Transcript 제 1 장 자동제어의 개념 및 역사

제어시스템
시립인천전문대학
디지털 정보전자과
교수 박재삼
1
제1장
자동제어의 개념 및 역사
차례
1.1 제어시스템(Control Systems)
1.2 개루프 제어시스템 (Open-loop Control Systems)
1.3 궤환제어시스템(Feedback Control Systems)
1.4 궤환제어시스템의 구성과 신호
1.5 제어의 목표(The Aim of Control) 및 제어법칙(Control Law)
1.6 제어시스템의 분류
1.7 제어시스템의 예 - 로봇기구부의 컴퓨터제어
1.8 제어의 역사
1.9 제어시스템의 설계 절차
2
1.1 제어시스템(Control Systems)
•
제어(control): 물리적 장치(기계, 전기, 기구, 장치, 설비 등)의 출력이 원
하는 응답으로 동작하도록 조작을 가하는 것
– 플랜트(plant) 또는 프로세스(process) : 제어를 받는 제어대상물
– 제어기(controller) : 제어입력을 만드는 장치
– 제어시스템(control system) : 플랜트와 제어기를 포함한 전체 장치
•
•
•
수동제어(manual control): 제어동작이 인간의 판단과 조작에 의한 제어
자동제어(automatic control): 제어동작이 순수하게 기계에 의한 제어
자동제어가 실현되는 분야의 예:
–
–
–
–
온도, 습도를 조절하는 냉난방장치
공작기계, 로봇제어, 모터의 속도제어와 위치제어
온도, 압력, 유량 등의 상태량 제어
미사일 유도장치, 비행유도, 선박이나 항공기의 자동조정장치, 인공위성 자세
제어
3
1.2 개루프 제어시스템(Open-loop Control Systems)
•
개루프 제어시스템을 블록선도(block diagram)
기준입력
r(t)
•
•
•
•
•
•
•
제어기
제어입력
u(t)
출력
제어대상(플랜트)
y(t)
기준입력신호 가 제어기(controller)에 가하여지고,
제어기의 출력(제어입력)은 플랜트의 입력으로 가하여져서 최종 플랜트 출력이
가 나온다.
개루프 제어시스템은 제어동작이 출력과는 관계없다.
구조가 간단하여 유지, 보수가 쉽고 가격이 저렴하다
예 1: 교통신호등 제어시스템이 교통량에 관계없이 정해진 시간간격으로 순차적
으로 신호가 켜질 경우 이는 개루프 제어시스템이다.
예 2: 가정용 세탁기의 경우 빨래감의 세탁상태와는 무관하게 세탁기가 정하여
진 순서대로 불림, 세탁, 헹굼, 탈수 등의 과정을 미리 정하여진 시간대로 수행
하여 세탁이 완료될 경우 이는 개루프 제어시스템이다.
개루프 제어시스템는 미리 정하여진 순서에 의하여 동작을 하므로 순차 제어시
스템(sequential control systems)이라고도 한다.
4
1.3 폐루프 제어시스템(Closed-loop Control Systems)
궤환제어시스템(Feedback Control Systems)
블록선도
대기의 상태 변화
바람의 방향,속도 변화
( 외 란 )
목표비행 경로
(기준입력 )
+_
편차
조작
키
(제어입력)
제어장치
유도 미사일
실제의 비행경로
( 출력 )
제어대상
궤환
5
1.3 폐루프 제어시스템 설명
•
폐루프 제어시스템
–
•
제어하고자 하는 변수를 센서를 이용하여 측정하여 입력측으로 궤환
(feedback)시켜, 이 궤환된 신호와 기준입력신호를 이용하여 제어기에서
제어입력을 만들어 플랜트를 조작함으로써, 입력신호와 출력신호의 차
(편차)를 최소화하는 제어시스템이다.
유도미사일의 폐루프 제어시스템
–
①
②
③
목적: 미사일이 정하여진 경로를 비행하여 목표물을 명중
미사일의 특성, 비행경로에 따른 방향, 속도 등을 미리 알고 키의 방향을
시간적으로 프로그램하여 미사일에 입력시킴으로써 목표비행경로가 설
정
미사일이 경로에 따라 비행하는 도중, 대기의 상태, 바람방향 등의 영향
(외란)으로 실제의 비행경로가 목표비행경로를 벗어나게 된다
실제의 비행경로(출력)를 실시간으로 측정하여 벗어난 비행경로만큼 키
의 조작을 수정함으로써 원하는 목표경로를 비행하여 목표물에 명중하게
된다.
6
1.4 서보기구의 폐루프 제어시스템 구조
d
 vd

 vo
u
 km
feedback filter
7
1.4 서보기구의 폐루프 제어시스템 블록선도
외란
입력변환기
¸ñÇ¥¹æÀ§°¢
d
포텐셔미터
w
제어 기
입력전압
vd
+_
ÆíÂ÷ 아날로그

