Transcript Wielościany foremne 1

Wielościany foremne
Zrobili prezentacje
Rafał Rus
Maciek Pawłowski
Łukasz Ligaj
3 AE
Istnieją tylko następujące
wielościany foremne:

Czworościan

Sześcian

Ośmiościan

Dwunastościan

Dwudziestościan
Czworościan (tetraedr)
4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi
Czworościan – ostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach.
Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan jest
trójwymiarowym sympleksem.Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami
równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba
odróżniać czworościan foremny od ostrosłupu trójkątnego foremnego (czyli
prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem
równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup
prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa
trójkątnego foremnego.
Sześcian (heksaedr)
6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi.
Sześcian (właściwie sześcian foremny, inaczej heksaedr) – wielościan foremny o
sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Posiada dwanaście krawędzi,
osiem wierzchołków i 4 przekątne. Ścinając odpowiednio wierzchołki sześcianu
otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie sześcian ścięty.Kąt między ścianami
sześcianu jest kątem prostym (tj. wynosi 90°). Kąt bryłowy przy jego wierzchołku
(tj. kąt trójścienny) wynosi π/2, zaś grupa symetrii sześcianu to Oh.Sześcian jest
także szczególnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego, hipersześcianu (w
przestrzeni trójwymiarowej), prostopadłościanu i romboedru.Formy sześcienne,
podobnie jak inne regularne kształty geometryczne, często występują w środowisku
naturalnym. Tak krystalizuje np. piryt.
Ośmiościan (oktaedr)
8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi.
Ośmiościan foremny (inaczej oktaedr) to wielościan foremny o 8 ścianach w kształcie
identycznych trójkątów równobocznych. Ma 12 krawędzi, 6 wierzchołków i 3
przekątne. Ścinając wierzchołki ośmiościanu otrzymujemy wielościan półforemny o
nazwie ośmiościan ścięty. Ośmiościan foremny jest także antygraniastosłupem.
Ośmiościan foremny ma cztery pary ścian do siebie równoległych.
Dwunastościan (dodekaedr)
12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi
Dwunastościan foremny (in. dodekaedr) to wielościan foremny o 12 ścianach w
kształcie przystających pięciokątów foremnych. Posiada 30 krawędzi i 20
wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan
półforemny o nazwie dwunastościan ścięty.
Dwudziestościan (ikosaedr)
20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi.
Dwudziestościan foremny (in. ikosaedr) to najbardziej złożony wielościan foremny o
20 ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych. Posiada 30
krawędzi i 12 wierzchołków oraz 15 płaszczyzn symetrii. Ścinając wierzchołki
dwudziestościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwudziestościan
ścięty. Symetria bryły jest opisana niekrystalografiaczną klasą m3(z kreską)5(z
kreską).
Dlaczego wielościanów foremnych nie
może być więcej niż pięć?
Suma wszystkich kątów płaskich kąta bryłowego musi być mniejsza od 360°. Z
trójkątów można zbudować trzy wielościany foremne, gdzie z jednego wierzchołka
mogą wychodzić:

3 krawędzie (60° × 3 = 180° < 360°)

4 krawędzie (60° × 4 = 240° < 360°)

5 krawędzi (60° × 5 = 300° < 360°).
Z kwadratów składać się może tylko jeden wielościan (3 × 90° = 270°). Z pięciokątów
foremnych składać się może również tylko jeden, gdyż kąt pięciokąta foremnego ma
miarę 108° (3 × 108° < 360°). Z sześciokątów, ani tym bardziej z wielokątów o
większej liczbie boków, wielościanu foremnego zbudować się nie da.
Trochę historii wielościanów foremnych
Wielościany foremne znali już Pitagorejczycy w VI w. p.n.e. i
pod postaciami sześcianu, ośmiościanu, czworościanu i
dwudziestościanu wyobrażali cztery żywioły: ziemię,
powietrze, ogień i wodę, a od czasów Platona uważano piąty
wielościan foremny, dwunastościan, za postać
wszechświata. Wielościany te noszą nazwę brył platońskich
Źródła

Http://www.math.edu.pl/wielosciany-foremne

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielościan_foremny

http://pl.wikipedia.org/wiki/Sześcian_(geometria)

http://pl.wikipedia.org/wiki/Czworościan

http://pl.wikipedia.org/wiki/Ośmiościan_foremny

http://pl.wikipedia.org/wiki/Dwunastościan_foremny

http://pl.wikipedia.org/wiki/Dwudziestościan_foremny