Transcript 9 8.1 z-변환

제8장
z-변환과 디지털 시스템
0
신호 및 시스템
1
신호 및 시스템
8.1 z-변환

z-변환의 정의

이산신호 x[n]의 z-변환은 다음의 멱급수(power series)로 정의
여기서, z는 복소변수
(8.1)
Z

X(z)로 표현
X(z)  Z{x[n ]} 혹은 x[n] 


역으로 X(z)로 부터 x[n]을 구하는 과정을 z-역변환 이라고 한다.
수렴영역(Region of convergence : ROC)

X(z)가 유한한 값을 갖는 모든 z 값
2
신호 및 시스템
8.1 z-변환
Im z }
Im{z
Im {zzz}
1
1
2
2
z -평면
z -평면
Re{ z }
Re{ z}
그림 8.1 [예제 8.3]의 X(z)와 수렴 영역
3
신호 및 시스템
8.1 z-변환

z-변환의 수렴

복소변수 z를 극형식(polar form)
X(z) z  re j 

수렴 영역에서
X(z) 
z  re j 로 표현

 n  jn
x
[
n
]
r
e

n  
X(z)   를 만족

 n  jn
x
[
n
]
r
e

n  


 n  jn
x
[
n
]
r
e


n  
(8.8)

n
x
[
n
]
r

n  
x[n ]r  n 의 절대값의 합이 수렴하면 X(z)
4
도 유한한 값을 갖는다
신호 및 시스템
8.1 z-변환

임의의 이산 신호 x[n]을 인과 신호(causal signal)과 반인과 신호(anticausal
signal)로 구분
x  [n ]  x[n ] u[n ]
x  [n ]  x[n ] u[n  1]

(8.9)
식 (8.9) 를 식 (8.8)에 대입하여 정리
X(z) 
1

n  

x  [n ] r

x
n 1
n


n 0


[n ] r  
n
n 0
5
x  [n ]
rn
(8.10)
x  [n ]
rn
신호 및 시스템
8.1 z-변환



 x[n ]r
n
의 수렴영역
n 0
n 1
x[ n ]
의 수렴영역
rn
그림 8.2 X(z)의 수렴영역(ROC)과 대응하는
인과(causal), 반인과(anticausal) 부분의
X(z) 의 수렴영역
수렴영역
r2  r  r1
6
신호 및 시스템
8.1 z-변환
|b|<|a|
|b|>|a|
X(z)는
X(z)의 수렴구역
존재하지 않는다
그림 8.3 예제 8.4의 z-변환 수렴 영역
7
신호 및 시스템
8.1 z-변환
유한 길이의 이산 신호
8
신호 및 시스템
8.1 z-변환
무한 길이의 이산 신호
그림 8.4 신호의 특성과 수렴 영역과의 관계
9
신호 및 시스템
8.2 z-변환의 성질

선형성 (Linearity)
만약
x1[n ] 
 X1
Z
(z) 와
x 2 [n ] 
 X 2 (z)라면,
Z
Z
x[n]  a1x1[n]  a 2 x 2 [n] 

X(z)  a1X1 (z)  a 2 X 2 (z)

(8.12)
시간 이동성 (Time shift)
만약
Z
x[n] 

X(z) 이면,
x[n]을 k만큼 시간 이동한
x[ n  k ]의 z-변환은
Z
x[n  k] 

z  k X( z )
10
(8.15)
신호 및 시스템
8.2 z-변환의 성질

z-영역에서의 척도 조절성 (Scaling Property)
만약
Z
x[n] 

X(z) ROC : r1  z  r2
이면,
임의의 상수 a 에 대하여
Z
a n x[n] 

X(a 1z) ROC : a r1  z  a r2

(8.16)
z-영역에서의 미분
만약
Z
x[n] 

X(z)
이면,
dX (z)
nx [n ]   z
dz
Z
11
(8.17)
신호 및 시스템
8.2 z-변환의 성질

두 신호의 컨벌루션
만약
Z
x1[n ] 

X1 (z)
이고
Z
x 2 [n ] 

X 2 ( z)
Z
x[n]  x1[n]  x 2 [n] 

X(z)  X1 (z)X 2 (z)

이면
(8.19)
Z-변환을 이용한 시스템 해석 과정
(i) 입 력 신 호
임펄스 응답
(ii)
X(z)  Z{x[n ]}
H(z)  Z{h[n ]}
: 전달함수(Transfer function)
Y(z)  X(z) H(z)
(iii) 시스템의 출력신호
y[n]  Z1{Y(z)}
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신호 및 시스템
8.3 z-역변환

