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일반함수모형의 비교정태분석 전도함수(total derivatives) 합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 일반적 함수형태가 다음과 같음. y=f(x, w), 여기서 x=g(w) - 함수 f와 g는 다음과 같이 합성함수로 결합될 수 있음. y=f[g(w), w] - 여기서 세 변수 y, x, w간의 상호관계는 [그림 8.4]의 경로도(channel map)에 나타내고 있음. - 이 그림에서 알 수 있듯이 변화를 일으키는 궁극적인 원인변수인 w는 두 경로를 통해 y에 영향을 줌. 일반함수모형의 비교정태분석 전도함수(total derivatives) 합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 우선, 간접적으로 함수 g를 거친 후, 함수 f를 통하여 (직선의 화살표), 그리고 직접적으로 함수 f를 통하여 (곡선의 화살표) 영향을 줌. 일반함수모형의 비교정태분석 전도함수(total derivatives) 합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - y에 대한 w의 직접효과는 편도함수인 fw(=∂y/∂w)로 나타낼 수 있음. - y에 대한 w의 간접효과는 합성함수의 연쇄법칙인 dx 두 도함수의 곱, 즉 fx (= ∂y dx )로 표현됨. dw ∂x dw - 이 두 효과를 합하면 w에 관한 y의 전도함수를 얻음. dy ∂y dx ∂y dx =fx +fw= + dw ∂x dw ∂w dw 일반함수모형의 비교정태분석 전도함수(total derivatives) 합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 앞의 전도함수는 다른 방법으로도 얻을 수 있음. - 우선, 함수 y=f(x, y)를 전미분하면, dy=fxdx+fwdw - 이제 양변을 dw로 나누면 다음의 결과를 얻음. dy dx ∂y dx ∂y =fx +fw= + dw dw ∂x dw ∂w - 어떤 방법이든 전도함수 dy/dw를 구하는 과정을 w에 관한 y의 전미분연산이라 함. - 여기서 dy/dw는 전도함수이고, ∂y/∂w는 편도함수임. 일반함수모형의 비교정태분석 전도함수(total derivatives) 합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 예 1 : y=f(x, w)=3x-w2이고 단, x=g(w)=2w2+w+4일 때 전도함수 dy/dw dx =4w+1이므로, dw dy dx =fx +fw=3(4w+1)+(-2w)=10w+3 dw dw - 함수 g를 함수 f에 대입하면, y=3(2w2+w+4)-w2이고, fx=3, fw=-2w, 이를 다시 정리하면 y=5w2+3w+12이므로 dy/dw=10w+3 일반함수모형의 비교정태분석 전도함수(total derivatives) 합성함수의 전미분(total differentials of composite function) - 예 2 : 효용함수가 U=U(c, s)이고(여기서 c는 커피 소 비량, s는 설탕 소비량), 또다른 방정식 s=g(c)임. 이 두 재화가 보완관계라면, 효용함수는 다음과 같은 합성함수로 나타낼 수 있음. U=U[c, g(c)] 위 식으로부터 다음과 같은 전도함수 dU/dc를 얻음. dU ∂U ∂U = + g(c) dc ∂c ∂g(c) 일반함수모형의 비교정태분석 전도함수(total derivatives) 논제의 한 변환(a variation on the theme) - 함수 y=f(x1, x2, w), 여기서 x1=g(w), x2=h(w)임. - 이 경우 변수 w는 세 경로를 통하여 y에 영향을 줌: ⑴ 간접적으로 함수 g를 거친 후 함수 f를 통해, ⑵ 또한 간접적으로 함수 h를 거치고 함수 f를 통해, ⑶ 직접적으로 함수 f를 통해 y에 영향을 줌. ∂y dx1 ∂y dx2 ∂y - 이 세 효과는 각각 , , 로 나타낼 ∂x1 dw ∂x2 dw ∂w 수 있음. 