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Time (by Pink Floyd)
2nd Order Ordinary
Differential Equation
Prof. Seewhy Lee
2계 미분방정식이라구??
2nd Order
Linear Differential Equation
A( x) y" B( x) y' C ( x) y G( x)
y1만을 포함하고 있음 Linear (선형)
G(x) = 0 Homogeneous (제차, 동차)
G(x) ≠ 0 Inhomogeneous (비제차)
Our Concern
A( x) y" B( x) y' C ( x) y G( x)
Homogeneous: G(x) = 0
Const. Coefficients: A( x) a, B( x) b, C ( x) c
a y" b y' c y 0
Textbook p.297~299
2계 제차 선형 미분방정식의 해
두 개의 서로 독립인 함수 y1(x), y2(x)를 포함
일반해는 그 두 해의 선형 결합: y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)
두 개의 초기조건 적용: 두 상수 c1, c2 결정
y" 0
y1 ( x) 1
y2 ( x) x
y( x) c1 y1 ( x) c2 y2 ( x)
c1 c2 x
선형결합
Initial Condition: y(0) 3 y ' (0) 1
c1 3
c2 1
y ( x) 3 x
서로 (1차) 독립일 조건
f g
W
f g ' f ' g 0 (Wronskian)
f ' g'
g ( x) x
f ( x) 1
W
1 x
0 1
f ( x) x
독립
1 0
g ( x) 2 x
x 2x
W
0
1 2
종속
Quiz
g ( x) 1 x
f ( x) 1 x
독립 여부?
상수계수 2계 제차 선형 미분방정식
a y" b y' c y 0
y e , t constant
tx
y' tetx , y" t 2etx
a t 2etx b tetx c etx 0
at2 bt c 0
(특성방정식)
Case A: Two Distinct Real Roots
at bt c 0
2
t t1 , t2
(특성방정식)
t1 t2
Your Due: Prove that exp(t1x) and exp(t2x) are independent.
y( x) c1 exp(t1 x) c2 exp(t2 x)
Your Due: <예제 2.1>, <연습문제 1>
A Simple Example
y" y 0
ye
y(0) 0, y' (0) 2
y' te
tx
tx
t e e
2 tx
tx
2 tx
y" t e
t 1
0
y( x) c1e x c2e x
y(0) c1 c2 0, y' (0) c1 c2 2
y( x) e e
x
x
2 sinh x
Case B: One Equal Root
at bt c 0
2
y1 ( x) exp(tx) ,
(특성방정식)
y2 ( x) x exp(tx)
Your Due: Prove that y1(x) and y2(x) are independent.
y( x) (c1 c2 x)etx
Your Due: <예제 2.2>, <연습문제 1>
Case C: Two Distinct Imaginary Roots
at bt c 0
2
(특성방정식)
t1 i , t2 i
y( x) c1 exp(t1 x) c2 exp(t2 x)
이 함수는 지수함수와 삼각함수의 결합으로 표현된다.
Euler’s Formula
i
e cos i sin
(2.71828...)
13.141592...
1 0
A Simple Example
y" y 0
y etx
y(0) 1, y' (0) 0
y' tetx
t 2etx etx 0
y" t 2etx
t i
y( x) c1eix c2eix
y(0) c1 c2 1, y' (0) i(c1 c2 ) 0
1 ix ix
y ( x) (e e ) cos x
2
Shock Absorber
• Shock Absorber
• 차체의 진동을 빠르게 소멸시킴
• “쇼바”가 아니고 “쇼크 앱소버”
작지만 매우 중요한 부품
Shock
Absorber
Shock Absorber
역할과 목적
차체에 오는 충격을 진동으로 바꿔주고 가장 아늑하게 소멸시킴
감쇠력과 감쇠상수
물체가 빠를수록 액체로부터 받는 감쇠력(저항력)
은 크다.
(DampingForce) FD v
감쇠력의 방향은 물체의 운동 방향과 반대이
다.
m
dx
FD bv b
dt
b : 감쇠상수 (감쇠력과 속도 사이의 비례상수)
스프링에 매달린 물체에 작용하는 두
힘
스프링의 복원력 (Hooke의 법칙)
(RestoringForce) FR kx
액체의 감쇠력
m
dx
FD bv b
dt
물체가 받는 힘
dx
F FD FR bv kx b kx
dt
감쇠진동에 대한 미분방정식
뉴턴의 운동방정식
d 2x
F ma m 2
dt
물체가 받는 힘
dx
F FD FR b kx
dt
미분방정식
d 2x
dx
m 2 b kx 0
dt
dt
2
d x
dx
b
k
2
2 0 x 0
, 0
2
dt
dt
2m
m
풀이
d 2x
dx
2
2 0 x 0
2
dt
dt
x et , constant
2
dx
d
x
t
2 t
e ,
e
2
dt
dt
2 t
t
2 t
e 2e 0 e
0
2 0 0 (특성방정식)
2
2
0
2
2
Case A: Under-Damping
0
2
0
2
i
x1 (t ) e
( i )t
0 2
x2 (t ) e
2
( i )t
x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t )
et c1eit c2eit
(선형결합)
Case A: Under-Damping (Continued)
x(t ) e
t
c e
it
1
c2e
it
et c1 ' sin(t ) c2 ' cos(t )
cet cos(t )
x(t ) c e
감
쇠
t
cos(t )
진
동
Damped Oscillation
Case B: Over-Damping
0
2
2 0 0
1 0 0
2
2
2
2
1t
2t
x1 (t ) e
x2 (t ) e
x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t )
1t
c1e
2t
c2e
2
(단조감
소)
(선형결
합)
Case C: Critical Damping
x1 (t ) e
t
x2 (t ) tet
x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t )
c1 c2t e
t
(선형결
합)
이 경우 진동이 가장 빨리 소멸
No Damping
Under-Damping
Critical Damping
Over-Damping
감쇠진동
2~3회 왕복에 진동이 거의 소멸되도록 설계
Case Study 2: Critical Damping
• 임계감쇠
• 최단시간에 진동을 소멸시킴
• 적용 예: 도어
Case Study 2: Critical Damping
• 임계감쇠
• 최단시간에 진동을 소멸시킴
• 적용 예: 도어
Little Damping
Door Damper
특성방정식이 중근을 가질 때 감쇠가 가장 빠르다!
Summary
2계 선형 미분방정식: 제차 / 비제차
우리는 상수계수 제차 미방만을 다룸
서로 독립인 두 개의 함수가 필요
두 함수가 서로 독립일 조건은 W≠0
일반해는 독립인 두 함수의 선형결합
상수계수 제차 미방: 특성방정식 풀이를 통해
두 근이 서로 다른 경우와 중근인 경우로 나