Transcript Fiche d`inscription Vide-grenier rue des Bruyères du 19 avril

TS. Corrigé du Bac blanc du 15 /042014
Exercice 1 (réservé aux élèves ne suivant pas la spécialité Mathématiques) : 6 points
On considère la fonction f définie sur ℝ par : f ( x ) = ( x + 2 ) e− x .
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
1. Étude de la fonction f.
a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C avec les axes du repère.
−x
• f ( x ) = 0 ⇔ ( x + 2 ) e = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = −2
( car e
−x
)
> 0, pour tout x .
La courbe représentative C de la fonction f coupe l’axe des abscisses en un seul point de coordonnées ( −2 ; 0 ) .
• f ( 0 ) = 2e0 = 2 : la courbe C coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées ( 0 ; 2 ) .
b. Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞ . En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe C.
−x
X
• lim ( x + 2 ) = +∞ et lim e = lim e = 0 : F.I. ∞ × 0 . On décompose :
x→+∞
x→+∞
(
X →−∞
)
x
 x 2 
lim ( x + 2 ) e− x = lim xe− x + 2e− x = lim  x + x  = 0 , puisque lim x = 0 par c.c, et lim e x = +∞ .
x→+∞
x→+∞  e
→+∞
x
x→+∞
e 
e
La droite d’équation y = 0 (axe des abscisses) est une asymptote à la courbe C au voisinage de +∞ .
x→+∞
−x
X
−x
• lim ( x + 2 ) = −∞ et lim e = lim e = +∞ , donc lim ( x + 2 ) e = −∞ .
x→−∞
x→−∞
X →+∞
x→−∞
c. Étudier les variations de f sur ℝ .
f est dérivable sur ℝ comme produit de deux fonctions dérivables x ֏ x + 2 et x ֏ e− x , et
f ' ( x ) = e − x − ( x + 2 ) e− x = − ( x + 1 ) e− x .
e− x > 0, pour tout réel x ; donc f ' ( x ) a le même signe que − x − 1 , pour tout réel x .
x
−∞
–1
+∞
+
0
–
f'
f
f ( −1 ) = e est le maximum de f sur ℝ .
2. Calcul d’une valeur approchée de l’aire sous une courbe.
On note D le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation x = 0 et x = 1. On
approche l’aire A du domaine D en calculant une somme d’aires de rectangles.
a. Dans cette question, on découpe l’intervalle [ 0 ;1 ] en quatre intervalles de même longueur :
Variables
Initialisation
Traitement
k est un nombre entier ; S et T sont des nombres réels.
Affecter à S la valeur 0.
Affecter à T la valeur 0.
Pour k variant de 0 à 3
Affecter à S la valeur S +
1 k 
f 
4 4
Affecter à T la valeur T +
1
4
 k +1 
f

 4 
Fin Pour
Affecter la valeur
Sortie
Afficher S
Afficher T
Afficher M
S +T
à la variable M
2
Donner une valeur approchée à 10
−3
près de chacun des résultats affichés par cet algorithme.
La calculatrice affiche : S = 1, 418 et T = 1, 642 et M=1,528.
1
1
 k −1 
 k −1 k 
×f
;  d’amplitude et
 mesure l’aire (en u.a.) du rectangle « inférieur » rk , de base l’intervalle 
n
n
 n 
 n n
 k −1 
de hauteur f 
.
 n 
1
k
 k −1 k 
k
• × f   mesure l’aire du rectangle « supérieur » Rk , de base 
;  et de hauteur f   .
n
n
 n n
n
k −1
k
• Notons Dk l’aire du domaine limité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x =
et x = .
n
n
Sn et Tn sont donc respectivement, la somme des aires des rectangles inférieurs et la somme des aires des rectangles
supérieurs ainsi construits.
Pour tout entier naturel n non nul, et tout entier k , 1 ≤ k ≤ n : Aire ( rk ) ≤ Aire ( Dk ) ≤ Aire ( Rk ) .
b. •
En sommant :
D’où : Tn ≤
n
n
n
k =1
k =1
k =1
∑ Aire ( rk ) ≤ ∑ Aire ( Dk ) ≤ ∑ Aire ( Rk ) , pour tout n ∈ ℕ* .
A
≤ Sn , pour tout n ∈ ℕ* .
c. Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires des n rectangles « supérieurs » et la
somme des aires des n rectangles « inférieurs » ainsi construits.
Donner alors, à 10−5 près, la valeur de M affichée par la calculatrice pour n = 50 .
Variables
Initialisation
k et n sont des nombres entier ; S et T sont des nombres réels.
Saisir n
Affecter à S la valeur 0.
Affecter à T la valeur 0.
S +T
à la variable M.
2
Pour k variant de 0 à n
Affecter la valeur
Traitement
Sortie
Affecter à S la valeur S +
1  k −1 
f

