Transcript 第五章 隨機利率下零息債券的 評價 財務工程 呂瑞秋著 1

第五章 隨機利率下零息債券的
評價
財務工程 呂瑞秋著
1
債券種類


零息債券(Zero coupon bonds)與附息債
券(Coupon bonds)
公債(Treasury bonds)與公司債
(Corporate bonds)
財務工程 呂瑞秋著
2
利率敏感商品



債券
固定收益證券
債券或利率衍生性商品
財務工程 呂瑞秋著
3
影響債券價值的因素


利率水準
信用風險(credit risk)
財務工程 呂瑞秋著
4
利率敏感商品的評價—PDE法





假設利率敏感商品的價值只受到無風險利率的
影響
假設無風險利率是一個伊藤過程如下
drt =μ(r t ,t) dt +σ(r t ,t) dwt
則利率敏感商品的價值也是一個伊藤過程
利用兩種不同到期日的利率敏感商品可組合成
無風險資產
可得出類似Black-Scholes-Merton微分方程式
財務工程 呂瑞秋著
5
利率敏感商品的評價—PDE法 (Cont)




在無套利的情況下，所有利率敏感商品的單位
風險溢酬都是相同的
風險是以利率敏感商品的報酬率分配的標準差
來衡量
風險溢酬是指利率敏感商品的預期報酬率減無
風險利率
單位風險溢酬(λ)在文獻上又稱為利率風險的市
場價格(the market price of interest rate risk)
財務工程 呂瑞秋著
6
利率敏感商品的評價—PDE法 (Cont)

在無套利的情況下，所有利率敏感商品的
價值必須滿足的微分方程式
B (t , T )
B (t , T ) 1  2 B (t , T ) 2
[  (rt , t )   ( rt , t )] 

 (rt , t )  rt B(t , T )
2
rt
t
2
rt


特定的利率敏感商品有特定的到期報償
例如零息債券B(T,T)=1
以上即為：微分方程式＋邊界條件
財務工程 呂瑞秋著
7
零息債券的評價－Merton模型

drt =μ dt +σdwt
B(t , T )  e

[  rt (T t ) (   )(T t ) 2 / 2 2 (T t )3 / 6]
若無風險利率是固定而非隨機時，μ=0且
σ=0，再令rt= r，則上式變為
B(t , T )  e
 r (T  t )
財務工程 呂瑞秋著
8
零息債券的評價－Vasicek模型




drt =α(β-rt)dt +σdwt
α與β都是大於0的參數
利率會有回歸至β水準的趨勢
α愈大，利率調整至β的速度愈快
B(t ,T )  e
 rt A(T , t ) [ A( t ,T )  (T t )](    /   2 / 2 2 )  2 A( t ,T ) 2 / 4
A(t , T )  (1  e (T t ) ) / 
財務工程 呂瑞秋著
9
零息債券的評價－CIR模型


drt =α(β-rt)dt +σ(rt)1/2dwt
不會出現負值的利率

B (t , T ) 
A(t , T )e
 rt C ( t ,T )
e
A(t , T )  (2
)
 (T  t )
(     )(e
 1)  2
1/ 2 (    )(T t )
2

2
e (T t )  1
C (t , T )  2
(     )(e (T t )  1)  2
財務工程 呂瑞秋著
10
附息債券(coupon bonds)的評價

可將附息債券視為一系列不同到期日的零
息債券的資產組合
財務工程 呂瑞秋著
11