Transcript "La proportionnalité"x - Maths et Tice en Polynésie

David Rolland, formateur en Mathématiques
Plan du cours
- Faire le point sur ses connaissances
- Les apports théoriques
- Types de problèmes et méthodes de résolution
- Quelques exemples de fonctions numériques
- L’enseignement de la proportionnalité à l’école
élémentaire (didactique)
Faire le point sur ses connaissances :
1/ Qu’évoque pour vous le terme « proportionnalité » ?
2/ Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ?
a/ La taille d’une personne varie proportionnellement à
son poids.
b/ 5 et 7 sont proportionnels à 8 et 10.
c/ Pour l’essence, le prix à payer est proportionnel à la
quantité achetée.
d/ 4 et 6 sont proportionnels à 5 et 7,5.
e/ Le périmètre d’un cercle est proportionnel à son rayon.
f/ L’aire d’un disque est proportionnelle à son rayon.
3/ Résoudre le problème suivant en utilisant le plus de
méthodes possibles.
« 6 mètres de tissu coûtent 4 euros. Quel est le prix de 9
mètres du même tissu ? »
4/ Résoudre le problème suivant (extrait de l’émission
« Coucou c’est nous » TF1)
« Une poule et demie pond un œuf et demi en un jour et
demi.
Combien d’œufs pondent neuf poules en neuf jours ? »
I/ les apports théoriques
1/ Suites de nombres proportioonnelles
Définition 1 :
Deux suites de nombres réels (ayant le même nombre de
termes) sont proportionnelles si on peut passer de chaque
terme de la première suite au terme correspondant de la
deuxième par un même opérateur multiplicatif
Exercice 1 : les suites de nombres suivants sont-elles des suites
proportionnelles ?
a/ (10; 11; 12; 13) et (35; 38,5; 42; 45,5).
b/ (0,5; 0,75; 0,9; 1,5; 2) et (2; 2,5; 2,8; 4; 5)
Exercice 2 : Compléter ces deux suites pour qu’elles soient
proportionnelles ?
Suite n°1 : ( 5 ; 7 ; ? ; ? , 12 )
Suite n°2 : (6 ; ? ; 10,2 ; 12 ; ? ).
Définition 2 :
L’opérateur multiplicatif qui permet de passer de
chaque terme de la première suite à chaque terme de
la seconde est aussi appelé coefficient de
proportionnalité entre la première suite et la
deuxième.
 Définition 3 :
On peut, ranger les valeurs des deux suites dans un
tableau de valeurs appelé tableau de proportionnalité.
 Exemple 1 :
Grandeur
A en
euros
Grandeur
B en XPF
1
10
11
119,33
1193,3
1312,63
Exemple 2 :
6
X
3/4
10
14
20
26
34
X
4,5
7,5
10,5
15
19,5
25,5
…
xn
4/3
Exemple 3 :
x1
X
x2
x3
x4
a
X
y1
y2
y2
y3
On a les égalités suivantes :
y1 = a.x1 ; y2 = a.x2 ;
y3 = a.x3 ; …. ;
yn = a.xn .
…
yn
1/a
Le coefficient de proportionnalité entre la deuxième
suite et la première suite est l’inverse du coefficient de
proportionnalité entre la première suite et la deuxième
suite.
Les égalités précédentes traduisent le fait que si deux
suites de nombres sont proportionnelles, il existe une
fonction appelée fonction linéaire, f : R
R
x
ax
telle que la deuxième suite soit l’image de la première par
cette fonction.
2/ Propriétés numériques.
a/ Propriétés relatives à l’ordre :
- Si deux suites de nombres sont proportionnelles et si le
coefficient de proportionnalité est positif, l’ordre dans
lequel sont rangés les nombres de la deuxième suite est
le même que l’ordre dans lequel sont rangés les nombres
de la première suite.
