Transcript 3 장 주파수 영역 해석: 이산 Fourier 급수 및 Fourier 변환

3 장 주파수 영역 해석:
이산 Fourier 급수 및 Fourier 변환
1
3.1 서 론
• Fourier 급수와 변환
신호처리 분야를 포함한 많은 응용과학과 공학에 응용
• 신호와 시스템의 주파수 영역 분석
• Fourier 급수 : 연속 시간 주기 신호 대상
• Fourier 변환 : 연속 시간 비주기 신호 대상
• 이산 Fourier 변환
• 고속 Fourier 변환
2
• Fourier 분석의 중요성
1) 사인파와 지수곡선 신호는 자주 사용되는 신호이며, 사인파나 지수 신호
를 포함하지 않은 신호이더라도 그 주파수 성분을 통하여 분석할 수 있
다.
2) 선형 시불변 시스템의 주파수 응답은 오직 입력 신호의 위상과 크기만을
바꿀 수 있으며 주파수를 바꿀 수는 없다. 그리고 그 출력 신호는 중첩에
의해 구할 수 있다.
3) 선형 시불변 시스템에 있어서 출력 신호의 스펙트럼은 입력신호의 스펙
트럼과 시스템의 주파수 특성의 곱으로 나타나며, 이것은 일반적으로 시
간 영역에서 컨벌루션을 계산하는 것보다 계산과 표현이 간단하다.
4) 디지털 신호처리 알고리즘과 시스템의 설계는 주파수 영역에서의 특성
을 정의하는 것부터 시작하는 경우가 많다.
3
3.2 이산 Fourier 급수
• 주기 디지털 신호 대상
• 분석식
-
1
ak 
N
N 1
 x[n] exp(  j 2kn / N )
n 0
ak : k번째 스펙트럼 성분 또는 고조파
- N : 한 주기 당 샘플 수
• 합성식
N 1
x[n]   ak exp( j 2kn / N )
k 0
• ak 의 실수부와 허수부, 크기 및 위상

ak  (ak ) 2  (ak ) 2

1/ 2
 (a k ) 
 k  arctan 

 (a k ) 
4
• 예
80쪽 표
• x[n]이 실수 함수일 때 계수들의 대칭성, 주기성
- 실수부 : 대칭

R(a1 )  R(a6 ), R(a2 )  R(a5 )
- 허수부 : 비대칭

I (a1 )   I (a6 ), I (a2 )   I (a5 )
• a0 : 0 주파수  허수부 = 0
5
예제 3.1
n 
n 


• 주기 디지털 신호 : x[n]  1  sin    2 cos 
 4
 2
1
exp( jn / 4)  exp( jn / 4)  exp( jn / 2)  exp( jn / 2)
x[n]  1 
2j
j
j
 exp( j 2n / 4)  exp( jn / 4)  1  exp( jn / 4)  exp( j 2n / 4)
2
2
• a2  1; a1  j / 2; a0  1; a1   j / 2, a2  1
그림 3.2
6
•
2n
2n
2n
2n
)  cos(
)  0.6 cos(
)  0.5 sin(
)
64
16
8
4
2fn
x ( n)  sin(
)
fs
2n
2n
2n
2n
 sin(
 1)  cos(
 4)  0.6 cos(
 8)  0.5 sin(
 16)
64
64
64
64
예 : x(n)  sin(
7
• 불연속점을 갖는 주기 신호의 스펙트럼
- 스펙트럼의 퍼짐
- 여러 주파수 성분간의 위상 관계 식별 어려움
그림 3.4
8
• 주기적 임펄스 열의 스펙트럼
- 모든 주파수 성분 포함
- 시스템 성능 분석에 이용
1 N 1
1
1
ak    [n] exp(  j 2kn / N )  exp( 0) 
N n 0
N
N
그림 3.5
9
• 신호의 시간 이동은 주파수 영역에서의 위상 변화에 대응
• 선형 위상 특성
위상이 주파수에 비례  위상의 기울기가 시간 이동에 비례
그림 3.6
10
파스발의 정리
• 신호의 전력 또는 에너지는 시간 영역에서나 주파수 영역에서나
동일하다.
1
N
N 1
 {x[n]} 
2
n 0
N 1

k 0
ak
2
• 예: 예제 3.1(p. 6)의 신호
1
N
N 1
1
(9  2.914  0  2.914  9  0.086  4  0.086)
8
28