n  n 
Affecter à T la valeur T +
1
4
 k +1 
f

 4 
Fin Pour
Afficher S
Afficher T
Afficher M
Pour n = 50 , la calculatrice affiche : S = 1,519527427 , T = 1,528491044 et M = 1,528491044 .
On a donc M =≃ 1,52849 à 10−5 près par défaut.
3. Calcul de la valeur exacte de l’aire sous une courbe.
Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x ) = ( − x − 3 ) e− x .
a. Montrer que g est une primitive de la fonction f sur ℝ .
g est dérivable sur ℝ comme produit de deux fonctions dérivables x ֏ − x − 3 et x ֏ e− x , et
g ' ( x ) = −e− x − ( − x − 3 ) e− x = ( x + 2 ) e− x = f ( x ) .
Donc g est une primitive de la fonction f sur ℝ .
b. Calculer l’aire A du domaine D, exprimée en unités d’aire.
f étant continue et positive sur l’intervalle [ 0 ;1 ] , l’aire A, en unités d’aire, du domaine D compris entre l’axe des
∫ f ( x ) dx . g étant une primitive de f sur ℝ :
−6
= − ( 4e − 3e ) = 3 − 4e ≃ 1,528482 à 10 près par
abscisses, la courbe C et les droites d’équation x = 0 et x = 1, est
A
=
∫ f ( x ) dx =  g ( x )
1
1
0
1
= ( − x − 3 ) e − x  = − ( x + 3 ) e − x 
0
0
1
1
1
0
−1
0
−1
défaut.
c. Donner une valeur approchée près de l’erreur commise en remplaçant A par la moyenne m des nombres S et T
trouvés au moyen de l’algorithme de la question 2.c, c’est à dire l’écart entre ces deux valeurs.
A l’aide de la calculatrice :
−6
M – A = 1,528491044 − (3 − 4e −1 ) ≃ 0,000009 à 10 près.
Exercice 2 : 5 points
L’usine A produit 400 unités par mois et l’usine B en produit 600.
Le fabricant a fait réaliser un test de conformité, dans les mêmes conditions, dans les deux usines sur une très grande
quantité de tondeuses fabriquées.
Une tondeuse est déclarée conforme si le test est positif.
Dans l’usine A, le test est positif dans 90% des cas.
Dans l’usine B, le test est positif dans 95% des cas.
Une tondeuse conforme est vendue 250 euros, sinon, elle est bradée à un sous-traitant pour 100 euros.
Partie A
On prélève, au hasard, une tondeuse produite par ce fabricant.
On note A, l’évènement : « La tondeuse est produite dans l’usine A ».
On note C, l’évènement : « La tondeuse est conforme ».
1. Al’aide des données de l’énoncé, construire l’arbre pondéré illustrant la situation.
Traduction des données :
400
600
P ( A) =
= 0, 4 ; P ( B ) = P ( A ) =
= 0, 6
1000
1000
PA ( C ) = 0,9 et PB ( C ) = 0,95 .
2. Calculer P ( A ∩ C ) , puis P ( A ∩ C ) .
P ( A ∩ C ) = PA ( C ) × P ( A ) = 0,9 × 0, 4 = 0,36 et P ( A ∩ C ) = PA ( C ) × P ( A ) = PB ( C ) × P ( B ) = 0,95 × 0, 6 = 0,57
3. En déduire la probabilité que la tondeuse soit conforme.
Les événements A ∩ C et A ∩ C formant une partition de l’événement C :
P ( C ) = P ( A ∩ C ) ∪ ( A ∩ C )  = P ( A ∩ C ) + P ( A ∩ C ) = 0,36 + 0,57 = 0,93 .
Partie B
On admet que chaque tondeuse qui sort des usines a une probabilité de 7% d’être non conforme. On note X la
variable aléatoire égale au nombre de tondeuses conformes dans un lot de 250 prises au hasard dans le stock. On
suppose le nombre de tondeuses fabriquées suffisamment grand pour assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Le prélèvement des 250 tondeuses étant assimilé à un tirage avec remise, ce prélèvement peut donc être assimilé à une
répétition de 250 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec pour chacune de ces épreuves (choix d’une
tondeuse) :
Succès S : S = C , donc p = P ( S ) = P ( C ) = 0,93 .
Echec E : E = S ; P ( E ) = P ( S ) = 1 − p = 0,07 .
X désigne donc le nombre de succès obtenus à l’issue de 250 épreuves, et par suite X suit la loi binomiale de
paramètres n = 250 et p = 0,93 .
 250 
k
250− k
