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Les taux, les rapports et les proportions
Comment compare-t-on les prix Comment d’un même produit vendu dans des formats différents?
détermine-t-on la distance réelle entre deux villes sur une carte routière? Comment dessine-t-on le plan d’un salon en respectant les dimensions réelles des objets? Dans toutes ces situations, on utilise des rapports, des taux et des proportions. Mais proportion? Comment reconnait-on une situation de qu’est-ce qu’une proportionnalité? Dans ce panorama, tu apprendras à utiliser des rapports, des taux et des proportions, tant en arithmétique qu’en géométrie, afin de comparer, de mesurer et de représenter divers éléments.
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Rapport
On doit toujours
réduire
un rapport
Cours #1
Taux
Comparaison entre deux quantités de nature différente.
Ex : 525$ / 6 jours 13L / 100 km
Taux unitaire
Lorsque le dénominateur d’un taux est 1, on parle alors de taux unitaire et on omet le 1 dans la notation.
Ex : On a roulé à 90km en 1 heure : 90km/h Les pommes coûtent 1,59$ pour une livre : 1,59$/lb
Les taux les plus utilisés
Vitesse = distance / temps Taux horaire = Salaire pour 1 heure Prix unitaire = Coût pour un article (ou 1kg, ou 1lb) Débit = quantité / temps (l/min ou mg/sec) 2
Lorsque le rapport représente des mesures, il faut avoir les mêmes unités .
Ex : Écris sous la forme d’un rapport les énoncés suivants.
a) Corine a travaillé 2 heures pour 120 secondes de repos.
b) Sur une carte routière, 2 cm représente 4 km.
RAPPORTS ÉQUIVALENTS ET COMPARAISON DE RAPPORTS
Deux rapports sont équivalents s’ils correspondent au même quotient.
Méthode 1 : On les porte au même dénominateur.
Ex : Indique si les rapports ou les taux suivants sont équivalents.
a) b) Rapport pommes : oranges 70 : 4 et 95 : 6 c) d) Rapport filles : garçons 11 : 20 et 77 : 140 3
Méthode 2 : Retour à l’unité. (Calculer le quotient)
Ex : Indique si les rapports ou les taux suivants sont équivalents.
b) Rapport élèves : surveillants 600 : 5 et 500 : 4 Non Non Non 4
Exercices :
#1. Dans un plat de fruits, le rapport du nombre de pommes au nombre de bananes est de 5 : 4.
a) Y a-t-il plus de pommes ou plus de bananes? pommes b) Quel est le nombre minimal de fruits dans le panier? 9 Est-il possible qu’il y ait 25 fruits dans ce panier? non 27 fruits dans ce panier? oui c) S’il y a 12 bananes dans ce panier, combien y a-t-il de pommes? 15 pommes #2. On aime son café avec 25g de sucre dans 200ml de café. À l’aide de calculs, détermine si les cafés suivants sont aussi sucrés, plus sucrés ou moins sucrés.
a) 20g de sucre dans 195ml de café.
Moins sucré b) 30g de sucre dans 250ml de café.
Moins sucré FIN DU COURS 5
Cours #2
LES PROPORTIONS C’est une égalité entre deux rapports ou deux taux. Ex : On peut travailler les proportions comme des fractions équivalentes : Dans toutes proportions, le produit des moyens est égal au produit des
extrêmes .
Extrêmes Moyens Moyens 1 : 3 = 2 : 6 Extrêmes Moyens Extrêmes Produit des extrêmes = Produit des moyens On définit souvent cette opération par le PRODUIT CROISÉ . 6
Exercices : En utilisant le produit des moyens et le produit des extrêmes, vérifie si les rapports suivants forment une proportion. Coche la case appropriée.
Proportionnel Non proportionnel Proportionnel Non proportionnel Proportionnel Non proportionnel 7
RECHERCHE D’UN TERME MANQUANT DANS UNE PROPORTION
On fait le produit croisé, on multiplie la diagonale et on divise par le terme restant.
Exercice :
#1. Trouve la valeur de la variable dans les proportions suivantes.
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#2. Dans chaque cas, détermine la valeur qui permet de former une proportion.
#3. Dans une recette, je dois mettre 500ml de lait, 210ml de sucre et 140ml de farine. S’il me reste seulement 275ml de lait et que je veux tout l’utiliser : a) combien de farine ai-je besoin de mettre afin de garder les proportions dans la recette ?
Il faut 77 ml de farine b) combien de sucre ai-je besoin de mettre afin de garder les proportions dans la recette ?
