Transcript 강의노트 Chapter #9

-9장- 디지털 제어시스템
 Contents
9.1 서론
9.2 디지털 제어기의 입력/출력 변환기
9.3 z-변환
9.4 펄스 전달함수
9.5 이산시간 시스템의 상태공간모델
9.6 이산시간 시스템의 성능 및 안정도
9.7 연속시간 제어시스템의 디지털화
9.8 직접 디지털 제어시스템 설계
9.9 MATLAB을 이용한 디지털 제어
-1-
9.1 서론
 연속시간 제어시스템
- 시간의 연속함수로 표시되는 연속 전달 신호로 동작
- 해석 및 설계방법이 조직적, 간결
- 일반적으로 연속시간 시스템인 플랜트에 연속시간 제어기법 적용
 디지털 제어시스템
- 시간의 이산함수로 표시되는 이산 전달 신호로 동작
- 제어 알고리즘인 프로그램만을 조작하여 쉽게 새로운 제어기 설계 가능
- 복잡한 연산과정을 신속 정확하게 수행
-2-
9.2 디지털 제어기의 입력/출력 변환기
 디지털 제어기의 구성
- 입력 변환기
- 디지털 컴퓨터
- 출력 변환기
그림 9.1 디지털 제어시스템
-3-
(1) 입력 변환기
 입력 변환기의 구성
- 저주파통과필터
- 임펄스 샘플링장치(A/D 변환기)
그림 9.2 입력 변환기의 개략도
그림 9.3 단위임펄스의 열과 샘플링 장치
- 연속신호 e f (t ) 가 주기적으로 샘플링 될 경우 :
(9.3)
-4-
그림 9.4
T (t ), e f (t ), 그리고 e* (t )신호의 모양
-5-
 샘플링주기 T 선정
- 경제적 측면에서 적절한 샘플링주기 선정이 요구됨  Shannon의 샘플링 이론 적용
 Shannon의 샘플링 이론
- 연속신호에서 가장 큰 주파수
h
보다 적어도 2배 이상 큰 주파수
s 로 샘플링
(9.7)
- 식 (9.7)이 만족되지 않으면  엘리어싱(aliasing) 발생
- 샘플링 주파수 s 는 일반적으로 시스템 대역폭
b 의 20배 이상 되도록 선정
-6-
 엘리어싱 발생 안 함
원신호 복원 가능
 엘리어싱 발생 함
원신호 복원 불가능
그림 9.7
E* (s)의 주파수 스펙트럼
-7-
- 경제적인 샘플링주기 선정을 위하여 샘플링장치 앞에 저주파통과필터 첨가
• 이유: 센서잡음(고주파)를 제거하여 샘플링장치의 입력신호의 최대주파수
h 를 작게 하기 위함
• 일반적으로 사용되는 저주파통과필터: 1차 또는 2차의 뒤짐(lag) 필터
• 1차 뒤짐 필터의 경우:
(9.24)
여기서 필터의 대역폭 a 를 너무 작게 선정하면 제어기의 대역폭을 제한함
-8-
(2) 출력 변환기
 출력 변환기의 구성
- 디지털 제어기의 출력 변환기 ‘홀딩장치’: 이산신호  연속신호
- 일반적으로 사용되는 0차 홀딩장치(ZOH: zero-order holder)
- ZOH의 전달함수 :
그림 9.8 ZOH의 입력 및 출력 신호의 모양
(9.26)
그림 9.9 ZOH의 주파수 응답
-9-
9.3 z-변환
- z-변환: 선형 시불변 연속시간 시스템에서의 Laplace변환에 대응되는
선형 시불변 이산시간 시스템에서의 변환
- z-변환 목적: 이산시간 시스템의 모델링 및 해석을 쉽게 하기 위하여
 z-변환식
(9.29)
*
- 이산신호 x (t ) 의 일반적 표현:
*
- 이산신호 x (t ) 의 Laplace 변환함수:
(9.30)
여기서
또는
(9.32)
- z-변환 식:
또는
(9.33)
- 10 -
예제 9.1 단위스텝함수 1(t)의 z-변환함수 구하기
예제 9.2 지수함수 x(t)의 z-변환함수 구하기
- 11 -
예제 9.3
사인파함수 x(t)의 z-변환함수 구하기
- 12 -
예제 9.4 다음 Laplace 변환함수 X(s)에 대한 z-변환함수 구하기
- Laplace 변환함수 X(s)를 부분분수로 전개
• 1/s 또는 1(t)에 대한 z-변환함수 = z/(z-1)
• 1/(s+1) 또는
T
e  t에 대한 z-변환함수 = z/(z - e )
- 13 -
표 9.1 대표적인 시간함수에 대한 z-변환표
X(s)
x(t) 또는 x(k)
X(z)
1
 (t )
1
e  kTs
 (t  kT )
z k
1
s
1(t )
z
z 1
1
s2
t
Tz
( z  1) 2
1
sn
lim
a 0
(1) n1  n1 at
e
(n  1)!  a n1
lim
a0
(1) n1  n1
z
n 1
(n  1)!  a z  e aT
1
sa
e  at
z
( z  e  aT ) 2