- Si deux suites de nombres sont proportionnelles et si le
coefficient de proportionnalité est négatif, l’ordre dans
lequel sont rangés les nombres de la deuxième suite est
l’inverse que l’ordre dans lequel sont rangés les nombres
de la première suite.
b/ Linéarité du tableau de proportionnalité :
Théorème 1 :
Soit le tableau de proportionnalité suivant :
Grandeur A
x1
x2
Grandeur B
y1
y2
x3 = k.x1
x4 = x 1 + x2
y3
y4
On a :
et
y3 = k × y1 (propriété multiplicative de linéarité)
y4 = y1 + y2(propriété additive de linéarité).
On peut donc dire que « l’image d’une somme est la
somme des images ».
Dans le langage des fonctions, les deux égalités
précédentes se traduisent par :
f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2)
(I)
f (kx) = k.f (x) pour tout réel k
(II)
Démonstration de la propriété 1 :
Si deux suites sont proportionnelles et si a est le
coefficient de proportionnalité entre la première et la
seconde, on a :
y1 = a x1 et y2 = a x2
et donc
y1 + y2 = a x1 + a x2
= a (x1 + x2 )
Donc y1 + y2 est bien l’image de x1 + x2 .
Cette propriété est également vérifiée avec la
soustraction : f (x1 - x2) = f (x1) - f (x2)
Démonstration de la propriété 2 :
Si deux suites sont proportionnelles et si a est le
coefficient de proportionnalité entre la première et la
seconde, on a :
y=ax
et donc
k.y = k (a x)
= a (kx)
Donc ky est bien l’image de kx.
Cette propriété est également vérifiée avec la division.
Exemple : activité découverte CM1 Objectif Calcul – Hatier page 168
Complète le tableau de proportionnalité suivant :
Le coefficient de proportionnalité est évident, c’est 7.
c/ Retour à l’unité dans un tableau de proportionnalité
Théorème 2 :.
Soit le tableau de proportionnalité suivant :
Avant de trouver y₂ , on cherche y₃ qui est donné par y₃ = y₁/ x₁
(c’est aussi le coefficient de proportionnalité). y₂ se déduit alors
par y₂ = x₂. y₃
Exemple :
Déterminer y
Y = 15/3 = 5
d/ Propriétés des rapports égaux, du produit en croix
Soit le tableau de proportionnalité suivant :
X
x1
x2
x3
x4
…
xn
y1
y2
y2
y3
…
yn
a
Un tableau de proportionnalité satisfait la propriété des
rapports égaux suivante :
y1 / x1 = y2 / x2 = y3 / x3 = … = yn / xn = a (III)
(à condition qu’aucun des nombres xn ne soit nul).
Démonstration de la propriété des rapports égaux :
C’est évident car on a :
y1 = a x1 ; y2 = a x2 ; y3 = a x3 … yn = a xn
De ces égalités découle la règle de trois aussi appelée
règle de la quatrième proportionnelle :
A partir des égalités (III), il est facile de déduire les
égalités du type :
x1 y2 = x2 y1 ou x2 y5 = x5 y2 ou…
On peut illustrer cette propriété sur ce tableau par l’identification des produits
égaux, à l’aide de croix :
6
10
14
20
26
34
4,5
7,5
10,5
15
19,5
25,5
Exemple :
3 paquets de café coûtent XPF 945. Combien coûtent 8 paquets ? Combien
peut-on acheter de paquets avec XPF 1575 ?
Solution :
Si on appelle p le prix de huit paquets, il y a proportion : p / 8 = 945 / 3
D’où : p = 8 x 945 / 3 = 2520.
Le prix de 8 paquets est de XPF 2520.
On peut effectuer ce calcul en commençant le calcul par le quotient 945 par
3, qui est égal à 315, ce qui représente le prix en XPF d’un paquet.
Pour calculer le nombre de paquets que l’on peut acheter avec XPF 1575, il
suffit de diviser 1575 par 315, ce qui donne 5 paquets.
e/ Propriétés des écarts.
Pour deux suites proportionnelles, à des écarts
égaux entre les nombres de la première suite
correspondent des écarts égaux entre les nombres
correspondants de la deuxième suite.
