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第八章 債券衍生性商品的評價
無套利模型
財務工程 呂瑞秋著
1
無套利模型與均衡模型


均衡模型是由即期的無風險利率過程設定
開始，零息債券價格與其過程是該模型下
的產物(output)
無套利模型是由零息債券價格過程設定開
始，零息債券價格與其過程是該模型的投
入因子(input)
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2
風險中立下的債券價格與遠期利率

債券價格

遠期利率
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3
風險中立下的債券價格與遠期利率：
Merton模型

若遠期利率過程的波動項為一固定的參數
 T

T

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4
遠期測度法於歐式債券買權的評價：
Merton模型

EB(Max(B(T,S)-K) /B(T,T))= BCt /B(t,T)
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5
風險中立下的債券價格與遠期利率：
Vasicek模型

若遠期利率過程的波動項

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6
遠期測度法於歐式債券買權的評價：
Vasicek模型

EB(Max(B(T,S)-K) /B(T,T))= BCt /B(t,T)
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7
Ho and Lee的模型


以Merton的模型為基礎利用二項式模型
(binomial model)建構無套利下的即期利
率過程與零息債券價格過程
可運用二項式模型評價的方法來評價債券
衍生性商品或利率衍生性商品
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基本資料
到期時間(以年為
單位)
1
零息債券價格
到期殖利率
0.909
10%
2
0.812
11%
3
0.712
12%
4
0.624
12.5%
5
0.543
13%
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零息債券價格(B)、到期時間(T)與到期
殖利率(Y)之間的關係

1
B
(1  Y ) T
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Ho and Lee的模型：一期後的即期利
率

1/2
rt+μ1Δt+σ(Δt)1/2
rt
1/2
rt+μ1Δt-σ(Δt)1/2
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兩年後到期的零息債券價格與即期利率

Δt=1。如果假設波動項參數σ為1%，則可
從上式求得μ1為2%
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12
兩年後到期的零息債券價格的行為

1/2
1/2
1
[1/2(1)+1/2(1)]/(1+0.13)
=0.885
1/2
0.812
1/2
1
[1/2(1)+1/2(1)]/(1+0.11)
=0.901
1/2
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1
13
Black, Derman and Toy的模型

Black, Derman and Toy(1990)的模型除
吻合目前的到期殖利率外，其波動率參數
也吻合目前到期殖利率的波動率
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14
基本資料
到期時間(以 零息債券價格 到期殖利率
年為單位)
1
0.909
一年後到期
殖利率的波
動率
10%
2
0.812
11%
19%
3
0.712
12%
18%
4
0.624
12.5%
17%
5
0.543
13%
16%
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15
一期的二項式模型

Y (t, T )e
( Y  Y2 / 2) t  Y t
Y (t , T )
Y (t, T )e
( Y  Y2 / 2) t  Y t
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兩年後到期的零息債券價格、到期殖利
率與即期利率
[1 /(1  0.11e 1  Y )  1 /(1  0.11e 1  Y )] / 2
0.812 
1  0.1

此時  Y  19%，所以，我們可解出上面方
程式的μ1為7.4%
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