s 2
sin t
z sin T
z  2 z cos T  1
s
s 2
cost
z ( z  cos T )
z  2 z cos T  1
2
2
2
2
- 14 -
표 9.2 z-변환에 관한 유용한 특성
x(t) 또는 x(k)
Z{x(t)} 또는 Z{x(k)}
ax(t )
aX (z )
x1 (t )  x2 (t )
X1 ( z)  X 2 ( z)
x(t  T ) 또는 x(k  1)
zX ( z )  zx(0)
x(t  kT )
z k X ( z)  z k x(0)  z k 1 x(T )    zx(kT  T )
eat x(t )
X ( ze aT )
x(0)
lim X ( z) (극한값이존재하는 경우)
x()
z 
lim {( z 1) X ( z)}
z 1
 z 1

X ( z )가 단 위 원상 이 나

 z

 외 부 에 서해 석 적 인경 우 


n
 x(kT ) y(nT  kT )
X ( z )Y ( z )
k 0
- 15 -
 z-변환을 이용하여 차분방정식의 해를 구하는 방법
- 연속시간 시스템에서 Laplace 변환을 이용하여 미분방정식의 해를 구하는 방법과 유사
(9.34)
(9.35)
일반적으로,
(9.36)
- 16 -
예제 9.5
다음 시스템에 대한 응답 x(k) 구하기
(9.37)
여기서
- k = -1을 식 (9.37)에 대입 
- 식 (9.37)의 z-변환을 수행하고 x(0) = x(1) = 0을 대입 
여기서

- 식 (9.36) 이용:
- 역 z-변환 수행 :
- 17 -
 z-변환을 이용한 시스템의 초기값 및 최종값
- 초기값 정리:
(9.38)
- 최종값 정리:
(9.45)
※ 최종값 정리는 z-평면의 단위원 상에 중복된 극점
그리고 단위원 밖에 극점이 존재하지 않은 경우에만 사용할 수 있음
- 18 -
 역 z-변환법을 이용한 차분방정식의 해 x(k) 유도방법
- 무한급수 전개법
- 부분분수 전개법
- 역적분(inverse integral)법
(1) 무한급수 전개법
(9.46)
 z-k 항의 계수들이 x(k)의 값
예제 9.6
다음과 같은 X(z)에 대한 x(k) 구하기
- X(z)의 분자와 분모를 z-1 의 급수 형태로 변환:


- 19 -
(2) 부분분수 전개법
- X(z)를 부분분수로 전개하고 표 9.1의 z-변환표 이용
예제 9.7 다음의 X(z)에 대하여 부분분수 전개법을 이용하여 x(k) 구하기
-
X (z)
를 부분분수로 전개:
z
- 표 9.1을 이용하여 역 z-변환:


- 20 -
(3) 역적분법
- z-변환식
(9.48)
- 양변에 zk-1 을 곱함
(9.49)
- 식 (9.49)의 양변을 단위 원에 대해 반시계 방향으로 적분
(9.50)
- Cauchy 이론 적용

