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제9장
최적화분석
 최적화분석
 개요(introduction)
 목적균형(goal equilibrium)
어떤 경제단위(가계, 기업 또는 경제 전체)의 관점에서
최적상태를 정의하고, 균형을 달성하기 위해 의도적
으로 노력하는 것
 비목적균형(non-goal equilibrium)
어떤 대립되는 힘들이 상호작용하여 균형상태를 실현함.
즉, 특정 목적을 달성하기 위하여 일부 개인들의 의식적
노력의 결과가 아닌 것(예 : 시장모형에서 수요와 공급)
 최적화분석
 최적값과 극값
 최적값과 극값(optimum and extreme values)
- 경제학은 선택의 학문(science of choice)임.
특정기준을 토대로 많은 대안적 방법(즉, 생산수준의
결정, 생산요소의 결정 등)에서 최선의 대안을 선택
 최적화의 문제(problem of optimization)
- 경제학에서 보편적인 선택기준은 극대화(maximizing)
하는 목적이나 극소화(minimizing)하는 목적임.
maximizing something, such as profit, utilities etc.
minimizing something, such as cost etc.
 최적화분석
 최적값과 극값
 최적값과 극값(optimum and extreme values)
- 경제학에서는 극대화와 극소화의 문제를 일반적으로
최적화의 문제라고 함.
- 최적화의 문제(problem of optimization)
주어진 여건하에서 바라는 것을 극대화 또는 원하지
않는 것을 극소화하는 것으로, 경제주체가 주어진
여건하에서 목적의 극대화 또는 극소화를 달성하는데
여러 가지 대안 중 최선의 대안을 찾는 것이 최적화
문제의 본질임.
 최적화분석
 최적값과 극값
 최적화모형의 설정
- 최적화문제를 구성함에 있어 우선, 목적함수(objective
function)를 설정해야 함.
목적함수란 바람직한 극대값 또는 극소값을 가져다
주는 선택변수(choice variable)를 찾는 것임.
 종속변수(dependent variable)=목적 :
극대화, 극소화의 대상
 독립변수(independent variable)=선택변수 :
선택 가능한 대상
 최적화분석
 최적값과 극값
 최적화모형의 설정
- 예 : 어떤 기업이 생산기술과 시장수요가 주어졌을 때
이윤극대화 산출량수준의 선택
(Q)=TR(Q)-TC(Q) : 목적함수
여기서 는 종속변수로 극대화 대상이며, Q는 이
함수의 (유일한) 선택변수(그 자체가 극대값 또는
극소값일 필요는 없음)임.
- 즉, 위의 예의 최적화문제는 를 극대화하는 Q수준을
선택하는 것임.
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 상대적 극값 및 절대적 극값(relative and absolute extreme)
- 목적함수 y=f(x)가 일반함수 형태로 표시
- 상대적 극값 : 극대, 극소(국지적 극값: local extreme)
- 절대적 극값 : 최대, 최소(전역적 극값: global extreme)
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 상대적 극값 및 절대적 극값(relative and absolute extreme)
- [그림 9.1](a)와 같이 상수함수이면, y를 극대화 또는
극소화하기 위한 x값을 선택한다는 것은 의미없음.
- [그림 9.1](b)의 함수는 강증가함수임. 만약 이 함수의
정의역이 비음실수집합이라면(x0) 유일한 극대값은
존재하지 않음. 그러나 D점(y축 절편)은 함수의 치역
에서 절대적(=전역적) 극소임.
- [그림 9.1](c)의 E점과 F점은 상대적(=국지적) 극점임.
상대적 극점이란 그 점의 근방에서 극값을 의미함.
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
- 이제부터 어떤 함수의 도함수를 그 함수의 1계도함수
라고 함. 왜냐하면 함수 y=f(x)가 주어지면, 1계도함수
f(x)는 그 함수의 극값을 탐색하는데 중요한 역할을 함.
- 이것은 함수의 상대적 극값이 x=x0에서 이루어진다면
⑴ f(x)가 존재하지 않거나, 또는 ⑵ f(x0)=0이 됨.
즉, 이는 뾰족점에서는 극값이 존재하지만, 도함수는
정의되지 않음. 함수가 연속이고 곡선이 매끄러우면
상대적 극값은 1계도함수의 값이 0인 곳에서 발생함.
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
- [그림 9.2](a)에서 점 A와 점 B는 y의 상대적 극값임.
그러나 도함수는 정의되지 않음.
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
- [그림 9.2](b)에서 점 C와 점 D는 모두 극값을 나타냄.
각 극점에서 곡선의 기울기는 0, 즉 f(x1)=0, f(x2)=0
- 이것은 또한 그 기울기가 0이 아닐 때, 상대적 극소와
상대적 극대는 가질 수 없음을 의미함.
- 이 때문에 매끈한 함수의 경우 f(x)=0을 상대적 극점
(극대 또는 극소)의 필요조건(전제조건)이 됨.
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
[상대적 극값에 대한 1계도함수 검증법]
만약 x=x0에서 함수 f(x)의 1계도함수가 f(x)=0이면,
x=x0에서 함수의 값 f(x0)는
⑴ 만약 x의 값이 점 x0의 바로 왼쪽에서 바로 오른쪽
으로 넘어갈 때 도함수 f(x)의 부호가 양(+)에서
음(-)으로 변하면, 상대적 극대임.
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
[상대적 극값에 대한 1계도함수 검증법]
⑵ 만약 x의 값이 점 x0의 바로 오른쪽에서 바로 왼쪽
으로 넘어갈 때 도함수 f(x)의 부호가 음(-)에서
양(+)으로 변하면, 상대적 극소임.
⑶ 만약 x값이 점 x0의 바로 왼쪽과 바로 오른쪽에서
도함수 f(x)의 부호가 같다면, 상대적 극대도 상대적
극소도 아님.
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
- 따라서 J점은 극대도 극소도 아님. 이러한 점을 변곡점
(inflection point)이라 함.
- 변곡점의 특징은 그 점에서 (원시함수가 아니라) 도함수
가 극값(극대 또는 극소)에 도달함.
- 이상을 정리하면, 함수 y=f(x)가 연속미분가능할 때,
최적화의 1계도함수 검증법에 의하면 f(x)=0는 상대적
극값의 필요조건이 됨. 즉, 상대적 극값은 반드시 정지값
이지만 정지값은 상대적 극값이 아닐 수 있음(변곡점).
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
예 1 : 함수 y=f(x)=x3-12x2+36x+8의 상대적 극값은?
- 우선, 이 함수의 도함수를 구하면 f(x)=3x2-24x+36
- 임계값을 구하기 위하여, 이 도함수를 0으로 놓으면,
3x2-24x+36=0 [ f(x)=0]
- 위 다항식을 인수분해 또는 근의 공식을 적용하면
x1*=6 [이 점에서 f(6)=0이고, f(6)=8 : 상대적 극소]
x2*=2 [이 점에서 f(2)=0이고, f(2)=40 : 상대적 극대]
- 따라서 f(6)=f(2)=0이므로, 이 2개의 x값이 임계값임.
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
함수 y=f(x)=x3-12x2+36x+8의 graph
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
- 앞의 함수를 [그림 9.4]를 통해 살펴보면, x=6 근방에서
x6일 때 f(x)0이고, x6일 때 f(x)0임.
따라서 그 점에 대응하는 함수값 f(6)=8은 상대적
극소값임.
- 그리고 x=2 근방에서 x2일 때 f(x)0이고, x2일 때
f(x)0임.
따라서 그 점에 대응하는 함수값 f(2)=40은 상대적
극대값임.