 3 .5
8
 {x[n]}2 
n 0
N 1
 |a
k 0
k
|2  (1  0.25  1  0  0  0  1  0.25)  3.5
• 예: 그림 3.5
11
3.2.2 이산 Fourier 급수의 특성
• 선형성 :
만일 x1[n]  ak 및 x2 [n]  bk
이면 Ax1[n]  Bx2 [n]  Aa k  Bbk
• 시간 이동 특성 : 만일 x[n]  ak
이면 x[n  n0 ]  ak exp( j 2kn0 / N )
만일 n0  N 이면, x[n-N ]  ak exp(  j 2k )  ak : 한 주기 이동
• 이산 Fourier 급수와 관련된 신호의 시간 이동
- 순환적 또는 주기적 특성을 띰 : 주기 = N
-
n0 샘플만큼 이동한 것은 n0  mN 샘플만큼 이동한 것과 동일
n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n 모듈로-2 = (n)2 = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 …
n 모듈로-4 = (n)4 = 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 ...
12
• 미분 특성 :
만일 x[n]  ak
이면 x[n]  x[n  1]  ak 1  exp( j 2k / N 
• 적분 특성 :
만일 x[n]  ak
n
이면
 x[k]  ak 1  exp( j 2k / N 
1
k - 
• 순환 또는 주기 컨벌루션
시간 영역에서의 컨벌루션은 주파수 영역에서 곱셈이 된다
만일 x1[n]  ak 및 x2 [n]  bk 이면
• 변조 특성
x1[n]x2 [n] 
N 1
 x1[m]x2 [n  m]  Nak bk
m 0
N 1
 ambk m
m 0
13
3.3 비주기 디지털 신호의 Fourier 변환
• 신호의 주기 확장 (비주기 신호를 만들기 위한 과정)
예) 주기 N을 5에서 12로 만들기 위하여 사이에 0을 삽입
그림 3.7
- 1/N 요소 때문에
1
ak 
N
N 1
ak 는 감소하고 주파수 성분들은 점점 가까이 모인다.
 x[n] exp(  j 2kn / N )
n 0
14
• N   : a k 는 무한히 작아지나 Na k 는 유한한 값을 갖는다
N 1
X  Nak
n 0
Ω 2k / N (연속적인 주파수 변수)
X  Nak   x[n] exp( jn)
• 비주기 신호 x[n]의 Fourier 변환
X ( ) 

 x[n] exp( jn)
n 
• Fourier 역변환
 X k 0 
  N  exp( jk 0 n)
k 0 N 1
1
x[n] 
X (k 0 ) exp( jk 0 n) 0

2 k 0
1
x[ n] 
X () exp( jn) d

2

2
x[n] 
N 1
  k 0  2k / N
0 
2
N
: 기본 주파수
(1차 고조파)
N 
0  0
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이산 시간 Fourier 변환쌍
• 분석식
X () 

 x[n] exp(  jn)
n  
• 합성식
x[ n] 
1
2
  X () exp( jn)d
2
• 디지털 스펙트럼은 언제나 반복한다 : 주기 = 2
16
예제 3.2
• Fourier 변환 예 :
(a) x[n] = 0.2{[n-2]+[n-1]+[n]+[n+1]+[n+2]}
(b) x[n] = 0.5 [n] + 0. 25[n-1] + 1.25 [n-2] + …
17
• 풀이 (a)
X () 

 x[n] exp( jn)
n  


 0.2 [n  2]   [n  1]   [n]   [n  1]   [n  2]exp( jn)
n  
 0.2exp( j 2)  exp( j)  1  exp( j)  exp( j 2)
 0.21  2 cos  2 cos 2
: 주파수 밀도 함수
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• 풀이 (b)
X () 

 x[n] exp( jn)
n  
 0.5  0.25 exp( j)  0.125 exp( j 2)  