(9.53)
- 역적분법에 의한 x(k)
(9.54)
- 21 -
예제 9.8
다음의 X(z)에 대하여 역적분법을 이용하여 x(k)를 구하기
- Cauchy 이론을 적용한 역적분법에 의한 해 x(k)
- 22 -
9.4 펄스 전달함수
그림 9.10 이산시간 시스템
- 펄스의 열 u*(t): 연속시간 플랜트 G(s)의 입력
(9.55)
- 플랜트 출력 y(t):
- 플랜트 출력 y(t) 응답 = 각 펄스의 열 u*(t)에 대한 응답의 합 (0 ≤ t ≤ kT)
(9.56)
- 샘플링 순간 t = kT 에서의 출력 y(k)

(9.59)
- 23 -
 펄스 전달함수 또는 z-전달함수 G(z)
그림 9.11 펄스 전달함수에 대한 블록선도
- 식 (9.57)을 다음과 같이 표현 할 수 있다.
일 때,
(9.60)
이므로
(9.61)
여기서 G(z)는 펄스 전달함수 또는 z-전달함수
(9.62)
- 24 -
 펄스 전달함수 G(z) 유도 절차
(방법 1)
- ZOH를 포함하는 시스템의 전달함수 G(s)를 구한다.
-
인 임펄스 응답함수 g(t)를 구한다.
- 펄스 전달함수 G(z)를 계산한다.
(9.63)
여기서 g(k)는 t = kT일 때의 임펄스응답함수 g(t)의 값
(방법 2)
- ZOH를 포함하지 않은 시스템의 전달함수 Gp(s)를 s로 나눈 Gp(s)/s에 대한
역 Laplace 변환함수를 구한다.
-
의 z-변환함수에 (1-z-1)를 곱하여 G(z)를 유도한다.
(9.64)
- 25 -
예제 9.9
다음 그림과 같은 이산시간에 대한 펄스 전달함수 G(z) 구하기
그림 9.12 이산시간 시스템
(방법 1)
- ZOH를 포함한 플랜트 전달함수

- 샘플링주기 T = 1이므로
- 26 -
- 펄스 전달함수
(9.65)
(방법 2)
- 역 Laplace 변환함수
를 구한다.
(9.66)
- 표 9.1을 이용하여 식 (9.66)의 z-변환함수를 구한다.
- 샘플링주기 T = 1 일 때, G(z)는 식 (9.65)와 동일함
- 27 -
표 9.3 ZOH를 포함하는 연속시간 시스템에 대한 펄스 전달함수
G( z ) 
Gp (s)
b1 z n1  b2 z n2   bn
또는 G( z )의계수
z n  a1 z n1   an
1
s
T
z 1
1
s2
T 2 ( z  1)
2( z  1) 2
a
sa
1  e  aT
z  e  aT
a
s( s  a)
n2
s 2  2 n s  n2
1
(aT  1  e aT )
a
a1  (1  e aT )
b1 

 
b1  1      n  
d 

 

b2   2    n    
 d

a1  2
a2  
2
G(z)
1
(1  e  aT  aTe aT )
a
a2  e  aT
b2 
d  n 1   2
(0    1)
  e  T
n
  cosT
  sin T
- 28 -
 폐루프 이산시간 시스템의 펄스 전달함수 T(z) 구하기
그림 9.13 폐루프 이산시간 시스템

(9.71)
그리고

(9.73)
식 (9.73)에 대한 z-변환
(9.74)

(9.75)
- 29 -
예제 9.10
샘플링주기 T값에 따른 폐루프 이산시간 시스템과
폐루프 연속시간 시스템의 단위스텝응답 비교
그림 9.14 폐루프 이산시간 시스템
- 폐루프 시스템의 펄스 전달함수
여기서

- 30 -
- 샘플링주기 T 값에 따른 이산시간 시스템의 폐루프 전달함수
,
,
- 단위스텝응답( T  1 일 때)