 최적화분석
 상대적 극대 및 극소 : 1계도함수 검증법
 1계도함수 검증법(first or first-order derivative test)
예 2 : 평균비용함수 AC=f(Q)=Q2-5Q+8의 상대적 극값?
- 우선, 이 함수의 도함수를 구하면 f(Q)=2Q-5
- 임계값을 구하기 위하여, f(Q)=0으로 놓으면,
2Q-5=0 [ f(Q)=0], Q*=2.5 (유일한 임계값)
- 1계도함수 검증법을 이용하기 위하여, 예를 들어 Q=
2.4 및 2.6을 대입하면, f(2.4)=-0.2(0)이고, f(2.5)=
0.2(0)임. 따라서 정지값 f(2.5)=1.75는 상대적 극소
- U자형 곡선이므로 상대적 극소는 절대적 극소도 됨.
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 도함수의 도함수(derivative of derivative)
1계도함수 f(x)를 미분한 결과를 함수 f의 2계도함수
(second or second derivative)라고 함.
- f(x) : 여기서 2중 프라임기호는 f(x)가 x에 대하여
두 번 미분한 것을 의미함. 또한 2중 프라임기호
뒤 (x)는 2계도함수가 다시 x의 함수임을 나타냄.
d2y
d dy
: 이 표기법은 2계도함수가 사실상
를
dx2
dx dx
의미한다는 것에서 유래.
따라서 기호의 분자에 d2, 분모에 dx2이 나타남.
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 도함수의 도함수(derivative of derivative)
미분가능성의 조건만 충족된다면, 2계도함수도 x의
함수이므로, 이것을 x에 대하여 미분할 수 있으며,
그 결과로 3계도함수도 얻을 수 있음. 이러한 과정을
통하여 3계도함수로부터 4계도함수가 얻어지고,
다시 이러한 과정이 계속될 수 있음(고계도함수).
f(x), f(4)(x),, f(n)(x) [상첨자를 ( )로 묶음]
d3y d4y
dny
또는
,
,,
3
4
dx
dx
dxn
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 도함수의 도함수(derivative of derivative)
예 1 : 다음 함수의 1계에서 5계까지의 도함수
y=f(x)=4x4-x3+17x2+3x-1
- 각 계도함수는 다음과 같음.
f(x)=16x3-3x2+34x+3
f(x)=48x2-6x+34
f(x)=96x-6
f(4)(x)=96
f(5)(x)=0
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 도함수의 도함수(derivative of derivative)
- 앞의 예에서, 각각의 도함수는 바로 전의 도함수보다
한 차수 낮은 다항함수가 됨.
- 또한 상수의 도함수가 되는 5계도함수는 모든 x값에
대하여 0이 됨.
- 여기서 두 가지 유의할 점은 다음과 같음.
⑴ 식 f(5)(x)=0와 f(5)(x0)=0[x0일 때만 0]는 다름.
⑵ f(5)(x)=0는 5계도함수가 존재하지 않는다는 의미가
아니라, 그것은 실제로 존재하며 그 값은 0을 의미
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 도함수의 도함수(derivative of derivative)
예 2 : 다음 유리함수의 1계에서 4계까지의 도함수
y=g(x)=x/(1+x) (여기서 x-1)
- 이 도함수들은 몫의 미분법칙을 사용하거나 또는
함수형태를 x(1+x)-1로 바꾼 후, 곱의 미분법칙을 적용
g(x)=(1+x)-2 (여기서 x-1)
g(x)=-2(1+x)-3 (여기서 x-1)
g(x)=6(1+x)-4 (여기서 x-1)
g(4)(x)=-24(1+x)-5 (여기서 x-1)
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 도함수의 도함수(derivative of derivative)
- 원시함수 g(x)와 마찬가지로, 모든 도함수들도 그 자체가
x의 함수임.
- 그러나 x의 값이 특정하게 주어지면, 이 도함수들은
특정한 값을 가짐.
- 예를 들어, 앞의 유리함수의 경우 x=2일 때 2계도함수
값을 계산하면, g(2)=-2(3)-3=-2/27가 됨.
