Transcript Grandeurs et mesures au cycle 2 et 3

Grandeurs et mesures au cycle 2 et 3
Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier
Groupe départemental de mathématiques (GDM)
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Présentation de la matinée
• Les formateurs membres du GDM
• Site du GDM http ://math34.ac-montpellier.fr/
sur le site de l’IA http ://www.ac-montpellier.fr/
 Programmes ;
 Anciens documents en lien avec les programmes de 2002 :
 Document d’accompagnement : « grandeurs et mesures » ;
 Documents d’applications du cycle 2 et du cycle 3.
 Ressources pour la classe ;
 Idées pour utiliser du matériel en classe …
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Grandeurs et mesures : introduction
Problème :
Voici trois polygones, quel est le plus grand ?
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Plusieurs réponses pour ce problème du plus grand
Le plus grand :
•Si on considère la distance maximale d’un sommet à la droite (D), c’est le numéro 1 ;
•Si on considère le périmètre du polygone, c’est le numéro 3 ;
•Si on considère l’aire du polygone c’est le numéro 2.
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À propos de la question : quel est le plus grand ?
• Réponse : dis moi quelle est la caractéristique des objets dont
tu parles et je te dirai quel est le plus grand !
Pour répondre à la question il faut savoir ce qui peut
être comparé.
• Enumérer toutes les caractéristiques des objets qui
permettent de les comparer pour savoir quel est le
plus grand.
• Comment s’appellent ces caractéristiques ?
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Le domaine « grandeurs et mesures » des
programmes de cycle 2 et 3
Les différentes grandeurs dans les programmes
(et leurs synonymes) :
– Durée (intervalle de temps);
– Longueur (distance, largeur, hauteur, taille, distance,
profondeur, altitude, envergure, …) ;
– Aire (étendue, superficie) ;
– Masse ;
– Volume ;
– Capacité (contenance) ;
– Angles ;
– Quantité d’objets ;
– Prix ;
– Vitesse.
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Une grandeur particulière :
la quantité d’éléments d’un ensemble
Exemple : une collection de dessins
Quelle est la quantité de dessins de la
collection ?
• il y a 19 dessins ;
• 19 est le cardinal de l’ensemble ;
• c’est la quantité d’objets de la
collection ;
• c’est la « taille » de la collection.
Ne pas demander aux élèves :
« Quel est le nombre de dessins ? »
mais :
« Quelle est la quantité de dessins ? »
ou bien
« Combien y a-t-il de dessins ? »
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La grandeur longueur
• Quels types d’activités proposez-vous à vos élèves
lorsque vous travaillez dans le domaine des longueurs ?
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Regard sur les programmes de 2008
et sur le document d’accompagnement « grandeurs et mesures » (prog. de 2002)
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La grandeur longueur
Comparaison directe de longueurs :
– Ranger les livres de la bibliothèque en fonction de leur hauteur ;
– Ranger les élèves de la classe du plus grand au plus petit ou du
plus petit au plus grand par rapport à leur taille ;
– Ranger des crayons de couleur dans une boîte en fonction de leur
longueur ;
– Ranger des bandes de papier de même largeur en fonction de leur
longueur.
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La grandeur longueur
Comparaison de longueurs de façon indirecte :
– Comparer les périmètres de polygones tracés (avec une bande de papier,
avec un compas, avec un calque, avec une ficelle) ;
– Comparer les périmètres des tronc des arbres de la cour ;
– Choisir un étalon de longueur pour comparer des longueurs en les
référant à cet étalon ;
– Fabriquer des couronnes des rois ayant la taille exacte du tour de tête
pour chaque élève.
Utilité de savoir reporter une longueur :
– Une unité étant donnée, construire une droite graduée pour y placer les
nombres entiers puis les nombres décimaux à partir du CM1.
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Histoire de toise
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Résolution de problème :
quel est le triangle qui a le plus grand périmètre ?
Consignes :
1°) Devinez par la vue quel est le triangle qui a le plus grand périmètre (ou le plus
long pourtour).
2°) Trouver un moyen de prouver la réponse à la première question sans utiliser la
règle graduée .
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Quel est le triangle
qui a le plus grand périmètre ?
1
2
3
Une technique à favoriser : « faire rouler » l’objet tout droit
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Comparaison directe
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Comparaison indirecte
Comparer les périmètres de ces figures :
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Comparaison indirecte de longueurs
http://sites.google.com/site/desideespourlecole/Home/
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Comparer des objets en fonction
de différentes grandeurs
Compte-rendu d’expérimentation
(groupe premier degré IREM)
Un problème posé en cycle 3 :
Quel est le plus grand verre ?
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Situation du papier peint
(Capmaths, Hatier)
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Confronter les grandeurs aire et périmètre
Une conception erronée à ébranler :
- croire que des figures qui ont le même périmètre ont aussi la même aire
- ou bien croire que des figures qui ont la même aire ont le même périmètre
Polygone 1
Polygone 2
Polygone 3
Périmètre (unité un côté de carreau)
16
16
16
Aire (unité un carreau)
11
8
13
Nombre de côtés du polygone
8
12
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De la grandeur à sa mesure en passant par une grandeur étalon
Exemple de comparaison : deux segments sont à comparer du point de vue de leur longueur :
1°) Comparaison directe en les mettant l’un sur l’autre s’ils sont dessinés sur deux
calques ;
2°) Comparaison indirecte : l’un est décalqué pour que sa longueur puisse être
comparée à l’autre ; ou bien la longueur de l’un est « prise » avec un compas pour
être reportée sur l’autre ;
3°) La longueur d’un troisième segment est prise comme étalon, chacun des
segments est comparé à cet étalon, cela permet la comparaison des deux segments.
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Quelques éléments théoriques sur les grandeurs
Qu’est-ce qu’une grandeur ?
 Une grandeur est une qualité, une caractéristique
d’un objet ;
 Elle doit permettre des comparaisons :
deux objets étant donnés, on peut toujours les
comparer du point de vue de cette grandeur :
C’est le plus lourd, le plus volumineux, celui qui dure
le plus, le plus épais, le plus profond, etc.
 La grandeur existe indépendamment de toute unité.
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Quelques éléments théoriques sur les grandeurs
• Concevoir une grandeur c’est déjà une démarche
d’abstraction : il faut séparer, abstraire la grandeur de
son objet support.
• La grandeur avant sa mesure :
– Les comparaisons d’objets relativement à une grandeur sont
essentielles dans le processus d’apprentissage et de
conceptualisation :
• Soit la comparaison est directe ;
• Soit la comparaison est indirecte et nécessite un intermédiaire (pour
les longueurs : bande de papier, ficelle, compas, etc.)
http://ig45.free.fr/Enseignants/
Ecole/Doc_Ecole/Balances1.pdf
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Quelques éléments théoriques sur les grandeurs
• La première rencontre avec la notion de grandeur
passe par la manipulation d’objets et l’élaboration de
protocoles permettant les comparaisons.
• Document d’accompagnement des programmes de 2002
sur « grandeurs et mesures à l’école élémentaire » :
« Les premières activités visent à construire chez les
élèves le sens de la grandeur, indépendamment de la
mesure et avant que celle-ci n’intervienne. Le concept
s’acquiert progressivement en résolvant des problèmes de
comparaison, posés à partir de situations vécues par les
élèves, suivis de moments d’institutionnalisations
organisés par le maître. »
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Introduction de la mesure
Introduction d’un étalon, d’une référence, c’est-à-dire d’une unité.
L’unité est non conventionnelle : un passage nécessaire avant
l’introduction du système métrique international.
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Introduction de la mesure
Fabrication d’une règle avec une unité non conventionnelle :
la longueur d’un bâtonnet
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Réaliser une règle avec une unité non
conventionnelle
Est-ce pareil qu’utiliser une règle déjà
dessinée avec une unité non conventionnelle ?
