Transcript Couche limite atmosphérique
Couche limite atmosphérique
Théorie de la similitude
Hypothèse de similitude Si les conditions de réalisation de deux expériences sont identiques leurs résultats sont aussi identiques Mêmes causes mêmes effets Il n ’y est pas nécessaire que tous les paramètres définissant l ’expérience aient les mêmes valeurs : il faut cependant qu ’ils satisfassent les conditions de similitude.
Similitude Similitude est la théorie et l ’art de prédire le comportement d ’un phénomène en construisant un modèle du phénomène (ou prototype).
Similarité géométrique : deux systèmes sont similaires géométriquement s ’il ont un rapport d ’échelle L/L * constant Similarité cinématique : pour qu ’il y ai de la similitude cinématique entre deux écoulements doivent être similaires aux endroits correspondants : u 1 /u 1 * = u 2 /u 2 * .
Similarité dynamique : pour qu ’il y ai de la similitude dynamique toutes les forces en jeu, quand à leur intensité, direction et leur point d ’application doivent être similaires. Notons que la similitude dynamique est une condition nécessaire à la similitude cinématique
Similitude géométrique Considérons un phénomène dont la dimension linéaire est L. Soit L* l ’échelle caractéristique.
Toutes les autres dimensions doivent être dans le rapport L/L* .
Les surfaces doivent satisfaire le rapport ?
Les volumes doivent satisfaire le rapport ?
(L/L*) 2 (L/L*) 3
Similitude dynamique Considérons la loi de Newton :
F nette
résultante de plusieurs forces
ma
force d'inertie Forces possibles: Force d ’inertie Force de viscosité Force de pression Force de pesanteur Force de compressibilité Force de tension superficielle
Similitude dynamique
F
1
F
2
F
3
ma F
1 *
F
2 *
F
3 * * Les deux écoulements sont similaires si: *
F
1 *
ma F
1 *
F
2 *
ma F
2
Rapports de forces : nombres sans dimensions Force d'inertie
u
2 Force de pression
u
2
L
2
pL
2
p
N E
(Nombre d'Euler) Force d'inertie Force de la pesanteur
u
2
L
2 3
L g
u
2
Lg
N F
2 (Nombre de Foudre) 2 Force d'inertie Force de viscosité
u
2
L
2
L
uL
R E
(Nombre de Reynolds) Force d'inertie Force de compress.
u
2
c
2
L
2
L
2
u
2
c
2 2
N M
(Nombre d'e Mach) 2 Force d'inertie Force de tens. sup.
u
2
L L
2
u
2
L
N W
(Nombre de Weber)
Similitude Les différences observées entre les résultas de deux expériences similaires ne sont pas imputables à une différence de nature mais uniquement à des différences d ’échelle.
La théorie de similitude se base dans l ’organisation des variables que définissent le phénomène en groupes sans dimensions . Pour la formation de ces groupes sans dimensions on recours à l ’analyse dimensionnelle.
Dimensions : le 7 grandeurs de base Grandeur masse longueur temps intensité électrique température intensité lumineuse quantité de matière Symbole dimensionnel M L T I J N Unité kilogramme mètre seconde ampère kelvin candela mole
Analyse dimensionnelle : homogénéité dimensionnelle L ’homogénéité dimensionnelle constitue une contrainte assez puissante sur la forme des relations entre les paramètres physiques qui sont identifiés comme importants pour définir le phénomène à étudier.
théorème Soit l ’ensemble de n paramètres b 1 , b 2 , …, b n . Le théorème dimensions physiques indépendantes, alors on peut former (n-r) nous dit que si r des n paramètres ont des paramètres physiques indépendants et sans dimensions.
Chaque combinaison sans dimensions est formée à l ’aide d ’un ensemble libre maximum, p. ex. : b r+1 , b r+2 , …, b n .
b 1 , b 2 , …, b r et de l ’un des paramètres de l ’ensemble complémentaire, ici
Théorème : procédure 1 - Identification de tous les paramètres pertinents pour l ’étude du problème spécifique (éviter d ’introduire trop de paramètres).
2 - Mettre sur pied un ensemble complet de variables sans dimensions qui caractériserons le phénomène 1 , 2 , …, dimensions fondamentales) n-r .
(r est la base dimensionnelle et doit contenir toutes les 3 - Prendre des mesures afin relier ces variables entre elles et ainsi déterminer la forme des fonctions universelles qui gouvernent le phénomène : f( 1 , 2 , …, n-r )=0 Exemple: profil vertical de la vitesse dans la CLP
Théorème : exemple 1
z
[T -1 ] Variables importantes pour la description du phénomène et dimensions de chaque variable: Altitude
z
[L] Frottement au sol
u
* [LT -1 ] Flux cinématique de chaleur en surface
Q
0 [LT -1 ] Paramètre de Coriolis
f
[T -1 ] Paramètre de flottabilité
g
0 [LT -2 -1 ]
Théorème : exemple 1 Construction de la matrice dimensionnelle : L 0
z
1
z u
* 1
f
0
g
0 1
Q
0 1 M 0 0 0 0 0 0 T -1 0 -1 -1 -2 -1 0 0 0 0 -1 -1 Rang de la matrice = r = 3
Théorème : exemple 1 Choix des «variables clé» ou base dimensionnelle
u f z
* Contraintes: a) le nombre de variables clé doit être égale au rang de la matrice dimensionnelle.