- 따라서 각 계도함수값을 구하려면, 우선 각 계도함수를
구하고 난 후, 그 다음에 특정한 값을 대입해야 함.
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 2계도함수의 의미해석
- 도함수 f(x)는 함수 f의 변화율의 크기를 나타냄.
따라서 2계도함수 f은 1계도함수 f의 변화율의 척도임.
즉, 2계도함수는 원시함수 f의 변화율의 변화율을 의미
- 독립변수 x가 점 x=x0에서 미소하게 증가하는 경우,
1계도함수 f(x0)0는 함수의 값이 증가함을 의미
1계도함수 f(x0)0는 함수의 값이 감소함을 의미
- 반면, 2계도함수 f(x0)0는 곡선의 기울기가 증가함을,
2계도함수 f(x0)0는 곡선의 기울기가 감소함을 의미
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 2계도함수의 의미해석
1계도함수와 2계도함수에 의한 판정법
f(x0)0
함수의 값이 증가 : 기울기 + (우상향)
f(x0)0
함수의 값이 감소 : 기울기 – (우하향)
f(x0)0
곡선의 기울기가 (점점) 증가상태
f(x0)0
곡선의 기울기가 (점점) 감소상태
1계도함수
2계도함수
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 2계도함수의 의미해석
- x=x0에서 1계도함수가 양(+)이고, 동시에 2계도함수도
양(+)이면, 그 점에서 곡선의 기울기는 양(우상향)이고,
또한 점점 증가하고 있음(가파라짐)을 의미함.
(f(x0)0, f(x0)0)
- 마찬가지로, 1계도함수가 양(+)이고, 2계도함수가
음(-)이면, 곡선의 기울기는 양(우상향)이지만 점점
감소하고 있음(완만해짐)을 의미함.
(f(x0)0, f(x0)0)
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 2계도함수의 의미해석
- 이에 반해, x=x0에서 1계도함수가 음(-)이고, 2계도함수는
양(+)이면, 그 점에서 곡선의 기울기는 음(우하향)이고,
또한 점점 증가하고 있음(완만해짐)을 의미함.
(f(x0)0, f(x0)0)
- 1계도함수가 음(-)이고, 동시에 2계도함수도 음(-)이면,
곡선의 기울기는 음(우하향)이면서, 점점 감소하고
있음(가파라짐)을 의미함.
(f(x0)0, f(x0)0)
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 2계도함수의 의미해석
 (a) 강오목(strictly concave), (b) 강볼록(strictly convex)
- 강오목(강볼록)곡선상의 임의 두 점을 연결한 직선은
그 곡선의 아래쪽(위쪽)에 위치함(직선상의 두 점 제외).
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 2계도함수의 의미해석
[그림 9.5]에서 포물선상의 1계 및 2계도함수의 부호
x의 위치
1계도함수 및 2계도함수의 부호
포물선상의 점
x=x1
f(x0)0
f(x0)0
점A
x=x2
f(x0)=0
f(x0)0
점B
x=x3
f(x0)0
f(x0)0
점C
x=x4
f(x0)0
f(x0)0
점D
x=x5
f(x0)=0
f(x0)0
점E
x=x6
f(x0)0
f(x0)0
점F
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 2계도함수의 의미해석
- 1계도함수는 곡선의 기울기(slope)를 나타내는 반면,
2계도함수는 곡선의 곡률(curvature : 굽은 상태)을
나타냄.
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 하나의 응용(an application)
- 2차함수 형태가 다음과 같음.
y=ax2+bx+c (a0)
이 2차함수의 1계도함수 dy/dx=2ax+b이고,
2계도함수 d2y/dx2=2a임.
- 2계도함수는 항상 계수 a와 동일한 대수 부호를 가짐.
- 계수 a가 양(+)이면 2차함수는 U자형 강볼록곡선,
계수 a가 음(-)이면 역U자형 강오목곡선이 됨.
