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LA PROPORTIONNALITÉ
AU COLLÈGE

Académie de Besançon
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Dans trois cadres
• le cadre des grandeurs (cycle 3, 6e, 5e )

• le cadre numérique (5e, 4e, 3e )
• le cadre graphique (4e, 3e )

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Selon quatre contextes
• décision sociale
(caractère arbitraire du choix du modèle proportionnel)

• expérimentation
(vérification ou conjecture du modèle proportionnel)

• preuve formelle
(démonstration de la proportionnalité)

• introduction d’une nouvelle notion
(agrandissement-réduction, probabilités)
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Quatre problématiques possibles
• reconnaître une situation de proportionnalité,
ou non proportionnalité, à partir d’une série
de données

• rechercher une (des) donnée(s) manquante(s)
dans une situation de proportionnalité
• comparer des proportions
(exemple : mélanges, solutés)
• changer de cadre
(grandeurs - numérique - graphique)

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Procédures de résolution
• propriété d’additivité
• propriété d’homogénéité

cas de la "règle de trois" (socle), avec passage à l’unité

• combinaison linéaire
(les deux propriétés précédentes)

• coefficient de proportionnalité

• égalité de rapports et produit en croix
• représentation graphique
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Trois objectifs
• augmenter la capacité à mobiliser une procédure et
accroître son efficacité (selon les données
numériques )

• augmenter la variété des procédures utilisables et
inciter les élèves à choisir la (les) procédures la (les)
plus appropriée(s)
• renforcer la compréhension des liens entre ces
procédures (pour aboutir à la fonction linéaire)
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Au cycle 3
• sur des grandeurs, nombres naturels et
décimaux simples
• additivité, homogénéité, passage par l’unité
• coefficient de proportionnalité "simple"
• échelles, vitesses moyennes, pourcentages, dans
des problèmes, sans technique spécifique

• mesure : conversion d’unités
• géométrie : agrandissement, réduction de figures
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En sixième
• additivité, homogénéité, passage par l’unité
• coefficient de proportionnalité, relais avec la fraction
comme quotient
• tableaux, schémas fléchés, possibles mais non systématisés
• échelles, vitesses moyennes, sans technique spécifique
• pourcentages avec technique, mais sans occulter les
procédures de proportionnalité

• liens avec diagrammes en bâtons, circulaires, semicirculaires, graphiques cartésiens
• liens avec changement d’unités, longueur du cercle
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• liens avec activités mentales


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En cinquième
• procédures de 6e, mais dans le cadre numérique non
nécessairement contextualisé
• mises en forme par tableaux, schémas fléchés,
exigibles
• proportion, échelle, vitesse moyenne, explicitées
• lien avec cadre graphique (non justifié)
• fréquence, histogramme
• relation entre aire (volume) et l’une des dimensions
d’une figure (d’un solide)
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En quatrième
• procédures antérieures (cadre numérique)
• caractérisation graphique (non justifiée)
• égalité de quotients et produit en croix (sans
systématiser son usage)
•
•
•
•

non additivité des pourcentages
changement d’unités (vitesse, débit, change)
relation d = vt
théorème de Thalès ; cosinus ; agrandissement,
réduction d’une figure
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En troisième
• procédures antérieures toujours disponibles
• modélisation par une fonction linéaire
• synthèse des propriétés antérieures au moyen de la
fonction linéaire
• langage et notation fonctionnels
• caractérisation graphique (justifiable par Thalès) ;
interprétation graphique du coefficient de
proportionnalité

• théorème de Thalès ; sinus, tangente ;
agrandissement/ réduction de figures, solides
(longueurs, aires, volumes)
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• changement d’unités (grandeurs produits/quotients)


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Un point fort
La progressivité des apprentissages
Exemple : la vitesse
Des procédures personnelles

Cycle 3

6e

5e

4e

3e

Aux procédures expertes
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• Ces éléments s’appuient sur le document
d’accompagnement "Proportionnalité"
• D’autres documents à votre disposition sur
le site Eduscol :
–
–
–
–

liaison école-collège
du numérique au littéral
organisation et gestion de données
les nombres au collège
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D’autres références :
• brochure APMEP n° 159, intitulée : réflexions sur
les programmes de mathématiques du collège et de
l’école élémentaire (octobre 2003)
• bulletin vert n° 407 : groupe de Réflexion et de
Proposition sur les Programmes de mathématiques
au collège (décembre1996)

• revue Repères n° 59 (avril 2005)

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Influence du support ?
Théo réalise un triangle A’B’C’ en doublant les
longueurs des côtés du triangle ABC ci-dessous :
Indique dans le tableau
ci-dessous les mesures
des côtés et des angles
du triangle A’B’C’.

A’B’

B’C’

A’C’

A'

B'

C'

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Influence du support ?
On donne dans le premier tableau
les mesures des côtés et des angles
d’un triangle ABC.
Paul dessine le triangle A’B’C’ en
doublant les longueurs des côtés du
triangle ABC.
Indique dans le tableau ci-dessous
les mesures des côtés et des angles
du triangle A’B’C’.