- 31 -
그림 9.15 그림 9.14에 표시된 폐루프 이산시간 시스템 및 연속시간 시스템의 단위스텝응답
- 32 -
표 9.4 폐루프 이산시간 시스템의 샘플링주기 T 값에 따른 과도응답 성능
- 샘플링주기 T 가 작을수록 연속시간 시스템에서의 응답 성능과 유사함
- 이산시간 시스템에서는 샘플링주기 T 의 선정문제가 매우 중요함
- 33 -
9.5 이산시간 시스템의 상태공간모델
- 이산시간 선형 시변 시스템의 상태공간모델식
(9.76)
그림 9.16 선형 시변 이산시간 시스템
- 이산시간 선형 시불변 시스템의 상태공간모델식
(9.77)
- 34 -
9.6 이산시간 시스템의 성능 및 안정도
- s -평면과 z -평면 사이의 상관관계
→ 연속시간 시스템과 이산시간 시스템의 성능 및 안정도 특성의 상관관계 파악
- 좌반 s -평면 → z -평면에서 원점을 중심으로 한 단위원의 내부로의 사상
여기서
(9.91)
→
- 복소수
(9.93)
z 의 크기 및 편각
(9.94)
(9.95)
→
(9.96)
- 35 -
그림 9.18
s-평면과 z-평면 사이의 대응관계
- 36 -

s-평면과 z-평면과의 사상관계로부터 알 수 있는 특성
- 안정도 경계는 단위원
z  1이다.
- z  1 주위의 작은 영역은 근본적으로 s  0 주위의 영역과 동일하다.
- z -평면 위치는 s -평면과 같이 시간에 대한 것이 아니라 샘플링주파수에 대하여
정규화된 응답정보를 준다.
- 음의 실수 z 축은 항상  s / 2 의 주파수를 나타낸다.
- 좌반
단위원 내에
s
s-평면에 있는 수직선들(일정한 실수부 또는 시정수)은 z-평면의
있는 원들로 사상된다.
- s -평면에서 수평선들(일정한 허수부 또는 주파수)은 z-평면에서 방사선들로
사상된다.
- z -평면에  s / 2 보다 더 큰 주파수들을 표시할 수 없다.
- 37 -
 단순 2차 시스템
에서 극점에 따른 응답특성
- s-평면 극점
(9.97)
- z-평면 극점
(9.98)
여기서
(9.100)
- 감쇠비:
(9.102)
- 고유주파수:
(9.103)
- 시정수:
(9.104)
- 38 -
그림 9.19
z -평면에서 실수 및 복소 극점위치에 따른 과도응답
- 39 -
그림 9.20
z-평면에서 일정한 감쇠비  와 고유주파수 n 을 나타낸 궤적
(표시 안 된 반쪽은 도시된 부분의 거울상임)
- 40 -
 이산시간 시스템의 정상상태오차
그림 9.21 폐루프 이산시간 시스템
- 개루프 이산시간 시스템 G ( z ) 의 일반형태
(9.105)
- DC 게인 K DC
(9.106)
- 41 -
- 시스템 오차
(9.107)
- 최종값 정리에 의한 정상상태오차
(9.108)
- 단위스텝기준입력에 대한 정상상태오차
(9.109)
- N = 0 이면, 즉 z  1 에 극점이 존재하지 않는다면,
(9.110)
여기서 K p [ limG( z )] 는 위치오차상수,
z 1
- N ≥ 1 이면, K p   이므로
- 42 -
- 단위램프기준입력에 대한 정상상태오차
(9.111)
- 속도오차상수 K v
(9.112)
- N  0 이면, K v  0 그리고 e ss  
1
T
K DC
e