6
10
14
20
26
34
4,5
7,5
10,5
15
19,5
25,5
Ainsi, dans le tableau ci-dessus, il y a le même écart (6) entre 14 et 20 d’une
part et 20 et 26 d’autre part, et donc le même écart (4,5) entre 10,5 et 15
d’une part et 15 et 19,5 d’autre part.
Exercice 3 :
Utiliser les propriétés précédentes pour reconnaître,
parmi les suites de nombres mises en relation dans les
tableaux suivants, celles qui ne sont pas proportionnelles.
10
5
2
12
50
57
28
14
5,6
33,6
140
159,6
16
48
64
820
6
86
30
90
120
136
20
156
Exercice 4 :
Utiliser les propriétés précédentes pour compléter le
tableau suivant de telle sorte que les suites de nombres en
relation soient proportionnelles.
12
60
3
15
?
?
26
?
?
?
78
136,5
3/ Propriété graphique des suites proportionnelles
Soient deux suites proportionnelles; on considère les
couples de nombres formés par un nombre de la première
suite et son image dans la deuxième :
( x1 ; y1 ) ; ( x2 ; y2 ) ; ( x3 ; y3 ) ; … ; ( xn ; yn )
Soit un système d’axes gradués régulièrement à
partir de 0 (repère du plan), les points
correspondants à ces couples sont alignés
sur une droite qui passe par l’origine des
axes.
II/ Types de problèmes et méthodes de
résolution
1/ Types de problèmes :
a/ problème du type « recherche d’une quatrième proportionnelle »
Deux grandeurs sont en présence. On a trois données, on cherche
une quatrième.
Exemple :
« j’ai acheté 4 places de cinéma et j’ai payé 36 euros en tout. Quel
est le coût douze places de cinéma ? »
On distingue plusieurs cas :
- les classiques comme le précédent,
- les problèmes qui tout en étant du même type
sont plus compliqués car ils mettent en jeu deux
grandeurs de même nature (ex : agrandissement ou
réduction de figures)
- les problèmes de type « pourcentages ».
Ce dernier type reprend le type de quatrième proportionnelle
mais l’une des données de référence est sous-entendue.
Par exemple, « dans une école de 200 élèves, 70 % des élèves
mangent à la cantine.
Quel est le nombre d’élèves qui mangent à la cantine dans cette
école ? »
b/ Type comparaison de proportion
Deux grandeurs sont en présence mais impliqués dans
deux situations différentes. On a 4 données, deux pour
chaque situation. La question porte sur l’équivalence des
deux situations.
Exemple :
Voici deux mélanges d’eau et de sucre.
Dans le mélange A, on a dissous 25 grammes de sucre et
4 litres d’eau. Dans le mélange B, on a dissous 31
grammes de sucre et 5 litres d’eau. Quel est le mélange le
plus sucré ?
c/ Problème du type « proportionnalité multiple »
Dans ces problèmes, une grandeur est fonction de
plusieurs autres, dans une relation de linéarité par
rapport à chacune d’elles lorsque toute les autres sont
fixées.
Exemple :
Six vaches produisent en moyenne 4 000 litres de lait en
30 jours. Combien de jours faut-il à 18 vaches pour
produire 72 000 litres de lait ?
Solution :
Le volume de lait est considéré comme proportionnel d’une part au
nombre de vaches (le nombre de jours étant fixé) et d’autre part au
nombre de jours (le nombre de vaches étant fixé).
Un mode de résolution possible consiste à utiliser cette double
proportionnalité, par exemple en organisant les données dans un
tableau comme celui-ci :
X3
Nombre de vaches
6
?
18
Nombre de jours
30
30
?
Volume de lait (l)
4 000
?
72 000
X3
X6
Réponse :
180 jours
d/ Autres types : vitesses, échelles.
2/ Typologie de Vergnaud de problèmes :
1 – La multiplication
ex. : J’ai 3 paquets de yaourts. Il y a
4 yaourts dans chaque paquet.
Combien ai-je de yaourts ?
1
a
b
?
2 – La division-partition (recherche de la valeur d’une part)
ex. : J’ai payé 9600 francs pour 3 bouteilles
de vin. Quel est le prix d’une bouteille ?