Il faut 115.5 ml de sucre 9
RÉSOLUTION DE PROBLÈMES À L’AIDE D’UNE PROPORTION
Utiliser des titres et ne pas oublier que la c’est de bien établir la proportion!
difficulté #1 Au hockey, pour 7 tirs effectués vers le but, 5 touchent au gardien. Combien de fois touchera-t-il au gardien s’il y a eu 28 tirs et qu’il garde le même ratio?
Tirs au but au hockey En 28 tirs, il touchera au gardien 20 fois .
#2 Si le débit d’eau de la rivière l’Assomption est de 1 800 L en 9 minutes, combien d’eau s’écoule en 15 minutes?
Le débit d’eau de la rivière l’Assomption Il s’écoulera 3 000 L en 15 minutes.
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#3 Pour exploiter un terrain agricole à son meilleur, le rapport entre la surface cultivée et la surface totale doit être de 4 : 5.
a) Si M. Gendron, un cultivateur, a une terre de 3.5 hm², quelle superficie doit-il exploiter?
Exploitation du terrain agricole de M. Gendron Il doit exploiter une surface de 2.8 hm 2 b) Son voisin, M. Tremblay, a cultivé 2.7 hm² de ses 3.375 hm². Respecte-t-il le rapport 4 : 5?
Exploitation du terrain agricole de M. Tremblay Oui Non #4 Un peintre a créé une nouvelle couleur de peinture en mélangeant 50 mL de bleu avec 375 ml de jaune. Si un client aime le résultat obtenu et décide d’en acheter 4.25 L, quel mélange le peintre devra-t-il faire?
Mélange de couleur de peinture FIN DU COURS 11
Cours #3
TROIS TYPES DE RELATIONS
Cette année, on classera les relations en 3 types : proportionnelles, inversement proportionnelles et les autres types de relations. Voici la description de chacun de ces types de relations ainsi que leur allure graphique.
Tables de valeurs Les valeurs de y sont obtenues en
appelé le multipliant coefficient de proportionnalité
;
les valeurs de
x
par un même nombre X
Y
0
0
2
8
3
12
5
32 Graphique C’est une droite oblique qui passe par l’origine .
X
Coefficient de proportionnalité 12
Tables de valeurs
le produit de
x
et de
y
est constant .
si l’une des variables est zéro, alors l’autre variable est aussi zéro .
X
Y
1
50
2
25
5
10
20
Graphique C’est une courbe qui tend à s’approcher des axes x et y .
2 Toutes les relations qui ne sont ni proportionnelles ni inversement proportionnelles Graphique .
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RECONNAÎTRE LE TYPE DE RELATION DONT IL S’AGIT DANS UN CONTEXTE
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Exemples : Dans chacune des situations suivantes, détermine de quel type de relation il s’agit.
a) En voiture, Sara parcourt en moyenne 21km en 15 min. Si elle conserve la même vitesse, en combien de temps parcourra-t-elle 28km?
Relation de proportionnalité b) Trois personnes peuvent construire un garage en quatre jours. En combien de temps deux personnes travaillant au même rythme peuvent-elles construire un garage identique?
Relation de proportionnalité c) On vide la piscine à un débit régulier de 3L/sec afin de la fermer pour l’hiver.
Autres types d) Lors d’une fête, on a loué une Wii au coût de 45$. Si 7 amis viennent à la fête, quel est le coût par personne pour jouer à la Wii?
Relation inversement proportionnelle e) Julien a un devoir de mathématiques comportant 25 numéros. Après 5 minutes il a fait 3 numéros. Si tous les numéros sont semblables, combien de temps peut-il prévoir pour terminer son devoir?
Relation de proportionnalité f) Le coût d’un stationnement comporte un coût d’entrée de 5$ puis on doit payer 3$ de l’heure pour y laisser notre voiture. Combien en coûtera-t-il pour laisser sa voiture 5h?
Autres types 15
EXEMPLE 1 : La table de valeurs suivante montre la relation qui existe entre le nombre d’heures de travail d’un employé et son salaire.
Nb d’heures de travail Salaire ($) 5
41.25
Le salaire d’un employé 10 15
82.50
123.75
20
165.00
25
206.25
a) Logiquement, le contexte permet-il de croire que c’est une situation de proportionnalité?
Oui , car le salaire normalement augmente de façon constante .
b) Vérifions si c’est une relation proportionnelle. Trouve le coefficient de proportionnalité.
c) Quel est le salaire horaire?
d) Représente la situation dans le graphique ci-dessous.
e) Puisque cette situation est une situation de proportionnalité , ON PEUT UTILISER LES PROPORTIONS POUR RÉPONDRE À DES QUESTIONS.
Quel salaire obtiendra-t-il pour 37 h de travail?
