DMBO

Branch and bound

Uwagi na temat PCL

• • Czy wystarczy zaokrąglić rozwiązanie problemu liniowego, aby uzyskać rozwiązanie problemu całkowitoliczbowego?

Modelowanie warunków logicznych i sprowadzanie ich do ograniczeń liniowych: – Koniunkcja (proste) – Alternatywa – Implikacja – Warunki logiczne dla zmiennych binarnych • Implikacja • Alternatywa • Alterntywa rozłączna – Koszty stałe w modelowaniu

Modelowanie funkcji liniowej na przedziałach

Modelowanie funkcji liniowej na przedziałach

• Wprowadzamy zmienne binarne • Przekształcamy ograniczenia gdzie w 1 i w 2 są binarne

• A)

Modelowanie funkcji liniowej na przedziałach

• B) • C)

Rozwiązywanie zadań programowania całkowitoliczbowego: wyliczenie możliwości

An Enumeration Tree Original problem x 1 = 0 x 1 = 1 x 2 = 0 x 2 = 1 x 2 = 0 x 2 = 1 x 3 = 0 x 3 = 1 x 3 = 0 x 3 = 1 x 3 = 0 x 3 = 1 x 3 = 0 x 3 = 1 17

We then consider two possibilities for x3. Either x3 = 0 or x3 = 1. We and make two branches off of nodes 4, 5, 6 and 7 of the tree. We then consider two possibilities for x4 and make branches. And we consider two possibilities for x5 and make branches. Finally, we consider two possibilities for x6 and make branches. At the end, we have 64 leaves of the tree (the nodes at the bottom), each corresponding to a complete assignment of variables. We can then evaluate all of these solutions, and choose the best one.

Algorytm Branch and bound

• Dany jest następujący problem optymalizacji całkowito liczbowej:

Rozwiązujemy problem w wersji ciągłej (z liczbami rzeczywistymi)

Dzielimy na dwa podproblemy wykluczając rozwiązania niedopuszczalne

Dwa podproblemy również rozwiązujemy w liczbach rzeczywistych

Kolejno rozbijamy na problemy z coraz mniejszym zbiorem dopuszczalnym

L 3 ignorujemy, bo jest niedopuszczalne

Kontynuujemy aż otrzymamy rozwiązanie całkowitoliczbowe • Możemy przerwać procedurę przy L 5 , jeśli chcemy być w 10% od minimum

• • • Nawet, gdybyśmy nie znaleźli rozwiązania całkowitego w L pierwszym razem, a 2 za dostalibyśmy rozwiązanie o funkcji celu nie większej niż 40 (dotychczasowe rozwiązanie z L 6 ), moglibyśmy przerwać procedurę i wywnioskować, że rozwiązanie z L 6 jest optymalne Po analizie L 6 , wiemy, że optimum jest pomiędzy 40 a 41. Jeśli wystarczy nam 2.5% dokładności możemy przerwać. Jeśli nie, musimy sprawdzić L 2 .

L 2 jednak okazuje się nie przynieść poprawy.

Ilustracja metody cięć

Cięcia Gomory

Idea branch and bound • • Mamy trzy zmienne decyzyjne x1 (zmienna całkowito-liczbowa) i dwie zmienne binarne x2 i x3 oraz ograniczenia 1 ≤ x 1 ≤ 3, 0 ≤ x2 ≤ 1, 0 ≤ x 3 ≤ 1 Poniżej jest drzewo pełnego wyliczenia możliwości [full enumeration tree] • Zamiast budować całe drzewo na raz, buduj drzewo stopniowo, rozwijając tylko najbardziej obiecujące wierzchołki na każdym etapie. Najbardziej obiecujące wierzchołki są wskazywane poprzez estymowanie ograniczenia na najlepszą wartość funkcji celu, jaka może być osiągnięta poprzez rozwinięcie danego wierzchołka w następnych etapach.

Podstawowe pojęcia

• • •

Rozgałęzianie

[Branching]

Ograniczanie

[Bounding]

–

Sądowanie

[fathoming] • Pojęcia: wierzchołek [node] każde częściowe lub pełne • • rozwiązanie liść [leaf node] pełne rozwiązanie pączek [bud node] częsciowe rozwiązanie • dopuszczalne lub niedopuszczalne funkcja ograniczająca [bounding function] – metoda estymacji dla pączków, musi być optymistyczna • rozgałęzianie [branching], rozwijanie [growing], ekspansja [expanding] wierzchołka – proces kreowania • wierzchołków dzieci dla pączka tymczasowe rozwiązanie [incumbent]