1
?
b
c
3 – La division-quotition (recherche du nombre de parts)
ex. : Pierre a 1200 francs et veut acheter des
paquets de bonbons à 240 francs le paquet.
Combien de paquets peut-il acheter ?
1
a
?
c
4 – La 4ème proportionnelle (proportion simple sans présence de l’unité)
ex. : 3 pelotes de laine pèsent 200 g. Il en
faut 8 pour faire un pull. Combien pèse
le pull ?
a
b
c
?
Exercice : voici différents problèmes, les classez suivant la typologie de Vergnaud.
















1)J’ai collé 32 timbres sur chaque page d’un album de 14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans l’album ?
2)Dans une bande de 96 cm j’ai découpé des rubans de 12 cm. Combien de rubans ai-je découpé ?
3)Avec 354 bonbons je veux faire 12 paquets identiques. Combien de bonbons dois-je mettre dans chaque
paquet ?
4)Pour faire une expérience de chimie, un professeur verse 6dl d’eau et 15 g de sucre dans un récipient. Il donne
ensuite à ses élève un récipient contenant de l’eau. Dans celui de Jacques il y a 8 dl d’eau, dans celui de Pierre il y a
18 dl, dans celui de Benoît il y a 30 dl, dans celui d’Isabelle il y a 15 dl d’eau et dans celui de Laurence il y a 12 dl.
Quelle quantité de sucre doit mettre chaque élève dans son récipient afin d’avoir une eau aussi sucrée que celle du
professeur ?
5)Un appareil coûte 750 euros en décembre. Son prix augmente de 20 % en janvier. Combien coûte-t-il alors ?
6)Je déplace un pion sur une piste graduée, par bonds réguliers. En partant de 0 j’ai avancé de 12 bonds de
longueur 16. Quelle est la position d’arrivée ?
7)J’ai collé 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ?
8)On a acheté 7,20 m de fil électrique à 4 euros le mètre, combien a-t-on payé ?
9)Je déplace un pion sur une piste graduée, par bonds réguliers. En partant de 0 et en 12 bonds , le pion arrive à la
position 192. Quelle est la valeur de chaque bond ?
10)On sait que pour 1000 g de poisson on paye 16 euros. Combien payera-t-on pour 3000 g ? Pour 1500 g ? Pour
500 g ? Pour 2500 g ? Pour 1040 g ?
11) Mr Michel a consommé 32 litres pour parcourir 400 km. Combien de litres utilise son auto pour parcourir 1
km ?
12) déplace un pion sur une piste graduée, en partant de 0, par bonds réguliers de longueur 12 . Je suis arrivé à la
position 192. En combien de bonds ?
13) Pierre a acheté 2 cahiers pour 4 euros, Jean en a acheté 4 pour 10 euros.
Leur camarade Michel pense qu’ils ne les ont pas acheté au même endroit. Explique pourquoi.
Pierre doit retourner dans le même magasin pour en acheter 6 autres, combien va-t-il payer ?
14) Une dose de caramel mesure 0,25 dl. J’ai besoin de 5 doses pour napper mon gâteau. Quelle est la quantité de
caramel dont je vais avoir besoin ?
SOLUTION :
 Problèmes de type multiplicatif : (on connaît la valeur de l, et on cherche pour
plusieurs).
 Problème 1 : 1
32
Problème 6 : 1
16
14
?
12
?
 Problème 8 : 1
4
Problème 14 : 1
0,25
7,20
?
5
?
 Problèmes de type « division partition » : (on cherche la valeur d’une part).
 Problème 3 :
1
?
Problème 9 : 1
?
12
354
12
192
 Problème 11 : 1
?
400
32
 Problèmes de type « division quotition » : (on cherche le nombre de part).
 Problème 7 : 1
14
Problème 2 : 1
12
?
448
?
96
 Problème 12 : 1
12
?
192
 Problème de recherche d’une 4ème proportionnelle :
 Problème 4 : 6
15
6
15
6
15
8
?
