Transcript 8 7.1 라플라스 변환 그림 7.6 신호의 존재 영역과 ROC의 관계 9 7.2

제7장
라플라스 변환과 아날로그 시스템
0
신호 및 시스템
1
신호 및 시스템
7.1 라플라스 변환

라플라스 변환(Laplace Transform)

X (s)   x(t )est dt

X (s )

s-영역
0

0


(a) X(s)의 3차원 그래프
(b) 복소 s-영역
그림 7.1 라플라스 변환의 그래프 및 s-영역
2
신호 및 시스템
7.1 라플라스 변환
ROC

x(t)
s-영역
0
2

1
t
0
(a) x(t)
그림 7.2
(b) 라플라스 변환의 ROC
x(t )  e2t u(t ) 신호와 라플라스 변환의 ROC
3
신호 및 시스템
7.1 라플라스 변환
ROC
x(t)
0
t
0
-1
(a) x(t)
그림 7.3

x(t )  e2t u(t )
2

(b) 라플라스 변환의 ROC
신호와 라플라스 변환의 ROC
4
신호 및 시스템
7.1 라플라스 변환

x(t)
ROC
1
-2
0
(a) x(t)
그림 7.4
0
2

t
(b) 라플라스 변환의 ROC
x(t )  e2|t|
신호와 라플라스 변환의 ROC
5
신호 및 시스템
7.1 라플라스 변환
x(t)
1
0
그림 7.5
t
x(t )  e2|t| 신호
6
신호 및 시스템
7.1 라플라스 변환
ROC
유한 영역 신호

v
u
t
0
우측 신호
a


t
b
0

그림 7.6 신호의 존재 영역과 ROC의 관계(계속)
7
신호 및 시스템
7.1 라플라스 변환
좌측 신호

c
t
0
양측 신호
d


t
e
0

h
그림 7.6 신호의 존재 영역과 ROC의 관계
8
신호 및 시스템
7.2 라플라스 변환의 성질

ROC
x(t)
1
-1
0

t
0
1
(a) x(t)
그림 7.7
(b) 라플라스 변환의 ROC
x(t )  e(t 1)u(t 1) 신호와 라플라스 변환의 ROC
9
신호 및 시스템
7.2 라플라스 변환의 성질
x(t)
x(t)
1
t
0
(a) x(t )  e 2t cos(0t )u (t ) 신호
t
0
(b)
x(t )  te t u (t ) 신호
그림 7.8 라플라스 변환을 위한 신호
10
신호 및 시스템
7.2 라플라스 변환의 성질
입력 신호
x(t)
라플라스
변환
X(s)
X(s)H(s) 역 라플라스
변환
시스템
임펄스 응답
h(t)
라플라스
변환
y(t) =
x(t)*h(t)
H(s)
그림 7.9 라플라스 변환의 컨벌루션 성질을 이용하여
연속 LTI 시스템의 출력을 구하는 과정
11
신호 및 시스템
7.3 라플라스 역변환

라플라스 역변환(Inverse Laplace Transform) : 복소 적분
1
x(t ) 
j 2

  j

 j
X ( s)e st ds
부분 분수 전개 방법을 이용하여 라플라스 역변환을 구함

X(s) 를 라플라스 역변환이 가능한 형태로 분해
X ( s) 
s 1
s 1
1
2



s 2  5s  6 ( s  2)(s  3) s  2 s  3
12
신호 및 시스템
7.4 라플라스 변환을 이용한 시스템 분석
x(t)
+
y(t)
미분
(a) 라플라스 변환을 이용하여 연속 LTI 시스템의 동작을 미분 방정식으로 표현
x(t)
h(t )  e t u (t )
y(t) = x(t)*h(t)
(b) 연속 LTI 시스템의 동작을 입력 신호와 시스템 임펄스 응답과의 컨벌루션으로 표현
그림 7.10 연속 LTI 시스템동작을 표현하는 두 가지 방법
13
신호 및 시스템
7.4 라플라스 변환을 이용한 시스템 분석
x(t)
2
-
y(t)
+
미분
미분
+
-
+
미분
그림 7.11 예제 7.15 시스템 동작의 블럭도
14
신호 및 시스템
7.4 라플라스 변환을 이용한 시스템 분석


0
(a) 저주파 강조 시스템


0
0
(b) 0 중심 대역을 강조하는 시스템
-0
그림 7.12 시스템의 주파수 응답
15
신호 및 시스템
7.4 라플라스 변환을 이용한 시스템 분석

-1
로 표시
영점의 위치는 O 로 표시
+
s-영역
+
극점의 위치는
O
0

1
+
-1
그림 7.13 시스템의 극점과 영점을 s-영역에 표시하는 방법
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신호 및 시스템
7.4 라플라스 변환을 이용한 시스템 분석

이 위치에서의
cde
H ( s) | G |
ab
+
a
s-영역
c
d
O
O
0
e

O
+
b
그림 7.14 시스템의 극점과 영점까지의 거리를 이용하여 | H ( s ) | 를 구하는 방법
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신호 및 시스템
7.4 라플라스 변환을 이용한 시스템 분석

+
2
a
s-영역

  1
0
-0.9
0.278

0.208
+
b
-2
0
2

-2
(a) 예제 7.16 시스템의 극점 위치
(b) 예제 7.16 시스템의 주파수 응답 크기
그림 7.15 라플라스 변환을 이용하여
연속 LTI 시스템의 주파수 응답을 구하는 방법(계속)
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신호 및 시스템
7.4 라플라스 변환을 이용한 시스템 분석


+
s-영역
a
2.499
2
  1
-0.1 0

0.249
+
b
-2
0
2

-2
(c) 예제 7.17 시스템의 극점 위치
(d) 예제 7.17 시스템의 주파수 응답 크기
그림 7.15 라플라스 변환을 이용하여
연속 LTI 시스템의 주파수 응답을 구하는 방법(계속)
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신호 및 시스템
7.4 라플라스 변환을 이용한 시스템 분석

+
2
a
s-영역

  1

O
-0.9
0.556
0
+
b
-2
-2
(e) 예제 7.18 시스템의 극점과
영점의 위치
0
2

(f) 예제 7.18 시스템의 주파수 응답 크기
그림 7.15 라플라스 변환을 이용하여
연속 LTI 시스템의 주파수 응답을 구하는 방법
20
신호 및 시스템
7.4 라플라스 변환을 이용한 시스템 분석



0

0
(a) 인과적 시스템

0




0
0

(b) 안정적 시스템
그림 7.16 연속 시스템의 인과 및 안정 성질에 따른
전달 함수의 수렴 영역 형태(계속)
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신호 및 시스템
7.4 라플라스 변환을 이용한 시스템 분석


0
(c) 안정 인과적 시스템
그림 7.16 연속 시스템의 인과 및 안정 성질에 따른
전달 함수의 수렴 영역 형태
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신호 및 시스템