- 이 함수의 상대적 극값은 또한 절대적 극값이 됨.
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임
- 일정금액을 선불로 지급(게임의 비용)하고, 주사위를
던져서 홀수면 $10를 받고, 짝수면 $20를 받는다면,
두 결과의 확률은 같으므로, 이득의 기대값(expected
value of payoff : EV)은
EV=0.5$10+0.5$20=$15
- 만약 게임의 비용(또는 몫의 기대치)이 $15이면,
이 게임은 공정한 게임(공정한 내기)이라 할 수 있음.
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임
- 그러나 게임의 실제결과는 모르므로 위험기피자(riskaverser)는 게임을 멀리함.
- 한편, 이 경우 위험선호자(risk-lover)는 게임을 즐김.
- 이렇듯 위험에 대한 다양한 태도는 사람들의 효용함수
차이에서 발생함.
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임
 여기서 x는 소득(또는 이득), U(x)는 소득의 효용수준임.
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임
- 만약 잠재적 게임자가 [그림 9.6](a)에서처럼 강오목
효용함수 U=U(x)를 가진다면, 이 사람의 경제적 의사
결정은 첫째, 게임을 하지 않고 게임의 비용 $15를
절약하여 곡선상의 점 A에서 효용수준 U($15)를 얻음.
둘째, 게임을 함으로써 기대효용 EU=0.5U($10)+0.5
U($20)만큼 얻음. 즉, 이는 M과 N 높이의 평균으로,
선분 MN상의 중간점 B의 높이로 측정됨. 따라서 점 B는
점 A보다 낮으므로 게임을 하지 말아야 함.
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임
- 한편, 잠재적 게임자가 [그림 9.6](b)에서처럼 강볼목
효용함수 U=U(x)를 가진다면, 이 사람의 경제적 의사
결정은 첫째, 게임을 하지 않고 게임의 비용 $15를
절약하여 곡선상의 점 A에서 효용수준 U($15)를 얻음.
둘째, 게임을 함으로써 기대효용 EU=0.5U($10)+0.5
U($20)만큼 얻음. 즉, 이는 선분 MN상의 중간점
B의 높이로 측정됨. 따라서 점 B는 점 A보다 위쪽에
위치하므로 적극적으로 게임을 하려고 함.
 최적화분석
 2계도함수와 고계도함수
 위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임
- 도박(또는 주식, 펀드 투자)은 공정한 게임이 아니므로,
즉 도박장의 게임에서 매 번 승률이 50% 이하이고,
또한 주식과 펀드인 경우도 정보독점 및 조작 등으로
인해 실패할 확률이 매우 높음.
- 그러나 우리의 일상에서는 일반적으로 위험을 선호
하는 경우가 훨씬 성공 가능성이 매우 높음. 왜냐하면,
성공에 대한 이득(benefit)에 비하여 성공에 대한 비용
(cost : 시간투자 및 노력 등)이 매우 적게 소요됨.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 위험에 대한 태도(attitude toward risk) : 내기게임
- 도박(또는 주식, 펀드 투자)은 공정한 게임이 아니므로,
즉 도박장의 게임에서 매 번 승률이 50% 이하이고,
또한 주식과 펀드인 경우도 정보독점 및 조작 등으로
인해 실패할 확률이 매우 높음.
- 그러나 우리의 일상에서는 일반적으로 위험을 선호
하는 경우가 훨씬 성공 가능성이 매우 높음. 왜냐하면,
성공에 대한 이득(benefit)에 비하여 성공에 대한 비용
(cost : 시간투자 및 노력 등)이 매우 적게 소요됨.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 2계도함수 검증법(second derivative test)
[상대적 극값에 대한 2계도함수 검증법]
만약 x=x0에서 함수 f의 1계도함수가 f(x0)=0이라면,
x0에서의 함수의 값 f(x0)는
⑴ 만약 x0에서 2계도함수의 값이 f(x)0이면,
상대적 극대임.
