Transcript pobierz wersje *

Bryły
archimedesowskie
i platońskie
Beata Małyszko
Dorota Mierzwa
Kasia Olender
Bryły archimedesowskie
Wielościan archimedesowski (albo półforemny) - wielościan,
którego ściany są wielokątami foremnymi, a w każdym
wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian, jednak
poszczególne ściany różnią się od siebie.
Gdyby ściany były przystającymi wielokątami foremnymi
wielościan nazwalibyśmy foremnym (platońskim).
Istnieje 13 wielościanów półforemnych (15 jeśli liczyć odbicia
lustrzane dwóch spośród nich) oraz dwie nieskończone serie. Są
to: wielościany powstające przez ścięcie wierzchołków
wielościanów foremnych
Czworościan ścięty
Czworościan ścięty to wielościan półforemny o 8
ścianach w kształcie czterech trójkątów
równobocznych i czterech sześciokątów
foremnych. Posiada 18 krawędzi i 12
wierzchołków. Czworościan ścięty można
uzyskać przez ścięcie wierzchołków
czworościanu foremnego.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość:
Sześcian ścięty
i
Sześcian ścięty to wielościan półforemny o 14
ścianach w kształcie 8 trójkątów równobocznych
6 ośmiokątów foremnych. Posiada 36 krawędzi i
24 wierzchołki. Sześcian ścięty można uzyskać
przez ścięcie wierzchołków zwykłego sześcianu.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość:
Ośmiościan ścięty
Ośmiościan ścięty to wielościan półforemny
o 14 ścianach w kształcie 6 kwadratów i 8
sześciokątów foremnych. Posiada 36
krawędzi i 24 wierzchołki. Ośmiościan
ścięty można uzyskać przez ścięcie
wierzchołków zwykłego ośmiościanu.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość:
Dwunastościan ścięty
Dwunastościan ścięty to wielościan półforemny
o 32 ścianach w kształcie 12 dziesięciokątów
foremnych i 20 trójkątów równobocznych.
Posiada 90 krawędzi i 60 wierzchołki.
Dwunastościan ścięty można uzyskać przez
ścięcie wierzchołków zwykłego dwunastościanu
foremnego.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość:
Dwudziestościan ścięty
Dwudziestościan ścięty to wielościan
półforemny o 32 ścianach w kształcie 20
sześciokątów foremnych i 12 pięciokątów
foremnych. Posiada 90 krawędzi i 60
wierzchołków. Dwudziestościan ścięty można
uzyskać przez ścięcie wierzchołków zwykłego
dwudziestościanu foremnego.
Kształt ten jest używany przy produkcji piłki nożnej, choć
oczywiście zamiast płaskich ścian ma ona boki zaokrąglone.
Taką strukturę ma też cząsteczka fullerenu złożona z 60
atomów węgla. Piłka nożna ma średnicę ok. 22 cm,
wspomniana cząsteczka ok. 1 nm (stosunek 200000000:1), tak
więc kształt ten występuje zarówno w mikro- jak i makroskali.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość:
Sześcio-ośmiościan
Bryła ta posiada:
12 wierzchołków,
24 krawędzie,
14 ścian
(8 trójkątów równobocznych,
6 kwadratów).
Wierzchołki o charakterystyce
(3, 4, 3, 4).
Sześcio-ośmiościan rombowy
wielki
Bryła ta posiada:
120 wierzchołków,
180 krawędzi,
62 ściany
(30 kwadratów,
20 sześciokątów foremnych,
12 dziesięciokątów foremnych).
Wierzchołki o charakterystyce
( 4, 10, 6 ).
Sześcio-ośmiościan rombowy
mały
Bryła ta posiada:
24 wierzchołki,
48 krawędzi
26 ścian
(8 trójkątów równobocznych,
18 kwadratów).
Wierzchołki o charakterystyce
( 3, 4, 4, 4 ).
Dwunasto-dwudziestościan
Bryła ta posiada:
30 wierzchołków,
60 krawędzi,
32 ściany
(20 trójkątów równobocznych,
12 pięciokątów foremnych).
Wierzchołki o charakterystyce (3,5,3,5).
Dwunasto-dwudziestościan
rombowy wielki
Bryła ta posiada:
120 wierzchołków,
180 krawędzi,
62 ściany
(30 kwadratów,
20 sześciokątów foremnych,
12 dziesięciokątów foremnych).
Wierzchołki o charakterystyce
(4, 10, 6).