J’apprends les maths CE1, Retz
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Introduction de la mesure
• « La fabrication d’un instrument de mesure de
longueurs soulève la question de sa graduation. Pour
graduer une bande de papier, il faut déterminer une
origine, lui attribuer le nombre 0, reporter
régulièrement une même longueur, appelée unité.
Chaque report est en général matérialisé par un trait,
chaque trait est affecté d’un nombre entier. »
(Document d’accompagnement des programmes de 2002, grandeurs et mesures)
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L’introduction des mesures
Document d’accompagnement des programmes de 2002 sur
« grandeurs et mesures à l’école élémentaire » :
« Les élèves doivent donc acquérir des connaissances et des
compétences spécifiques relatives à différentes mesures. La
construction de ces connaissances s’appuie sur un travail
préalable sur les grandeurs auxquelles ces mesures sont
associées. »
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Introduction de la mesure
• Document d’accompagnement des programmes de 2002 sur
« grandeurs et mesures à l’école élémentaire » :
« Il est souvent commode, pour comparer toutes les grandeurs
d’un même domaine, de les comparer à une grandeur
particulière, bien choisie, dite étalon. On dit alors que l’étalon
mesure une unité. Il devient dès lors possible d’associer à
chaque grandeur un nombre, appelé sa mesure relativement à
cette unité. »
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Récapitulatif : une démarche pour les longueurs à
suivre pour les autres grandeurs
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Exemple de résolution de problème : la gestation des animaux
Mammifères
Durée de
gestation*
Mammifères
Durée de
gestation*
Éléphante
660 jours
Castor
120 jours
Ourse
210 jours
Hamster
20 jours
Belette
60 jours
Gorille
230 jours
Lapine
33 jours
Chatte
60 jours
Lionne
110 jours
Louve
70 jours
Taupe
40 jours
Femme
270 jours
Phoque
280 jours
Blaireau
180 jours
Hérisson
60 jours
Écureuil
30 jours
Hippopotame
240 jours
Brebis
150 jours
Chauve-souris
45jours
Gazelle
160 jours
Baleine
370 jours
Ânesse
360 jours
Souris
20 jours
Chamelle
320 jours
Girafe
440 jours
Jument
340 jours
Vache
280 jours
Truie
120 jours
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Mammifères
Durée de
gestation*
Mammifères
Durée de
gestation*
Loup
70 jours
Lion
110 jours
Humain
270 jours
Taupe
40 jours
Blaireau
180 jours
Phoque
280 jours
Écureuil
30 jours
Hérisson
60 jours
Mammifères
Durée de
gestation*
Mammifères
Durée de
gestation*
Castor
120 jours
Hamster
20 jours
Gorille
230 jours
Chat
60 jours
Mammifères
Durée de
gestation*
Éléphant
660 jours
Mouton
150 jours
Ours
210 jours
Gazelle
160 jours
Belette
60 jours
Âne
360 jours
Lapin
33 jours
Chameau
320 jours
Mammifères
Durée de
gestation*
Mammifères
Hippopotame
240 jours
Durée de
gestation*
Girafe
440 jours
Chauve-souris
45jours
Jument
340 jours
Baleine
370 jours
Vache
280 jours
Souris
20 jours
Truie
120 jours
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Résolution de problème :
travail relatif à la mesure de longueurs
• Un groupe d’élèves (A) dessine un triangle sur un papier
calque et rédige un message pour un autre groupe qui doit
dessiner exactement le même triangle. Le message doit
indiquer toutes les mesures de longueurs qui sont
nécessaires mais pas plus.
• Le groupe qui reçoit le message (B) réalise la figure
• Le groupe A vérifie le dessin du groupe B avec le calque
D’autres situations de ce type peuvent être travaillées pour
un triangle rectangle, un triangle isocèle, un rectangle, un
parallélogramme.
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