Transcript 005 LES FIGURES SEMBLABLES

Figures semblables
et
rapport de similitude
Les figures semblables
~
~
Les figures semblables possèdent les propriétés suivantes:
- mêmes formes;
- mêmes mesures d’angles homologues;
- rapports des côtés homologues proportionnels.
Des figures sont semblables si et seulement si elles possèdent à la fois ces
trois conditions.
Les figures semblables sont créées par des similitudes donc une ( des )
transformation(s) utilisant toujours une homothétie.
Le rapport de similitude (K) joue donc un rôle important dans ce type de
figures.
Voici quelques exemples:
Détermine si les figures suivantes sont semblables et justifie ta réponse.
non, elles n’ont pas la même forme.
1
oui, mêmes formes, mêmes angles
homologues congrus et côtés
homologues proportionnels.
2
3
1
6
1
2
7
1
2
2
6
≠
3
7
oui, les figures isométriques sont des
figures semblables avec K = 1.
2
5
3
non, mêmes formes, mêmes angles
homologues congrus mais côtés
homologues non proportionnels.
2
3
=
5
Le rapport de similitude est le rapport des segments homologues, noté
K.
mesure d’un segment d’une des figures
Il s’établit comme suit:
mesure du segment homologue de l’autre figure
B’
B
Exemple :
4
A
8
C
6
A’
K:
m A’C’
mAC
=
12
6
= 2
ou
m hauteur
 A’B’C’
m hauteur
 ABC
Remarque: Tu pourrais aussi poser ce rapport: K :
C’
12
mAC
m A’C’
8
=
=
= 2
4
6
12
=
1
2
L’important est de garder le même rapport tout au long du problème.
Ces deux pyramides à base carrée sont semblables.
Quel est le rapport des hauteurs et des apothèmes ?
rapport des côtés :
4
8
8
= 2
4
rapport des hauteurs : 2
rapport des apothèmes : 2
Le rapport de similitude ( K ) est le même pour tous les segments homologues.
Ces deux cylindres sont semblables. Quelle est
la mesure du rayon du petit cylindre ?
HAUTEUR
RAYON
=
hauteur
rayon
12 cm
9 cm
12
9
=
2
x
12 x = 18
2 cm
x = 1,5 cm
À partir du rapport de similitude, on peut déterminer plusieurs mesures,
en créant d’autres rapports :
K
: le rapport de similitude
le rapport des périmètres ( Rp )
K2 :
le rapport des aires ( Ra )
K3 :
le rapport des volumes ( Rv )
Examinons ce qu’il en est.
Un carré de 3 unités de côtés
Si on double ses dimensions,
on obtient un carré de 6 unités de côtés.
3
6
Le rapport de similitude est le rapport entre les côtés homologues.
On l’appelle K.
Ici, K =
6
3
=2
Un carré de 3 unités de côtés
Si on double ses dimensions,
on obtient un carré de 6 unités de côtés.
3
6
K=
6
3
=2
Qu’en est-il du rapport des périmètres ?
Carré 1: 4c = 4 X 3 = 12
Rapport des périmètres:
Carré 2: 4c = 4 X 6 = 24
24
12
=2
Le rapport de similitude = le rapport des périmètres.
Un carré
Si on double ses dimensions : K = 2,
on obtient un nouveau carré dont l ’aire est
4 fois plus grande.
K2 = 4
Un carré
Si on triple ses dimensions :
K = 3,
on obtient un nouveau carré dont l ’aire est
9 fois plus grande.
K2 = 9
Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un
nombre K alors son aire est multipliée par K².
Le nombre k s’appelle le rapport de similitude.
Le nombre k2 s’appelle le rapport des aires.
Un cube
Si on double ses dimensions : K = 2,
on obtient un nouveau cube dont le volume
est 8 fois plus grand.
K3 = 8
Ainsi de suite…
Un cube
Si on triple ses dimensions : K = 3,
on obtient un nouveau cube dont le volume
est 27 fois plus grand.
K3 = 27
Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre K alors son
volume est multiplié par K3.
Le nombre k s’appelle le rapport de similitude.
Le nombre k3 s’appelle le rapport des volumes.
Rapport des périmètres
Le rapport des périmètres = le rapport de similitude
Exemple:
A
C’
A’
C
3 cm
6 cm
B’
5 cm
D’
B
K =
m A’B’
m AB
=
3
6
=
1
2
Kp =
D
10 cm
Périmètre A’B’C’D’
Périmètre ABCD
=
16
32
=
1
2
Rapport des aires
Le rapport des aires
Raire
A’
= le rapport de similitude au carré
=
K2
C
A
C’
3 cm
Exemple:
6 cm
B’
5 cm
D’
B
K =
1
2
Ra =
Aire A’B’C’D’
Aire ABCD
=
15
60
=
D
10 cm
1
4
soit
1
2
2
= K2
Rapport des volumes
Le rapport des volumes
Rv
= le rapport de similitude au cube
=
K3
Prisme 1
Prisme 2
Exemple:
3 cm
2 cm
6 cm
4 cm
5 cm
10 cm
K =
1
2
Rv =
Volume du prisme 2
Volume du prisme 1
=
30
240
=
1
8
soit
1
2
3
= K3
Ces 4 rapports
K :
le rapport de similitude
K :
le rapport des périmètres (Rp)
K2 :
le rapport des aires (Ra)
K3 :
le rapport des volumes (Rv)
permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions.
a
b
=
c
d
Problème 1 : Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK.