컴퓨 터
제어대상
제어입력
모터,기어,안테나
전력증폭
u
안테나위치 (출력)
o
출력변환기,검출부
출력전압
포텐셔미터
vo
8
1.4 서보기구의 폐루프 제어시스템 동작
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
원하는 목표(방위각도)방향 만큼 핸들을 돌려준다.
입력측의 가변저항(potentiometer)이 이동함으로써 전압의 크기 로 물리량
의 변환이 발생한다.
한편, 안테나의 현재의 위치가 출력측의 가변저항(potentiometer)에 의하여
전압의 크기로 변환되어 입력측으로 궤환된다.
편차검출기에 의하여 입력측전압(목표방위) 와 출력측전압(현재의 안테나
방위) 의 편차 를 검출한다.
편차를 제어기에 입력하여 적절한 제어신호를 만든다.
제어신호를 증폭기를 이용하여 전력증폭하여 모터를 구동시킴으로써 모터
에 연결된 안테나를 회전시킨다.
안테나가 회전함으로써, 수정된 안테나의 방향이 출력측의 가변저항
(potentiometer)에 의하여 전압의 크기로 변환되어 입력측으로 궤환되어,
입력측의 전압(목표 방위) 와의 편차가 0이 될 때까지 위의 ②~⑥ 동작이 계
속된다.
편차가 0이 되면 모터의 회전이 멈추게 되어 ①에서 원하는 목표방위로 안
테나의 방향이 정하여진다.
제어과정 도중, 바람의 방향과 속도 등이 안테나의 회전을 방해함으로써 제
어동작에 영향을 주게 되는데 이를 외란(disturbance)라 한다.
9
폐루프 제어시스템의 구조 및 블록선도
시스템오차
외란
목표값
( 기준입력)
r(t)
동작
신호
입력변환기
Gr(s)
+_
제 어 기
Gc(s)
제어
입력
+_
플랜트
플 랜 트
출력
G(s)
y(t)
궤환요소
주궤환신호
센서잡음
H(s)
제어기
센서
+_
W(s)
s
R(s)
+_
B(s)
E (s)
+
Gr(s) Gc(s)
U(s) +
G(s)
H(s)
Gr(s)
Y(s)
+
+ V(s)
10
폐루프제어시스템의 구성 요소
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
제어대상 또는 플랜트(plant, process): 제어를 받는 대상 플랜트라 한다. 제어
신호 를 입력하여 출력신호를 발생한다
제어기(controller, compensator): 동작신호 로부터 제어신호를 계산. PID제어
기, 진상-지상보상기 등 제어이론에 따라 다양한 제어기가 설계된다.
궤환요소(feedback element): 출력신호를 검출하여, 입력신호와 같은 물리량
의 궤환신호로 변환한다.
시스템오차(system error) 또는 추적오차(tracking error) : 기준입력과 출력의 차.
제어의 최종목표는 이 추적오차를 가능한 한 작게 하는 것이 된다.
동작신호(actuating signal): 기준입력과 궤환신호와의 차
목표값(desired value) 또는 기준입력(reference input): 제어시스템에 가하여지
는 외부입력값. 기준입력이 주궤환신호의 물리량이 다른 경우 입력변환기를 사
용하여 기준입력을 주궤환신호와 같은 물리량으로 변환시켜준다.
출력(output), 또는 응답(response) : 입력신호에 의한 제어대상의 변화량
주궤환신호(primary feedback signal) : 출력신호가 궤환요소에 의하여 입력신
호와 같은 물리량으로 변환되어 입력측으로 궤환되는 신호
제어입력신호(control input signal) : 제어기의 출력을 말하며 이는 플랜트의 입
력이 되어 플랜트를 동작시켜주는 신호가 된다.
외란(disturbance) : 제어대상에 가하여져 제어에 악영향을 주는 원하지 않는
외부 입력신호를 말한다.
센서잡음(sensor noise) : 센서(측정기)로 출력을 측정시에 발생하는 원치
11 않는
신호를 말한다
1.5 제어의 목표(The Aim of Control) 및
제어법칙(Control Law)
• 제어의 목표는 플랜트의 출력과 입력(목표값)의 차이(오차)를 최
소화하는(minimize)데 있다.
• 이 목표를 달성하기 위하여 알맞은 제어입력 값을 생성하도록
하는 제어법칙(control law)이 필요하다.
• 앞장의 그림에서 보는 바와 같이, 제어기를 설계함으로써
•
•
• 의 관계가 되어, 알맞은 제어입력 값을 생성할 수 있는데 이와
같이 입력신호, 출력신호와 제어입력의 관계식을 제어법칙
(control law)이라 한다.
12
1.6 제어시스템의 분류
•
목표값의 시간적 성질에 의한 분류
– 정치제어: 기준입력이 일정한 값(constant) 일때 이를 정치제어(regulator
problem)이라 한다. 예: 프로세스제어(process control)
– 경로추종제어: 기준입력이 경로(desired trajectory)일 때 이를 경로추종제어
(trajectory following problem)이라 한다.
– ① 서보: 기준입력이 시간에따라 임의로 변화하는 각종
– ② 추적제어: 기준입력이 시간에 대한 특정한 함수
–
예: 로봇과 같이 프로그램제어의 경우
–
③ 모델추종제어: 기준입력이 다른 플랜트나 모델(model)의 출력일 때
•
시스템의 특성에 따른 분류
– 선형(linear)제어시스템, 비선형(nonlinear)제어시스템
