T2 ... Tn
P ' T ' 1 T ' 2 ... T ' n
telles que, pour chaque i, les triangles Ti et T'i soient “égaux”
(Hilbert emploie le mot “congruents” au lieu de “égaux”).
En allemand, le mot correspondant est “zerlegungsgleich” qui
signifie “égale décomposition”, ou “égal découpage”.
T1
T' 1
T4
T2
T3
T'4
T'2
T'3
5
Slide 6
Figures de même contenance
(ou équicomplémentaires)
Deux figures P et P' sont équicomplémentaires s'il existe des
figures Q et Q' telles que :
- P et Q n'empiètent pas l'une sur l'autre ;
- P' et Q' n'empiètent pas l'une sur l'autre ;
- Q et Q' sont équidécomposables ;
- P Q et P ' Q ' sont équidécomposables.
Dans les six premières éditions, Hilbert emploie le mot
“inhaltsgleich”, qui signifie littéralement “contenu égal”, ou
“superficie égale” ; dans les quatre éditions suivantes, il emploie
“ergängzungsgleich” qui signifie “égal par complément”.
6
Slide 7
A
E
B
F
G
D
C
ABCD et CDEF sont les deux parallélogrammes dont il s'agit de
démontrer qu'ils ont même contenance (Proposition I-35 d’Euclide)
Pour cela, on ajoute le triangle BEG à chacun des parallélogrammes.
Il s’agit alors de démontrer que les deux figures ainsi obtenues :
A
F
G
G
D
E
B
E
B
C
D
C
sont équidécomposables.
7
Slide 8
Pour cela, on décompose chacune d'elles en deux triangles :
A
E
B
F
G
G
D
E
B
C
D
C
- les triangles ADE et CDG pour la première,
- les triangles BCF et CDG pour la seconde.
Il suffit de démontrer que ADE et BCF sont congruents.
P ~ Q : P et Q sont équidécomposables.
P ≈ Q : P et Q sont équicomplémentaires.
8
Slide 9
Figures faites par Hilbert dans les
“Grundlagen der Geometrie” pour
illustrer la démonstration de la
transitivité de l’équidécomposabilité.
9
Slide 10
Et dans nos classes ?
• On peut calculer des aires par la méthode de décomposition,
qui repose sur le fait que deux figures équidécomposables ont
même aire. En notant + les réunions de figures quasi-disjointes,
pour calculer l’aire d’une figure F, on la décompose sous la
forme : F = F1 + F2 + … + Fn, de telle manière qu’en faisant subir
à chacune des Fn un déplacement convenable, on obtienne
n figures H1, H2, … Hn quasi-disjointes dont la réunion
H1 + H2 + … + Hn est une figure H dont on connaît déjà l’aire.
(2)
(1)
(2')
(1')
?
10
Slide 11
(1)
(1)
(1')
(2) (2')
(2)
(2')
(1')
(1)
(2)
(7)
(3)
(5)
(5)
(4)
(3')
(2')
(1')
(8)
(3)
(1)
(6)
(4)
(2)
(1)
(2)
(4)
(5)
(1')
(2')
(3)
(7')
(4')
(3')
(5')
(2')
(1')
(8')
(6')
(5')
(4')
(3')
11
Slide 12
• On peut calculer des aires par la méthode de
complémentation, qui repose sur le fait que deux figures
équicomplémentaires ont même aire.
(P )
(R)
(T)
(T)
12
Slide 13
T1
T'2
T2
C1
T'4
C
T4
(T'1)
(P')
(T1)
T3
T'1
T'3
C2
(P)
(T'2)
(T2)
• Technique élémentaire pour “redresser” un parallélogramme
13
Slide 14
Pour aller plus loin …
• Appliquée dans le cas de deux parallélogrammes ayant une base
en commun et de même aire, voici une technique (utilisée par
Hilbert) qui fournit une T- équidécomposition des deux
parallélogrammes, lorsqu’aucun des deux ne contient entièrement
une de ses hauteurs.
A
B
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(8)
D
(7)
(2')
(3')
(4')
(5')
(6')
(7')
C
F
(8')
E
Cette technique est une adaptation d’une méthode proposée par
Montucla pour décomposer un rectangle en un carré de même
aire.
14
Slide 15
• Technique de Montucla (décrite dans Ozanam, 1778)
Elle permet d’obtenir une T-équidécomposition de deux
rectangles de même aire.
3
(4')
(5)
(1) (1')
(2')
(3')
(5')
(2)
(3)
(4)
Et pour les volumes ?
15
Slide 16
On peut adapter à l’espace la relation d’équidécomposabilité
vue dans le plan, en remplaçant les triangles par des tétraèdres
(pyramides à base triangulaire).
Euclide, pour établir que deux pyramides ayant même base et
même hauteur ont le même volume sans recourir aux
mesures, a besoin d’autre chose que de la relation
d’équidécomposabilité.