일반함수모형의 비교정태분석 전도함수(total derivatives) 논제의 한 변환(a variation on the theme) - 이들 세 가지 효과를 더하면, 다음의 전도함수를 얻음. dy ∂y dx1 ∂y dx2 ∂y = + + dw ∂x1 dw ∂x2 dw ∂w dx1 dx2 =f1 +f2 +fw dw dw 일반함수모형의 비교정태분석 전도함수(total derivatives) 논제의 한 변환(a variation on the theme) - 생산함수 Q=Q(K, L, t), 여기서 t는 시간변수임. - 이 경우 시간 t의 경과에 따라 기술의 변화를 반영할 수 있음. 따라서 동태적 생산함수임. - 시간의 경과에 따라 자본량과 노동량도 변화하므로 K=K(t), L=L(t) Q=Q[K(t), L(t), t] - 그러면 시간에 관한 산출량 변화율은 전도함수 공식에 dQ ∂Q dK ∂Q dL ∂Q 따라 = + + dt ∂k dt ∂L dt ∂t =QKK(t)+QLL(t)+Qt 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 음함수(implicit function) - 지금까지 함수는 대부분 y=f(x)의 형태로 나타냈음. 여기서 x는 독립변수, y는 종속변수로 명확하게 표현 할 수 있음. 즉, 변수 y가 x의 함수로 명시적으로 표시 되기 때문에 이러한 함수를 양함수(explicit function) 라고 함(예 : y=f(x)=3x4). - 그러나 이 함수가 동일한 의미를 갖는 다른 형태, 즉 y-3x4=0 여기서 변수 x, y는 독립변수와 종속변수가 뚜렷하지 않음. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 음함수(implicit function) - 이와 같이 x, y의 관계가 명확하지 않고 포괄적으로 나타난 함수를 음함수(implicit function)라고 함 (예 : y-3x4=0). - 일반적으로 음함수는 F(y, x)=0으로 나타냄(y는 x의 음함수라고 함). 여기서 음함수는 함수 f와 구변하기 위해 대문자 F를 사용함. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 음함수(implicit function) - 앞의 예에서 함수 F는 두 독립변수 y와 x를 가지는 반면, 양함수 f는 오직 하나의 독립변수 x만 가짐. - 함수 F는 둘 이상의 독립변수가 존재할 수 있음. - 한편, 양함수 y=f(x)는 f(x)식을 등호의 좌변으로 이항 하면 방정식 F(y, x)=0형태로 항상 변환이 가능함. 그러나 그 역의 변환은 항상 가능한 것이 아님. 즉, 음함수를 정의하지 못할 수도 있음. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 음함수(implicit function) - 예 : 방정식 F(y, x)=x2+y2-9=0는 원점을 중심으로 반지름 3인 원이고, y를 x에 대하여 풀어 쓰면 y=(9-x2)1/2임. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 음함수(implicit function) - 앞의 방정식 F(y, x)=x2+y2-9=0는 함수가 아니라 하나 의 관계에 불과함. - 왜냐하면 하나의 원을 나타내기 때문에, x의 각 값에 대응하는 y값이 유일하게 존재하지 않음. - 그러나 y값이 비음(양)이면 y=+(9-x2)1/2(원의 상반분) y값이 비양(음)이면 y=-(9-x2)1/2(원의 하반분)을 구성 - 한편, 원의 왼쪽이나 오른쪽 반분은 그 어느 것도 함수가 될 수 없음. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 음함수(implicit function) - y=+(9-x2)1/2 [원의 상반분] y=-(9-x2)1/2 [원의 하반분] - 즉, F(y, x)=0가 y=f(x)를 정의해 줄 때, y를 x의 음함수 (implicit function)라고 함. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 음함수의 도함수(derivative of implicit function) - 음함수 F(y, x)=0에 대하여, y의 x에 대한 도함수(dy/dx) 는 우선 양변을 x에 관하여 미분하면, dy dy Fx Fx+Fy =0 따라서 =(Fy0) dx dx Fy - 앞의 예 F(y, x)=x2+y2-9=0에서 dy 2x x Fx=2x, Fy=2y이므로 ==- 임. dx 2y y - 결국, 음함수의 구체적 형태를 알지 못해도, 음함수의 도함수는 F함수의 한 쌍의 편도함수들의 비율에 음의 부호를 붙인 것이 됨. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 음함수의 도함수(derivative of implicit function) - 예 1 : 방정식 F(y, x)=y-3x4=0의 도함수(dy/dx) dy Fx -12x3 ===12x3 dx Fy 1 한편, 주어진 방정식을 y에 대해서 풀면 y=3x4임. 따라서 위의 도함수와 동일함. - 예 2 : 방정식 F(y, x, w)=y3x2+w3+yxw-3=0의 도함수 ∂y Fx 2y3x+yw ==∂x Fy 3y2x2+xw 만약, 점 (1, 1, 1)에서, 이 도함수의 값은 -3/4임. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 음함수의 도함수(derivative of implicit function) - 예 3 : 방정식 F(Q, K, L)=0은 묵시적으로 생산함수 Q=f(K, L)로 정의하면, 한계실물생산 MPPK 및 MPPL? ∂Q F ∂Q F MPPK =- K 및 MPPL =- L ∂K FQ ∂L FQ 이밖에도 방정식 F(Q, K, L)=0에서 다음과 같은 편도 함수를 얻을 수 있음. ∂K FL =∂L FK 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 음함수의 도함수(derivative of implicit function) - 앞에서 다룬 ∂K/∂L의 경제적 의미는 무엇인가? 편미분 기호는 다른 변수 Q가 고정되어 있음을 의미함. - 그러므로 이것은 등생산곡선(isoquant curve)을 따라 이동하는 변화의 형태를 갖게 됨. - 따라서 도함수 ∂K/∂L는 등생산곡선의 접선의 기울기 (기울기 값은 보통 음(-)의 값을 가짐.) - 한편, ∂K/∂L의 절대값은 기술적 한계대체율(marginal rate of technical substitution : MRTSLK)임. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 등생산곡선(isoquant curve) K ∂K ∂L 0 Q=Q1 L 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 연립방정식의 집합이 다음과 같음. F1(y1, y2,, yn; x1, x2,, xm)=0 F2(y1, y2,, yn; x1, x2,, xm)=0 Fn(y1, y2,, yn; x1, x2,, xm)=0 - 위 식에 대응하는 음함수들의 집합은 다음과 같음. y1=f1(x1, x2,, xm) y2=f2(x1, x2,, xm) yn=fn(x1, x2,, xm) 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 앞의 연립방정식과 이에 대응하는 음함수의 존재를 보장하려면 다음의 음함수 관계가 성립해야 함. ⑴ F1, F2,, Fn은 모두 y와 x에 대하여 연속적인 편도 함수를 가져야 하며, ⑵ 한 점 (y10, y20,, yn0; x10, x20,, xm0)에서 음함수의 연립방정식을 만족한다면, 다음의 야코비행렬식은 0이 아님. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 야코비행렬식(Jacobian determinant)이 0이 아니면, 즉 ∂F1/∂y1 ∂F1/∂y2 ∂F1/∂yn ∂(F1,,Fn) ∂F2/∂y1 ∂F2/∂y2 ∂F2/∂yn J 0 ∂(y1,,yn) ∂Fn/∂y1 ∂Fn/∂y2 ∂Fn/∂yn 이때 한 점에서 변수 y1, y2,, yn은 변수 x1, x2,, xn의 함수가 됨(즉, 음함수가 존재함). y10=f1(x10, x20,, xm0) y20=f2(x10, x20,, xm0) yn0=fn(x10, x20,, xm0) 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 단일 방정식의 경우와 같이 각 항등식의 양변을 전미분 하면 다음과 같음. ∂F1 ∂F1 dy1++ dyn+ ∂y1 ∂yn ∂F2 ∂F2 ∂y1 dy1++ ∂yn dyn+ ∂F1 dx1++ ∂x1 ∂F2 ∂x1 dx1++ ∂F1 dxm=0 ∂xm ∂F2 ∂xmdxm=0 ∂Fn ∂Fn ∂Fn ∂Fn dy ++ dy + dx ++ dx =0 ∂y1 1 ∂yn