– 시불변(time-invariant) 시스템, 시변(time-varying) 시스템
•
시스템의 신호형태에 따른 분류
– 연속시간(continuous time) 시스템, 이산시간(discrete time) 시스템
•
입출력 수에 의한 분류
– 단일 입출력(Single-Input- Single-Output: SISO) 제어시스템, 다중 입출력
(Multi-Input-Multi-Output: MIMO) 제어시스템
13
1.7 제어시스템의 예
- 로봇 기구부 구조
End Effector
Link
Motor & Gear
Link
Motor & Gear
Task ¸ñÇ¥
Planner °æ·Î
+_
Á¦¾î
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½ÅÈ£ £Ä£¯£Á
½ÅÈ£ Á¦¾î¹ýÄ¢¡¡
¡¡º¯È¯±â¡¡
¸ðÅÍ
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Àü·ÂÁõÆø±â¡¡
엔코더 펄스로 변환된 링크위치
¼-º¸¸ðÅÍ
±â¾î¹Ú½º
·Îº¸Æ®¡¡
±â±¸ºÎ¡¡
¸µÅ©À§Ä¡¡¡
엔코더　ÄÄÇ»ÅÍÁ¦¾î±â(Control computer)
14
1.7 제어시스템의 예
- 로봇 기구부의 컴퓨터제어
•
“teaching and playback” 제어기법
– teaching 모 드 에 서 end-effector 의 요 구 되 는 목 표 지 점 을 teaching
pendant나 프로그램으로 입력(teaching)
– task planner에서, 주어진 목표지점을 토대로, 로봇이 운동하여야 할 각 관
절의 목표경로(target trajectory)를 계산
– playback 모드에서 로봇기구부의 각 관절의 모터를 구동시킬 토오크
(torque) 값을 산출
– end-effector가 task planner에서 계산된 목표경로를 정확하게 따라갈 수
있도록 시간에 따른 각 관절의 모터에 필요한 토크를 정확하게 계산할 수
있는 제어법칙(control law) 필요
•
문제점:
– 플랜트의 정확한 동적모델을 구할 수 없어 실제시스템의 수학적 모델은 항
상 모델링 오차가 존재, 즉 불확실성 (uncertainty)이 존재한다는 것
– 플랜트의 변수가 제어도중 변화한다는 것 (예: 로봇기구부의 inertia 특성은
로봇이 들어올리는 물체의 질량에 따라 변화)
•
로봇 기구부 운동제어 문제:
– 로봇기구부의 동적 모델에 불확실성의 존재에도 불구하고 로봇의 endeffector가 task planner에서 계산된 목표경로를 가능한 빠른 속도로 정확
하게 따라갈 수 있도록 시간에 따른 각 관절의 모터에 필요한 토크를 정확
15
하게 계산할 수 있는 제어법칙(control law)을 구하는 것
1.8 제어의 역사
•
고대 : 수위 및 수량제어
•
1624년: Incubator(계란부화기), Drebble
Damper
Supply
Float
Riser
Float
Water
Flue gases
Metal plate
Fire
Alcohol
16
제어의 역사
•
•
1728년: Flyball governor(조속기), Watt
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1868 년 :
Flyball
stability
analysis(조속기의 안정도 해석),
J.C. Maxwell
1877 년 : Stability criteria( 안 정도
판별법), E.J. Routh
1893년: Nonlinear stability(비선형
시스템의 안정도 판별법), A.M.
Lyapunov
1932 년 : Nyquist stability
criterion(나이퀴스트 안정도 판별
법), H. Nyquist
1938 년 : Frequency response
methods(주파수 응답), Bode
1942 년 : Ziegler-Nichols PID
tuning(PID 동조 방법)
1947년: Nichols chart(니콜스 차
트), Nichols
1948 년 : Root locus( 근 궤 적 ),
Evans
1960년: Modern control(현대제어)
시작 :
–
1'st IFAC conference in Moscow.
17
제
어
시
스
템
설
계
절
차
설계목적
개념설정
제어대상의 특성, 외란의 크기, 목표치의 변화 등
조사
Step 1
플랜트의 동적모델링 및
시스템모델링
Step 2
설계사양 결정
Step 3
제어시스템설계
Step 4
컴퓨터시뮬레이션
(안정도와 성능검토)
Step 5
설계사양 확인
결과가 만족하지않으면 Step 2 또는 Step 3 부터
다시 시작한다.
Step 6
제어시스템 제작 및 성
능검사
하드웨어적인 제어시스템을 제작하여 실제 제어
시스템의 성능을 확인한다
설계완료
플랜트의 동적모델(dynamic model: differential
equation: dynamic equation)을 구한다.
동적모델을 라플라스 변환하여 전달함수를 구하고
제어요소를 선정하여 제어계로 정리한다(블록선
도, 상태방정식 등).
제어시스템의 성능, 공학적 구속조건, 경제성 등을