Il utilise un procédé, appelé procédé d’exhaustion, qui du
point de vue moderne s’apparente à un passage à la limite.
Le troisième problème de Hilbert
En 1900, le mathématicien Max Dehn a montré qu’il était
possible que deux solides aient le même volume (un cube et un
tétraèdre régulier) sans être équidécomposables.
De manière étonnante, du point de vue de la théorie, la question
16
des volumes est plus compliquée que celles des aires.
Slide 17
2. La mesure des aires
Lebesgue, La mesure des grandeurs, Albert Blanchard, 1975.
Boltianskii, Hilbert’s third problem, John Wiley & Sons, 1978.
Rogalski M., avec Robert A., Pouyanne N., Carrefours entre analyse,
algèbre, géométrie, Ellipses, 2001.
Un carré C
Le réseau R plan construit à
partir de C (niveau 0).
Une partie F bornée du
plan
17
Slide 18
Un carré C
Le réseau R plan construit à partir de C (niveau 0).
Une partie F bornée du plan
a0 : nombre de carrés du réseau R formés entièrement de points
de F.
b0 : nombre de carrés du réseau R dont certains points
appartiennent à F.
On subdivise chaque carré de R en 100 carrés de même côté.
Réseau R1 (niveau 1), et on recommence indéfiniment …
Réseaux Rk (niveau k).
Au niveau k :
ak : nombre de carrés du réseau Rk formés entièrement de points
de F.
bk : nombre de carrés du réseau Rk dont certains points
appartiennent à F.
18
Slide 19
a0
a1
10
2
a2
10
4
...
F est quarrable si :
lim
n
ak
10
2k
...
bn – an
10
2n
bk
10
2k
...
b2
10
4
b1
10
2
b0
0
Invariance par déplacement du réseau initial ? (Voir plus loin)
On définit ainsi une application s qui associe à chaque figure
quarrable F du plan un nombre réel s(F), appelé “aire de F”.
19
Slide 20
Propriétés de l’aire
() La fonction s est positive.
() s est additive : si F et F’ sont deux figures quarrables n’ayant
pas de points intérieurs en commun, s F F' s ( F ) s ( F' )
() s est invariante par translation.
() s est normalisée : s(Q) = 1, Q désignant un carré du réseau
initial R.
Tout polygone est quarrable.
Il existe une fonction s et une seule définie sur l’ensemble des
polygones qui satisfait les conditions (), (), () et ().
Ce dernier résultat permet de définir axiomatiquement l’aire,
sans recourir aux réseaux précédents : on a seulement besoin
d’un carré unité (qui est fixé).
20
Slide 21
Invariance par déplacement du réseau initial ?
21
Slide 22
Autres propriétés de l’aire
• () s est croissante. En remplaçant (), (), (), () par (), (),
() et () on obtient un système d’axiomes équivalent.
• Quelles que soient les figures quarrables F et F’,
s F F ' s( F ) s( F ' ) – s F F '
• L’aire d’un rectangle est égale à ab, produit des longueurs de ses
côtés.
• () s est invariante par déplacement.
• s ne change pas si l’on remplace le carré initial par un carré
isométrique, (d’où l’invariance de s par rapport au déplacement du
réseau initial).
• Si F est quarrable et f est une similitude de rapport k, f(F) est
quarrable et s(f(F)) = k2 s(F).
22
Slide 23
Une autre méthode de calcul pour les aires
• L’axiome () (ou l’axiome ()) peut être utilisé pour obtenir
des inégalités d’aires, et par passage à la limite des égalités
d’aires.
Méthode d’exhaustion
F étant une figure quarrable, et (Gn) une suite de parties de F telle
que l’aire de F \ Gn puisse être rendue aussi petite que l’on veut à
s (G n ) .
condition que n soit suffisamment grand, alors s( F ) n lim
F étant une figure quarrable, et (Gn) une suite de parties de F, et
s( H n – G n ) 0,
(Hn) une suite de parties contenant F telles que n lim
alors s( F ) n lim
s (G n ).
(Calcul de l’aire du disque).
Et chez nos voisins ?
23
Slide 24
24
Slide 25
M=u.h
M = 6 . 6 cm . 9 cm
M = 324 cm2
G = 6.
a
2
3
.
4
u=6 a
h = 9 cm
G = 6.
a = 6 cm
M = 6 . 6 cm . 9 cm
2
4
G 93, 53 cm
M=u.h
M = 324 cm
6 cm
.
2
V=G.h
V 93,5 cm2 . 9 cm
V 841,5 cm3
2
25
3
Slide 26
26
Slide 27
27
Slide 28
Source : Elemente der Mathematik
10. Schuljahr
Schroedel Schulbuchverlag
28
Slide 29
Source : Matemáticas
Eso: Curso 3 (correspond à la classe de 3e)
Edelvives
29
Slide 30
Un train part de Palencia à 8 h du matin vers Alicante à la vitesse de 80 km/h.