n ∂x1 1 ∂xm m 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 앞의 식 dxi항들을 등호의 우변으로 이항하면 다음과 같음. ∂F1 dy1++ ∂y1 ∂F2 ∂y1 dy1++ ∂F1 dyn=∂yn ∂F2 ∂yn dyn=- ∂F1 dx1++ ∂x1 ∂F2 ∂x1 dx1++ ∂F1 dxm ∂xm ∂F2 ∂xmdxm ∂Fn ∂Fn ∂Fn ∂Fn dy ++ dy =dx ++ dx ∂y1 1 ∂yn n ∂x1 1 ∂xm m 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 여기서 변수 x1만 변화한다면(dx10; dx2==dxm=0), 그리고 양변을 dx1으로 나누면 다음과 같음. ∂F1 ∂y1 ∂F1 ∂yn ∂F1 ++ =∂y1 ∂x1 ∂yn ∂x1 ∂x1 ∂F2 ∂y1 ∂F2 ∂yn ∂F2 ∂y1 ∂x1 ++ ∂yn ∂x1 =- ∂x1 ∂Fn ∂y1 ∂Fn ∂yn ∂Fn ++ =∂y1 ∂x1 ∂yn ∂x1 ∂x1 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 여기서는 변수 x1만 변수 y1, y2,, yn에 영향을 미치는 것이므로 미분몫은 모두 편도함수로 바뀌어야 함. 이를 행렬로 나타내면 다음과 같음. ∂F1 ∂F1 ∂F1 ∂y1 ∂F1 ∂y1 ∂y2 ∂yn ∂x1 ∂x1 ∂F2 ∂F2 ∂F2 ∂y2 ∂F2 = ∂y1 ∂y2 ∂yn ∂x1 ∂x1 ∂Fn ∂Fn ∂Fn ∂yn ∂Fn ∂y1 ∂y2 ∂yn ∂x1 ∂x1 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 앞에서의 식을 행렬과 벡터로 규정하면 연립방정식의 표현은 Jx=d로 간단히 표현할 수 있음. - 여기서 계수행렬의 행렬식은 음함수정리의 조건에서 0이 아니라고 했던 것은 야코비행렬식 J이며, 비동차방정식체계이므로 유일한 해가 존재함. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 이 해는 크래머의 공식(Cramer’s rule)을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있음. ∂yj Jj = (j=1, 2,, n) ∂x1 J - 이 과정을 적절히 조정하면 그 음함수의 다른 변수, 즉 x2,, xm들의 변화에 대한 편도함수들도 구할 수 있음. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 예 1 : 세 방정식이 다음과 같음. xy-w=0 F1=(x, y, w; z)=0 (z는 외생변수임) y-w3-3z=0 F2=(x, y, w; z)=0 (z는 외생변수임) w3+z3-2zw=0 F3=(x, y, w; z)=0 (z는 외생변수임) - 위 식은 점 P에서 성립함. 즉, (x, y, w; z)=(1/4, 4, 1, 1) - 야코비행렬식 J가 점 P에서 0이 아니면, 음함수정리를 이용하여 비교정태도함수 ∂x/∂z를 구할 수 있음. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 이 도함수를 구하기 위해 방정식체계를 전미분하면, ydx+xdy-dw=0 [ydx+xdy-dw=0] dy-3w2dw-3dz=0 [dy-3w2dw=3dz] (3w2-2z)dw+(3z2-2w)dz=0 [(3w2-2z)dw=(2w-3z2)dz] - 외생변수의 미분항을 우변으로 이항, 행렬로 나타내면 y x -1 dx 0 dz 0 1 -3w2 dy = 3 0 0 (3w2-2z) dw (2w-3z2) 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 여기서 좌변의 계수행렬 야코비행렬식은 다음과 같음. Fx1 Fy1 Fw1 y x -1 -3w2 =y(3w2-2z) J= Fx2 Fy2 Fw2 = 0 1 Fx3 Fy3 Fw3 0 0 (3w2-2z) 점 P에서 야코비행렬식의 값은 J=4(0)임. - 따라서 음함수정리를 적용하면, 다음과 같음. y x -1 ∂x/∂z 0 0 1 -3w2 ∂y/∂z = 3 0 0 (3w2-2z) ∂w/∂z (2w-3z2) 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 이제 크래머의 공식을 적용하면, 다음과 같은 ∂x/∂z를 구할 수 있음. 