고려하여 설계사양을 정한다.
설계사양을 만족시키기위한 적합한 설계방법, 즉
사용할 제어이론, 보상요소등을 선정하여 제어시
스템을 설계한다 (소프트웨어적인 설계)
설계한 제어시스템을 컴퓨터시뮬레이션(computer
simulation)등을 통하여 제어시스템의 안정도와 성
능을 검토한다.
안정도는 극점 조사법, Routh 안정도 판별법, 근궤
적법, Nyquist, Bode, Nichols법등으로 조사할 수
있다.
제어시스템의 성능은 시간영역 및 주파수영역에
서 조사된다. 시간영역(time domain) 성능은 기준
입력에 대한 과도응답(transient response)과 정상
상태응답(steady-state response)등으로 조사된
다.
주파수영역(frequency domain) 성능은 외란제거,
센서잡음에 대한 저감도 등에 영향을 줄 수 있는
성능을 나타낸다
18
제2장
플랜트의 동적모델
Dynamic Models of Plant
차례
2.1 서 론
2.2 전기회로 시스템
2.3 직선운동기계 시스템
19
2.1 서 론
•
동적모델링: 동적 플랜트(dynamic plant)를 수학적으로 표현한 동적 모
델(dynamic model 또는 수학적 모델)을 구하는 것
– 동적(dynamic) : 시간에 따라 변화하는
– 모델(model) : 미분방정식(differential equation)
•
실제 시스템 방정식은 비선형이지만, 가능한 한 선형화하여 선형제어이
론을 적용
•
대부분의 실제 플랜트는 전기시스템, 기계시스템, 회전시스템, 유체시스
템 등이 복합적으로 구성되어 모델링하기가 어렵고 복잡하다.
•
목표: 전기회로시스템 및 직선운동 기계시스템 플랜트의 수학적 모델링
20
2.2 전기회로 시스템
•
전기회로에 대한 수학적 모델은 경로나 마디의 해석에 기초가 되는
Kirchhoff의 회로법칙을 이용하여 구한다.
•
사용된 심벌 및 단위는 다음과 같다
21
콘덴셔, 저항, 코일의
전압-전류, 전압-전하량, 임피던스 관계
22
직렬 RLC회로의 수학적모델(미분방정식)
•
문제: 그림과 같은 직렬 RLC회로에 대하여
–
–
1. 입력을
출력을
2. 입력을
출력을
정식을 구하여 보자.
로 할 때 이 회로의 모델과,
로 할 때 이 회로의 모델 즉, 미분 방
23
입력을
출력을
로할때
RLC 회로의 모델식
•
표를 참조하면 그림의 각회로 요소에 대한 전압, 전류 관계는 다음 식과
같다
•
Kirchhoff의 전압법칙을 이용하여 회로 주위의 모든 전압을 합산하면
다음식과 같다
24
입력을
•
•
•
출력을
로할때
RLC 회로의 모델식
표를 참조하면 그림의 각회로 요소에 대한 전압, 전류 관계는 다음 식과 같다
의 양변을 미분하여 정리하면
과 같으므로, 대입하면 다음 식의 결과를 얻는다.
25
2.3 직선운동기계 시스템
•
•
기계시스템의 동적모델은 Newton의 운동법칙을 이용하여 구할 수 있
다.
용수철의 복원력, 점성마찰의 감쇄력 그리고 질량에 작용하는 외력의
관계는 표와 같다.
•
• 사용된 심벌 및 단위는 다음과 같다.
26
스프링, 댐퍼, 질량에 대한
힘-속도, 힘-이동거리, 임피던스 관계
27
직선운동시스템의 수학적모델링 문제
•
점성마찰의 감쇄력, 용수철의 복원력, 그리고 질량에 작용하는 외력이
그림과 같이 작용하는 직선운동계에 대하여
•
입력을 힘( f(t) ), 출력을 질량의 변위( x(t) ) 로 할 때의 이 시스템의 모
델 즉, 미분방정식을 구하여 보자.
28
직선운동시스템의 수학적모델(미분방정식)
•
힘
에 의하여 질량
이 우로 이동, 힘과 질량과의 관계는
•
점성마찰 감쇄력
•
용수철의 복원력
•
이들 우로 작용하는 힘의 총합은
은 마찰계수
은 탄성계수
에 의하여 좌로 작용하므로
에 의하여 좌로 작용하므로
외부에서 가한 힘 - 점성마찰감쇄력 - 용수철복원력 =질량에 작용하는 힘
•
식을 정리하면
29
제3장
동적 시스템 모델링
Modeling of Dynamic Systems
차례
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
서 론
Laplace 변환
전달함수와 블록선도
미분방정식의 해법
블록선도
상태공간(State Space)과 상태방정식(State Equation
30
3.1 서 론
•
동적응답(dynamic response)을 해석
–
•
설계된 제어시스템이 원하는 목표성능을 만족하는가를 확인
제어시스템의 해석 및 설계방법
– 시간영역(time domain 또는 s-plane) 접근법
– 주파수영역(frequency domain) 접근법
– 상태공간(state space) 접근법
•
전달함수
– Laplace 변환을 사용하여 미분방정식으로 표현된 수학적 모델식으로부터 구
한다.
– 주파수영역에서 제어시스템을 해석하고 설계할 수 있는 기본식이 된다.
– 시간영역에서는 역 Laplace 변환을 이용하여 주어진 전달함수로부터 시스템
의 시간응답을 구할 수 있다.
– 선형미분방정식을 라플라스 변환하고 종속변수에 관하여 풀면 대수식으로 표
현되며, 이 대수식을 이미 알고 있는 시간함수의 형태로 분해하는 역 라플라
스 변환을 하면 미분방정식의 해인 시간함수가 구하여진다.
31
복소변수와 복소함수