⑵ 만약 x0에서 2계도함수의 값이 f(x)0이면,
상대적 극소임.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 2계도함수 검증법(second derivative test)
예 1 : 다음 함수의 상대적 극값을 구하라.
y=f(x)=4x2-x
- 1계도함수 및 2계도함수는 다음과 같음.
f(x)=8x2-1 및 f(x)=8
- 이제 f(x)=0으로 놓고 그 방정식을 풀면, (유일한)
임계값 x*=1/8임. 이로부터 (유일한) 정지값 f(1/8)=-1/16
- 2계도함수가 양(+)이므로, 그 극값은 극소값이 되며,
함수가 U자형이므로 상대적 극소는 또한 절대적 극소임.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 2계도함수 검증법(second derivative test)
예 2 : 다음 함수의 상대적 극값을 구하라.
y=g(x)=x3-3x2+2
- 1계도함수 및 2계도함수는 다음과 같음.
g(x)=3x2-6x 및 g(x)=6x-6
- 이제 g(x)=0으로 놓고 얻은 2차방정식을 풀면, 임계값
x1*=2 및 x2*=0임. 이로부터 대응하는 2개의 정지값은
g(2)=-2
[g(2)=60이므로 극소]
g(0)=2
[g(0)=-60이므로 극대]
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 필요조건 대 충분조건(necessary versus sufficient condition)
- 기울기가 0이라는 조건인 f(x)=0은 1계도함수 검증법
뿐만 아니라 2계도함수 검증법에서도 필요조건의 역할
- 이 조건은 1계도함수에 근거를 두고 있기 때문에 흔히
1계조건(first-order condition)이라 함.
- 그리고 1계조건이 x=x0에서 만족되고, f(x0)의 부호가
음(양)이면 정지값 f(x0)가 상대적 극대(극소)로 입증
되기에 충분함. 이 충분조건은 2계도함수에 기초하기
때문에 흔히 2계조건(second-order condition)이라 함.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 필요조건 대 충분조건(necessary versus sufficient condition)
- 1계조건은 상대적 극대 또는 극소이기 위한 필요조건
이지만 충분조건은 아님(왜냐하면, 변곡점 때문).
- 한편, f(x0)가 임계값 x0에서 음(양)이라는 2계조건은
상대적 극대 또는 극소이기 위한 충분조건이지 필요
조건은 아님.
- 상대적 극값에 대한 2계 필요조건은 약부등식으로 표시
해야 함. 즉, 정지값 f(x0)가 상대적 극대(극소)이기
위한 필요조건은 f(x0)0[f(x0)0]임.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 필요조건 대 충분조건(necessary versus sufficient condition)
함수 y=f(x)가 상대적 극점이기 위한 조건
조 건
극 대
극 소
1계 필요조건
f(x)=0
f(x)=0
2계 필요조건*
f(x)0
f(x)0
2계 충분조건*
f(x)0
f(x)0
* 1계 필요조건이 충족된 후 적용 가능
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 이윤극대화조건(conditions for profit maximization)
- 경제학에서 이윤을 극대화하기 위해서는 기업은 한계
수입(MR)과 한계비용(MC)이 일치하도록 산출량을
결정해야 함.
- 총수입함수 R=R(Q)와 총비용함수 C=C(Q)가 주어지면,
이 함수들로부터 다음의 이윤함수(목적함수)를 도출
=(Q)=R(Q)-C(Q)
- 이윤극대화 산출량 수준을 구하기 위하여 극대의 1계
필요조건이 만족되어야 함.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 이윤극대화조건(conditions for profit maximization)
- 즉, d/dQ=0을 구하면 그 결과는 다음과 같음.
d/dQ(Q)=R(Q)-C(Q)
=0  R(Q)=C(Q)
- 최적산출량(균형산출량) Q*는 방정식 R(Q*)=C(Q*),
즉 MR=MC조건 만족 : 이윤극대화 1계조건
- 그러나 1계조건은 최대이윤일 수도 있고, 최소이윤일
수도 있음.