18
?
30
?
 Problème 5 : 100
20
Problème 10 : 1000
16
750
?
1040
?
 Problème 13 : 2
4
6
?
3/ Méthodes de résolution :
Les procédures varient suivant les nombres en jeu.
Ces procédures découlent soit des propriétés de la linéarité des fonctions, soit de
la fonction elle-même.
Il y a plusieurs méthodes pour un même problème de proportionnalité.
Exemple :
J’ai acheté 4 places de cinéma et j’ai payé en tout
36 euros.
Quel est le coût de 12 places de cinéma ?
La correction de ce problème permet de mettre en
évidence différentes procédures de résolution. L’énoncé
suppose implicitement qu’on a affaire à une situation de
proportionnalité mettant en jeu deux grandeurs et qui peut
être représentée par le tableau suivant :
Nombre de places de cinéma
Prix à payer (en euros)
4
12
36
?
Ce type de problème est appelé classiquement « problème de quatrième
proportionnelle ». On a affaire à deux suites proportionnelles ( 4 ; 36 ) et ( 12 ; ? )
et, trois nombres sont connus, on doit chercher le quatrième
 Procédure 1 : utilisation de la propriété additive (méthode très
utilisée par les élèves)
Nombre de places de cinéma
4
12
Prix à payer (en euros)
36
?
12 = 4 + 4 + 4 donc prix des 12 places = 36 + 36 + 36.
Le prix de 12 places est donc de 108 euros.
 Procédure 2 : utilisation de la propriété multiplicative
X3
Nombre de places de
cinéma
4
12
Prix à payer (en euros)
36
?
X3
12 = 3 x 4
donc prix des 12 places = 3 x 36
 Procédure 3 : utilisation du coefficient de proportionnalité
Nombre de places de
cinéma
4
Prix à payer (en euros)
36
12
x9
36 = 4 x 9 donc CM = 9
donc prix des 12 places = 12 x 9 = 108.
?
 Procédure 4 : utilisation du retour à l’unité
Le prix pour 4 places permet de calculer le prix d’une seule place soit 9
euros.
Le prix des 12 places est donc 12x9 euros, soit 108 euros.
 Procédure 5 : utilisation des rapports égaux
4 / 36 = 12 / x
ou 36 / 4 = x / 12
qui donne x = (12 ).(36) /4
Procédure 6 : utilisation du produit en croix (variante de la
précédente)
4.x = (12).(36)
d’où x = (12).(36)/4
- Méthode 7 : utilisation de la représentation graphique
Prix en euros
120
100
80
60
Série1
40
20
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Nombre de places
On place le point de coordonnées ( 4 ; 36 ) et on trace la droite reliant
l’origine O du repère et ce point.
On cherche ensuite l’ordonnée du point de cette droite d’abscisse 12.
III/ Quelques exemples de fonctions numériques.
1/ Fonction linéaire:
Définition :
Sous ce terme, sont regroupées toutes les fonctions qui peuvent être décrites
par un schéma du type :
R
R
x
ax (a étant un nombre réel constant)
Ces fonctions sont caractéristiques des suites proportionnelles : à deux suites
proportionnelles peut être associée une telle fonction (a étant le coefficient de
proportionnalité), et inversement une telle fonction permet de générer des
suites proportionnelles.
Comme cela a déjà été indiqué, les propriétés de linéarité peuvent être
traduites par :
f(x) + f(y) = f(x + y) pour tous nombres réels x et y
f(kx) = k f(x) pour tous nombres réels k et x.
Dans un système d’axes régulièrement gradués à
partir de 0, les couples de nombres correspondants sont
représentés par des points alignés sur une droite passant
par l’origine O du repère (0;0).
Représentation de la fonction linéaire de coefficient de proportionnalité 3
10
8
6
4
2
Série1
0
-3
-2
-1
0
-2
-4
-6
-8
1
2
3
4
2/ Fonction affine :
Définition :
Sous ce terme, sont regroupées toutes les fonctions qui peuvent être décrites
par un schéma du type :
R
R
x
ax + b (a et b étant deux réels constants)
Comme les fonctions linéaires, ces fonctions sont croissantes si a > 0 et
vérifient la propriété des écarts.