- N  1 이면, K v 
그리고 ss
K v K DC
T
- N  2 이면, K v   그리고
- 43 -
 Routh 안정도 판별법을 이용한 이산시간 시스템의 안정도 판별법
-z  r 로의 변환식
(9.113)
- z -평면에서의 단위원 내부가 좌반 r -평면으로 사상된다.
 연속시간 시스템과 동일 방법으로 r 에 관한 다항식에 대해
Routh 안정도 판별법 적용 가능
 상태공간모델을 이용한 이산시간 시스템의 안정도 해석
- 이산시간 시스템의 상태방정식 및 제어법칙
(9.114)
(9.115)
- 폐루프 이산시간 시스템의 상태방정식
(9.116)
여기서
- 이산시간 시스템의 안정도 조건:
(9.117)
- 44 -
예제 9.13
Routh 안정도 판별법을 이용한 폐루프 이산시간 시스템의 안정도 해석
그림 9.22 폐루프 이산시간 시스템
- ZOH를 포함한 플랜트의 펄스 전달함수
- 특성방정식
1  KG ( z )  0
또는
z 2  2.312 z  3.008  0
- z  r 로의 변환식 (9.113) 대입
- 45 -
- Routh 배열 :
- Routh 배열의 첫 번째 열에 부호 변화 두 번
 z -평면에서 단위원 외부에 두 개의 극점 존재
그림 9.23 그림 9.22에 표시된 시스템에 대한 근궤적선도
- 46 -
9.7 연속시간 제어시스템의 디지털화
 디지털 제어 알고리즘을 만드는 방법
- 플랜트 모델 이산화  이산적 접근법 이용  직접 디지털 제어기 설계
- 아날로그 제어기  디지털 제어기로 근사화
그림 9.24 연속시간 제어시스템
그림 9.25 디지털 제어의 적용
 디지털화 근사법
(1)
(2)
(3)
(4)
전향-직사각형(forward-rectangular) 방법
후방-직사각형(backward-rectangular) 방법
Tustin 방법
극점-영점 대응법(MPZ: matched pole-zero method)
- 47 -
(1) 전향-직사각형 방법
(9.118)
- 아날로그 제어기:
(9.119)
또는
(9.120)
- 식 (9.120)에서 그림 9.26의 전향-직사각형 면적 이용
(9.121)
- 식 (9.121)을
z-변환  디지털 제어기:
- 식 (9.118)과 식 (9.122)로부터 근사화 식:
그림 9.26 전향-직사각형 적분
(9.122)
(9.123)
- 48 -
(2) 후향-직사각형 방법
- 식 (9.120)에서 그림 9.27의 후향-직사각형의 면적 이용
(9.124)
- 식 (9.124)를 z-변환  디지털 제어기
(9.125)
- 식 (9.118)과 식 (9.125)로부터 s→z 로의 변환식
(9.126)
그림 9.27 후향-직사각형 적분
- 49 -
(3) Tustin 방법
- 식 (9.120)에서 그림 9.28의 사다리꼴 면적 이용
(9.127)
- 식 (9.127)을 z-변환  디지털 제어기
(9.128)
- 식 (9.118)과 식 (9.128)로부터 s→z 로의 변환식
(9.129)
그림 9.28 사다리꼴 적분
- 50 -
(4) 극점-영점 대응법
- s-평면에서의 극점 및 영점을 z-평면으로 변환 했을 때 z-평면에서의 극점 및 영점과
일치되도록 하는 방법
(9.130)
- 연속시간 함수:
- 식 (9.130)에 대한 Laplace 변환함수:
- 식 (9.130)에 대한 z-변환함수:
(9.131)
(9.132)
- 식 (9.131)과 식 (9.132)에서 극점이 일치하도록