- 따라서 2계조건을 검토해야 함.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 이윤극대화조건(conditions for profit maximization)
- 이제 1계도함수를 Q에 대해 미분하면, 2계도함수를
구할 수 있음.
d2/dQ2(Q)=R(Q)-C(Q)
0  R(Q)C(Q) : 2계 필요조건
- 여기서 R(Q*)=C(Q*)만으로는 이윤극대화조건으로
확실하지 않음(왜냐하면, 이윤이 극소일 수도 있음).
- 따라서 최선의 방법은 극대이기 위한 2계 충분조건인
R(Q*)C(Q*)를 만족하는 상황임.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 이윤극대화조건(conditions for profit maximization)
이를 정리하면, 이윤극대화 1계조건인 한계수입(MR)과
한계비용(MC)이 일치(MR=MC)하는 산출량 Q*에서 2계
충분조건인 MR의 변화율이 MC의 변화율보다 작으면
[R(Q*)C(Q*)], 그 산출량수준에서 이윤이 극대화됨을
의미함.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 이윤극대화조건(conditions for profit maximization)
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 이윤극대화조건(conditions for profit maximization)
- 예 3 : 총수입함수와 총비용함수가 다음과 같음.
R(Q)=1,200Q-2Q2
C(Q)=Q3-61.25Q2+1,528.5Q+2,000
그러면 이윤함수는 다음과 같음.
(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q3+59.25Q2-328.5Q-2,000
여기서 d/dQ=0을 구하면, 그 결과는 다음과 같음.
d/dQ=-3Q2+118.5Q-328.5=0
=-3(Q-3)(Q-36.5)=0
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 이윤극대화조건(conditions for profit maximization)
이윤함수의 임계값은 Q=3 및 Q=36.5임.
그러나 2계도함수가 다음과 같음.
d2/dQ2=-6Q+118.5
여기서 Q=3일 때 d2/dQ20, Q=36.5일 때 d2/dQ20
따라서 이윤극대화 산출량 Q*=36.5임.
한편, Q=3인 경우는 이윤이 극소화됨.
그리고 Q*를 이윤함수에 대입하면, 극대이윤은
*=(36.5)=16,318.44(원)
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 이윤극대화조건(conditions for profit maximization)
이상의 방법과 달리, MR=MC조건을 이용하여 구하면
MR=R(Q)=1,200-4Q
MC=C(Q)=3Q2-122.5Q+1,528.5
위 식을 MR-MC=0으로 놓고 다시 정리하면,
-3Q2+118.5Q-328.5=0
따라서 이후의 계산은 앞의 과정을 따르면 됨.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.)
- 3차함수 graph는 항상 두 개의 굴곡을 가지기 때문에,
3차함수는 총비용곡선을 묘사하는데 적합함.
- 그러나 3차함수가 경제적 의미를 가지려면, 그 함수의
기울기가 모든 점에서 양(산출량이 증가하면 총비용도
항상 증가해야 함)이어야 하는 반면, 3차함수 graph는
기울기가 음이 되는 부분을 포함할 수도 있음.
- 따라서 3차함수를 그대로 총비용함수로 사용하는 데
문제가 따름.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.)
- 그러므로 다음의 3차함수
C=C(Q)=aQ3+bQ2+cQ+d
를 총비용함수로 사용하기 위해서는, 이 C곡선이 아래로
구부러지는 것을 방지하기 위해서 파라미터들에 대해
적절한 제한을 가해야 함.
- 즉, 이는 MC함수가 모든 점에서 양이어야 함을 의미
MC=C(Q)=3aQ2+2bQ+c
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.)
- MC곡선상의 모든 점에서 양이 되려면(앞의 그림에서
가로축의 위쪽에 위치하려면), 이 포물선은 U자형이
되어야 함.
