Démonstration et aires

Triangles de même aire A B A ' C  Les triangles ABA’ et AA’C ont la même aire.

Triangles de même aire A M est un point du segment [BC].

B M C  Si les triangles ABM et AMC ont la même aire alors le point M est le milieu du segment [BC].

Triangles de même aire M La droite d est parallèle à la droite (BC).

A d B  Les triangles MBC et ABC ont la même aire.

C

Triangles de même aire M A La droite d est parallèle à la droite (BC).

d I B  Les triangles MBI et ACI ont la même aire .

C

Lemme des proportions  Soient ABC et AB’C’ deux triangles ayant en commun le sommet A et dont les côtés [BC] et [B’C’] sont portés par la même droite.

Le rapport des aires a (ABC) et a (AB’C’) est égal au rapport des longueurs BC et B’C’.

B A C B' C'

Lemme du chevron  Soit ABC un triangle et M un point du plan, distinct de A. On suppose que la droite (AM) coupe la droite (BC) en A’. Alors on a : a ( AMB ) a ( AMC )  A ' B A ' C A M B A' C

Théorème de Thalès  Soit ABC un triangle. Soient B’ un point du segment [AB] et C’ un point du segment [AC]. On suppose (B’C’) parallèle à (BC). On a les égalités : BB ' BA  CC ' CA et AB '  AB AC '  AC B ' C ' BC B B' C C' A

Théorème de Thalès : démonstration CC '  CA a ( BCC ' ) a ( BCA ) et BB '  BA a ( CBB ' ) a ( CBA ) d’après le lemme des proportions.

Mais a (BCC’)= a (BCB’) car les droites (B’C’) et (BC) sont parallèles.

Donc on obtient l’égalité : BB ' BA  CC ' CA B B' L’égalité AB '  AB AC ' AC s’en déduit par complément à 1.

C C' A

Théorème de Thalès : démonstration A  Il reste une égalité à prouver ou de

l’intérêt en géométrie d’introduire de nouveaux éléments

. B B' C C'

Théorème de Thalès : démonstration Il suffit d’appliquer ce qui vient d’être prouvé dans le triangle ABC avec la sécante (C’C’’) parallèle à (AB).

AC '  AC BC "  BC B ' C ' BC B B' C" C C' A

Le théorème des milieux  Soit un triangle ABC, B’ le milieu du segment [AC] et C’ un point du segment [AB].

Si la droite (B’C’) est parallèle à la droite (BC) alors le point C’ est le milieu du segment [AB].

Le théorème des milieux : démonstration    B’ est le milieu du segment [AC].

Donc aire(C’AB’)=aire(C’B’C).

aire(C’B’C)=aire(C’B’B) car (B’C’)//(BC).

Par conséquent, aire(C’AB’)=aire(C’B’B).

 On en déduit que le point C’ est le milieu du segment [AB].

Concourance des médianes d’un triangle  Il suffit d’appliquer le lemme du chevron.

aire(AMB)=aire(AMC) car M est sur [AA’].

aire(AMB)=aire(BMC) car M est sur [BB’].

Donc aire(AMC)=aire(BMC).

On en déduit par une nouvelle application du lemme du chevron que la droite (MC) coupe le segment [AB] en son milieu.

Références      Aires et volumes : découpage et recollement. Daniel Perrin.

Mathématiques d’école. Daniel Perrin. Éditions Cassini.

Démontrer par les aires. André Laur. Bulletin vert de l’APMEP, n° 463 de mars-avril 2006.

Les aires comme outil géométrique. Jean-Marie Bouscasse. Les revues pédagogiques de la Mission Laïque Française. Activités mathématiques et scientifiques (janvier 1999). Initiation au raisonnement déductif au collège. IREM de Lyon.