Une heure et demie plus tard, un deuxième train part de la même gare en
direction d’Alicante à la vitesse de 100 km/h. Combien de temps le deuxième
train mettra-t-il pour rattraper le premier ? A quelle distance de Palencia le
rattrape-t-il
?
On peut exprimer de deux manières la distance parcourue par chacun des deux
trains au moment où le deuxième rattrape le premier. On peut choisir comme
inconnue x le temps en heures mis par le deuxième train pour rattraper le
premier.
Au moment où ceci se produit, le premier train a roulé pendant une durée de
(x + 3/2) h.
La distance parcourue par le premier train jusqu’à ce que le deuxième le rattrape
est donc :
80 km/h (x + 3/2) h soit 80 (x +3/2) km.
Quant à la distance parcourue par le second, elle est égale à 100 km/h x h,
c’est-à-dire 100x km.
En égalant les nombres de kilomètres parcourus on obtient l’équation permettant
de répondre à la première question : 80 (x + 3/2) = 100x …
30
Slide 31
3 - La question des unités
En classe de mathématiques, les objets supports des grandeurs
(une règle de telle longueur, un vase de telle capacité, …) sont
évoqués, mais ne sont pas amenés dans la classe pour y être
exploités (sauf exception).
Les grandeurs pourraient y être aisément présentes sous la
forme de “nombres concrets” :
15 km est une longueur,
50 km/h est une vitesse, …
Or les unités - et donc les grandeurs - ont disparu pendant
quelques dizaines d’années.
« Triangle des Bermudes ».
Exemple
:
En 6e (ou 5e) il s’agit de déterminer combien il y a de minutes
dans une demi-heure, dans un quart d’heure, dans un cinquième
d’heure.
31
Slide 32
Les traces écrites d’un élève au tableau sont les suivantes :
1
2
30 min
1
4
15 min
1
5
12 min
Le professeur commente la solution de l’élève, mais ne la corrige
pas. Il est pourtant clair que ces égalités ne sont pas correctes :
le nombre
1/5 (= 0,2) ne saurait être égal à la durée 12 min, pas
davantage que 12 cm n’est égal à 12 kg. Les écritures correctes
auraient été simplement :
1
2
h = 30 min
1
4
h = 15 min
1
5
h = 12 min
32
Slide 33
Un manuel de mathématiques de 5e (assez ancien) commence ainsi fort à
propos par indiquer les normes de l’AFNOR (Association française de
normalisation) en la matière :
Il est tout à fait autorisé d’écrire :
1,825 km = 1 825 m
2 m 3,5 m = 7 m2
Mais les auteurs reprennent dans un exercice l’usage traditionnel :
aire de base A2 = (6 6) : 2 = 18 cm2
aire de base A3 = 72 – 18 = 54 cm2
V2 = 18 12 = 216 cm3
V3 = 864 – 216 = 648 cm3
Technique de calcul bien installé en France dans la classe de
sciences physiques (oubli des unités dans les calculs
intermédiaires).
33
Slide 34
L’absence ou la raréfaction des unités pose un problème majeur :
celui du changement d’unités.
La technique généralement mise en place, illustrée sur l’exemple suivant,
extrait d’un manuel de 3e, est fort complexe et peu fiable.
Convertir les unités de grandeurs composées
Méthode : Convertir successivement les unités des deux grandeurs
Exemple : Convertir 1,25 g/cm3 en kg/m3
Réponse :
– On convertit l’unité de masse : 1,25 g = 0,001 25 kg
donc 1,25 g/cm3 = 0,001 25 kg/cm3.
– On convertit l’unité de volume : 1 m3 = 1 000 000 cm3.
0,001 25 1 000 000 = 1 250
donc 0,001 25 kg/cm3 = 1 250 kg/m3.
– On conclut : 1,25 g/cm3 = 1 250 kg/m3.
La technique apparaît lourde, avec une accumulation de calculs partiels non
34
intégrés, qui en diminuent la fiabilité.
Slide 35
Par contraste avec cette technique “ abstraite ”, voici une technique
“ concrète ” qui consiste à calculer avec les unités, c’est-à-dire sur
des nombres “ concrets ”.
Le fait mathématique essentiel est le suivant : les durées constituent
un demi-espace vectoriel de dimension 1 sur R.
Le problème posé aux élèves est exactement un problème de
changement de base.
La durée qui a pour coordonnée 1/5 dans la base {h} a pour
coordonnée 12 dans la base {min} : 1/5 h = 12 min.
1
5
h =
1
5
60 min
1
= 60 min = 12 min
5
35
Slide 36
On peut montrer que cette technique concrète s’étend à tous les problèmes de
changement d’unités.