복소변수

복소함수
32
s-평면으로부터 G(s) -평면으로의 단가사
상
j
j
0
s-평면
Im G
G(s)-평면
s1=j
 
Re G
0

|G(j ImG(j 

ReG(j
33
복소함수의 표시방법
34
라플라스 변환(Laplace Transformation)
•
라플라스 변환의 정의
35
기본파형의 Laplace 변환
36
단위계단함수(Unit step function)의
Laplace 변환
37
라플라스 변환의 특성(I)

정의 (Definition)

선형정리(Linearity theorem)

미분정리
(Differentiation theorem)

적분정리
(Integration theorem)
38
라플라스 변환의 특성(II)
•
초기값정리(Initial value theorem)
•
최종값정리(Final value theorem)
39
선형제어시스템의 전달함수
• 전달함수(transfer function)
– 동적 시스템에 대한 수학적 모델식으로부터 수파수역에서 시스템
을 해석할 수 있도록 만든 선형시불변 시스템의 입력과 출력 관계
를 나타내는 식이다.
– 전달함수는 물리적으로 서로 다른 시스템에 대한 전달함수가 동일
할 수 있다.
– 선형 시스템의 전달함수는 주로 G(s)로 나타낸다
– 시스템의 입력을 u(t), 출력을 y(t)라 하면, 전달함수 G(s)는 모든
초기조건이 0인 가정하에서 다음과 같이 정의된다.
40
입력을
출력을
로할때
RLC 회로의 전달함수
•
모델식(미분방정식)
•
초기조건이 0 이라 놓고 식의 양변을 Laplace 변환하면
•
전달함수 G(s)
•
블록선도
41
입력을
출력을
로할때
RLC 회로의 전달함수
•
모델식(미분방정식)
•
초기조건이 0 이라 놓고 식의 양변을 Laplace 변환하면
•
전달함수 G(s)
•
블록선도
42
의 관계
•
모델식(미분방정식)
•
초기조건이 0 이라 놓고 식의 양변을 Laplace 변환하면
•
정리하면
•
블록선도
43
직선운동 시스템 모델식의 전달함수
•
모델식(미분방정식)
•
초기조건이 0 이라 놓고 식의 양변을 Laplace 변환하면
•
전달함수 G(s)
•
블록선도
44
3.6 라플라스 변환에 의한 미분방정식의 해법
•
•
•
선형미분방정식을 Laplace 변환하여 종속변수에 관하여 풀면 대수식
(즉, 전달함수 형태)으로 표현된다
이 대수식을 역 Laplace 변환을 하면 미분방정식의 해인 시간함수가 구
하여진다.
이 과정을 그림으로 설명하면 그림과 같다.
입력신호
r(t)
Laplace 변환
R(s)
출력신호 ( 응답)
시스템 미분방정식
Laplace 변환
대수방정식( 전달함수)
G(s)
y(t)
역 Laplace 변환
Y(s)
Y(s)=G(s)R(s)
45
입력을
출력을
로할때
RLC직렬회로 미분방정식 해
•
전달함수 G(s)
•
블록선도
•
•
는 계단함수 형태가 되므로
역 Laplace 변환을 하여
를 구한다
46
직선운동 시스템 미분방정식의 해
•
전달함수 G(s)
•
블록선도
•
•
는 계단함수 형태가 되므로
역 Laplace 변환을 하여
를 구한다
47
3.7 블록선도(Block Diagram)
•
•
•
•
•
•
•
제어시스템의 구성요소의 상호관계를 나타내는 함수를 블록으로 표시하고, 그
요소의 신호흐름을 선으로 표시한 그림
제어시스템의 각 요소들 사이의 신호의 전달과정과 상호관계를 알수있도록 표
시한 신호전달계통도이다.
블록선도만으로는 전달요소의 실제 물리적 구성이 어떻게 되어 있는가는 알 수
없지만, 시스템의 구성과 동작 사이의 대응관계를 쉽게 알 수 있다.
전달요소(4각형 속에 표시)
신호의 전달방향: 화살표로 표시
X(s)
Y(s)
G(s)
신호의 합성: 작은원으로, 부호를 붙인다.
신호의 분지: 점으로 표시한다.
W(s)
X(s)
+
+_
Y(s)
Z(s)
Z(s)=X(s)+W(s)-Y(s)
X(s)
Z(s)
Z(s)=X(s)=Y(s)
Y(s)
48
블록선도의 등가변환(Block diagram manipulation)
및 전달함수 계산
•
•
•
자동제어시스템은 여러 요소의 결합에 의하여 복잡하게 구성되어 있다.
해석과 설계, 보상을 위하여 복잡하게 구성된 블록선도의 부분 부분을 서로 결
합시켜 등가변환을 하여, 표준궤환시스템, 단위궤환시스템, 개루프시스템 등으
로 간략화(reduction) 함으로써, 시스템의 상태를 쉽게 이해하도록 한다.
표준궤환형 블록선도의 등가변환
R(s)
+
E(s)
G(s)
Y(s)
R(s)
_
+ b(s)
G(s)
_ G(s)H(s)
1+
Y(s)
H(s)
•
개루프 전달함수:
폐루프 전달함수:
•
•
H(s)=1 일때 단위궤환형 블록선도라 한다.
B(s)의 부호가 (+) 이면 정궤환(positive feedback), (–) 이면 부궤환(negative feedback)
49
상태공간(State Space)과 상태방정식(State Equation)


미분방정식의 state-variable form 표현(u :입력, y :출력, x :변수)
상태방정식(state equation)과 출력방정식(output equation)으로 표현
A는 nxn 행렬, B 및 C는 nx1 및 1xn 벡터, D는 스칼라

상태공간 모델식을 시뮬레이션 선도로 표현하면 다음과 같다
D
u(t)
B
+
.
x(t)
x(t)
C
+
+
y(t)
+
A
50
제4장
제어시스템의 시간영역 해석
System Time Domain Analysis
차례
4.1 서 론
4.2 제어시스템의 시간응답
(System Time Response)
51
4.1 서 론
•
시간응답
– 시간이 지남에 따라 과연 시스템의 응답(출력)이 입력을 따라갈 것인가?
– 출력이 입력을 따라가려면 얼마의 시간이 필요할까?
– 시간경과에 따른, 입력과 이에 대한 응답(출력)과의 관계
•
시간영역(time domain) 해석
– 시간영역에서 시스템 성능 조사
– 동적모델에 대한 시간응답특성
•
제어시스템의 시간응답
– 시험입력신호를 사용하여 시스템의 과도응답과 정상상태응답을 조사
– 실시간에서 제어시스템의 성능을 시각적으로 예측
52
4.2 제어시스템의 시간응답
(System Time Response)

시험기준입력
 실제시스템의 제어시스템에 입력되는 신호는 시간에 따라 불규칙하게 변하
므로 예측할 수 없다.
 제어시스템 설계, 해석을 위하여 간단한 시험용 기준입력신호를 선택 사용
 시험용 기준입력: 계단신호, 램프신호, 임펄스신호 등이 주로 사용
 이들 신호에 대하여 좋은 성능을 보여주는 시스템은 실제의 다양한 입력신호
에서도 좋은 성능을 나타내는 것이 보통이다.
 계단신호, 램프신호, 임펄스신호는 3장 참조

과도응답(Transient Response)과 정상상태응답(Steady-State Response)
 응답 = 정상상태응답 + 과도응답
53
1차 시스템의 응답
•
1차시스템의 미분방정식(RL 회로, RC 회로 등) 및 전달함수
•
시스템 입력
가 계단함수 일때 출력(응답)

일때 응답
는 최종치의 63%에 도달

일때 t=0 에서의 접선은 최종치에 도달
 곡선의 임의의 한점에서의 접선은 초의 시간 경과 후에 최종치에 도달
 응답
(시정수의 4배) 이면 최종치의 98%에 도달(정상상태)
54
2차시스템의 응답
•
2차시스템의 미분방정식 및 전달함수
•
2차시스템의 전달함수 표준형 표현
제동비(damping ratio)
고유주파수(undamped natural frequency)
이득(Gain)

특성방정식(전달함수모델에서 분모를 0으로 한 방정식)