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EXEMPLE 2 : La table de valeurs suivante montre la relation qui existe entre l’âge d’une personne et sa masse.
Le poids d’une personne selon son âge Âge (Année) 10 15 20 25 Masse (kg)
34 48 54 56
30
57.5
a) Logiquement, le contexte permet-il de croire que c’est une situation de proportionnalité?
Non , la masse ne varie pas proportionnellement avec l’âge, sinon on deviendrait immense !
b) Vérifions si c’est une relation proportionnelle. Trouve le coefficient de proportionnalité.
c) Représente la situation dans le graphique ci-contre.
d) Une personne a 55 ans. Quel est son poids?
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EXEMPLE 3 :
Une anomalie possible de l’œil s’appelle la vision en tunnel. La table de valeurs suivante montre les résultats d’une expérience qui simule ce genre d’anomalie. Elle consiste à regarder dans des tuyaux de différentes longueurs et de noter la grandeur du champ de vision. Complète cette table et ce graphique.
Expérience pour comprendre la vision en tunnel Longueur du tuyau (cm) 2 3 4 6 Hauteur du champ visuel (cm)
12 8 6 4
12 24
Vérifions si c’est une relation proportionnelle : Vérifions si c’est une relation inversement proportionnelle : Non Oui Maintenant, complétons la table de valeurs FIN DU COURS 18
Cours #4
RÉSOLUTION D’UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ
Il existe plusieurs stratégies pour résoudre les problèmes qui comportent une situation de proportionnalité. En voici quatre : Cette stratégie consiste à déterminer, à partir d’un rapport ou d’un taux déjà connu, le rapport ou le taux équivalent dont le numérateur ou le dénominateur est 1 qu’on utilise ensuite pour déduire les valeurs manquantes.
Lorsque le contexte s’y prête, on a tendance à utiliser cette méthode.
Ex : On veut connaître le prix de 11 kg de bœuf haché, sachant que 4 kg coûtent 15.40 $. On effectue le retour à l’unité en déterminant le prix de 1 kg de bœuf haché.
On détermine la valeur manquante comme suit : Le prix de 11 kg de bœuf haché est de 42.35 $ .
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Cette stratégie consiste à déterminer, à partir d’un rapport ou d’un taux déjà connu, le coefficient de proportionnalité qu’on utilise ensuite pour déduire les valeurs manquantes.
Méthode efficace dans une table de valeurs pour trouver les données manquantes.
Ex : On veut connaître le prix d’une dinde surgelée de 3.8 kg sachant qu’une dinde surgelée de 5 kg coûte 23.25 $.
On détermine le coefficient de proportionnalité multiplier 5 pour obtenir 23.25 $.
en cherchant le nombre par lequel il faut On détermine la valeur manquante comme suit : Le prix d’une dinde surgelée de 3.8 kg est donc de 17.67 $ .
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Cette stratégie consiste à déterminer, à partir d’un rapport ou d’un taux déjà connu, un rapport ou un taux équivalent en multipliant son numérateur et son un même nombre différent de zéro.
dénominateur par
Surtout efficace pour résoudre mentalement.
Ex : On veut connaître le prix d’un jambon fumé de 7.5 kg, sachant qu’un jambon fumé de 2.5 kg coûte 6.45 $.
On détermine le facteur de changement permettant de passer de 2.5 à 7.5.
On détermine la valeur manquante comme suit : Le prix d’un jambon fumé de 7.5 kg est donc de 19.35$ .
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Dans une proportion, le produit des extrêmes égale le produit des moyens . On peut donc déterminer, à partir de trois des quatre termes d’une proportion, la valeur du terme manquant.
Méthode très efficace !
Ex : On veut connaître le prix d’un poulet de 3.7 kg, sachant qu’un poulet de 1.4 kg coûte 11.06 $.
Le prix d’un poulet de 3.7 kg est donc de 29.23 $ .
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POURCENTAGE
Exprimer un rapport en pourcentage c’est trouver le rapport équivalent sur 100.
Calculer le pourcentage d’un nombre
Ex1. 15% de 120$.
Secondaire 1 : Rappel : un % c’est une cent fraction sur Rappel : Le trait dans une fraction signifie DIVISER!
Ex2. Quel est le prix final de cet article si on lui applique une taxe de 15,2%?
Secondaire 1 : 650$ Secondaire 2 : Secondaire 2 : 23 Le prix final est de 748.80 $ .
Ex3. Quel pourcentage de 88 donne 10.56 ?
Ex4. Un chandail se vend 35$ à prix régulier.
On a droit à un rabais de 5,25$.
pourcentage de rabais a été appliqué?
Quel Le rabais du chandail est de 15% .