Considérons ainsi le problème suivant :
Un réservoir parallélépipédique a 0,6 m de longueur, 10 cm de largeur, et 50 mm de
profondeur. Quelle est, en litres, sa capacité ? (1 litre = 1 dm3.)
Dans la technique concrète, on utilise bien la formule
V=Lp
mais L, , p sont alors, non des nombres (“ abstraits ”), mais des grandeurs (des
“ nombres concrets ”).
Puisque on a L = 0,6 m, = 10 cm, p = 50 mm
il vient simplement :
V = 0,6 m 10 cm 50 mm.
Si l’on décidait de prendre pour unité de volume le produit
= m cm mm
on aurait : V = 0,6 m 10 cm 50 mm = (0,6 10 50) m cm mm = 300 .
Si, comme ici, on cherche à exprimer le volume en dm3, on peut par exemple
procéder ainsi :
V = 0,6 m 10 cm 50 mm = 0,6 (10 dm) 10 (10–1 dm) 50 (10–2 dm)
= 6 dm 1 dm 0,5 dm = 3 dm3 = 3 litres.
36
Slide 37
Comparaison des techniques “abstraite” et “concrète”, la technique
abstraite étant le corrigé fourni par un professeur de physique de lycée :
P rob lè m e I. Un b a rreau d’ a cier de se c tion con sta nt e et de 4 dm
de l ongueur
pè se 2,85 kg . D é te rmi ne r sa m a sse li né ique en
g/cm .
T echn ique conc rète
T echn ique abs tr ait e
m
2 ,85 kg
2 ,85 (1000 g)
Conv e rtir l a m as se e n g
=
3
M = 2,85 kg = 2,85 10 g
l
4 dm
4 (10 cm)
E t l a longu e ur en cm
285
=
g/cm = 71 ,25 g /cm
= 4 dm = 40 cm
4
L a m asse li né ique =
=
2 ,85 10
40
m
l
3
= 71 ,2 g /cm
37
Slide 38
P rob lè m e II. A u tenn is les ba ll es att eignen t la
vit es se de 95 mi le s par heu re. Que r e pré sen te ce tt e
vit es se en m ètr es pa r seconde ? (On a : 1 mil e =
1 m i = 1,609 km .)
T echn ique conc rète
T echn ique abs tr ait e
v = 95 m i/h =
v = 95 m ile s/heu re
d
95 miles
95 mi
95 (1609 m)
v =
t
1 heure
1h
3600 s
Conv e rtir les mil es en
42,5 m /s
m ètr es
d = 95 m i = 95 1,609 k m
3
= 95 1,609 10 m
5
= 1,53 10
Conv e rtir t = 1 h
= 3600 s
D ’où v = 42,4 m /s
38
Slide 39
P rob lè m e III. L a m asse vo lumi que du zinc es t de
3
7,29 kg /dm . Que ll e es t, e n g ramm es , la m as se de
3
9 cm de ce m étal ?
T echn ique conc rète
T echn ique abs tr ait e
m
m = v =
3
=
=
7,29
kg
/d
m
3
3
(7,29 kg /dm )(9 cm ) =
v
3
–3
3
Conv e rtir en g /cm
7,29 kg dm 9 c m =
3
3
–3
= 7,29 kg /dm
7,29 (10 g) (10 c m)
3
9 c m = 7,29 9 g
65 ,6 g
=
7 ,29 kg
1 dm
3
3
7 ,29 10 g
3
10 cm
3
3
= 7,29 g/cm
D ’où m = v = 7,29 9
65,6 g
Dans le corrigé du problème III, le professeur utilise subrepticement
l’arithmétique concrète.
39
Slide 40
60 km/h
60 km
1h
60 000 m
3 600 s
60000
3600
m/s =
100
6
m/s 16, 67 m/s
Importance dans cette technique de :
h=1h
à rapprocher du
1u u
de la définition d’un espace vectoriel.
1 cm
2 km
1 cm
2000
m
1 cm
200 000 cm
1
200 000
Toute question qui conduit à une multiplication est un problème de
changement
d’unité,
ou d’objet
: 5 sacs de 300 pommes ; 2m.75
d’étoffe à 28 fr. 45 le mètre.
Henri Lebesgue, La mesure des grandeurs.
Note en bas de page 13.
40
Slide 41
• Les calculs avec unités rendent visible le travail sur les grandeurs,
et permettent d’assurer un contrôle plus grand sur les calculs.
Ils permettent de rendre plus visible les raisonnements sur les
grandeurs proportionnelles.
