Transcript 방정식의 근

Root of Equation
x
y  f ( x)
f
y
국민대학교 기계•자동차 공학부
( x) 
[
0
y  f
y  0
( x)
]
x ?
1
Root of Equation
Bracketing Methods
§1.
§2.
§3.
§4.
Graphical Method
Bisection Method
False-Position Method
Incremental Search Method
Open Methods
§1.
§2.
§3.
§4.
§5.
One-Point Iteration
Newton-Raphson Method
Secant Method
Multiple Roots
System of Nonlinear Equations
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# Bracketing Methods
방정식의 근의 함수값은 근의 근방에서 부호가 변화
두개의 초기 가정값이 필요
종류
§1.
§2.
§3.
§4.
Graphical Method
Bisection Method
False-Position Method
Incremental Search Method
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§1. Graphical Method
Graphical Method의 특징
– 초기 가정값의 제공
– 소프트웨어의 유용성 향상
– 함수의 특성과 수치해석 기법의 시각적 표현
일반적인 경우에서 제외되는 몇 가지 예
- 함수가 x축에 접했을 때 발생되는 다중근
- 끝점이 반대 부호를 갖는 불연속 함수의 구간
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§1. Graphical Method
v
gm
(1  e ( c / m )t )
c
f (c) 
gm
(1  e ( c / m ) t )  v  0
c
Known : m = 68.1 (Kg)
g = 9.81 (m/s)
t = 10 (s)
v = 40 (m/s)
c
4
8
12
16
20
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f(c)
34.115
17.653
6.067
-2.269
-8.401
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§2. Bisection Method
y  f (x)
algorithm
– Step 1 :
f ( xl )  f ( xu )  0
xl  xu
– Step 2 : xr 
2
xl
xr
xu
– Step 3 : a) f ( xl )  f ( xr )  0
than xu  xr , and go to Step 2
b) f ( xl )  f ( xr )  0
than xl  xr , and go to Step 2
c) f ( xl )  f ( xu )  0
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x  xr
(root )
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§2. Bisection Method
Termination Criteria
xr new  xr old
a 
100%
new
xr
xu  xl
2

100%
xl  xu
2
xu  xl

 100%
xl  xu
a  s
xl
Bisection Method always
xu
xr old
xl
xr new
a  t
N  N0
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§3. The False-Position Method
f ( xl )
f ( xu )

xr  xl xr  xu
xr  xu 
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f ( xu )( xl  xu )
f ( xl )  f ( xu )
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§4. Incremental Search Method
Incremental Search Method의 문제는 증가 길이의 선
택이다
– 길이가 너무 짧으면 탐색은 시간 소비가 많아진다
– 길이가 너무 길면 근접한 거리의 근이 빠져버릴 가능성이 있
다
근이 포함된 구간
x
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x
x
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# Open Methods
한 개 또는 구간내에 근을 포함하지 않는 두개의 시작값에서부터
시작하는 방법
Open methods가 수렴하면 Bracketing Methods보다 빠르게 수
렴한다
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§1. One-Point Iteration
x  g (x )
f ( x)  0
x2  3
x
2
x2  2x  3  0
x  sin x  x
sin x  0
xi  1  g ( xi )
a 
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g ( x)  1
xi  1  xi
 100%
xi  1
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§1. One-Point Iteration
그래프적 방법
y1  f 1( x)
f 1( x)  f 2( x)
[y
2
 f 2( x )
]
a) f ( x)  e x  x  0
f 1( x)  e  x  x
[ f ( x)  0
2
b) xi  1  e  xi
f 1( x)  x
[ f ( x)  e
2
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x
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§2. Newton-Raphson Method
근을 구하는 모든 공식 중에서 가장 넓게 사용되는 방법
근에 대한 초기가정값 xi 라면 [ xi , f ( xi )] 의 접선을 구할 수 있고,
이 접선이 축과 교차하는 점이 개선된 점이다
f ( x) 
f ( xi )
xi  xi  1
xi  1  xi 
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f ( xi )
f ( xi )
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§2. Newton-Raphson Method
f ( x)  e  x  x 의
근을 추정하라
• Newton-Raphson Method
(초기가정값 x0  0 )
• One-Point Iteration
f ( x)  e  x  1
xi  1  g ( xi )
e  xi  xi
xi  1  xi   xi
 e 1
xi  1  e  xi
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§3. Secant Method
Newton-Raphson방법의 문제는 도함수의 계산
→ 후진 유한제차분으로 근사화
f ( x) 
f ( xi  1)  f ( xi )
xi  1  xi
xi  1  xi 
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f ( xi )( xi  1  xi )
f ( xi  1)  f ( xi )
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§4. Multiple Roots
다중근의 문제
– 짝수 다중근에서는 근의 좌우에서 부호가 변하지 않는다
→ Open Methods의 사용
– 근에서 f (x) 뿐만 아니라 f (x ) 도 0이 된다
→ f (x ) 가 0에 도달하기 전에 프로그램 종료
– Newton-Raphson Method와 Secant Method는 다중근에 대
해 선형적으로 접근한다
→ Modified Newton-Raphson Method
→ Modified Secant Method
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§4. Multiple Roots
Modified Newton-Raphson Method
1) xi  1  xi  m
2) u ( x) 
f ( xi )
(m : 다중근의 차수)
f ( xi )
f ( xi )
f ( xi )
xi  1  xi 
u ( xi )
f ( xi ) f ( xi )
 xi 
u( xi )
[ f ( xi )]2  f ( xi ) f ( xi )
Modified Secant Method
xi  1  xi 
u ( xi )( xi  1  xi )
u( xi  1)  u ( xi )
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§5. System of Nonlinear Equation
One-Point Iteration
[
u ( x, y )  0
v ( x, y )  0
– One-Point Iteration의 수렴을 위한 충분조건
u
v

1
x
x
u
v

1
y
y
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§5. System of Nonlinear Equation
Newton-Raphson Method
1.
f ( x)  0 (단일 방정식)
f ( xi  1)  f ( xi )  ( xi  1  xi ) f ( xi )  0
xi  1  xi 
2.
[
f ( xi )
f ( xi )
u ( x, y )  0
v ( x, y )  0
(비선형 연립 방정식)
ui
ui
ui  1  ui ( xi  1  xi )
 ( yi  1  yi )
0
x
y
vi
vi
vi  1  vi ( xi  1  xi )
 ( yi  1  yi )
0
x
y
vi
ui
ui
vi
ui
 vi
vi
 ui
y
y

x
x
xi  1  xi 
yi  1  yi 
ui vi ui vi
ui vi ui vi


x y y x
x y y x
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