30
A
40
20
34
14
C
H
G
B
E
D
I
K=
m GH
:
m IH
:
m LH
:
30
x
40
x
14
x
=
=
=
10
17
10
17
10
17
m AC
m GI
=
20
34
x=
x=
x=
K
=
10
17
30 X 17
10
40 X 17
10
14 X 17
10
x=
51
x=
68
x=
23,8
L
Problème 2 : Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK.
30
A
20
40
C
H
G
B
34
14
E
D
I
K=
m AC
m GI
Périmètre ABCD :
=
K
20
34
=
10
17
2 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 100
Le rapport des périmètres = le rapport de similitude
Périmètre ABCD :
Périmètre GHIK
100
x
=
10
17
x=
100 X 17
10
x = 170
L
Problème 3 : Détermine l’aire du parallélogramme GHIK.
30
A
40
20
34
14
C
E
D
I
Aire ABCD: L X l = 30 X 14 = 420
K=
H
G
B
K
10
17
Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires
K2
Aire ABCD
Aire GHIK
:
420
x
=
=
100
289
10
17
2
=
102
172
x=
=
100
289
420 X 289
100
x ≈ 1213,8
L
Problème 4 : Sachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cm2,
détermine le volume du gros cylindre.
Volume du petit cylindre :
Aire de la base X hauteur
50
K =
X
4
=
9
200 cm3
4
4
9
Le rapport de similitude au cube = le rapport des volumes
K3
Volume du petit
Volume du grand
:
200
x
=
=
64
729
4
9
3
=
43
93
x=
=
64
729
200 X 729
64
x
≈ 2278,1 cm3
Problème 5 : Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est
2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le
périmètre du plus petit ?
Rapport des périmètres :
Périmètre du petit
Périmètre du grand
x=
54 X 2
3
:
x
54
2
3
=
2
3
x = 36 cm
Problème 6 : Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de
20 cm2 et de 45 cm2. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la
hauteur du grand ?
L’information fournie est le rapport des aires.
On demande la mesure d’un segment.
Il faut donc retrouver le rapport de similitude ( K ).
Ra :
20
45
Petite hauteur
Grande hauteur
20 ÷ 5
45 ÷ 5
:
16
x
4
=
=
9
2
3
4
donc K :
9
x =
3 X 16
2
=
4
9
=
2
3
x = 24 cm
Problème 7 :
Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm3 et 3125 cm3.
Quel est le rapport de similitude et le rapport des aires ?
Rv :
1600
1600 ÷ 25
3125
3125 ÷ 25
K=
3
3
64
=
125
Ra : K2
=
4
5
3
2
=
64
=
125
42
52
=
=
4
5
16
25
64
125
Problème 8 : Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à
partir des mesures données.
4
2
6
Aire totale : 88 cm2
Aire totale : 126,72 cm2
Volume du petit prisme :
Ra :
LXlXH=
6X2X4 =
48 cm3
88
126,72
Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes.
Il faut donc trouver, en premier, le rapport de similitude.
88
si Ra :
126,72
alors K :
88
=
126,72
K3
K3 =
≈
9,3808
11,257
88
≈
9,38083
11,2573
Volume du petit prisme
Volume du gros prisme
x ≈ 48 cm3 X 1 426,487 6
825,5049
11,257
126,72
3
=
≈
4 chiffres après la virgule
pour de la précision.
9,3808
≈
825,504 9
1 426,487 6
825,5049
1 426,487 6
≈ 82,94 cm3
=
48 cm3
x
Tu pourrais aussi procéder comme suit :
si Ra :
88
126,72
alors K :
88
ou
88
126,72
3
88
2
=
et K3 :
3
1
88
126,72
3
88
=
1
126,72
126,72
2
3
2
126,72
2
3
3
Volume du petit prisme
Volume du grand prisme
:
48
x
88
2
=
3
126,72
Avec la calculatrice:
x =
2
48 X 126,72 ^ ( 3 ÷ 2 ) ÷ 88 ^ ( 3 ÷ 2 )
48 X 126,72
3
88
2
≈ 82,94 cm3
2
Problème 11 :
Il faut 160 mg d’argent pour fabriquer ce bijou.
Deux autres modèles sont fabriqués.
Calcule la masse d ’argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles.
Cette masse est proportionnelle au volume du bijou.
Echelle 1/2
K=
Echelle 3/2
1
2
1
K3 =
Masse de la figure réduite
Masse de la figure
x = 20 mg
K=
8
:
x
160
=
3
K3 =
2
1
Masse de la figure agrandie
8
Masse de la figure
x = 540 mg
27
8
:
x
160
=
27
8
Problème 12 :
Il faut 4 mg d’or pour recouvrir ce bijou.
Deux autres modèles sont fabriqués.
Calcule la masse d’or nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles.
Cette masse est proportionnelle à l’aire du bijou.
Echelle 1/2
K=
Echelle 3/2
1
2
Masse de la figure réduite
Masse de la figure
x = 1 mg
1
K2 =
K=
4
:
x
4
=
3
K2 =
2
1
Masse de la figure agrandie
4
Masse de la figure
x = 9 mg
9
4
:
x
4
=
9
4
Remarques:
1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin:
- pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K
- pour trouver des mesures d’aires : K2
- pour trouver des mesures de volumes : K3
2) Prends le temps d’écrire correctement la proportion.
3) Pour passer du rapport des aires au rapport des volumes ou vice-versa,
ramène d’abord ces rapports au rapport de similitude.