Dwunasto-dwudziestościan
rombowy mały
Bryła ta posiada:
60 wierzchołków,
120 krawędzi,
62 ściany
(20 trójkątów równobocznych,
30 kwadratów,
12 pięciokątów foremnych).
Wierzchołki o charakterystyce
(3, 4, 5,4)
Sześcian przycięty
Bryła ta posiada:
24 wierzchołki,
60 krawędzi,
38 ścian
(32 trójkąty równoboczne,
6 kwadratów).
Wierzchołki o charakterystyce
( 3, 3, 3, 3, 4 ).
Dwunastościan przycięty
Bryła ta posiada :
60 wierzchołków,
150 krawędzi,
92 ściany
(80 trójkątów równobocznych,
12 pięciokątów foremnych),
Wierzchołki o charakterystyce
(3, 3, 3, 3, 5).
Nieskończona seria
graniastosłupów
archimedesowych
Graniastosłupy archimedesowe, to graniastosłupy,
których ściany boczne są kwadratami, a w podstawach
są wielokąty foremne. Takich brył jest nieskończenie
wiele ponieważ graniastosłupy mogą mieć w
podstawach różne wielokąty foremne. Graniastosłupy są
jedną z dwóch nieskończonych serii wielościanów
archimedesowych. W każdym wierzchołku
graniastosłupa schodzą się 2 kwadraty i wielokąt
foremny.
Nieskończona seria
antygraniastosłupów
Antygraniastosłup powstaje poprzez obrócenie jednej z
podstaw graniastosłupa o połowę kąta środkowego jego
podstawy. Ściany boczne antygraniastosłupów są
trójkątami równobocznymi. Jest to druga nieskończona
seria brył półforemnych ponieważ antygraniastosłupy
mogą mieć w podstawach dowolne wielokąty foremne.
W każdym wierzchołku antygraniastosłupa schodzą się 3
trójkąty równoboczne i wielokąt foremny.
Bryły platońskie
Wielościany foremne inaczej nazywamy bryłami platońskimi.
Dlaczego bryłami platońskimi? To właśnie Platon wyobrażał sobie,
że wszechświat tworzą cztery elementy: ogień, ziemia, woda i
powietrze, a każda z tych żywiołów zbudowany jest z cząsteczek,
które mają kształt wielościanów foremnych. (Na przykład według
niego cząsteczki ognia mają kształt czworościanów itd):
czworościan symbolizował ogień,
sześcian symbolizował ziemię,
ośmiościan symbolizował powietrze,
dwudziestościan symbolizował wodę,
dwunastościan miał symbolizować eter.
Czworościan foremny
Czworościan foremny (łac. tetraedr) to wielościan
foremny o czterech ścianach w kształcie
identycznych trójkątów równobocznych. Jest
szczególnym przypadkiem czworościanu.
Posiada
6 krawędzi i 4 wierzchołki.
Czworościan foremny
stanowi trójwymiarowy
simpleks. Ścinając wierzchołki czworościanu uzyskujemy wielościan
półforemny o nazwie czworościan ścięty.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość:
Sześcian foremny
Sześcian (właściwie sześcian foremny, in.
heksaedr) to wielościan foremny o sześciu bokach
w kształcie identycznych kwadratów. Posiada 12
krawędzi i 8 wierzchołków. Ścinając wierzchołki
sześcianu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie
sześcian ścięty.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość:
V = a3
Ośmiościan foremny
Ośmiościan foremny (in. oktaedr) to wielościan foremny
o 8 ścianach w kształcie identycznych trójkątów
równobocznych. Posiada 12 krawędzi i 6 wierzchołków.
Ścinając wierzchołki ośmiościanu otrzymujemy
wielościan półforemny o nazwie ośmiościan ścięty.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość:
Dwunastościan foremny
Dwunastościan foremny (in. dodekaedr) to
wielościan foremny o 12 ścianach w kształcie
identycznych pięciokątów foremnych. Posiada 30
krawędzi i 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki
dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny
o nazwie dwunastościan ścięty.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość:
Dwudziestościan foremny
Dwudziestościan foremny (in. ikosaedr) to najbardziej
złożony wielościan foremny o 20 ścianach w kształcie
identycznych trójkątów równobocznych. Posiada 30
krawędzi i 12 wierzchołków. Ścinając wierzchołki
dwudziestościanu otrzymujemy wielościan półforemny
o nazwie dwudziestościan ścięty.
Pole powierzchni całkowitej:
Objętość: