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근궤적법

1

서론

▶ 근궤적법(root locus method) s-평면상에 개루프 전달함수의 극점과 영점을 도시하고 이 극점 및 영점의 배치와 게인 또는 시스템 파라미터 값의 변화에 따른 폐루프 극점의 위치를 알아내는 도해적인 방법이 근궤적법(root locus method) 이다.

2

근궤적 개념

r(s) + -

G

(s) y(s) 그림 1 폐루프 제어시스템

폐루프 전달함수 T(s)는 

1

 개루프 전달함수 일반형태 폐루프 특성방정식 1  

(

s

 

p

1

z

1

)(

s

)(

s

 

z p

2 2

) )

 0 개루프 전달함수 G(s)의 크기와 위상

( (

s s

 

z m p n

) ) ,



1



G s



(2

k



1)180 ,

k



0, 2, (

K



0)

▶

단위 피드백 제어시스템에 대한 근궤적 작도예



K



2)

시스템 ▶ 비최소위상 시스템의 근궤적 작도법  1 

G s



k

360 ,

k

 0, 2, 

K

 2) 의 근궤적선도

3 근궤적 작도법

(1) 근궤적의 수 폐루프 극점의 개수와 같다.

(2) 근궤적의 출발점과 종착점 근궤적은 K = 0일 때 개루프 극점에서 출발하여 K = ∞일 때 개루프 영점 에 종착한다.

(3) 실수축상의 근궤적 개루프 전달함수 G(s)의 극점과 영점이 실수축상에 있을 때 근궤적은 임 의의 구간에서 우측에 있는 실수축상의 개루프 극점과 영점을 합한 개수 가 홀수이면 그 구간에 근궤적이 존재하고 짝수이면 근궤적이 존재하지 않는다.

 (

s

 

p

1 )(

s z

1  )(

p s

2  )(

s z

2  )

p

3 ) 의 실수축상의 근궤적

(4) 근궤적선도의 대칭성 복소근은 공액근으로서 허수부의 값이 실수축에 대해 대칭이므로 근궤적도 역시 실수축에 대하여 대칭이다.

(5) 점근선의 각도와 위치 s가 ∞로 접근할 때 근궤적은 점근선(asymptote)을 갖는다. 개루프 극점의 개수가 n개이고 개루프 영점의 개수가 m개인 시스템에서 실수축과 이루는 점근선의 각도 α   (2

K n

 1) 180 

m

,

k

1, 2, 실수축상에서 점근선들이 모이는 점인 점근선의 중심점 Ac

A c



i n

  1

P i



j m

  1

z j n



m

(6) 분기점 위치 두 근궤적이 실수축을 떠나는 이탈점(break-away point)과 도착하는 복귀 점(break-in point)을 분기점이라고 한다. 분기점에서의 K값은 실수축상에서 극값이 되므로 특성방정식을 K = f(s) 식으로 변형한 다음 dK/ds = 0의 근 이 분기점이 된다. (7) 허수축과의 교차점 근궤적이 허수축과 교차하는 순간은 시스템의 안정도가 파괴되는 임계점. 허 수축과의 교차점에서의 주파수 ω와 그 때의 K값은 특성방정식에서 s값에 jω 를 대입하여 실수부와 허수부를 각각 0으로 하는 두 개의 식으로부터 허수축 과의 교차점에서의 주파수 ω와 그 때의 근궤적 파라미터 K를 구할 수 있다. 또한 Routh 안정도 판별법을 이용하여 위의 두 값을 구할 수도 있다.

(8) 출발점과 종착점의 각도 

s

2  2 

s

2)  2 극점-영점 배치 및 근궤적 점 s가 근궤적상의 점이 되기 위해서는 위상조건 

z

 

p

(2

k



1) 180 ,

k



0, 2,

위의 근궤적선도에서, 극점 (-1+j1)에서 근궤적의 출발각 θ는   180  

p

 

z

 180  90  45  135

▶ 소스-싱크 상사 개념을 이용하여 작도한 근궤적선도 그림 4.7 소스-싱크 상사개념을 이용하여 작도한 근궤적선도의 예

4 근궤적 작도 예

[예제 4.5] 개루프 전달함수   4)(

s K

2  8

s

 32) 의 근궤적?

1. 폐루프 특성방정식을 근궤적을 위한 일반형태로 표시한다.

1



K



4)(

s

1

j

4)(

s j

4)



0

2. s-평면상에 개루프 극점 3. 실수축상의 근궤적은 s = 0과 s = -4 사이에 존재한다.

4. 점근선의 각도 α는, 점근선의 중심점 A c  

(2

k



1) 180

n



m

,

k



0, 2,

A c

 

12 / 4

 

3

혹은   

45 ,



135

5. 분기점의 위치: K = -s(s+4)(s+4+j4)(s+4-j4)

dK

 0 으로부터 근궤적의 이탈점이 s = -1.58에 있음

ds

6. 허수축과의 교차점: Routh 배열 이용 s(s+4)(s 2 +8s+32)+K = s 4 +12s 3 +64s 2 +128s+K = 0

s

4 | 1 64

K

Routh 배열:

s

3 | 12 128 여기서 ,

b

1  12

s

2 |

b

1

K c

1 

s

1 |

s

0 |

c

1

K

c 1 = 0을 만족하는 K값: K = 569 b 1 s 2 + K = 0 --> 근궤적이 허수축상에 있을 때 ω = 3.25

53.33

 53.33

K

7. 복소극점 p1에서의 출발각 θ 1 ?

 1  90  90  135  180 혹은  1   135  

4)(

s

2

K



8

s



32)

[예제] 다음 그림과 같이 두 개의 시스템 파라미터 a와 K를 포함하고 있는 폐루프 제어시스템에 대한 근궤적?

r(s) + K s(s+a) y(s) 이 경우는 시스템 파라미터를 두 개 포함하고 있으므로 한 파라미터는 고정시키고 나머지 한 개의 파라미터를 근궤적 파라미터로 하여 근궤적을 그린 후, 고정했던 파라미터 값을 다른 값으로 고정한 후 반복 수행한다. 근궤적을 위한 일반형태로 표시한 특성방정식

s

1 

a

 0

s

2 

K

위의 그림은 시스템 파라미터 K = 1, 4, 9, 16일 때 시스템 파라미터 a값의 변화에 따른 근궤적선도인 근컨투어(root-contour)선도

[예제] 비최소위상 시스템 

K

(1 

s

)  1) 에 대한 근궤적?

임의의 구간에서 우측에 있는 실수축상의 개루프 극점과 영점을 합한 개수가 짝수 이어야 한다. 그리고 다음 식을 이용하여 s > 1, 그리고 -1 < s < 0 영역에 있는 두 개의 분기점을 구한다.

K

 

s s

1  

s

1) dK/ds=0 의 해로부터 근궤적의 분기점이 s = 2.414와 s = -0.414에 있음을 알 수 있다.

5 근궤적을 이용한 제어시스템 해석 [예제 4.11] 다음 폐루프 제어시스템에 대한 근궤적선도를 그리고 폐루프 제어시스템의 안정도를 평가하기로 한다.

r(s) + y(s) < 폐루프 제어시스템 > < 근궤적선도 > 제한된 범위의 K값인 0 < K < 14 그리고 64 < K < 195일 때만 안정.

이러한 시스템을 조건부 안정시스템(conditionally stable system).

제어시스템 설계시 조건부 안정시스템은 바람직하지 않다.

[예제] 아래의 그림에 표시된 근궤적을 보고 게인 K값에 따른 폐루프 시스 템의 시간역 성능; 대표극점의 감쇠비 ζ , 2% 정착시간 t s , 단위스텝입력에 대한 정상상태오차 e ss 를 정성적으로 나타내기로 한다.

그림 4.25 게인 K값에 따른 감쇠비 ζ 그림 4.26 게인 K값에 따른 정착시간 ts 그림 4.27 게인 K값에 따른 정상상태오차 e ss

6 근궤적을 이용한 비선형 시스템 해석 [예제 4.13] 구동기의 포화를 고려한 다음과 같은 비례 제어시스 템에 대한 블록선도의 비선형 시스템에 대한 성능 및 안정도?

그림 4.28 구동기의 포화를 고려한 비례 제어시스템 그림 4.29 구동기의 포화를 무시한 시스템에 대한 근궤적

그림 4.30 구동기 포화에 대한 기술함수게인 N s 그림 4.31 그림 4.28에 표시된 비례 제어시스템의 스텝응답

7 MATLAB을 이용한 근궤적

1 

K num den

 0

num



s

m



b

m

 1

s

m

 1  

b s

1 

b

0

den



s

n



a

n

 1

s

n

 1  

a s

1 

a

0 , ) 혹은 , , ) [예제] MATLAB을 이용하여 다음과 같은 개루프 전달함수 G(s)의 근궤적선 도를 그리기로 한다. 그리고 근궤적의 분기점 비   0.707

, 근궤적이 허수축상에 있을 때     1 0 , 폐루프 시스템의 감쇠 의 근궤적 파라미터 K값과 그 때의 s값?

  0.5)(

s K

2  0.6

s

 10) 

s

4  1.1

s

3

K

 10.3

s

2  5

s

MATLAB 프로그램 4.2

% ****root-locus plot**** num = [1]; den = [1 1.1 10.3 5 0]; rlocus(num,den) grid title('root-locus plot of G(s)=K/[s(s+0.5)(s^2+0.6s+10)]')

폐루프 제어시스템의 감쇠비 알아야 할 경우  값에 따른 근궤적 파라미터 K값과 s 값을 MATLAB 프로그램 num=[1]; den=[1 1.1 10.3 5 0]; k1=0:0.2:20; k2=20:0.1:30; k3=30:5:1000; r=rlocus(num,den); plot(r,'-') v=[-4 4 -4 4];axis(v) grid title('root-locus plot of G(s)=K/[s(s+0.5)(s^2+0.6s+10)]') xlabel('real axis') ylabel('imag axis')  hold on % 근궤적선도에 동일한 감쇠비 i = 0:6; 선 추가 plot( -0.707*i, i*sqrt( 1-0.707^2),':') plot( -0.707*i, -i*sqrt( 1-0.707^2),':') rlocfind( num, den ) % 지정 커서(cursor), 즉 ‘+’가 나타나게 한다.

만일 폐루프 극점의 위치를 정확히 알 수 있는 경우에는 요없이 'rlocfind' 명령만을 추가해서 원하는 위치에 ‘+

’

 선을 그릴 필 커서를 놓고 지정 해주면 그 점에서의 K값과 s값을 찾아낼 수 있다.