Problème : L’eau sucrée
Pour faire une expérience de chimie, un professeur verse dans un récipient 6 dL
d’eau et 15 g de sucre. Il distribue à chacun de ses élèves un récipient contenant
de l’eau. Dans le récipient de Jacques, il y a 8 dL d’eau, dans celui de Pierre il y a
18 dL, dans celui d’Isabelle 15 dL, dans celui de Benoît il y a 30 dL et dans celui
de Laurence il y a 12 dL. Le professeur demande ensuite à chaque élève de mettre
juste ce qu’il faut de sucre dans son récipient pour obtenir une eau aussi sucrée
que la sienne, pas plus, pas moins.
Quelle quantité de sucre doit mettre chaque élève dans son récipient ?
41
Slide 42
Résolution par procédure scalaire
• 18 dL, c’est trois fois 6 dL.
Donc, il faudra trois fois 15 g de sucre, c’est-à-dire 45 g.
• 12 dL = 2 6 dL. Donc il faudra : 2 15 g de sucre, c’est-à-dire
30 g.
• … 30 dL = 5 6 dL … 5 15 g de sucre … 75 g de sucre.
• 15 dL c’est la moitié de 30 dL. Donc, pour 15 dL, il faudra la
moitié de 75 g, soit 37,5 g.
Cette procédure trouve sa justification dans la définition suivante
de deux grandeurs proportionnelles, que l’on trouve dans de vieux
dictionnaires à l’article “Proportionnel”.
Deux grandeurs proportionnelles sont des grandeurs telles que :
si l’on multiplie (ou divise) l’une d’elles par un nombre,
la grandeur correspondante est multipliée (ou divisée) par
le même nombre.
42
Slide 43
Emploi de la procédure dite “du coefficient de proportionnalité”
• Il faut 15 g de sucre pour 6 dL.
Pour obtenir 15, on peut multiplier 6 par 2,5.
Donc, pour 8 dL, on multiplie 8 par 2,5 : on trouve 20.
Il faut donc 20 g de sucre pour 8 dL.
Avec le registre des tableaux, cette procédure se traduit ainsi :
2,5
6
8
15
15
43
Slide 44
Remarque
Le traitement précédent s’appuie sur les nombres (mesures de
grandeur) plutôt que sur les grandeurs. On peut rester dans le
cadre des grandeurs, comme le montre ce qui suit :
6 dL
2,5 g / dL
8 dL
15 g
Il apparaît alors que 2,5 est la mesure, exprimée en grammes par
décilitre, d’une troisième grandeur : la concentration en sucre,
grandeur quotient de la masse (de sucre) par le volume d’eau.
(Ces grandeurs quotients figurent explicitement au programme de 4e et de 3e).
44
Slide 45
Cette procédure trouve sa justification dans la définition suivante de
deux grandeurs proportionnelles, que l’on trouve dans les
dictionnaires
d’aujourd’hui
:
Deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est constant.
Si on ne s’intéresse qu’aux mesures des grandeurs en question,
ce rapport constant est un nombre, appelé coefficient de
proportionnalité (entre les deux suites de mesures apparaissant
dans le tableau) : 2,5 dans l’exemple.
Si on reste dans le cadre des grandeurs, ce rapport est une
grandeur constante, appelée “concentration en sucre” : 2,5 g/dL
dans l’exemple.
45
Slide 46
En revanche, quand on utilise la concentration en sucre 2,5 g/dL
pour trouver la masse de sucre correspondant à 8 dL :
8 dL 2,5 g/dL = 20 g,
2,5 g/dL n’est pas un scalaire.
La procédure dite “du coefficient de proportionnalité” masque
cette difficulté : elle ne fait apparaître que le nombre 2,5 tout
comme la procédure scalaire fait apparaître le nombre 3. Ces deux
nombres ne jouent cependant pas le même rôle.
Alors que 3 est un “nombre pur”, 2,5 n’a de signification qu’en
tant que mesure d’une grandeur, pour laquelle l’unité g/dL a été
choisie.
Pour contourner cette difficulté, on évite de parler de 2,5 g/dL, en
disant : pour 1 dL, il faut 2,5 g de sucre. On fait de même pour les
prix unitaires, ou les prix par kilogramme (dont l’affichage est
obligatoire dans les commerces) :
15 €/ u 15 € l’unité || 12 €/kg 12 € au kilo 12 € le kilo
46
Slide 47
• Les calculs avec unités permettent de rendre plus visible le
passage des grandeurs proportionnelles à la fonction linéaire.
Désignons par V la grandeur “volume”, et par M la grandeur “masse”.
À un volume d’eau v dL, il correspond une masse de sucre, que nous noterons
provisoirement “m. pour v dL”.
On a alors :
m. pour (v + v’) dL = m. pour v dL + m. pour v’ dL
m. pour kv dL = k m. pour v dL,
m. pour v dL = 2,5 g/dL v dL = 2,5v g
V = R
+
dL
m. : R
+
M = R
dL
v dL
R
+
+
g
g
2,5 v g
Désignons par M la grandeur “masse”, et par Pla grandeur “valeur marchande”
(autrement dit les prix). À une masse m kg de fromage, il correspond un prix, que
nous noterons provisoirement “p. de m kg”.