Dans un système d’axes régulièrement gradués à partir de 0, les couples de
nombres correspondants sont représentés par des points alignés.
La droite ne passe par l’origine que si b = 0.
Remarque : la fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine (cas où b=o);
mais elle possède de nombreuses propriétés que ne possèdent pas les autres
fonctions affines (propriété de linéarité en particulier).
3/ Fonction puissance :
Définition :
Sous ce terme, sont regroupées toutes les fonctions qui
peuvent être décrites par un schéma du type :
R
R
x
axn
Par exemple, la relation entre le rayon et « l’aire du disque » peut être représentée
par une telle fonction : x
πx² où πx² exprime l’aire en cm², x désigne
le rayon du cercle en cm, a = π et n=2.
Dans un système d’axes régulièrement gradués à partir de 0, les couples de
nombres correspondants ne sont pas représentés par des points alignés (sauf si
n=1 ou n=0 ou a=0)
Dans le cas où n=2, les points sont situés sur une parabole.
Remarque :
La fonction linéaire est aussi un cas particulier d’une telle fonction (cas où n=1).
4/ Fonctions et tableur :
Le tableur est un outil commode pour produire des ensembles de
nombres qui sont en relation par une fonction donnée.
Exemple 1 : tableaux associés à la fonction linéaire x
Formule
7,5x
Résultats
A
B
1
A
B
1
2
3
= A2*7,5
2
3
= 22,5
3
7
= A3*7,5
3
7
= 52,5
4
10
= A4*7,5
4
10
= 75
5
12,5
= A5*7,5
5
12,5
= 93,75
6
24,3
= A6*7,5
6
24,3
= 182,25
Exemple 2 : tableaux associés à la fonction linéaire x
Formule
A
2,5x + 3
Résultats
B
1
A
B
1
2
3
= A2*2,5+3
2
3
= 10,5
3
7
= A3*2,5+3
3
7
= 20,5
4
10
= A4*2,5+3
4
10
= 28
5
12,5
= A5*2,5+3
5
12,5
= 34,25
6
24,3
= A6*2,5+3
6
24,3
= 63,75
IV/ Application de la proportionnalité.
1/ Vitesse moyenne.
La vitesse moyenne d’un mobile parcourant une distance
est la vitesse qu’aurait dû avoir le mobile pour parcourir la
même distance dans le même temps en se déplaçant
régulièrement, c’est-à-dire de telle manière que la distance
parcourue soit proportionnelle au temps.
La vitesse est alors représentée par le coefficient de
proportionnalité.
On a la relation :
d = vxt, d représentant la distance parcourue, v
la vitesse moyenne sur le parcours considéré et t la durée du
parcours.
Exemple :
Une voiture roule à la vitesse moyenne de 85 km/h. Combien de
temps met-elle pour parcourir 136 km ?
Solution :
On a ainsi la relation : 136 km = 85 km/h x t
donc t = 136km / 85km/h = 1,6 h.
Il faut maintenant convertir 0,6 h en minutes.
0,6 h = 6/10 h = 6/10 x 60 min = 36 min.
Donc t = 1h 36 min.
2/ Pourcentages.
Définition :
Prendre a% de x revient à calculer x x a/100, ce qui
correspond au schéma :
100
x
a
?
Exemple :
Le prix HT d’un article est de 2 000 euros. Quel est le montant
de la TVA (19,6 %) ?
Réponse : 2000 x 19,6/100 = 392, soit 392 euros de TVA.
Définition : augmentation en pourcentage
Augmenter de a %, c’est multiplier par 1 + a / 100.
Définition : diminution en pourcentage
Diminuer de a %, c’est multiplier par 1 - a / 100.
Exemple :
Combien coûte un vêtement qui, avant les soldes, était vendu
125 euros (rabais : 30%) ?
