Transcript 강의노트 Chapter #8

-8장- 상태공간 해석 및 설계
 Contents
8.1 서론
8.2 Laplace 변환을 이용한 상태공간모델의 해
8.3
e Αt
계산
8.4 모드 해석에 의한 상태공간모델의 해
8.5 가제어성
8.6 가관측성
8.7 안정도
8.8 상태 피드백과 출력 피드백
8.9 극점배치기법을 이용한 제어시스템 설계
8.10 상태 피드백과 서보 설계
8.11 관측기 설계
8.12 MATLAB을 이용한 상태공간 해석 및 설계
-1-
8.1 서론
 주파수역 접근법
- 적용 시스템: 단일입출력 선형 시불변 시스템
- 시스템 모델식: 전달함수 G (s )
- 특징: 적용할 수 있는 제어대상 시스템이 제한되어 있음
 시간역 접근법
- 적용 시스템: 일반 시스템 (다변수 비선형 시변 시스템 등)
- 시스템 모델식: 상태공간 모델식 (상태방정식 및 출력방정식)
- 특징:
• 최적제어, 적응제어 등 고급 제어기법에 적용할 수 있음
• 모델의 불확실성에 의해 실제 시스템에 적용할 때 만족스럽지 못한 경우 발생할 수 있음
 시간 및 주파수역 접근법(강인 제어기법)
- 적용 시스템: 일반 시스템 (다변수 비선형 시변 시스템 등)
- 시스템 모델식: 상태공간 모델식 및 전달함수행렬
- 특징: 상태공간 및 주파수역 기법의 장점들을 결합시켜 모델 불확실성 문제를 제어시스템
설계 시에 고려할 수 있음
-2-
8.2 Laplace 변환을 이용한 상태공간모델의 해
 1차 스칼라 시스템의 상태공간모델식
(8.1)
(8.2)
- 상태방정식 (8.1)에 Laplace 변환 수행
(8.3)
초기조건에 의한 상태변화
- 상태변수
입력에 의한 상태변화
x(t ) 및 출력 y(t ) 의 해
(8.6)
(8.7)
-3-
- 다변수 상태공간모델에 대한 상태벡터 x(t) 및 출력벡터 y(t)
(8.10)
(8.11)
- 스텝입력 u(t)가 가해졌을 때의 시간해 x(t)
(8.15)
여기서
(8.16)
[

• 정상상태응답 (t   ):
: Paynter 행렬]
(8.17)
(8.18)
-4-
Αt
8.3 e 계산

e Αt 를 유한급수의 합으로 표현할 수 있는 계산 방법
• Cayley-Hamilton 이론
• Sylvester 전개이론
• 고유값/고유벡터 적용
 Cayley-Hamilton 이론 적용
(8.25)
(8.28)
-5-
• 개별적인 고유값을 갖는 경우
(8.29)
• 복소공액 고유값을 갖는 경우
(8.30)
• 중복된 고유값을 갖는 경우
(8.31)
-6-
 Sylvester 전개이론 적용
(8.32)
여기서
 고유값/고유벡터 적용
(8.34)
(8.35)
여기서 vi 는 우측고유벡터,
w i는 좌측고유벡터
(8.36)
(8.37)

(8.38)
-7-
8.4 모드 해석에 의한 상태공간모델의 해
 비입력 선형 시불변 시스템
- 상태방정식
(8.39)
- 시간해
x(t )
고유값/고유벡터 적용
e At
(8.38)
(8.41)
또는
(8.42)
-8-
 일반적인 선형 시불변 시스템(입력 포함)
- 상태방정식과 시간해
x(t )
(8.43)
(8.44)
- 출력방정식과 시간해
y(t )
(8.48)
(8.49)
-9-
- 복소수역에서의 상태벡터 및 출력벡터의 해
x(s), y(s)
(8.50)
(8.51)
모드 해석에 의한 상태공간모델의 해는
시스템의 고유값, 좌측 및 우측 고유벡터로 표현된다.
모드 개념은 시스템의 가제어성 및 가관측성을 판단하는데 매우 유용하다.