On a alors :
p. de (m + m’) kg = p. de m kg + p. de m’ kg
p. de km kg = k p. de m kg ,
p. de m kg = 16 €/g m g = 16m €.
M = R
+
p. : R
kg
+
P R €
+
kg
m kg
R €
+
16 m €
47
Slide 48
m : R
v
+
+
R
2,5 v
m(v + v’) = m(v) + m(v’)
f :R R
m(k v) = k m(v)
x
m(v) = 2,5v
p : R R
+
m
+
16 m
p(m + m’) = p(m) + p(m’)
p(k m) = k p(m)
p(m) = 16m
ax
f(u + v) = f(u) + f(v)
f(k u) = k f(u)
La fonction linéaire …
… que l’on peut aisément
recontextualiser avec
deux grandeurs
proportionnelles
48
quelconques.
Slide 49
De même, des relations quadratiques entre plusieurs couples de
grandeurs permettent d’introduire les fonctions polynômes du
second degré …
…
des couples de grandeurs inversement proportionnelles
permettent de motiver l’étude de fonctions numériques de la
forme
x
k
x
Et donc de motiver celle de la fonction “inverse” …
Toutes ces fonctions
vont permettre de construire un nouveau
domaine, celui de l’analyse …
49
Slide 50
4. Entre Objets et Mesures : les Grandeurs
Il est essentiel de rappeler qu’un même objet est le support de plusieurs grandeurs
d’espèces différentes, usuelles ou non, dont la considération a ses raisons d’être.
C’est ce que rappelle l’extrait suivant d’une brochure consacrée autrefois par
l’APMEP aux mots “ Grandeur ” et “ mesure ” (Mots, tome VI, Paris, APMEP,
1982) :
“ À propos d’un même objet, plusieurs grandeurs peuvent être envisagées. Le type
de manipulation à laquelle on soumet cet objet permet de préciser la grandeur dont
il s’agit, ce qui conduit à un vocabulaire approprié :
- pour une feuille de papier : la longueur de son bord, ou périmètre, et
l’aire de sa surface ; on suit le bord du bout du doigt, on balaie la surface de la
paume de la main ;
- pour une portion de route, sa longueur s’il s’agit de la parcourir, son aire
s’il s’agit de la goudronner, [...] sa pente s’il s’agit d’y faire passer de lourds
convois [...]. ”
L’abord de la notion de grandeur à partir du langage ordinaire recèle en
conséquence quelques pièges qu’il convient de bien repérer. Considérons les deux
cas suivants :
50
Slide 51
“ Ce récipient est plus grand que cet autre” : s’agit-il de sa hauteur,
de sa plus grande dimension horizontale, de son volume intérieur ou
capacité, de son volume extérieur ?
“La planète Saturne est grosse comme 95 Terres” : s’agit-il de
volumes, de diamètres, de masses ? ”
Dans ce dernier cas, bien sûr, des données supplémentaires
permettent de trancher :
“ Le diamètre équatorial de Saturne, anneaux exclus, est 9,4 fois
celui de la Terre : son volume est 745 fois celui de la Terre (et non
9,43 [ 831], car elle est sensiblement plus aplatie que la Terre).
Sa masse est 95 fois celle de la Terre.”
Les mots “grosse comme” signifiaient donc : “lourde comme”.
51
Slide 52
Grandeurs de même espèce
Pour préciser la notion d’espèce de grandeurs, on suppose un
ensemble X d’objets et une relation d’équivalence ~ sur X qui
définit une certaine espèce de grandeurs (volume, longueur, etc.) :
deux objets x1, x2 X équivalents seront dits avoir même grandeur.
Bien entendu, il existe en général plusieurs relations d’équivalence
“ intéressantes ” définissant autant d’espèces de grandeurs
différentes.
On suppose d’abord qu’on a défini sur X une relation de préordre
total associée à ~ : pour tous x, y, z
un et un seul des énoncés x y, y x, x ~ y est vrai
si x y et y z alors x z.
En d’autres termes, on suppose qu’on peut dire que deux objets
ont même grandeur ou non, et, dans ce dernier cas, on peut
comparer ces deux objets.
52
Slide 53
On suppose ensuite qu’on a défini sur X une opération binaire,
notée , telle que
xy est défini si, et seulement si, x ≠ y ;
si x ≠ y, alors xy ~ yx, et si, de plus, x ≠ z et y ~ z, alors
xy ~ xz ;
si (xy)z et x(yz) sont définis, alors (xy)z ~ x(yz).