Pour tout entier 0 ≤ k ≤ 250 , P ( X = k ) = 
.
 × ( 0,93) × ( 0,07 )
k 
2. Calculer la probabilité de l’évènement E : « exactement 240 tondeuses sont conformes ».
 250 
240
10
−3
P ( X = 240 ) = 
 × ( 0,93) × ( 0,07 ) ≃ 0,017 à 10 près.
 240 
3. Calculer l’espérance mathématique de X. Interpréter ce résultat.
Pour une V.A qui suit une loi binomiale B ( n, p ) , l’espérance mathématique est E ( X ) = np .
Ici E ( X ) = 250 × 0,93 = 232,5 , ce qui représente le nombre moyen de tondeuses conformes sur un lot de 250 unités.
4. On note Y la variable aléatoire qui donne le bénéfice réalisé sur un lot de 250 tondeuses.
a. Montrer que Y = 150X −15000.
Si une tondeuse est conforme, le gain réalisé par sa vente est (en €) : 250– 160 = 90.
Si une tondeuse n’est pas conforme, le gain algébrique réalisé par sa vente bradée est : 100– 160 = – 60.
X désignant le nombre de tondeuses conformes dans un lot de 250 (et donc 250 – X désigne le nombre de tondeuses
non conformes sur ce lot), le gain algébrique réalisé par la vente de 250 tondeuses est :
Y = 90 X − 60 ( 250 − X ) = 90 X − 15000 + 60 X = 150 X − 15000
b. Calculer l’espérance mathématique de Y. Interpréter le résultat obtenu.
L’espérance mathématique de Y est :
E ( Y ) = E (150 X + 15000 ) = 150 E ( X ) + 15000 = 150  E ( X ) + 100  = 150 ( 232,5 + 100 ) = 150 × 332,5 = 49875 .
Le gain moyen que l’entreprise peut espérer sur la vente d’un lot de 250 tondeuses est donc de 49875 euros.
Partie C
On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire X par la loi normale de moyenne m = 232,5 et d’écart type σ =
4. On note Z la variable aléatoire suivant cette loi normale.
1. Vérifier que les conditions de cette approximation sont bien remplies et justifier le choix des valeurs de m et de σ
X suit la loi binomiale de paramètres n = 250 et p = 0,93 .
np = 250 × 0,93 = 232,5 et n (1 − p ) = 250 × 0,07 = 17,5 .
n ≥ 30 , np ≥ 5 et n (1 − p ) ≥ 5 . On peut donc approcher la loi de X par la loi normale de même espérance m = np =
232,5 et de même écart-type
np (1 − p ) = 232.5 × 0,07 ≃ 4,03 à 10 . Les conditions d’application du théorème de
−2
Moivre-Laplace sont réunies : on peut donc approcher la loi de la variable aléatoire X par la loi normale de moyenne
m = 232,5 et d’écart type σ = 4.
2. Déterminer la probabilité que le nombre de tondeuses conformes de ce lot de 250 soit au moins égal à 240.
Soit Z une variable aléatoire suivant la loi normale N ( m ; σ ² ) où m = 232,5 et σ = 4.
La probabilité que le nombre de tondeuses conformes de ce lot de 250 soit au moins égal à 240 est :
P ( X ≥ 240 ) ≃ P ( Z ≥ 240 ) .
Or ( Z ≥ 232,5) = ( 232,5 ≤ Z ≤ 240 ) ∪ ( Z ≥ 240 ) qui est une réunion de deux événements incompatibles. Alors
P ( Z ≥ 232,5) = P ( 232,5 ≤ Z ≤ 240 ) + P ( Z ≥ 240 ) .
Par symétrie de la courbe représentative de la fonction densité de la loi normale N ( 232,5 ; 4² ) : P ( Z ≥ 232,5) = 0,5 .
−3
Alors, P ( Z ≥ 240 ) = P ( Z ≥ 232,5) − P ( 232,5 ≤ Z ≤ 240 ) = 0,5 − P ( 232,5 ≤ Z ≤ 240 ) ≃ 0, 470 à 10 près à l’aide de
la calculatrice.
3. Déterminer la probabilité de l’évènement E : « le nombre de tondeuses conformes est compris entre 225 et 245».
−3
A l’aide de la calculatrice: P ( E ) = P ( 225 ≤ X ≤ 245) ≃ P ( 225 ≤ Z ≤ 245) ≃ 0,969 10 près.
Exercice 3 : 4 points
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Les réponses doivent être soigneusement justifiées. Les quatre questions sont indépendantes.
Une réponse correcte bien justifiée rapporte un point. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O; u , v ) .
Affirmation 1 : (−1 − √3)
est un réel positif.
 1