특성방정식의 근
55
특성방정식의 근과 응답과의 관계(I)
•
•
56
특성방정식의 근과 응답과의 관계(II)
57
SYSCON 프로그램을 이용한 제어시스템
해석 및 설계
•
Syscon 프로그램이란 ?
– SYSCON은 시간응답, Nyquist 선도, Bode 선도, Nicols 선도를 이용한 제
어시스템의 시뮬레이션, 해석 및 설계를 도와주는 프로그램이다.
•
SYSCON 개발자
– SYSCON은 인천전문대학 정보전자과 박재삼 교수가 개발하였다.
•
SYSCON 구성
–
–
–
–
–
–
SYSCON MODEL CONTROL : 제어시스템 전달함수 입력화면
TimeResponse : 시간응답 관련 화면
RootLusus : 근궤적 관련 화면
Nyquist : Nyquist 선도 관련 화면
Bode : Bode 선도 관련 화면
Nichols : Nichols 선도 관련 화면
58
SYSCON 구성 화면
59
SYSCON 프로그램 사용방법(시간응답)
•
•
Syscon 프로그램을 c:\syscon 폴더에 복사한다.
Matlab을 동작시키고 c:\syscon 폴더로 가서 syscon
엔터를 치면
그림과 같이 SYCON MODEL CONTROL 화면이 나타난다.
60
플랜트 전달함수 입력
•
•
Open-loop 시스템이고,
전달함수
인 시스템을 syscon 입력하는 방법
61
시간응답(Time Response)
•
•
•
메뉴에서 TimeResponse를 클릭하면 다음의 화면이 생성된다.
Plot 을 클릭하면 시간응답 파형이 그려진다
주의: tn 을 10으로 변경하였음
62
Hold를 사용한 응답파형 비교
•
제동비를
0, 0.2, 0.4, 0.7, 1, 2로
변경하였을 때의 응답파형
63
제5장
근궤적
Root Locus
차례
5.1 서 론
5.2 근궤적의 개념
5.3 근궤적의 작도법
5.4 근궤적 작도의 예
5.5 근궤적과 응답과의 관계
64
5.1 서 론
•
•
•
•
•
•
•
제어시스템의 시간응답은 그 제어시스템의 전달함수의 특성방정식의 근의 s-평면
(s-plane)에서의 위치에 따라 특성이 결정된다
폐루프 제어시스템의 특성은 폐루프 전달함수의 극점, 즉 특성방정식의 근을 구하
면 근의 위치에 따라 그 제어시스템의 시간응답을 유추할 수 있다.
특성방정식의 근을 수식적으로 인수분해에 의하여 구하는 것이 쉽지 않다.
1948년 Evans는 특성방정식의 근들을 수식적으로 풀지 않고, s-평면 위에 그 폐루
프 제어시스템의 개루프전달함수의 이득정수를 0에서 까지 변화시켜, 이득정수의
변화에 따른 특성방정식의 근의 위치변화(궤적)로부터 제어시스템을 해석 또는 설
계하는 방법을 발표하였다.
이 궤적을 근궤적(Root Locus)이라 한다.
근궤적법을 이용하면, 시스템 파라미터값이 변함에 따라 폐루프시스템의 안정도와
성능을 알 수 있다.
시스템 파라미터 값에 따른 특성방정식의 근을 계산하면 많은 시간이 요구되지만
근궤적법을 이용하면 폐루프 극점의 변화를 빠르고 시각적으로 파악할 수 있다.
65
5.2 근궤적의 개념

기본 폐루프 제어시스템의 구조 및 근궤적 해석을 위한 폐루프 제어시스템의 표준
블록선도

제어시스템의 전달함수 및 특성방정식
66
2차시스템의 근궤적의 예
67
2차시스템의 근궤적
68
5.3 근궤적의 작도법
69
5.4 근궤적 작도의 예(1)
70
SYSCON을 이용한 근궤적 작도(1)
①
②
③
SYSCON MODEL CONTROL에 그림과 같이 플랜트 방정식을 입력한다.
메뉴에서 RootLocus를 클릭하면 오른쪽 그림과 같이 RootLocus 화면이
생성된다.
RLOCUS 버튼을 클릭한다.
71
근궤적 작도의 예(2)
72
SYSCON을 이용한 근궤적 작도(2)
①
②
③
SYSCON MODEL CONTROL에 그림과 같이 플랜트 방정식을 입력한다.
메뉴에서 RootLocus를 클릭하면 오른쪽 그림과 같이 RootLocus 화면이
생성된다.
RLOCUS 버튼을 클릭한다.
73
5.5 근궤적과 응답과의 관계
•
시스템 블록선도
•
근궤적
응답
74
SYSCON을 이용한 근궤적 작도(3)
①
②
SYSCON MODEL CONTROL에 그림과 같이 플랜트 방정식을 입력한다.
RLOCUS 버튼을 클릭한다.
75
SYSCON을 이용한 근궤적과 응답파형
①
②
③
SYSCON MODEL CONTROL에 그림과 같이 플랜트 방정식을 입력한다.
메뉴에서 TimeResponse와 RootLocus 각각 클릭하여 화면을 생성한다.
TimeResponse에서 홀드를 선택하고 K 값을 1, 2.5, 3, 10, 20 변화시켜가며 Plot
을 한다.
76
5.5 근궤적을 이용한 제어시스템 설계