Podcinanie

[Prunning]

Trzy popularne

systemy selekcji wierzchołków

[node

• • •

selection policy] Best-first / global-best node selection Depth-first Breadth-first

Przykład – problem przyporządkowania • • • • • •

Znaczenie wierzchołka w drzewie:

– Częściowe lub pełne przyporządkowanie ludzi do zadań System selekcji wierzchołków: global best System selekcji zmiennych: wybierz następne zadanie w naturalnej kolejności 1 do 4 Funkcja ograniczająca: dla nieprzyporządkowanych zadań wybierz najlepszą nieprzyporządkowaną osobę, nawet jeśli będzie wybrana parę razy Reguła zakończenia: kiedy wartość funkcji celu dla tymczasowego rozwiązania jest lepsza lub równa do wartości funkcji ograniczającej dla wszystkich pączków Sądowanie: rozwiązanie wygenerowane przez funkcję ograniczającą jest dopuszczalne jeśli każde zadanie jest przyporządkowane do różnych osób.

Jak powstają wartości funkcji ograniczającej?

• • • Popatrzmy na wierzchołek pierwszego etapu, który oznacza przyporządkowanie osoby A do zadania 1. Zbiór rozwiązań reprezentowanych przez ten wierzchołek to A???

– Faktyczna wartość przyporządkowania A do zadania 1 to: 9 – – – Najlepsza nieprzyporządkowana osoba dla zadania 2 to C, wartość: 1 Najlepsza nieprzyporządkowana osoba dla zadania 3 to D, wartość: 2 Najlepsza nieprzyporządkowana osoba dla zadania 4 to C, wartość: 2 Rozwiązanie funkcji ograniczającej to ACDC z kosztem całkowitym =9+1+2+2=14.

– Wiemy, że w najlepszym wypadku wartość funkcji celu dla wierzchołków pochodzących od A??? To 14. To nie jest dopuszczalne rozwiązanie, bo osoba C jest przyporządkowana do dwóch zadań. Osoba A jest faktycznie przyporządkowana.

Tworzymy drzewo Pierwszy etap: korzeń drzewa Przycięte wierzchołki mają przerywane obrzeża Dopuszczalne wierzchołki mają pogrubione obrzeża Przycięte dopuszczalne wierzchołki mają to i to Drugi etap: • • • Wierzchołek C??? Jest wysądowany – pierwsze tymczasowe rozwiązanie dopuszczalne CBDA=13 To nam pozwala przyciąć wierzchołek A???, którego wartość funkcji ograniczającej wynosi 14.

Dwa pączki, które dają nadzieję na poprawę B??? i D??? – global best: wybieramy D???

Trzeci etap: Tworzymy drzewo • • • Nie ma nowych dopuszczalnych rozwiązań, czyli rozwiązanie tymczasowe się nie zmienia.

Nowe wierzchołki nie mogą być przycięte poprzez porównanie z rozwiązaniem tymczasowym lub wysądowane.

Wybieramy global best spośród B??? (9), DA?? (12), DB?? (10) oraz DC?? (12) • A zatem B???

Tworzymy drzewo Czwarty etap: • • • • • Sądujemy dwa wierzchołki BA?? oraz BC??

Nowe tymczasowe rozwiązanie dopuszczalne to BCDA=12 • Wycinamy dotychczasowe rozwiązanie CBDA BA?? jest dopuszczalne, ale wycinamy w porównaniu z nowym rozwiązaniem tymczasowym Wycinamy wierzchołki DA?? i DC?? Poprzez porównanie z tymczasowym rozwiązaniem • Gdybyśmy chcieli znaleźć wszystkie rozwiązania a nie tylko jedno możemy w przyszłości je analizować dalej Zostaje nam tylko jeden pączek DB??.

Tworzymy drzewo Piąty etap: • • • DBAC ma lepszą wartość niż dotychczasowe rozwiązanie, zatem je zastępuje I wycina poprzednie DBCA jest wycięte poprzez porównanie z tymczasowym Nie ma innych pączków do ekspansji, więc kończymy • •

Przeanalizowaliśmy 13 wierzchołków zamiast 24 Dla większych problemów znaczne przyspieszenie

Dobra funkcja ograniczająca jest kluczem • • Problem komiwojażera: odwiedzić każde miasto dokładnie raz i powrócić do punktu wyjścia Załóżmy, że mamy częściowe rozwiązanie (pogrubione) • Bardzo sprytna funkcja ograniczająca: minimalne drzewo rozpinające na wierzchołkach nieodwiedzonych i wierzchołku początkowym i końcowym częsciowej trasy