Réponse :
Diminuer de 30%, c’est multiplier par 1 – 30/100, c’est-à-dire
par 0,7.
Le prix après diminution est donnée par : 125 x 0,7 soit 87,50
euros
3/ Echelles.
La notion d’échelle relève elle aussi de la proportionnalité. On représente
une réalité physique (terrain, voiture …) par un dessin ou une maquette
établis en respectant les proportions entre les dimensions.
Propriété :
Il y a proportionnalité entre les dimensions dans la réalité et les
dimensions sur la représentation de cette réalité.
Exemples :
- Avec une échelle de « 2 cm pour 5 m », 5 m dans la réalité sont
représentés par 2 cm.
- Avec une échelle de 1/25000, 25000 cm sont représentés par 1 cm.
1/25000 représente le coefficient de proportionnalité entre les
dimensions réelles et les dimensions représentées. Dans ce cas, les
unités des dimensions doivent être les mêmes.
Exercice :
Une maquette de voiture au 1/45e mesure 9 cm
de long et 3,2 cm de large. Quelles sont les dimensions
réelles de cette voiture ?
Solution :
On peut schématiser le problème.
1
9
3,2
45
?
?
Par un simple produit en croix, les dimensions réelles de cette voiture sont
4,05 m de long et 1,44 m de large.
V. DIDACTIQUE :
1/ Les programmes :
Au cycle des approfondissements, « l’élève approche la
notion de fonction numérique, en particulier dans le
cadre des situations de proportionnalité ».
Des situations relevant de la proportionnalité sont proposées
et traitées en utilisant des raisonnements personnels,
adaptés aux données en jeu dans la situation et aux
connaissances numériques des élèves.
Les élèves distingueront ces situations de celles pour
lesquelles ces raisonnements ne sont pas pertinents
(situations de non-proportionnalité).
Ces procédures de résolution concernent également les
problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux
vitesses moyennes et aux conversions entre unités de
longueur, de masse, de contenance, de durée ou d’aire.
A partir de cette première approche dont l’importance ne
doit pas être sous-estimée, l’étude organisée de la
proportionnalité sera mise en place au collège.
La notion d’agrandissement ou de réduction de figures
fait l’objet d’une première étude, en liaison avec la
proportionnalité, et conduit à une approche de la notion
d’échelle.
A l’école primaire, il s’agit d’étendre la reconnaissance de
problèmes qui relèvent du domaine multiplicatif. Ces problèmes
sont traités en s’appuyant sur des raisonnements qui peuvent être
élaborés et énoncés par les élèves dans le contexte de la situation.
La mise en oeuvre de ces raisonnements suppose que l’élève ait
identifié qu’ils étaient pertinents pour la situation proposée.
Il est important que soient proposées aussi bien des
situations qui relèvent de la proportionnalité que des
situations qui n’en relèvent pas.
L’utilisation de tableaux de nombres ou de graphiques permet
d’organiser des informations dans de nombreuses situations.
Ces outils ne doivent pas être associés systématiquement à la
proportionnalité.
Les situations faisant intervenir des pourcentages, des échelles, des
vitesses moyennes, des conversions d’unités sont traitées avec les
mêmes procédés.
Aucun procédé expert n’a à être enseigné à ce niveau : ceux-ci
seront étudiés au collège.
La touche « % » de la calculatrice n’est donc pas utilisée au cycle 3.
Plus précisemment :
Au CE2 :l’approche de la proportionnalité se fait à travers l’étude de
problèmes multiplicatifs. On utilise la linéarité.
Exemple de situation : « je gagne 8 billes par jour, combien en aurais-je au
bout de 22 jours ?
On peut doubler le nombre de billes au bout de 10 jours, puis rajouter 2
jours. »
Au CM1 : ce sont des problèmes du type n fois plus, n fois moins, moitié
de, quart de…
Exemple : « 3 stylos coûtent 600 francs. Combien coûtent 15 stylos ? »
Au CM2 : on envisage une procédure plus générale, quand le « bricolage »
ne suffit plus : le passage à l’unité.