RETROUVER LE 100% D’UN NOMBRE Lorsqu’on a besoin de retrouver la quantité totale, il faut rechercher le cent pourcent d’un nombre.
On peut établir une proportion pour trouver l’inconnu.
Ex1. Ma famille possède 34% des terres à l’Assomption, soit 57 hm 2 . Quelle est la superficie totale des terres à l’Assomption?
La superficie totale des terres à l’Assomption est de 167.65 hm 2 .
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Ex2. Dans notre école, le comité étudiant est composé de 8 élèves, ce qui représente environ 0,5% des élèves totaux. Combien d’élèves y a-t-il à l’école?
Il y a un total de 1 600 élèves dans l’école.
Ex3. Après des taxes de 12,5%, un chandail coûte 54,84$. Quel était le prix du chandail sans les taxes?
Le prix de départ c’est toujours 100% Le total c’est 54.84 $ à 112.5% Le prix du chandail sans les taxes est de 48.75 $ .
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Ex4. Après un rabais de 25%, un chandail coûte 16,87$. Quel était le prix initial?
Le prix de départ c’est toujours 100% Le prix total c’est 16.87 $ à 75% Le prix initial du chandail est de 22.49 $ .
FIN DU COURS ET MINIT-TEST DANS 2 COURS 26
Cours #7
FIGURES SEMBLABLES
Deux figures sont semblables si l’une est un reproduction exacte de la figure initiale.
Propriétés :
Conserve la mesure des angles Les côtés sont proportionnels agrandissement , une réduction ou une k : rapport de similitude ou rapports des longueurs Si k > 1 : il y a un agrandissement Si 1 > k > 0 : il y a une réduction
Pour trouver des mesures manquantes sur des figures semblables, il suffit d’établir une proportion.
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Ex1. Les deux rectangles sont semblables, trouve la mesure manquante et le rapport de similitude.
B’ 3m A’ 7m C’ Si on fait le produit croisé, on a que : La mesure du côté manquant est de 9 m et le rapport de similitude est de 1:3 .
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Ex2. Les deux figures sont semblables, trouve les mesures manquantes.
Ex3. Les deux figures suivantes sont semblables. Trouve les mesures manquantes.
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a) Ex4. Les figures suivantes sont semblables, trouve les mesures manquantes.
c) d) b) 30
REPRODUCTION À L’ÉCHELLE
L’échelle s’exprime de différentes façons.
Pour trouver des mesures manquantes mettant en relation une échelle, il suffit d’établir une proportion.
Ex1. Une maison de poupée est une reproduction d’une maison selon l’échelle 3 : 200. Si la largeur de la maison réelle mesure 15 m, quelle est la largeur de la maison de poupée en cm?
15 m = 1 500 cm Ex2. On a construit un avion miniature selon le rapport 8 : 450. Si l’envergure des ailes de l’avion miniature est de 25 cm, quelle est l’envergure des ailes de l’avion en mètres ?
25 cm = 0.25 m 31 FIN DU COURS
Cours #8
RAPPORT DE SIMILITUDE ET RAPPORT DES AIRES
Rapport de similitude = k (rapport de longueur)
Élever au carré
Rapport d’aire = k
2
(rapport des longueurs au carré)
32
Ex1.
Calcule l’aire de ces deux rectangles Quel est le rapport de similitude :
Ex2.
Quel est le rapport des aires : Calcule l’aire de ces deux rectangles Quel est le rapport des aires (k 2 ): Quel est le rapport de similitude (k) : 33
Ex3.
Calcule l’aire de ces deux rectangles Quel est le rapport de similitude (k): Quel est le rapport des aires (k 2 ) : Ex4. Trouve les rapports de similitude ou d’aire.
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Étape1 : Trouver les deux rapports k et k 2 Étape2 : Si l’inconnu est une longueur
Utiliser le rapport k pour établir une proportion.
Si l’inconnu est une aire
Utiliser le rapport k 2 pour établir une proportion.
#1.
Voici deux triangles semblables. Trouve le rapport des aires de ces figures.
Le rapport des aires est donc de 0.64
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#2. Voici deux hexagones semblables. Si l’aire de l’image est de 39 cm 2 , quelle est l’aire de l’hexagone initial ?
L’aire de l’hexagone initial est de 243.75 cm 2 .
#3 Le rapport des aires de 2 figures semblables est de . Si le côté AB mesure 14 cm, quelle est la mesure du côté A’B’ ?
La mesure du côté A’B’ est donc de 18 cm .
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#4. Ces deux figures sont semblables. Quelle est l’aire de la plus grande?
L’aire de la plus grande figure est de 193.75 cm 2 .
FIN DU COURS ET EXAMEN DANS 2 COURS 37