- 만약, 포물선이 역U자형이라면 MC곡선상의 모든 점이
양이기 위해서는 2상한까지 연장해야 가능
- 따라서 Q2항의 계수가 양이어야 함(a0).
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.)
- MC의 극소값(MCmin)은 C(Q)=0에서 결정됨.
C(Q)=6aQ+2b=0
- 위의 조건을 충족하는 산출량 Q*는 다음과 같음.
Q*=-2b/6a=-b/3a
- 위 식에서 산출량 Q*는 음이 될 수 없으므로 b는 결코
양(a0이므로)이 될 수 없음(따라서 b0).
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 3차함수인 총비용함수의 계수들(coefficients of cubic TC Fn.)
- 이제 MC를 극소화하는 산출량 Q*를 대입하면, MCmin을
구할 수 있음.
MCmin=3a(-b/3a)2+2b(-b/3a)+c=(3ac-b2)/3a
- MCmin이 양의 값을 갖기 위해서는 3ac-b20(즉, b23ac)
이어야 함.
- 또한 MCmin이 양의 값을 갖기 위해서는 c도 양이어야 함.
- 따라서 총비용함수의 계수들은 다음의 제약하에 놓임.
a0, c0, d0 b0 b23ac
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선
- 경제학에서 일반적으로 한계수입곡선은 음의 기울기를
갖는 것으로 그려짐(불완전경쟁하에서만).
- 그러나 한계수입곡선의 기울기가 부분적 또는 전반적
으로 양이 될 수 있는 가능성을 배제할 수 없음.
- 앞에서 평균수입함수 AR=f(Q)가 주어지면, 한계수입
함수는 다음과 같았음.
MR=f(Q)+Qf(Q)
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선
- 그러면 한계수입곡선의 기울기는 MR=f(Q)+Qf(Q)의
도함수로 나타낼 수 있음.
dMR/dQ=MR=f(Q)+f(Q)+Qf(Q)=2f(Q)+Qf(Q)
- 평균수입곡선이 음의 기울기(우하향)를 가지면, 2f(Q)
항은 확실히 음(-)임.
- 그러나 Qf(Q)항은 한계수입곡선의 2계도함수의 부호
에 따라, 즉 한계수입곡선 형태가 강오목인지, 선형인지,
또는 강볼록인지 여부에 따라 음, 0, 또는 양이 됨.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선
- 만약, 한계수입곡선이 전반적 또는 특정 부분에서
강볼록이라면, (양인) Qf(Q)항이 (음인) 2f(Q)항보다
더 크다면, 한계수입곡선의 기울기는 전반적 또는
부분적으로 양이 될 수도 있음.
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선
예 4 : 평균수입함수가 다음과 같음.
AR=f(Q)=8,000-23Q+1.1Q2-0.018Q3
- 이 함수는 불완전경쟁하 기업에 적절한 한계수입곡선
으로, 음의 기울기를 가짐.
MR=f(Q)+Qf(Q)=8,000-46Q+3.3Q2-0.072Q3
- 여기서 한계수입곡선의 기울기는 다음과 같음.
dMR/dQ=MR=-46+6.6Q-0.216Q2
 최적화분석
 2계도함수 검증법(second derivative test)
 양의 기울기(upward-sloping)를 갖는 한계수입곡선
- 앞 식은 Q2의 계수가 음인 2차함수이므로, Q에 대해
역U자형 곡선임.
- 만약, 이 곡선의 일부가 가로축의 위쪽에 위치하면,
한계수입곡선의 기울기는 양의 값을 가짐.
- 이제 dMR/dQ=0이라 놓고, 해를 구하면 Q1=10.76,
Q2=19.79임.
- 이것은 개구간 (Q1, Q2) 사이에 있는 생산수준에서
한계수입곡선은 양의 기울기를 갖게 됨을 의미함.