- 10 -
8.5 가제어성(controllability)
- 제어시스템을 설계하기 전 우선 제어기 설계가 가능한 지를 판정하는데 사용되는
기본적인 개념
어떠한 초기상태 ξ  R 과 어떠한 최종상태 θ  R n에 대하여
유한시간 T 사이에서 부분연속(piecewise-continuous)함수
n
알 수 없다
알 수 있다
제어 가능(controllable)
u(t )
제어 불가능(uncontrollable)
- 가제어성 개념의 적용
• 고유구조할당을 이용한 제어시스템 설계
• 최적제어기법을 이용한 제어시스템 설계
- 선형 시스템에 대한 시험방법
• 모드 접근법: 시스템의 모드를 이용하여 해석
• 고전적 접근법: 가제어성행렬을 이용하여 해석
- 11 -
 모드 접근법을 이용한 가제어성 시험
- 선형 시불변 시스템에 대한 상태방정식
(8.52)
- 선형 시불변 시스템에 대한 모드 해석에 의한 시간해
x(t )
(8.53)
어떤
wTi B  0T
k
에 대하여
wTi bk  0  제어 불가능
 시스템: 제어 불가능
wTi B  0T
 시스템: 제어 가능
그림 8.1 제어입력벡터와 좌측 고유벡터
- 12 -
- 복소 모드를 갖는 시스템의 가제어성
• 공액복소 고유값
i  *j 이 존재하면 우측 및 좌측 고유벡터도 공액복소 고유벡터를 가짐
(8.54)
(wi  w j )T B  0T 또는 Re{wi }T B  0T  복소 모드: 제어 불가능
(wi  w j )T B  0T 또는 Re{wi }T B  0T  복소 모드: 제어 가능
 가안정성(stabilizability)
- 실제 제어시스템 설계시 가제어성 보다 더 유용한 개념
- 모드
v i eit 가 제어 불가능한 경우
• 제어 불가능한 모드: 안정  모드 i 안정 가능(stabilizable)
시스템 [A, B] 안정 가능
• 제어 불가능한 모드: 불안정  모드 i 안정 불가능(unstabilizable)
시스템 [A, B] 안정 불가능
- 13 -
 고전적 가제어성 시험방법
- 가제어성행렬 MC
(8.55)
여기서 A: 시스템행렬, B: 제어입력행렬
- 가제어성행렬 MC의 랭크조사
• rank(Mc) = n  시스템 [A, B] 제어 가능
• rank(Mc) < n  시스템 [A, B] 제어 불가능
제어 가능 여부만 조사  시스템의 가안정성 조사 불가능
- 14 -
예제 8.4
시스템의 가제어성/가안정성 조사
여기서
- 가제어성행렬
-
rank[Mc ]  2
Mc
 시스템: 제어 가능, 안정 가능
- 15 -
예제 8.5
시스템의 가제어성/가안정성 조사
여기서
- 가제어성행렬 M c :
- rank[Mc ]  1  시스템: 제어 불가능
시스템의 안정가능 여부를 알 수 없음
- 모드 접근법에 의한 가안정성 조사
- 두 번째 행벡터 0  모드 v 2e
- 제어 불가능한 모드: 안정(
2t
는 모든 입력에 대하여 제어 불가능
2  3 )  시스템: 안정 가능
- 16 -
8.6 가관측성
- 입출력 기록을 기반으로 시스템의 상태를 재구성 할 수 있는 지를 판정 하는데 사용되는
기본적인 개념
- 가관측성 개념의 적용
•
•
•
•
관측기(observer) 설계
Kalman 필터 설계
시스템 인식(system identification)
동적 제어기 설계
최종시간까지의 입력 및 출력의 측정값으로부터
임의적이기는 하나 고정된 초기상태 ξ
계산할 수
있다
계산할 수
없다
관측 가능
(observable)
관측 불가능
(unobservable)
- 선형 시불변 시스템(비입력 시스템)의 상태공간모델식
(8.62)
(8.63)
- 상태벡터 및 출력벡터의 시간해
(8.64)
(8.65)
- 17 -
 모드 접근법을 이용한 시험방법
- 출력방정식
(8.67)
- 각 모드의 합으로 표현된 출력
(8.69)
i 번째 모드가 k 번째 출력에 기여하는 정도
cTk vi  0  i 번째 모드는 k 번째 출력에서 관측 불가능
Cvi  0 
i
번째 모드는 모든 출력으로부터 관측 불가능
 시스템 [A, C] 관측 불가능
가검출성(detectability)
- 실제 제어시스템 설계시 가관측성 보다 더 유용한 개념
t