Il ne faut pas l’introduire trop tôt. Il faut attendre que cette méthode ait
du sens pour eux.
Au collège, cette procédure sera généralisée.
2/ Les principales variables didactiques dans les
problèmes de proportionnalité
a/ Les relations entre les nombres donnés
· Le coefficient de proportionnalité entre les grandeurs en jeu peut ou
non être choisi pour favoriser le recours aux procédures qui s'appuient
sur son identification : entier (simple ou non), décimal (simple ou non),
fractionnaire.
· Les rapports de linéarité (rapports entre nombres relevant d'une même
grandeur) peuvent également être ou non choisis pour favoriser le
recours aux procédures de type « linéarité » : entier (simple ou non),
décimal (simple ou non), fractionnaire ; de même, les relations entre les
nombres relevant d'une même grandeur peuvent ou non faciliter
l'obtention de certains nombres par combinaison linéaire.
b/ Le nombre de couples donnés
Il peut favoriser la multiplicité des combinaisons linéaires
pour obtenir un nombre déterminé ou faciliter la mise en
évidence du coefficient de proportionnalité.
c/ Les types de nombre
Le choix des nombres peut ou non favoriser le recours
au calcul mental (à mettre en relation avec les
variables précédentes).
d/ Le type de situation
Il permet ou non une validation par le milieu.
e/ La familiarité des élèves avec la situation
évoquée
Une situation familière aux élèves favorisent la mise en œuvre de
raisonnements adaptés.
3/ Les principales difficultés rencontrées par les élèves
- L’élève
doit identifier les grandeurs en relation dans la
situation proposée.
Il est nécessaire que cette tâche soit le plus souvent
assumée par les élèves, et donc que la situation ne soit
pas déjà schématisée sous forme de tableau.
La réalisation du tableau est, en effet, une manière pour
l'élève de prendre conscience des grandeurs en relation.
- L’élève doit identifier que la situation relève bien du
modèle proportionnel : cela est rarement dit
explicitement dans l'énoncé et l'élève doit donc faire
appel à des connaissances extérieures (expérience
sociale, par exemple)... ou deviner l'intention du maître
qui lui a proposé le problème (contrat didactique).
Il est important que les situations étudiées ne relèvent
pas toutes du modèle proportionnel, afin d'exercer la
vigilance des élèves sur le choix du modèle et des
procédures.
- Les situations de proportionnalité font apparaître une «
augmentation » ou une « diminution » dans le passage de la
première grandeur à la deuxième (exemple des situations
d'agrandissement ou de réduction de figures).
Or, pour de nombreux élèves, les idées d'augmentation et
de diminution sont liées aux notions d'addition et de
soustraction, ce qui constitue un obstacle à la
reconnaissance du modèle proportionnel.
Cet obstacle devra être traité par des situations didactiques
appropriées.
· - L’élève doit ensuite choisir une procédure de résolution
parmi toutes celles qui sont possibles.
Les domaines numériques dans lesquels sont choisis les
nombres de l'énoncé et les relations entre ces nombres
(notamment, rapport entre les 2 grandeurs, rapport entre
les nombres relatifs à une même grandeur) jouent un rôle
déterminant dans le choix d'une procédure : ce sont des
variables didactiques décisives.
Il appartient à l'enseignant d'en déterminer les valeurs
avec soin pour favoriser, chez les élèves, le recours à tel
ou tel type de procédure.
La mise en oeuvre de la procédure choisie est également
source de nombreuses difficultés.
Par exemple, comment combiner les nombres dans le cas
de l'utilisation des propriétés de linéarité, comment
déterminer le coefficient de proportionnalité si celui-ci
n'est pas calculable mentalement, ... ?
L'exécution de calculs peut aussi être source de
difficultés (décimaux et fractions, par exemple).
Bibliographie :
- Les mathématiques au concours de professeur des écoles,
Alain Descaves, Hachette 2005
- Mathématiques Tome 2, Roland Charnay & Michel Mante,
HATIER CONCOURS 2008
Cours sur la proportionnalité
FIN
David Rolland, IUFM de la Polynésie française