3
 2π
C’est VRAI . On commence par écrire : −1 − i 3 = 2  − − i
 = 2  cos  −
 2
2
 3



exponentielle).
(
Ainsi, −1 − i 3
)
2013
 −i 2π
=  2e 3






2013
=2
2013
 − i 2π
×  2e 3






2013
= 22013 × e
−i
4026π
3
.
−i

 2π  
 + i sin  −
  = 2e

 3 
2π
3
(forme
Or,
(
4026
= 1342 . Donc, −1 − i 3
3
(
Bref, −1 − i 3
)
2013
)
2013
= 22013 × e − i×1342π = 22013 car 1342π ≡ 0
(
= 22013 × e − i×1342π = 22013 et donc −1 − i 3
)
2013
[ 2π ] .
est un réel positif.
π
Affirmation 2 : Si A, B, C sont trois points distincts d’affixes respectives a, b, c telles que
( AB , AC ) = π4 [2π ] .
i
b−a
= e 4 , alors
c−a
 i π4 
π
c−a
c−a
b−a
C’est FAUX car : AB , AC = arg 
,
donc
AB
,
AC
=
arg
=
−
arg
=
−
arg
e  = − .





b
−
a
b
−
a
c
−
a
4








Dans les affirmations 3 et 4, désigne la transformation qui, à tout point M d’affixe z ≠ −2 associe le point M '
z −i
d’affixe z ' tel que z ' =
.
z+2
1 1
Affirmation 3:
i
′ = − , alors z = − i .
2 2
C’est VRAI .
−i (1 − i )
z −i
−i
1− i 1 i
z ' = −i ⇔
= −i ⇔ z − i = −i ( z + 2 ) ⇔ z + iz = −i ⇔ z =
=
=
= −
z+2
1 + i (1 + i )(1 − i )
2
2 2
Affirmation 4 : L’ensemble des points M tels que OM’ = 1 est une droite.
z−i
OM ' = 1 ⇔ z ' = 1 ⇔
= 1 ⇔ z − i = z + 2 ⇔ AM = BM où l’affixe de A est i et l’affixe de B est -2.
z+2
Ainsi, l’ensemble des points cherché est l’ensemble des points équidistants de A et de B, c’est la médiatrice du
segment [ AB ] .
Exercice 4 : 5 points
2
2t + 3 nt
n est un entier naturel non nul. On considère la suite (un) définie par : un = ∫
e dt .
t+2
0
2t + 3
1- a) Soit la fonction ϕ définie sur [ 0 ;2 ] par ϕ (t ) =
. Etudier les variations de ϕ sur [ 0 ;2 ] . En déduire que,
t+2
3
7
pour tout réel t dans [ 0 ;2 ] : ≤ ϕ (t ) ≤ .
2
4
2 ( t + 2 ) − ( 2t + 3)
1
Pour tout t dans [ 0 ;2 ] , ϕ '(t ) =
.
=
2
2
(t + 2)
(t + 2)
(
(
)
)
ϕ ' > 0 sur [ 0 ; 2] , donc ϕ est strictement croissante sur [ 0 ; 2] .
On en déduit que: pour tout t dans [ 0 ;2 ] , ϕ (0) ≤ ϕ (t ) ≤ ϕ (2) .
3
7
3
7
et ϕ (2) = ; donc ≤ ϕ (t ) ≤ , pour tout t dans [ 0 ;2 ] .
2
4
2
4
2
2
3
7
b) Par intégration en déduire que : n(e n − 1) ≤ un ≤ n(e n − 1) .
2
4
t
3
7
≤ ϕ (t ) ≤ , pour tout t dans [ 0 ;2 ] et e n > 0 pour tout t de [ 0 ; 2] et tout entier n non nul.
2
4
t
t
3
7 t
Alors e n ≤ ϕ ( t ) e n ≤ e n pour tout t de [ 0 ; 2] et tout entier n non nul.
2
4
t
t
t
23
2
27
Par croissance de l’intégrale : pour tout entier n non nul, ∫ e n dt ≤ ∫ ϕ ( t )e n dt ≤ ∫ e n dt .
0 2
0
0 4
t
t
t
t
t
23
2
27
3 2
7 2
∫0 2e n dt ≤ ∫0 ϕ ( t )e n dt ≤ ∫0 4e n dt ⇔ 2 ∫0 e n dt ≤ un ≤ 4 ∫0 e n dt .
Or ϕ (0) =
∫
2
0
t
n
e dt = n ∫
2
0
2
2
2
t
2 t 
 t
 2