b) toutes les dimensions doivent être représentées; c) doivent être dimensionnellement indépendantes.
z
[T -1 ] [L] [LT -1 ] [T -1 ] Base dimensionnelle:
u
*
f Q
0 Paramètres dépendants
g
0 [LT -2 -1 ]
z z
g
0
Q
0 [LT -1 ]
Théorème : exemple 1 Rang de la matrice = r = 3 Base dimensionnelle:
u
*
f Q
0 Paramètres dépendants
z z
g
0
1
zu f Q
*
a b
0
c
2
u
z u f Q
*
d e
0
f
3
u f Q
*
g h
0
i f
1 2 , 3 ) 0
Théorème : exemple 1 Calcul des fonctions
1
zu f Q
*
a b
0
c
2
u
z u f Q
*
d e
0
f
3
u f Q
*
g h
0
i f
1 2 , 3 ) 1 1
zu f
* 2
u
z f
1
3
u
* 2 1
f Q
0
2
g
1 3 )
Théorème : exemple 1 1 1
zu f
* 2
u
z f
1
3
u
* 2 1
f Q
0
2
g
1 3 )
u
z f
1
g
zf u
* ,
Q
0
fu
* 2
u
z
zf u
* ,
Q o fu
* 2
Théorème : exemple 1
u
z
zf
u
* ,
Q o fu
* 2
Traditionnellement on définie deux échelles de longueur :
L e
u kf
*
L E L MO
u kf
*
u
* 3 0 1
Q
0
u
* 2 3
L MO
u
* 3 0
u
z
u
*
kL E
1
L E
,
L E L MO
Théorème : exemple 1
g
et
u
sont des fonctions à déterminer par la théorie du phénomène ou expérimentalement. Conclusion : 1) L ’analyse dimensionnelle suggère la relation fonctionnelle entre les paramètre.
2) La fonction est trouvée sur des bases expérimentales où théoriques.
Classes de similitude Similitude de Monin Obukhov ou similitude de la CS Similitude de la couche de mélange Similitude de locale Convection libre locale Similitude de Rossby
Classes de similitude Similitude de Monin Obukhov ou similitude de la CS Applicable dans la couche de surface Couche de surface : où les flux sont constants.
On utilise alors les flux à un seul niveau.
Cette théorie est valable seulement quand il y a du vent et que u * est différent de zéro.
Échelles importantes : L = longueur de Monin Obukhov (1m à 200 m) z o = paramètre de rugosité (1 mm à 1 m) u * = vitesse de frottement (0.05 à 0.3 m/s) * SL q * SL = échelle de température (0.1 à 2.0 K) = échelle d ’humidité (0.1 à 5g/kg)
Similitude de Monin Obukhov
z
z
Appliquée essentiellement dans la couche de surface définie comme la couche à flux constant .
Variables importantes pour la description de et dimensions de chaque variable:
u z
Altitude
z
[L] Frottement au sol
u
* [LT -1 ] Paramètre de flottabilité
g
0 [LT -2 -1 ] Base dimensionnelle [L,T, ] Flux cinématique de chaleur en surface
Q
0 [LT -1 ] ?
Similitude de Monin Obukhov n=5 r=3 n-r = 2 Base dimensionnelle
u
*
Q
0
g
0
1
,
2
F
1
,
2
0
z
Similitude de Monin Obukhov
u
*
Q
0
g
0
z z
1
c z
1
,
2
F
1
,
2
0
1
f
u
z
* 0 1 1 1
k
3
zu Q
* 0
k
1
z L
k
1
Similitude de Monin Obukhov : longueur de Monin Obukhov
L
u
* 3
kQ
0
L
0 si
L
0 si
Q
0
w
Q
0
w
0 0 instabilité stabilité Échelles dans la couche de surface stratifiée : Longueur
L
3
u kQ
* 0 1m à 200 m Vitesse Température
u
*
u w
1 2 *
u
* 0.05 à 0.3 m/s 0.1 à 2.0 K
Similitude de Monin Obukhov : gradients sans dimensions
u L
z u
*
f
M
z
f
M
z L
*
f H z
f H
u
z
u kz
*
M
M
f
M H
f
H
z kz H
Détermination des fonctions universelles
u
z
u kz
*
M
z kz H
M
Conditions des mesures: stationnarité et homogénéité
H
Mesures :
u
z u
*
H
w
z
*
H
Détermination des fonctions universelles
M
H
Kansas 1968
Théorie de la similitude de Monin Obukhov
M
1
1 4
0
0
0
stable neutre instable
H
0.74
1 2
0
0
0
stable neutre instable
Erreur dans Stull pg. 384
Théorie de la similitude de Monin Obukhov
u
z
u kz
*
M
z kz H
w
u
* *
u
* 2 Prouver que :
R f
1
M K M K H
M H R i
H
2
M
Similitude de Monin Obukhov : mesure de stabilité
z L
0 si
z L
0 si
Q
0
w
Q
0
w
0 0 instabilité stabilité instable -2 neutre 0 stable +2