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Time (by Pink Floyd)
2nd Order Ordinary
Differential Equation
Prof. Seewhy Lee
2계 미분방정식이라구??
2nd Order
Linear Differential Equation
A( x) y"  B( x) y'  C ( x) y  G( x)
y1만을 포함하고 있음  Linear (선형)
G(x) = 0  Homogeneous (제차, 동차)
G(x) ≠ 0  Inhomogeneous (비제차)
Our Concern
A( x) y"  B( x) y'  C ( x) y  G( x)
Homogeneous: G(x) = 0
Const. Coefficients: A( x)  a, B( x)  b, C ( x)  c
a y"  b y'  c y  0
Textbook p.297~299
2계 제차 선형 미분방정식의 해
 두 개의 서로 독립인 함수 y1(x), y2(x)를 포함
 일반해는 그 두 해의 선형 결합: y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)
 두 개의 초기조건 적용: 두 상수 c1, c2 결정
y" 0
y1 ( x)  1
y2 ( x)  x
y( x)  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x)
 c1  c2 x
선형결합
Initial Condition: y(0)  3 y ' (0)  1
c1  3
c2  1
y ( x)  3  x
서로 (1차) 독립일 조건
f g
W 
 f g '  f ' g  0 (Wronskian)
f ' g'
g ( x)  x
f ( x)  1
W 
1 x
0 1
f ( x)  x
독립
1 0
g ( x)  2 x
x 2x
W 
0
1 2
종속
Quiz
g ( x)  1  x
f ( x)  1  x
독립 여부?
상수계수 2계 제차 선형 미분방정식
a y"  b y'  c y  0
y  e , t  constant
tx
y'  tetx , y"  t 2etx
a t 2etx  b tetx  c etx  0
at2  bt  c  0
(특성방정식)
Case A: Two Distinct Real Roots
at  bt  c  0
2
t  t1 , t2
(특성방정식)
t1  t2
Your Due: Prove that exp(t1x) and exp(t2x) are independent.
y( x)  c1 exp(t1 x)  c2 exp(t2 x)
Your Due: <예제 2.1>, <연습문제 1>
A Simple Example
y" y  0
ye
y(0)  0, y' (0)  2
y'  te
tx
tx
t e e
2 tx
tx
2 tx
y" t e
t  1
 0
y( x)  c1e x  c2e x
y(0)  c1  c2  0, y' (0)  c1  c2  2
y( x)  e  e
x
x
 2 sinh x
Case B: One Equal Root
at  bt  c  0
2
y1 ( x)  exp(tx) ,
(특성방정식)
y2 ( x)  x exp(tx)
Your Due: Prove that y1(x) and y2(x) are independent.
y( x)  (c1  c2 x)etx
Your Due: <예제 2.2>, <연습문제 1>
Case C: Two Distinct Imaginary Roots
at  bt  c  0
2
(특성방정식)
t1    i , t2    i
y( x)  c1 exp(t1 x)  c2 exp(t2 x)
이 함수는 지수함수와 삼각함수의 결합으로 표현된다.
Euler’s Formula
i
e  cos  i sin 
(2.71828...)
13.141592...
1  0
A Simple Example
y" y  0
y  etx
y(0)  1, y' (0)  0
y'  tetx
t 2etx  etx  0
y" t 2etx
t  i
y( x)  c1eix  c2eix
y(0)  c1  c2  1, y' (0)  i(c1  c2 )  0
1 ix ix
y ( x)  (e  e )  cos x
2
Shock Absorber
• Shock Absorber
• 차체의 진동을 빠르게 소멸시킴
• “쇼바”가 아니고 “쇼크 앱소버”
작지만 매우 중요한 부품
Shock
Absorber
Shock Absorber
역할과 목적
차체에 오는 충격을 진동으로 바꿔주고 가장 아늑하게 소멸시킴
감쇠력과 감쇠상수
물체가 빠를수록 액체로부터 받는 감쇠력(저항력)
은 크다.
(DampingForce) FD  v
감쇠력의 방향은 물체의 운동 방향과 반대이
다.
m
dx
FD  bv  b
dt
b : 감쇠상수 (감쇠력과 속도 사이의 비례상수)
스프링에 매달린 물체에 작용하는 두
힘
스프링의 복원력 (Hooke의 법칙)
(RestoringForce) FR  kx
액체의 감쇠력
m
dx
FD  bv  b
dt
물체가 받는 힘
dx
F  FD  FR  bv  kx  b  kx
dt
감쇠진동에 대한 미분방정식
뉴턴의 운동방정식
d 2x
F  ma m 2
dt
물체가 받는 힘
dx
F  FD  FR  b  kx
dt
미분방정식
d 2x
dx
m 2  b  kx  0
dt
dt
2
d x
dx
b
k
2
 2  0 x  0

, 0 
2
dt
dt
2m
m
풀이
d 2x
dx
2
 2  0 x  0
2
dt
dt
x  et ,   constant
2
dx
d
x
t
2 t
 e ,


e
2
dt
dt
2 t
t
2 t
 e  2e  0 e
 0
  2  0  0 (특성방정식)
2
2
      0
2
2
Case A: Under-Damping
      0
2
  0
2
     i
x1 (t )  e
( i )t
  0   2
x2 (t )  e
2
( i )t
x(t )  c1 x1 (t )  c2 x2 (t )

 et c1eit  c2eit
(선형결합)

Case A: Under-Damping (Continued)
x(t )  e
t
c e
it
1
 c2e
it

 et c1 ' sin(t )  c2 ' cos(t )
 cet cos(t   )
x(t )  c e
감
쇠
t
cos(t   )
진
동
Damped Oscillation
Case B: Over-Damping
      0
 
2
 2      0  0
1      0  0
2
2
2
2
1t
 2t
x1 (t )  e
x2 (t )  e
x(t )  c1 x1 (t )  c2 x2 (t )
1t
 c1e
 2t
 c2e
2
(단조감
소)
(선형결
합)
Case C: Critical Damping
 
x1 (t )  e
 t
x2 (t )  tet
x(t )  c1 x1 (t )  c2 x2 (t )
 c1  c2t e
 t
(선형결
합)
이 경우 진동이 가장 빨리 소멸
No Damping
Under-Damping
Critical Damping
Over-Damping
감쇠진동
2~3회 왕복에 진동이 거의 소멸되도록 설계
Case Study 2: Critical Damping
• 임계감쇠
• 최단시간에 진동을 소멸시킴
• 적용 예: 도어
Case Study 2: Critical Damping
• 임계감쇠
• 최단시간에 진동을 소멸시킴
• 적용 예: 도어
Little Damping
Door Damper
특성방정식이 중근을 가질 때 감쇠가 가장 빠르다!
Summary
 2계 선형 미분방정식: 제차 / 비제차
 우리는 상수계수 제차 미방만을 다룸
 서로 독립인 두 개의 함수가 필요
 두 함수가 서로 독립일 조건은 W≠0
 일반해는 독립인 두 함수의 선형결합
 상수계수 제차 미방: 특성방정식 풀이를 통해
 두 근이 서로 다른 경우와 중근인 경우로 나