AB

BC

AC

Â

3,5 cm

4 cm

6 cm

40°

A’B’

B’C’

A’C’

A'

Bˆ

106°

Ĉ

34°

B'

C'

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Situations identiques ?
• Situation 1
En terrain plat, en 1 heure,
Théo parcourt 30 km avec
son scooter.
Combien mettrait-il de
temps, en minutes, pour
parcourir :
4 km ? 7 km ?
11 km ? 17,6 km ?

• Situation 2
En terrain plat, en 1 heure,
Théo parcourt 28 km avec
son scooter.
Combien mettrait-il de
temps, en minutes, pour
parcourir :
4 km ? 7 km ?
11 km ? 17,6 km ?

La proportionnalité est implicite ; elle est
considérée comme "naturelle".

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Situations identiques ?
• Situation 3
Nombre de
personnes

2

Prix à payer

3

4

54 €

72 €

3

4

60 €

80 €

5

6

7

8

9

10

7

8

9

10

108 €

• Situation 4
Nombre de
personnes

Prix à payer

2

5

6

120 €
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Analyse de deux techniques
opératoires :
• Énoncé :
Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ?
Source : académie de Nancy

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• Énoncé :
Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ?

La "règle de trois"
 7,50 : 3 = 2,50 donc une rose coûte 2,50 euros
 7 × 2,50 = 17,50 donc 7 roses coûtent 17,50 euros

• Cette méthode qui nécessite "le passage par l’unité"
développe
l’explication,
la séquentialité (suite d’actions ordonnée),
la temporalité (succession de 2 étapes).
• Elle a du sens pour les élèves mais demande une grande
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mobilité mentale.


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• Énoncé :
Si 3 roses coûtent 7,50 euros, quel sera le prix de 7 roses ?

Le "produit en croix"
Nombre de roses

3

Prix (en euros)

7,50 ?

7

 (7,50 × 7) : 3 = 17,50 donc 7 roses coûtent 17,50 euros

• Méthode développant application, globalité et spatialité,
mais pouvant être réalisée uniquement comme "recette".

• Cependant certains élèves sont capables d’expliquer
qu’ils calculent dans un premier temps le prix de 21
roses (7,50 × 7) pour en déduire le prix de 7 roses en
divisant par 3.

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Justification des techniques de résolution d'un problème de
proportionnalité
et considérations sur les grandeurs
La résolution de problèmes dans des situations de proportionnalité peut convoquer l'emploi de quotients comme opérateurs de
deux manières qui sont sensiblement différentes du point de vue conceptuel :
– le quotient utilisé comme opérateur scalaire :


Mesure de la grandeur 1
(unité : …)
Mesure correspondante de la
grandeur 2
(unité : …)

b
a

a

b

a'

?



b
a

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– le quotient utilisé comme coefficient de proportionnalité :
Mesure de la grandeur 1
(unité : u)
Mesure correspondante de
la grandeur 2
(unité : v)

a

b


a'

?

a'
a

Si l'on reste dans l'univers des grandeurs, au lieu de tout aplatir sur le domaine numérique des
mesures, on s'aperçoit que le quotient
l'unité

v
u

a'
a

n'est en général pas un scalaire. C'est la mesure avec

d'une troisième grandeur : la grandeur - quotient de la grandeur 2 par la grandeur 1.

Cette grandeur - quotient, en général, a une dimension et n'est pas un “nombre pur”. Dans une
situation de proportionnalité, cette grandeur - quotient est une grandeur constante.

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Ce qui précède montre que, dans les problèmes mettant en
jeu la proportionnalité, l'emploi du coefficient de
proportionnalité est conceptuellement plus difficile que
l'emploi des techniques scalaires. Les élèves l'ont cependant
utilisé à l'école primaire, et son emploi en classe de 6e est donc
légitime.

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Ce qui précède montre que, dans les problèmes mettant en jeu la
proportionnalité, l'emploi du coefficient de proportionnalité est
conceptuellement plus difficile que l'emploi des techniques scalaires. Les
élèves l'ont cependant utilisé à l'école primaire, et son emploi en classe de 6e
est donc légitime. Il convient cependant d'éviter le cas de grandeurs
proportionnelles dont les dimensions sont telles que la grandeur - quotient soit
d'un type inconnu (vitesse, masse volumique, …). C'est la raison pour laquelle
le programme insiste sur le cas où les deux grandeurs proportionnelles sont de
même espèce : deux prix dans le cas d'une hausse de prix de 5% ; et plus
généralement toutes les situations évoquant une hausse ou baisse d'une
grandeur en terme de pourcentage (deux populations dans le cas d'une baisse de
population entre deux recensements …) ; échelles, … Il importe que le
coefficient en question soit un “scalaire”.
On ne s'interdira pas cependant d'exploiter les situations familières déjà
travaillées à l'école : proportionnalité entre quantité de denrées et leur prix,
même si le coefficient de proportionnalité est une grandeur - quotient : l'unité
avec laquelle ce coefficient est mesuré (€/kg, €/L, …) est celui dont la loi
oblige l'affichage, même si sa dénomination usuelle en masque l'aspect
“quotient” : prix au litre, au kilogramme, … au lieu de prix par litre, par
kilogramme.
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