Transcript Wielościany gwiazdziste 1

Aleksandra Czypionka
Dominika Koczor
Kamil Szajt
Wielościan gwiaździsty - rodzaj
wielościanu zbudowanego z kilku
innych wielościanów, o części
centralnej wspólnej, zgodnie z budową
dwuwymiarowych odpowiedników tj.
wielokątów gwiaździstych.
*Wielościany gwiaździste mogą zostać
wpisane w otoczkę wypukłą będącą
zawsze wielościanem foremnym.
Częścią wspólną tych brył są
wielościany dowolne.
Wyróżniamy dwa rodzaje wielościanów
:
•Wielościany gwiaździste foremne
•Wielościany gwiaździste dwuforemne
Wielościany gwiaździste foremne
Wielościan
Otoczka
wypukła
Część
wspólna
Sześcian
Ośmiościan
foremny
Gwiazda z pięciu
czworościanów
Dwunastościan
foremny
Dwudziestościan
foremny
Gwiazda z
dziesięciu
czworościanów
Dwunastościan
foremny
Dwudziestościan
foremny
Gwiazda z pięciu
sześcianów
Dwunastościan
foremny
Dwudziestościan
foremny
Gwiazda z pięciu
ośmiościanów
foremnych
Dwunastodwudziestościan
foremny
Dwudziestościan
foremny
Gwiazda z dwóch
czworościanów
(Stella octangula)
Rysunek
Wielościany gwiaździste dwu-foremne
Wielościan
Otoczka
wypukła
Część wspólna
Gwiazda z dwóch
czworościanów
(Stella octangula)
Sześcian
Ośmiościan foremny
Gwiazda z sześcianu i
ośmiościanu foremnego
Dwunastościan
rombowy
Sześcio-ośmiościan
Gwiazda z dwunastościanu
foremnego i
dwudziestościanu foremnego
Dwunastodwudziestościan
rombowy
Dwunastodwudziestościan
foremny
Gwiazda z wielkiego
dwudziestościanu foremnego
i stellowanego
dwunastościanu foremnego
Dwunastościan
foremny
Dwudziestościan
foremny
Mały stellowany
dwunastościan
foremny
Dwudziestościan
foremny
Dwunastościan
foremny
Siatki wielościanów Keplera-Poinsota
Ściany wielościanów Keplera-Poinsota przenikają się wzajemnie i dlatego też
należy poświęcić kilka zdań na omówienie sposobu konstrukcji ich zewnętrznych
elementów. W przypadku dwunastościanu gwiaździstego małego (rys. 1) i
dwunastościanu gwiaździstego wielkiego (rys. 2) sprawa jest prosta. Ich
ścianami są pentagramy, z których na zewnątrz widoczne są tylko ramiona (rys.
3).
rys.1
rys.2
rys.3
Również nietrudno jest skonstruować ścianę dwunastościanu
cd. wielkiego (rys. 4). Jest to pięciokąt foremny, z którego na zewnątrz
widocznych jest pięć trójkątów równoramiennych (rys. 5).
rys.4
rys.5
Nieco trudniej skonstruować ścianę dwudziestościanu wielkiego (rys. 6). Kluczem
do konstrukcji jest złoty podział. Punkty P oraz Q dzielą krawędź AB w ten
sposób, że
AB/AQ=AQ/AP=(1+√5)/2 ≈ 1,618.
Podobnie podzielone są krawędzie BC i AC (rys. 7).
rys.6
rys.7
Po skonstruowaniu zewnętrznych elementów ścian pozostaje jeszcze takie ich
połączenie, aby otrzymany model był odpowiednio sztywny. Kliknięcie w
odpowiedni link otwiera w nowym oknie element siatki danego wielościanu
Keplera-Poinsota
Najpopularniejszym wielościanem
gwaiździstym jest Stella octangula
Stella octangula – (in. gwiazda ośmioramienna,
ośmiościan gwiaździsty, gwiazda z
czworościanów) wielościan gwiaździsty
skonstruowany poprzez nałożenie na siebie
dwóch przystających czworościanów foremnych
lub stellację ośmiościanu foremnego. Jak każda
stellacja, jest trójwymiarowym odpowiednikiem
gwiazdy Dawida. Analogia jest w tym wypadku
pogłębiona przez to, że tak jak gwiazda Dawida
jest sumą dwóch trójkątów równobocznych
symetrycznych względem wspólnego środka,
stella octangula jest sumą dwóch czworościanów
foremnych symetrycznych względem wspólnego
środka. Można go sobie wyobrażać jako
ośmiościan foremny z doklejonymi do jego ścian
czworościanami foremnymi. Posiada 36 krawędzi,
14 wierzchołków i 24 ściany będące trójkątami
Gdzie oznacza długość krawędzi ściany tej bryły.
równobocznymi. W pewnym sensie spełnia
Polem całkowitym stella octangula jest suma 24
pól powierzchni trójkątów równobocznych,
kryteria wielościanu foremnego, z wyjątkiem
które stanowią czwartą część ściany jednego
wymogu wypukłości.
czworościanu foremnego stellonego.
HISTORIA WIELOŚCIANÓW GWIAŹDZISTYCH
Zanim pojawiły się wielościany gwiaździste, wcześniej pojawiły się gwiaździste
wielokąty. Jeden z nich -
pentagram znany był już w Starożytności. Takie
pięciokąty malował już w VII p.n.e. Aristophonus. Szczególnie pentagram miał
w
wielu kulturach i zawodach symboliczny i mistyczny charakter. Był używany jako
symbol rozpoznawczy, talizman w alchemii, astrologii i magii. Złoty podział
związany z tym wielokątem był już znany w Grecji. Później wspominał o nim w XV
wieku Pacioli.
Luca Pacioli dodał do ośmiościanu foremnego ostrosłupy budując wielościan, który
potem Kepler utworzył jako kompozycje dwóch czworościanów i nazwał
stella
octangula.
W Średniowieczu wielokąty gwiaździste studiował wybitny angielski matematyk i
teolog, biskup Thomas Bradwardina (1290-1349). Później badał je również
Charles de Boulles (1470-1533).
Najwięcej jednak badań wielościanom gwiaździstym poświęcił
Johannes Kepler. On
też wielokąty foremne zdefiniował jako figury, których boki są wszystkie równej
długości i których kąty są równe. Rozważał dwa rodzaje wielokątów – proste,
których boki nie przecinają się i inne, które ogólnie nazywał wielokątami
gwiaździstymi (ze względu na podobieństwo do gwiazdy).
cd.
cd.
W 1809 roku Luis Poinsot rozważa gwiazdę figur wierzchołkowych jako
gwiaździstą ścianę. Odkrywa pozostałe wielościany gwiaździste :wielki
dwunastościan i wielki dwudziestościan.
W 1858 roku Bertrand wyprowadza foremny wielościan gwiaździsty przez
stożkowanie dwudziestościanu i dwunastościanu. Używa on przy tym terminu
gwiaździsty.
W 1859 roku Cayley modyfikuje wzór Eulera dla wielościanów z "dziurami" i
"wgłębieniami" i nadaje czterem foremnym wielościanom gwiaździstym nazwę
"étoilé" jako "stellated".
Ok 1920 roku J.C.P. Miller proponuje pięć reguł (prawdopodobnie za Coxeterem),
według których stelacje wielościanu miały by być rozważane w sposób znaczący i
odmienny. One są osadzone na Wheelerowskich rozważaniach tylko widocznych
obszarów i odwołują się do tradycyjnego keplerowskiego rozumienia stelacji.