Transcript 第15章 Greek Letters 與其運用

期貨與選擇權版
廖四郎、王昭文 著
1
第15章
Greek Letters 與其運用
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內容綱要
2
選擇權之
投資組合的
Greek介紹
Greek介紹
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風險中立
交易策略
及其運用
1.選擇權之Greek介紹
3
 Greek Letters之定義
由Black-Scholes選擇權評價公式，可知影響歐式選擇權價格
的四大因素包含：
 標的資產的價格(S)
 標的資產報酬波動度(σ)
 無風險利率(r)
 距到期日時間(T)
為了衡量當上述四項變數產生變動一單位時，選擇權價格變
動情況，習慣上常用希臘字母(Greek)來表示這些因素對選
擇權價格的影響，亦即Delta(Δ)、Gamma(Γ)、Vega(ν)、
Rho與Theta(θ)。
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二. 歐式選擇權之Greek Letters
1. Delta (Δ)
1) 定義
Delta(Δ)是選擇權對標的資產價格變動的敏感度，
是用來衡量當標的資產價格變動1單位，導致選
擇權價格變動幅度。在沒有股利的情況下，B-S
買權及賣權的Delta以數學表示如下：
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4
 買權的Delta 是正值，反映買權價格的漲跌和標的
資產呈現正相關；相反的，賣權的Delta 則是負值
表示賣權價格的漲跌和標的資產是呈現負相關。
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圖15-1 歐式買權Delta值在價內、價平、價外的表現
買權之Delta
1
0.9
0.8
0.7
Delta
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
標的資產價格/履約價格
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6
2
2.2
2.4
圖15-2 歐式賣權Delta值在價內、價平、價外的表現
賣權之Delta
0
-0.1
-0.2
Delta
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
-1
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
標的資產價格/履約價格
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7
2
2.2
2.4
圖15-3 歐式買權Delta值與到期時間的關係
買權之Delta與到期時間的關係
1
價外
價平
價內
0.9
0.8
Delta
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
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0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
到期時間
8
0.3
0.2
0.1
0
圖15-4 歐式賣權Delta值與到期時間的關係
賣權 之Delta與到期時間的關係
0
價外
價平
價內
-0.1
-0.2
Delta
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
-1
1
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0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
到期時間
9
0.3
0.2
0.1
0
2.
Gamma (Γ)
1)
定義
Gamma(Γ)是用來衡量Delta對標的資產價格的敏
感度，亦即當標的資產價格變動1單位時，
Delta的變動情況。換言之，Gamma是用來衡
量選擇權的凸性彎曲程度大小，Gamma越大，
代表選擇權彎曲程度越大，反之亦然。
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 B-S買權與賣權的Gamma以數學表示如下：
由(公式15-3)和(公式15-4)可知，買權或是賣權的
Gamma值，在標的股價、履約價格、利率、標的
資產報酬波動度與到期日時間均相同下，將會一
樣。
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圖15-5 歐式買權Gamma值在價內、價平、價外的表現
買權之Gamma
0.06
0.05
Gamma
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0.4
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0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
標的資產價格/履約價格
12
2
2.2
2.4
圖15-6 歐式賣權Gamma值在價內、價平、價外的表現
賣權之Gamma
0.06
0.05
Gamma
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
標的資產價格/履約價格
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13
1.8
2
2.2
2.4
圖15-7 歐式買權Gamma值與到期時間的關係
買權之Gamma與到期時間的關係
0.5
0.45
價外
價平
價內
0.4
0.35
Delta
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
到期時間
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14
0.3
0.2
0.1
0
圖15-8歐式賣權Gamma值與到期時間的關係
賣權之Gamma與到期時間的關係
0.5
0.45
價外
價平
價內
0.4
Delta
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
到期時間
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0.4
0.3
0.2
0.1
0
3.
1)
Theta (θ)
定義
Theta是用來衡量距到期日時間的變動對選擇權
價格的影響，亦即當距到期日時間變動1單
位時，選擇權價格的變動情況。
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16
B-S買權及賣權的Theta以數學表示如下：
由(公式15-5)可知，為正，表示距到期時間越長，歐
式買權價格越高，反之亦然。值則可能為正或是為負，
也就是距到期時間越長，對歐式賣權的影響性是不確
定的。
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圖15-9 歐式買權Theta值在價內、價平、價外的表現
買 權 之 theta
4.5
4
3.5
3
theta
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
標 的 資 產 價 格 /履 約 價 格
1.8
2
2.2
2.4
• 歐式買權的Theta在價平時最大，價外的Theta趨近於0，
深價內的Theta值慢慢減少。
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圖15-10歐式賣權Theta值在價內、價平、價外的表現
賣 權 之 theta
2
1.5
1
0.5
theta
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
標 的 資 產 價 格 /履 約 價 格
1.8
2
2.2
2.4
• 賣權的Theta在價平時也是最大，價內的Theta趨近於0，
而價外的Theta值慢慢減少，並趨向於負值。
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圖15-11 歐式買權Theta值與到期時時間的關係
買 權 之 Theta與 到 期 時 間 的 關 係
18
價外
價平
價內
16
14
12
Delta
10
8
6
4
2
0
1
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0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
到期時間
20
0.4
0.3
0.2
0.1
0
圖15-12歐式賣權Theta值與到期時時間的關係
賣 權 之 Theta與 到 期 時 間 的 關 係
16
價內
價平
價外
14
12
10
Delta
8
6
4
2
0
-2
1
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0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
到期時間
21
0.4
0.3
0.2
0.1
0
4.