On suppose enfin que sont satisfaites trois conditions unissant
~, et :
si x ≠ y, alors x xy ;
si x z, alors il existe y tel que xy ~ z ;
pour tout x et tout entier n N*, il existe y1, …, yn tels que
y1 ~ … ~ yn, y1 … yn est défini et x ~ y1…yn.
53
Slide 54
Désignons par G (comme grandeur) l’ensemble des classes
d’équivalence pour ~ dans X : G = X/~. Dans la suite, la classe de x
est notée c(x) ; un élément de G sera désigné par g.
À partir de la structure (X, ~, , ) ainsi supposée, on définit
alors sur G :
un ordre total, noté < ;
une addition, notée + ;
une soustraction, notée – ;
une division par n N* : si y ~ y1 ~ … ~ yn, avec x ~ y1…yn,
c y
c x
n
54
Slide 55
Pour tout g G, posons en outre 1g = g. On a alors le résultat
suivant : pour tous g, g1, g2, g3 G,
Gr1. Un et un seul des énoncés g1 g2, g1 = g2, g1 g2 est vrai
Gr2. Si g1 g2 et g2 g3 alors g1 g3
Gr3. g1+g2 = g2+g1
Gr4. (g1+g2)+g3 = g1+(g2+g3)
Gr5. g1 g1+g2
Gr6. Si g1 g2 alors il existe un élément h de G et un seul tel que :
g1+ h = g2
Gr7. Pour tout entier naturel n N* il existe un élément h de G et
un seul tel que : g = nh.
On obtient ainsi une axiomatique de la notion d’espèce de
grandeurs (G, , +).
55
Slide 56
Revenons alors sur les restrictions imposées aux opérations sur les
objets dans la mathématisation précédente. On ne saurait ajouter,
concrètement, un objet x à lui-même : on ne peut l’ajouter qu’à un
autre objet, y, ayant même grandeur que x.
Plus encore, c’est la condition relative au fractionnement qui doit
être méditée : les objets y1, …, yn de même grandeur tels que
y1…yn ~ x
ne sont pas uniques.
Pour n = 2, par exemple, on ne peut pas parler de la moitié de x, tout
simplement parce que, en dehors d’une convention sociale plus ou
moins explicite, l’“ objet moitié ” d’un objet x n’existe pas : il existe
en effet une infinité de couples d’objets distincts (yi, yj) tels que
yi ~ yj et yiyj ~ x.
56
Slide 57
Les figures ci-dessous illustrent ainsi la non-existence d’une “ moitié
de triangle ” et d’un “ quart de carré ” du point de vue de l’aire
(on notera en passant que les périmètres de ces “ moitiés ”, d’une
part, de ces “ quarts ”, d’autre part, sont inégaux).
Nombre d’énoncés proposés dans des manuels sont à cet égard
fautifs, tels les suivants :
“ Dites, pour chacun des dessins ci-dessous, quelle fraction du
cercle a été peinte en rouge ”
“ Quelle fraction de tarte reste-t-il ? Quelle fraction de tarte a-t-on
déjà mangée ? ”
“ L’aire d’un champ est de 6394 m2. On vend les 3/4 du champ.
Quelle est l’aire de la partie vendue ? ”
57
Slide 58
Ces remarques sur l’impossible arithmétique des objets
expliquent la nécessité indépassable d’une théorie des
grandeurs : elle seule en effet fournit des entités sur lesquelles on
puisse opérer comme d’aucuns rêvent vainement, on l’a vu,
d’opérer sur les objets eux-mêmes. Il convient donc d’assumer le
détour par les grandeurs dans le trajet qui conduit des objets aux
mesures.
C’est, non une pièce de ruban, mais sa longueur, non un champ,
mais sa surface, non le contenu d’un tonneau de vin, mais la
quantité correspondante de vin que l’on peut diviser “ en un
nombre absolument quelconque de parties égales ”, ces parties
étant des parties (“ aliquotes ”) de grandeurs (h G est une
partie aliquote de g G s’il existe n N* tel que g = nh), et non
des parties (“ concrètes ”) d’un ruban, d’un champ, ou du contenu
d’un tonneau.
58
Slide 59
La grandeur “Longueur”
Objets x : les segments de droite
X = ensemble des segments de droite
Relation
d’équivalence
:
~
Deux segments sont équivalents (ont même longueur) s’ils
sont
superposables.
À un autre niveau d’enseignement, [AB] ~ [CD] si on peut obtenir [CD] en
faisant subir à [AB] une succession de symétries orthogonales.
Addition des segments : la somme des segments [AB] et [CD]
est le segment obtenu en mettant “bout à bout” deux segments
équivalents à [AB] et [CD].
Multiplication par un nombre entier, …
59
Slide 60
60
Slide 61
Division par un nombre entier n :
Cas où n est une puissance de 2
Et sinon ?