3
7
1 nt
e dt = n ∫   e n dt = n  e n  = n  e n − 1 , donc n(e n − 1) ≤ un ≤ n(e n − 1) .
0 n
n
2
4
 
 0


'
eh − 1
7
= 1 , puis que, si (un) possède une limite L, alors 3 ≤ L ≤ .
h →0
h
2
c) Démontrer que lim
2
2
2
n 2
en −1
en −1
7 en −1
≤ un ≤
n(e − 1) = 2 × (e n − 1) = 2
. On a donc 3
, pour tout n ∈ ℕ* .
2
2
2
2 2
n
n
n
2
n
2
2
eh − 1
en −1
lim = 0 et lim
= 1 , alors lim
=1.
n →+∞
n→+∞ n
h →0
2
h
n
2
2
en −1
7 en −1
≤ un ≤
Si ( un ) converge vers un réel L, en passant à la limite dans la double inégalité : 3
, l’ordre se
2
2 2
n
n
7
conservant, on a bien : 3 ≤ L ≤ .
2
2
2t + 3
2t + 3
1
2- a) Vérifier que, pour tout t dans [ 0 ; 2] , on a
. En déduire l’intégrale I = ∫
dt .
=2−
t+2
t+2
t+2
0
Pour tout t dans [ 0 ; 2] ,
2t + 3 2t + 4 − 1 2 ( t + 2 ) − 1
1
.
=
=
=2−
t+2
t+2
t+2
t+2
2
2
1 

I = ∫ 2 −
dt =  2t − ln ( t + 2 )  0 = 4 − ln 4 + ln 2 = 4 − ln 2
t +2
0
t
2
2
b) Montrer que, pour tout t dans [ 0 ; 2] , on a 1 ≤ e n ≤ e n .En déduire que I ≤ u n ≤ e n I .
La fonction exponentielle étant croissante sur [ 0 ; 2] , si 0 ≤ t ≤ 2 , alors 0 ≤
t
2
t
2
t 2
≤ , donc e0 ≤ e n ≤ e n , soit 1 ≤ e n ≤ e n
n n
pour tout n de ℕ* .
t
2
ϕ étant croissante sur [0 ; 2] , alors ϕ ( t ) ≤ ϕ ( t ) e n ≤ ϕ ( t ) e n pour tout t de [0 ; 2] et tout entier n non nul. Par
croissance de l’intégrale :
pour tout entier n non nul,
∫
2
0
t
2
ϕ ( t )dt ≤ ∫ ϕ ( t )e n dt ≤ ∫ ϕ ( t )e n dt , soit
2
2
0
0
∫
2
0
t
2
ϕ ( t )dt ≤ ∫ ϕ ( t )e n dt ≤ e n ∫ ϕ ( t )dt .
2
0
2
0
2
On a bien : I ≤ u n ≤ e n I , pour tout entier n non nul.
c) Montrer que (un) est convergente et déterminer sa limite L.
2
I ≤ u n ≤ e n I , pour tout entier n non nul.
t
t
I est une constante réelle et lim e n = 1 donc lim e n I = I . Par le théorème des gendarmes, lim un = I .
n →+∞
n →+∞
n →+∞