- 모드 e i v i 가 관측 불가능한 경우
• 관측 불가능한 모드: 안정  모드
i
• 관측 불가능한 모드: 불안정  모드
검출가능  시스템 [A, C] 검출 가능
i 검출 불가능
 시스템 [A, C] 검출 불가능
- 18 -
 고전적 가관측성 시험방법
- 가관측성행렬 Mo
(8.70)
여기서 A: 시스템행렬, C: 출력행렬
- 가관측성행렬 Mo의 랭크조사
• rank(Mo) = n  시스템 [A, C] 관측 가능
• rank(Mo) < n  시스템 [A, C] 관측 불가능
관측 가능 여부만 조사  시스템의 가검출성 조사 불가능
- 19 -
예제 8.7
시스템의 가관측성/가검출성 조사
여기서
- 가관측성행렬 M o
- rank(Mo )  3  시스템: 관측 가능, 검출 가능
- 모드 접근법에 의한 가관측성/가검출성 조사
,
• 모드 v1e 1t
:
3t
t
• 모드 v 2e , v 3e :
2
y1 관측 불가능
y1 관측 가능, y2관측 불가능
• 0인 열벡터 없음  시스템: 관측 가능, 검출 가능
- 20 -
 시스템의 전달특성
•
•
•
•
제어
제어
제어
제어
가능하고 관측 가능한 부시스템 S co
가능하고 관측 불가능한 부시스템 S
cu
불가능하고 관측 가능한 부시스템 S
uo
불가능하고 관측 불가능한 부시스템 S
uu
• 전달함수행렬 G(s)
y(s)=G(s)u(s)
여기서 제어 가능하고 관측 가능한 부 시스템 S co
만 관련 있음
그림 8.2 가제어성/가관측성에 따른 시스템 분할
- 21 -
예제 8.8 가제어성/가관측성에 따른 시스템 분할 및 시스템의 전달함수 구하기
- 분할된 부시스템으로부터 제어 가능하고 관측 가능한
부시스템 S co의 입출력 관계를 나타내는 전달함수 G (s )
- 실제 시스템은 3차 시스템 (고유값 3개)
- 전달함수 G (s )에는
S co 의 모드만 나타남 (극점 1개)
그림 8.3 3차 시스템에 대한 시스템 분할
- 22 -
8.7 안정도
 점근적 안정도
(8.71)
(8.72)
- 식 (8.71)을 대각선형 상태공간모델식으로 변환
diag{i }, i  1, 2,, n
(8.75)
(8.76)
 Re{i }  0 (i  1, 2,, n) 이면,
x  Vz 으로부터 x(t )  0
- 시스템행렬 A의 고유값의 실수부 Re{i }  0 (i  1, 2,, n)  시스템: 점근적으로 안정
 BIBO 안정도
- 시스템 출력이 모든 한정된 입력에 대하여 한정
일때
- 시스템 전달함수의 모든 극점의 실수부 Re{ pi }  0 (i  1, 2,, n)
※ 극점-영점 상쇄가 없다면 전달함수의 극점과 시스템의 고유값 동일
(8.77)
BIBO 안정도 보장
- 23 -
8.8 상태 피드백과 출력 피드백
 개루프 시스템
- 상태공간모델식
여기서
(가정) [A, B]는 제어 가능, [A, C]는 관측 가능
그림 8.4 개루프 시스템
- 24 -
 전 상태 피드백 제어시스템
- 제어법칙
(가정) 모든 상태변수 측정가능
- 폐루프 시스템의 상태공간모델식
그림 8.5 상태 피드백 제어시스템
- 시스템이 적어도 안정 가능(stabilizable)하고
모든 상태변수를 측정할 수 있는 경우에만 사용가능
※ rank[B] = m, [A,B]가 제어가능하면,
• n개의 폐루프 고유값  i 를 지정 가능
• n개의 폐루프 고유벡터에서 각 고유벡터의 요소 중 min(m, n)개 임의로 지정 가능
- 25 -
 출력 피드백 제어시스템
- 제어법칙
- 폐루프 시스템의 상태공간모델식
그림 8.6 출력 피드백 제어시스템
(가정) [A, B]는 제어 가능, [A, C]는 관측 가능
※ rank[B] = m, rank[C] = p, [A,B] 제어 가능, [A,C] 관측 가능하면
• max(m, p)개의 폐루프 고유값을 지정 가능
• max(m, p)개의 폐루프 고유벡터에서 각 고유벡터 요소 중 min(m, p)개를
임의로 지정 가능
- 26 -
8.9 극점배치법을 이용한 제어시스템 설계
- 개루프 시스템의 상태공간모델식
(8.87)
- 제어법칙
(8.88)
- 폐루프 시스템의 상태방정식
(8.89)
- 폐루프 시스템 [A-bg]의 극값, 고유값 계산