적분에 의한 z-역변환
1
n 1
x[n ] 
X
(
z
)
z
dz

2j c

멱급수 전개에 의한 z-역변환


(8.24)
장제법(long division)을 이용한 멱급수 전개
부분 분수 전개에 의한 z-역변환
X(z)  a1X1 (z)  a 2X2 (z)   a k Xk (z)
(8.28)
Z


x[n]  a1x1[n]  a 2 x 2 [n]    a k x k [n]
(8.29)
N(z) b 0  b1z 1    b M z  M
X(z) 

D(z)
1  a1z 1    a N z  N
(8.30)
13
신호 및 시스템
8.4 단방향 z-변환

인과(causal) 신호만 존재하는 경우 ( n  0)

X  (z)   x[n ]z  n
: 단방향 z-변환
(8.34)
n 0

Z {x[n]}

또는
Z
x[n]  X (z)
로 표현
단방향 z-변환의 성질
X  (z)의 수렴 영역은 복소 평면에서 반드시 원의 외부

인과 신호이므로

시간 이동성을 제외하고 양방향 z-변환의 성질과 거의 동일
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신호 및 시스템
8.4 단방향 z-변환

시간 이동성(Shifting Property)
(i) 시간 지연(Time Delay)

Z
만약 x[n] 
X (z)이면
k
x[n  k ]  z [X (z)   x[n ]z n ]
Z
k

k0
(8.35)
n 1
만약 x[n]이 인과 신호일 경우는
Z
x[n  k]  z k X (z)
(ii) 시간 선행(Time Advance)
Z
만약 x[n]  X  (z)이면
k 1
x[n  k ]  z [X (z)   x[n ]z  n ]
Z
k

k0
n 0
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신호 및 시스템
8.4 단방향 z-변환

단방향 z-변환을 이용한 차분 방정식의 풀이

주어진 차분 방정식의 z-변환식을 구한다

구하고자 하는 출력의 z-변환을 찾아낸다

찾아낸 z-변환을 역변환하여 시간 영역에서의 출력을 구한다.
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신호 및 시스템
8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징

이산 선형 시불변(LTI) 시스템에서

전달 함수는 임펄스 응답 h[n]의 z-변환

출력은 시스템의 임펄스 응답 h[n]과 입력 x[n]의 컨벌루션 합

y[n ]  x[n ]  h[n ]
(8.42)
Y(z)  X(z) H(z)
(8.43)
식 (8.43)로부터 전달 함수는 입력과 출력 신호의 z-변환의 비
Y(z)
H(z) 
X(z)
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신호 및 시스템
8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징

전달 함수와 차분 방정식과의 관계
y[ n ] 을 갖는 선형 시불변 시스템의
 입력 신호 x[ n ] 과 출력 신호
입출력 관계식
N
M
k 1
k 0
y[n ]   a k y[n  k ]   b k x[n  k ]

시스템 초기 조건이 모두 0 이고 시간 이동성을 이용하면
N
M
k 
k 
  a k z  Y ( z )   b k z  X ( z )
 k 0

 k 0


따라서
N
H(z) 
k
b
z
 k
k 0
M
a
k 0
k
z k
18
(8.45)
신호 및 시스템
8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징

시스템의 안정도와 인과성

선형 시불변 시스템이 인과적이면 임펄스 응답은
h[n ]  0

n0
시스템의 안정도

모든 n 에 대하여 유한한 M x와 M y가 존재하고
x[n]  Mx   ,
y[n]  M y  
(8.46)
: 시스템은 BIBO 안정
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신호 및 시스템
8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징

시스템의 입출력 관계를 컨벌루션 합의 형태로 표현하면

y[n ] 
 h[k] x[n  k]
k  
양변에 절대값을 취하면
y[n ] 

 h[k]x[n  k]
k  



 h[k] x[n  k]
k  
 Mx

 h[k]
k  
선형 시불변 시스템이 BIBO 안정이기 위한 필요충분 조건

 h[k ]  
k  
: H(z)가 단위 원을 수렴 영역 안에 포함
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신호 및 시스템
8.5 z-영역에서의 선형 시불변 시스템의 특징
Im {z}
j
z- 평면
s- 평면
그림 8.5 연속 및 이산 시스템의
성질과 수렴 영역과의 관계

R e {z}
(a) 안정 인과적 시스템
(b) 비안정 인과적 시스템
단위원
(a )
수렴영역은 s-영역의 오른쪽 부분 또는 원의
외부이고 안정 시스템의 수렴 영역은
j
Im {z}
또는 단위 원을 포함함
z- 평면
s- 평면

s  j
R e {z}
단위원
(b )
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신호 및 시스템