1)
Vega (ν)
定義
Vega(ν)是用來衡量標的資產報酬率的波動度改變
時，選擇權價格的變動情況。
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 B-S買權與賣權的Vega以數學表示如下：
 由(公式15-7)和(公式15-8)可知，歐式買權或是賣
權的Vega值與Gamma值一樣，在標的股價、履約
價格、利率、標的資產報酬波動度與到期日時間
均相同下，將會一樣。
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圖15-13歐式買權Vega值在價內、價平、價外的表現
買 權 之 vega
14
12
10
vega
8
6
4
2
0
0.4
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0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
標 的 資 產 價 格 /履 約 價 格
24
1.8
2
2.2
2.4
圖15-14歐式賣權Vega值在價內、價平、價外的表現
賣 權 之 vega
14
12
10
vega
8
6
4
2
0
0.4
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0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
標 的 資 產 價 格 /履 約 價 格
25
1.8
2
2.2
2.4
圖15-15歐式買權Vega值與到期時時間的關係
買 權 之 Vega與 到 期 時 間 的 關 係
16
價外
價平
價內
14
12
Delta
10
8
6
4
2
0
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1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
到期時間
26
0.4
0.3
0.2
0.1
0
圖15-16歐式賣權Vega值與到期時時間的關係
賣 權 之 Vega與 到 期 時 間 的 關 係
16
價內
價平
價外
14
12
Delta
10
8
6
4
2
0
1
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0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
到期時間
27
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5.
Rho

定義
Rho是用來衡量無風險利率變動1單位對選擇權
價格的影響程度，也就是選擇權價格對無風
險利率的敏感度。
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28
 B-S買權及賣權的Rho以數學表示如下：
 因為歐式買權Rho值為正，表示利率上升，則買權
價格上升，反之亦然。歐式賣權Rho值為負，表示
利率上升時，則賣權價格下降。反之，利率下降
時，歐式賣權價格上升。
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圖15-17 歐式買權Rho值在價內、價平、價外的表現
買 權 之 Rho
25
20
Rho
15
10
5
0
0.4
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0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
標 的 資 產 價 格 /履 約 價 格
30
1.8
2
2.2
2.4
圖15-18歐式賣權Rho值在價內、價平、價外的表現
賣 權 之 Rho
0
-5
Rho
-10
-15
-20
-25
0.4
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0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
標的資產價格
31
1.8
2
2.2
2.4
圖15-19 歐式買權Rho值與到期時間的關係
買 權 之 Rho與 到 期 時 間 的 關 係
35
價外
價平
價內
30
25
Rho
20
15
10
5
0
1
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0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
到期時間
32
0.4
0.3
0.2
0.1
0
圖15-20歐式賣權Rho值與到期時間的關係
賣 權 之 Rho與 到 期 時 間 的 關 係
0
價內
價平
價外
-5
-10
Rho
-15
-20
-25
-30
-35
-40
1
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0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
到期時間
33
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2.投資組合的Greek介紹
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一. 投資組合Greek求算方式
1. 投資組合：投資組合價值(W)可用(公式15-11)來表達
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2. 投資組合的Delta
投資組合的Delta (以下簡稱DeltaW)表示當標的資產價格變動一單位時，
其投資組合價格變化的情形。將(15-11式)對S一階微分，可得
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3. 投資組合的Gamma
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4. 投資組合的Theta
(公式15-16)
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5. 投資組合之Vega
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6. 投資組合之Rho
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3.風險中立交易策略及其運用
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一. Delta-Neutral策略
透過投資組合觀念，將投資組合的Delta值變成0。
二. Delta-Gamma-Neutral策略
建立一個投資組合並使投資組合之Delta及
Gamma為零。
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一.
Delta-Neutral策略
假設現有Ψ張買權(C)的空部位，為了去除Delta風險，並同
時買入α股的標的資產(S)，故此投資組合價值為：
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二. Delta-Gamma-Neutral策略
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三. 風險中立交易策略之運用
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