또는
(8.91)
- 27 -
 바람직한 폐루프 극점배치
- 바람직한 폐루프 극점 배치 방법
• 요구되는 성능(정착시간, 최대오버슈트 등)을 만족 시킬 수 있도록 대표극점 배치
• 나머지 극점들은 대표극점으로부터 충분히 떨어진 위치에 배치
(대표극점의 고유주파수의 3배~5배)
그림 8.7 바람직한 극점배치
- 28 -
 제어게인 선정방법(바람직한 위치에 극점 배치)
(1) 특성방정식의 계수 비교
- 요구되는 극점 위치로부터 구한 바람직한 특성방정식
또는
(8.93)
- 제어게인을 포함한 실제 특성방정식
(8.94)
- 식 (8.93)과 식 (8.94)의 계수를 비교
 n개의 제어게인
선정
- 29 -
d
a
(2) 폐루프 시스템행렬 A c 와 A c 비교
- 폐루프 시스템행렬 Ac ( A  bg)
a
(8.96)
- 바람직한 특성방정식 (8.93)으로부터 유도된
A cd
(8.97)
- 행렬
A ca 와 A cd 의 마지막 행의 각 요소 일치시킴  제어게인 gi 선정
(8.98)
- 30 -
예제 8.10 2차 시스템에 대한 상태 피드백 제어시스템 설계
(설계사양)
• 일정한 입력에 대한 0-정상상태오차
• 감쇠비 ζ ≥ 0.707
• 고유주파수 ωn ≥ 1rad/sec
그림 8.8 불안정한 2차 시스템
- 우선 일정한 입력에 대하여 0-정상상태오차를 얻기 위하여 오차신호 e를 새로운 상태변수로
첨가한 상태 피드백 제어시스템 구성
그림 8.9 적분기를 포함한 상태 피드백 제어시스템
- 31 -
- 개루프 시스템의 상태방정식
- 상태 피드백 제어법칙
- 폐루프 시스템의 상태방정식
- 32 -
- 폐루프 특성방정식 (C.E.)a
또는
- 설계사양(ζ ≥ 0.707, ωn ≥ 1rad/sec)을 만족시킬 수 있는 폐루프 극점배치를 위해
바람직한 폐루프 특성방정식 (C.E.)d 선정
- 특성방정식 (C.E.)a 와 (C.E.)d 의 계수들을 비교
 제어게인
gi
선정
- 33 -
8.10 상태 피드백과 서보 설계
- 상태 피드백의 적용
• 극점배치
• 고유구조지정(eigenstructure assignment)
• LQ 최적제어(linear quadratic optimal control)기법
- 개루프 시스템의 상태공간모델식 및 제어법칙
(가정) 모든 상태변수 측정가능
- 폐루프 시스템의 상태공간모델식
그림 8.10 상태 피드백 제어시스템
- 그림 8.10에서 Φ(s)  (sI  A)1 ,
v(t )  0
레귤레이터
- 34 -

서보 시스템의 명령추종 성능 평가
그림 8.11 상태 피드백을 이용한 서보 시스템
- 오차신호 e(s)가 피드백 안 됨
- e(s)의 개수 p와 v(s)의 개수 m이 일반적으로 일치하지 않음
서보 기능 수행 못함
(제안) 상태 피드백과 포워드 제어를 포함하는 제어방법
그림 8.12 포워드 제어를 포함한 상태 피드백 제어시스템
- 35 -
 설계 파라미터 G와 F 선정 방법
- 상태 피드백 제어로부터 피드백 제어게인행렬 G 선정
- 명령추종 성능을 향상시킬 수 있는 적절한 포워드 제어게인행렬 F 선정
 설계 파라미터 F 선정
(가정) 제어입력 u(s)의 개수와 출력 y(s)의 개수 같음
(8.104)
여기서
(8.105)
- s = 0에서 식 (8.104)가 만족되도록 설계 파라미터 F 선정
(8.106)
 T(0)  I 되도록 F 선정
또는
(8.108)
- 36 -
피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보시스템
그림 8.13 피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보 시스템
- 오차신호
(8.109)
- 상태벡터 재정리
출력벡터
상태변수 중에서 출력 y(t)를 제외한 상태변수로 이루어진 상태벡터
- 37 -
- 상태공간모델식
(8.110)
여기서
- 제어법칙
(8.111)
여기서
- 38 -
※ 전달함수 G(s) = 1/s2인 플랜트에 대한 제어시스템 설계
① 상태 피드백 제어만을 이용한 서보 시스템
② 피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보 시스템