예제문제: 제동비가 0.7이 되도록 근궤적을 이용하여 K 값을 구하라

설계순서:
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
근궤적을 작도한다(주의: 근궤적을 작도할 때는 K=1로 하여 작도한다)
요구되는 제동비와 고유주파수를 입력한다
SGRID 버튼을 클릭하면 가 생성된다.
RLOCFIND 버튼을 클릭하면 크로스커서가 생성된다
제동비가 0.7이 되는 근궤적 포인트를 찾아 왼쪽마우스 버튼을 클릭한다
K 값을 보여주는 화면이 생성된다.
K 값을 SYSCON MODEL CONTROL 에 입력하고 시간응답파형을 확인
한다
77
근궤적을 이용한 제어시스템 설계 화면
78
제6장
제어시스템의 주파수영역 해석
System Frequency Domain
Analysis
차례
6.1 서 론
6.2 주파수응답(Frequency Response)
6.3 Bode 선도
79
6.1 서 론 - 주파수응답 해석이 왜 필요한가 ?
•
실험적으로 얻은 주파수입력에 대한 응답 데이터를 이용하여 직접 시스
템해석이 가능하다.
 s-평면/시간영역 해석에는 반드시 시스템의 전달함수를 필요로 한다
 시스템이 복잡할 경우 모델링하기가 매우 어려우므로 s-평면/시간영역 해석
이 힘들다
 이때 주파수영역에서 해석할 경우 모델링이 필요없으므로 한결 쉽게 해석이
가능하다.
•
실험적으로 구한 주파수응답 데이터를 이용하여 시스템의 동특성을 나타
내는 전달함수를 유추할 수 있다
 주파수응답을 이용하면 복잡한 시스템의 전달함수를 구할 때 도움이 될 수
있다
 주파수응답은 시간응답과 어느 정도 상호관계가 있으므로 시스템의 시간응
답도 어느 정도 예측할 수 있다.
•
설계자가 원하는 주파수 특성을 가지도록 제어시스템을 설계할 수 있다.
 주파수 대역에 따른 시스템 특성을 포함할 수 있도록 설계가 가능하므로 명
령 추 종 (command following) 이 좋 으 면 서 도 외 란 제 거 (disturbance
rejection) 및 센서잡음에 대한 저감도(insensitivity to sensor noise)를 가지
도록 시스템을 설계할 수 있다.
80
명령추종, 외란제거, 센서잡음에 대한 저감도

폐루프 제어시스템의 추적오차[ r(s) 명령입력, w(s) 외란, v(s) 측정잡음]

명령추종 오차, 외란에 의한 추종오차, 센서잡음에 의한 명령추종 오차
가 0으로 접근하기 위한 조건
81
주파수영역 성능을 종합적으로 고려한 루프형상
82
6.2 주파수응답(Frequency Response)
입력정현파, 출력정현파
•
•
83
주파수응답(Frequency Response) 용어
84
6.3 Bode 선도
•
보드선도(Bode plot)란 이득선도(gain plot)와 위상선도(phase plot)을 한
조로 하여 그린 선도이다
85
2차 요소의 Bode 선도 특성
86
2차 요소의 Bode 선도
87
Bode 선도에서의 안정도 판별법
•
이득여유(gain margin)와 위상여유(phase margin) 의 관계
88
개루프 Bode 선도로부터 폐루프시스템의 안정도 판
별

위의 두 상태는 동시에 성립하므로
어느 한쪽만 조사하면 된다.
89
Bode 선도를 이용한 안정도 판별법 예제(문제)
90
SYSCON을 이용한 Bode 선도 작도법
①
②
③
SYSCON MODEL CONTROL에 그림과 같이 플랜트 방정식을 입력한다.
메뉴에서 Bode를 클릭하면 Bode 화면이 생성된다.
BODE 버튼을 클릭하면 오른쪽 그림과 같이 Bode 선도가 그려진다.
91
Bode 선도를 이용한 안정도 판별법 예제 (풀이)
문제 1

G(s)의 정상상태 이득을
1로하기 위하여 K=30으로
하고 Bode 선도를그리면
그림과 같다.
②
Bode 선도화면에서
margin 을 클릭하면
이득여유(Gain Margin)와
위상여유(Phase Margin)가
나타난다.
그림에서 이득여유가
19.401dB 임을 볼수 있다.
92
Bode 선도에서의 이득여유
93
예제풀이 (계속)
문제 2
94
K=150 일 때의 GM, PM 및 폐루프 응답
95
96