0 x -1 0 3 1 -3w2 3 ∂x (2w-3z2) 0 (3w2-2z) -1 = ∂z = J 1/4 -1 1/4 -1 0 1 1 -3 =0+(-3) +(-1) 4 4 -3 -1 1 = + =16 16 4 1/4 -1 1 -3 0 1 4 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 예 2 : 국민소득모형이 다음과 같음. Y-C-I0-G0=0 C--(Y-T)=0 T--Y=0 - 여기서 내생변수 (Y, C, T)를 (y1, y2, y3), 외생변수와 파라미터 (I0, G0, , , , )를 (x1, x2, x3, x4, x5, x6)라 하면, 각 방정식의 좌변은 Fj(Y, C, T; I0, G0, , , , ) 형태로 n=3이고, m=6인 경우가 됨. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 야코비행렬식(내생변수의 도함수들로만 이루어진 행렬식)은 다음과 같음. ∂F1/∂Y ∂F1/∂C ∂F1/∂T 1 -1 0 J= ∂F2/∂Y ∂F2/∂C ∂F2/∂T = - 1 =1-+0 ∂F3/∂Y ∂F3/∂C ∂F3/∂T - 0 1 - 따라서 내생변수들의 균형값을 다음같이 외생변수들과 파라미터들로 이루어진 음함수를 나타낼 수 있음. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 즉, Y*=f1(I0, G0, , , , ) C*=f2(I0, G0, , , , ) T*=f3(I0, G0, , , , ) - 이제 G0를 제외한 모든 외생변수와 파라미터는 고정. 그러면, 다음과 같은 방정식을 얻음. 1 -1 - 1 - 0 0 1 ∂Y*/∂G0 1 ∂C*/∂G0 = 0 ∂T*/∂G0 0 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 연립방정식으로의 확장(extension to the simultaneous-equation) - 크래머의 공식을 적용하면, 다음과 같은 ∂Y*/∂G0를 구할 수 있음. 1 -1 0 0 1 ∂Y* 1 0 0 1 = 1-+ ∂G0 = J [정부지출승수] 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 분석절차의 요약(summary the procedure) ⑴ 연립방정식을 구성하고 있는 각 균형방정식에 대해 전미분 실시 ⑵ 내생변수에 대한 전미분은 등호 좌변, 외생변수에 대한 전미분은 우변에 놓음. ⑶ 내생변수로 구성된 편도함수를 행렬(matrix)로 나타 내고, 야코비행렬식(Jacobian determinant)을 구함. 여기서 J0이면 함수적으로 독립이므로 비교정태 분석이 가능하고, 유일한 해가 존재함. 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 분석절차의 요약(summary the procedure) ⑷ 특정 외생변수의 변화가 내생변수에 미치는 효과를 보기 위해 다른 외생변수들은 상수로 가정하고(미분 을 0으로 놓고), 특정변수의 미분(이를테면 dxi)으로 등호 양변에 있는 미분을 나눔. ⑸ 크래머의 공식(Cramer’s rule)을 이용하여 외생변수가 내생변수에 미치는 효과를 도출함. 외생변수가 내생 변수에 미치는 효과는 다음과 같이 구함. ∂yj Jj = (i, j=1, 2,, n) ∂xi J 일반함수모형의 비교정태분석 음함수의 도함수(derivatives of implicit function) 비교정태분석에의 적용 - 비교정태분석(comparative static analysis)은 최초의 균형상태에서 외생변수 또는 파라미터가 변할 때 새로운 균형상태의 변화방향을 분석 - 비교정태분석의 기본 수단은 도함수가 기본이며, 연립방정식체계에서 야코비행렬식, 크래머법칙을 이용하여 쉽게 분석 가능 - 음함수의 경우도 음함수정리에서 요구되는 조건들이 충족되면 도함수가 도출되어 비교정태분석이 가능 일반함수모형의 비교정태분석 비교정태분석의 한계 비교정태분석은 본질적으로 원래의 균형에서 새로운 균형으로 가는 조정과정과 그 조정과정에 필요한 시간요소를 무시함. 결과적으로 비교정태분석은 모형에 내재하는 불안정성 으로 인해, 새로운 균형이 달성될 수 없을 수도 있는데 이를 무시함. 조정과정 그 자체에 대한 연구는 동태분석(dynamic analysis)의 영역에 속함.