- 실제 시스템에서는 D(z)에서 z = -1에 영점, 즉 (1  z 1 )항을 임의로 첨가하는
것이 유익할 때도 있다.
 Tustin 방법과 같이 현재와 과거의 입력 값을 평균화할 수 있다.
- 51 -
 극점-영점 대응법에 대한 요약
- 아날로그 제어기
디지털 제어기
K(s)에서 극점이나 영점을 나타내는 요소를 ( s   )라고 하면,
D(z) 설계를 위하여 s-평면에서의 ( s   )요소를 z-평면에서
(1  z 1e T ) 로 대응시킨다.
- 디지털 제어기
D(z)에서 분자의 차수가 분모의 차수보다 작을 때는, 분자에 (1  z 1 )
또는 (1  z 1 ) 2등의 항을 추가한다.
- DC 또는 저주파에서 아날로그 제어기
K(s)와 디지털 제어기 D(z)의 시스템 게인을
일치시킨다.
- 52 -
 디지털화 근사법의 비교 결과
표 9.5 디지털 근사화 : K ( s )  5 / ( s  5) 에 대한 D( z )
그림 9.27 이산 근산화 기법에 따른 주파수응답
- 53 -
예제 9.14
연속 상태방정식을 이산 상태방정식으로 변환
여기서
- 이산 상태방정식의 일반형태
여기서
- Sylvester 전개이론 식 (8.32)를 이용하여
-
계산  이산 상태방정식
T = 1일 때 이산 상태방정식
- 54 -
9.8 직접 디지털 제어시스템 설계
- 직접 디지털 제어시스템 설계의 첫 단계: 연속시간 시스템에 대한 펄스 전달함수 유도
(9.159)
- ZOH를 포함하는 플랜트에 대한 펄스 전달함수:
(대체)
그림 9.32 혼합 제어시스템 및 순수한 이산 등가시스템
- 이산시간 시스템에 대한 해석 및 설계방법: 연속시간 시스템의 경우와 매우 유사,
동일한 법칙들이 적용 가능
- 55 -
 직접 디지털 제어시스템 설계절차
- 플랜트 전달함수
(9.162)
- 플랜트의 펄스 전달함수
(9.163)
여기서
- 비례 제어기를 사용하는 경우, 즉
K 값에 따른 근궤적
D(z) = K 일 때,
그림 9.33 z -평면에서의 근궤적
- 56 -
 비례-적분-미분(PID) 디지털 제어기의 제어법칙
(9.164)
- 비례제어:
또는
(9.165)
(9.166)
- 적분제어:
또는
(9.167)
(9.168)
- 미분제어:
또는
(9.169)
- 57 -
 플랜트 G( s)  1 / s 2 에 대한 직접 디지털 제어기 설계 예
- 식 (9.159)를 이용한 펄스 전달함수:
- 샘플링주기
(9.170)
(9.171)
T = 1이면,
- 비례 제어기를 사용하는 경우, 폐루프 시스템 불안정
그림 9.33 z -평면에서의 근궤적
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- 불안정 시스템 → 안정한 시스템: 미분제어기 첨가
(9.172)
- 바람직한 성능을 위한 제어기 설계 파라미터 a와
K 값 선정
,
⇒ 대표극점
2
그림 9.35 비례-미분 제어로 보상된 플랜트 [G( s)  1 / s ] 에 대한 z-평면에서의 근궤적
- a = 4 이고 K = 0.08 일 때, PD 디지털 제어기:
(9.174)
- 최종 제어법칙:
(9.175)
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 간접 설계방법과 직접 설계방법의 비교
- 제어법칙 (9.175)는 간접 설계방법 (9.145)에 포함된
항이 존재하지 않음
-
항이 존재하는 이유: 잡음감소 및 순수 아날로그 미분 제어기 구성의 어려움 때문
-
항을 제외한 식 (9.145)와 식 (9.175)가 유사함: 샘플링주파수 가
고유주파수
s
n 에 비하여 매우 크기 때문(  s  20n )
- 직접 설계: 실제 시스템 응답이 z-평면에서의 극점 위치들에 의해 결정됨
- 간접 설계: 샘플링주파수가 작아지면 s-평면에서 불안정한 극점들이 존재하게 됨
- 일반적으로 샘플링주파수  s  10n일 때, 직접 설계하는 것이 바람직
- 샘플링이 느린 연속설계  s  10n: 이산 해석 또는 시뮬레이션으로 확인해야 함
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9.9 MATLAB을 이용한 디지털 제어
2
예제 9.18 연속시간 시스템 G(s) = 10/(s +7s+10)에 대한 펄스 전달함수
G(z)를 구하고
G(s)와 G(z)의 단위스텝응답 비교
그림 9.35 G(s)와 G(z)의 단위스텝응답 선도
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