Importance de l’outil “guide-âne” pour partager un segment en n
parties égales (dessiné dans le document d’application du cycle 3)
Faire manipuler
réellement aux
élèves de tels
réseaux de
parallèles
équidistantes.
61
Slide 62
Résultats de l’évaluation nationale 2004 et 2005 en 6e
Voici un segment :
a) Construis un segment dont la longueur est
1
4
de la longueur du segment donné.
Résultats
Code 1
2004
2005
(échantillon national représentatif)
Population entière
54,9%
Code 6 (segment de 4 carreaux)
21,5 %
Code 9
20,6 %
Code 0
3%
49,76%
Les résultats pour 2005 sont
disponibles sur le site suivant :
http://evace26.education.gouv.fr
62
Slide 63
b) Construis un segment dont la longueur est
1
6
de la longueur du segment donné.
Résultats (échantillon national représentatif) en 2004
Code 1
41,9%
Code 6 (segment de 6 carreaux)
25,8 %
Code 9
26,0 %
Code 0
6,3 %
Résultats (population entière) en 2005
Code 1
1
6
a été remplacé par
44,14%
1
3
63
Slide 64
c) Construis un segment dont la longueur est
5
4
de la longueur du segment donné.
Résultats
2004
2005
Echantillon national représentatif
Population entière
Code 1
34,6%
Code 6 (segment de 4 ou 5 carreaux)
12,7 %
Code 9
36,2 %
Code 0
16,5 %
36,79%
64
Slide 65
(2004)
QuickTime™ et un
décompresseur TIFF (LZW)
sont requis pour visionner cette image.
Résultats (en %)
item 85
item 84
code 1 (0,8 ou 8/10)
code 6 (8)
code 9
code 0
60,5
16,0
12,8
10,7
code 1 (1,6 ou 1 + 6/10)
code 6 (16)
code 7 (6 ou 0,6)
code 9
code 0
54,9
10,2
4,2
19,4
11,3
65
Slide 66
2004
Code 1
78,6%
78,4 %
76,5 %
66
Slide 67
2005
Code 1
80,78%
74,38 %
73,76%
67
Slide 68
5. Grandeurs et mesures
L’un des problèmes de l’enseignement des mathématiques est la
construction d’un système de nombres N vérifiant la condition
suivante :
Si (X, ~, , ) est le support d’une certaine espèce de grandeurs
G, alors il existe, à un facteur multiplicatif près, une application
unique : X N telle que :
la relation d’équivalence définie par sur X est identique à ~ :
x y équivaut à x ~ y ;
la relation de préordre définie par sur X est identique à :
x y équivaut à x y ;
par l’application , l’image d’une somme est la somme des
images : (xy) = (x) + (y).
68
Slide 69
Pour les longueurs, si on choisit une longueur u comme unité,
posons u(u) = 1.
De quels nombres a-t-on besoin pour mesurer les longueurs ?
Soit g = nu.
Alors u(g) = u(nu) = n.
Donc on a besoin des nombres entiers : N N
Soit g tel que ng = u.
Alors n u(g) = 1. Donc u(g) est un nombre r tel que nr = 1.
Plus généralement, si v = mu et ng = v, on a besoin d’un
nombre r tel que nr = m.
Ainsi s’introduisent les fractions d’entiers.
69
Slide 70
Fractions ou quotients d’entiers ?
Deux constructions d'un segment ayant pour longueur
Construction sollicitant l'aspect
“fraction” et l'expression
“Douze septièmes”
12
7
cm.
Construction sollicitant l'aspect
“quotient” et l'expression
“Le septième de
12 cm”
1,0 0 cm
Les deux segments obtenus ont-ils bien la même longueur ?
7 fois “douze septièmes”
84 septièmes
12 fois 7 septièmes
12 fois 1
12
70
Slide 71
Bibliographie
:
Chevallard Y. Bosch M., 2000-2001, Les grandeurs en mathématiques au
collège. Partie I : Une Atlantide oubliée, Petit x n°55, pp. 5-32, IREM de
Grenoble.
Chevallard Y. Bosch M., 2002, Les grandeurs en mathématiques au collège.
Partie II : Mathématisations, Petit x n°59, pp. 43-76, IREM de Grenoble.
Encyclopædia Universalis, article “Dimensionnelle (analyse et similitude)”.
Pressiat A., 2002, Grandeurs et mesures : évolution des organisations
mathématiques de référence et problèmes de transposition, in Dorier J.-L.,
Artaud M., Artigue M., Berthelot R., Floris R., Actes de la 11e Ecole d’Eté de
Didactique des Mathématiques, Corps - 21–30 Août 2001.
Pressiat A., 2006, Calculer avec les grandeurs, Actes de l’Université d’été de
Saint-Flour 2005 “Le calcul sous toutes ses formes”, site académique de
Clermont-Ferrand.
71