(설계사양) 바람직한 폐루프 극점:
- 상태공간모델식
(8.112)
- 극점배치기법을 이용한 바람직한 폐루프 시스템의 극점 지정
- 제어법칙
(8.113)
- 39 -
그림 8.14 상태 피드백 제어를 이용한 서보 시스템
그림 8.15 그림 8.14에 표시된 서보 시스템의 단위스텝응답
(분석)
- 과도응답 성능 만족
- 정상상태응답 성능 불만족
• 정상상태에서 출력이 0.2 = 단위스텝기준입력의 1/5배
- 40 -
 정상상태응답 성능 개선 방법
- 피드백 및 피드포워드 제어 적용 (그림 8.13)  과도응답 및 정상상태응답 성능 모두 만족
- 제어법칙:
그림 8.16 피드백 및 피드포워드 제어를 이용한 서보 시스템
(8.116)
그림 8.17 그림 8.16에 표시된 서보 시스템의 단위스텝응답
(결론)
- 저주파에서 에너지를 갖는 기준입력에 대한 정상상태응답 성능 향상
- 극점배치기법에 의한 공칭안정도 및 과도응답 성능 충족
- 41 -
8.11 관측기 설계
그림 8.18 관측기의 구조
- 관측기 상태방정식
(8.118)
여기서
H: 관측기 게인행렬
- 관측기 목적
상태 x를 추정
~
ˆ ) 빠르게 0으로 수렴
상태추정오차 x ( x  x
- 상태 추정오차에 대한 동특성
(8.119)
※ 상태추정오차의 동특성 (A-HC)가 상태 피드백 제어의 동특성 (A-BG)보다 3~5배
더 빠르게 되도록 관측기 게인행렬 H 선정
- 42 -
예제 8.11 레귤레이터에 대한 상태 피드백 제어기 및 관측기 설계
여기서
(설계사양) 폐루프 극점이 -2에 놓이도록 함
시스템의 고유주파수 ωn: 2배, 감쇠비 ζ: 0 → 1로 증가시키는 효과
(8.120)
- 설계사양을 만족하는 폐루프 특성방정식:
- 제어게인을 포함한 폐루프 특성방정식
또는
(8.121)
- 식 (8.120)과 식 (8.121)을 이용하여 상태 피드백 제어게인 G 선정  G = [3 4]
- 43 -
 관측기 게인 선정
- 상태추정오차의 동특성 (A-HC)가 상태 피드백 제어의 동특성 (A-BG)보다 5배 빠르게
관측기의 두 극점 모두 -10에 배치
 관측기의 바람직한 특성방정식
(8.122)
- 관측기 게인을 포함한 특성방정식
또는
(8.123)
- 식 (8.122)와 식 (8.123)를 이용하여 관측기 게인 H 선정  H = [20 99]T
- 44 -
 관측기를 이용한 상태 피드백 제어시스템의 상태공간모델식
그림 8.19 관측기를 이용한 상태 피드백 제어시스템의 구조
- 45 -
- 초기조건 x0  [1  1] 일 때 출력
T
• 관측기의 초기조건:
y 와 추정된 출력 yˆ 에 대한 응답
x0  [0 0]T
그림 8.20 레귤레이터의 초기조건에 대한 출력
y 와 추정된 출력 yˆ 의 응답
(분석)
- 관측기에서 상태추정은 초기 과도상태를 지난 후 실제 상태를 잘 추적함
- 출력
y 와 추정된 출력 yˆ 사이의 오차 동특성은 제어시스템의 동특성 보다 5배 빠름
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8.12 MATLAB을 이용한 상태공간 해석 및 설계
예제 8.12 시스템의 가제어성 및 가관측성 조사
가제어성 조사 프로그램
가관측성 조사 프로그램
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예제 8.14 시스템에 대한 관측기 설계
여기서
(설계사양) 관측기의 바람직한 극점:
p1, 2  2  j 2 3, p3  5
- ‘place’ 명령을 사용하여 관측기 게인행렬 H 선정
• 관측기 설계 가능여부 조사하기 위하여 가관측성행렬 Mo 구함
• 가관측성행렬 Mo의 rank 조사  시스템의 가관측성 판정
• 관측 가능하면 ‘place’ 명령을 사용하여 관측기 게인행렬 H 선정
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바람직한 관측기의 극점
op=[p1, p2, p3]
- 관측기 구조: 그림 8.18
- 관측기의 상태방정식:
- 바람직한 관측기 게인행렬
H  [3 5 5]T
- 49 -