 0.5 0.5 exp( j)
n
n 0
| X () |
(1  0.5 cos)
0.5
0.5

1  0.5 exp( j)

2 1/ 2
 (0.5 sin )
0.5

(1  cos  0.25 cos2   0.25 sin 2 )1/ 2
0.5

(1.25  cos)1/ 2
2
19
단위 임펄스의 Fourier 변환
• N=0에서 정의된 독립된 임펄스
X () 


n  
n  
 x[n] exp(  jn)    [n] exp(  jn)  exp(  jn) |n  0  1
• 지연된 단위 임펄스
X () 

  [n  1] exp(  jn)  exp(  jn) |n 1  exp(  j)
n  
• 백색 스펙트럼
그림 3.9
20
이산 Fourier 급수: 특성
표 3.1
21
이산 시간 Fourier 변환: 특성
표 3.2 위
22
이산 시간 Fourier 변환: 변환쌍
표 3.2 아래
23
3.3.2 선형 시불변 프로세서의 주파수 응답
• 주파수 응답 : H ()  Y ()  H () X ()
그림 3.10
• 극좌표 형태
X ()  X () exp( j X ()) H ()  H () exp( j H ())
X () H ()  X () H () exp  j{ X ()   H ()}
Y (  )  X ( ) H (  )
if x(n)   (n), then X () 1
 Y ()  H ()
24
• 주파수 응답 예1 : 그림 2.11의 5점 이동평균 필터
h [n]  0.2  [n  2]   [n  1]   [n]   [n  1]   [n  2]
H ( ) 

 h [n] exp(  jn)
n  
H   0.2exp(  j 2)  exp(  j 2)  1  exp(  j 2)
 0.21  2 cos   2 cos 2
- 그림 3.8(a)의 스펙트럼과 동일
- 저대역 통과 특성
- 실수부만 존재하므로 위상이 0인 특성을 갖는다.
25
• 주파수 응답 예2 : 2장의 순환 필터
h[n]  0.5 [n]  0.25 [n  1]  0.125 [n  2]  
0.5
H [] 
1  0.5 exp(  j)
- 그림 3.8(b)의 스펙트럼과 동일
- 순환 프로세서이며 따라서 비선형 위상 특성을 갖는다.
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• 선형 시불변 시스템의 주파수 응답 : 이산 방정식으로부터 구할 수 있음
H ()  | H () | e  j{H ()}
 ak yn  k    bk x[n  k ]
N
M
k 0
k 0
i) ak=0, except k=0  a0y(n)
y ( n) 
1
 b0 x(n)  b1 x(n  1)    
a0
ii) ak 모두가 0이 아닌 경우
y ( n) 
N
M
k 0
k 0
1
{ b0 x(n)  b1 x(n  1)    a1 y (n  1)  a2 y (n  2)}
a0
 a k exp(  jk)Y ()   bk exp(  jk) X () (3.43)
M
b exp(  jk)
Y () k0 k
H () 
 N
(3.44)
X ()  a exp(  jk)
k
k 0
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대역 필터의 주파수 응답
y[n]  1.5 y[n  1]  0.85 y[n  2]  x[n] (3.45)
Y ()  1.5Y ()e  j  0.85Y ()e  j 2   X ()


Y () 1  1.5e  j  0.85e  j 2   X ()
1
1  1.5 exp(  j)  0.85 exp(  j 2)
1

(1  1.5 cos   0.85 cos 2)  j (1.5 sin   0.85 sin 2)
H ( ) 
H () 
(1  1.5 cos   0.85 cos 2)
1
2
 (1.5 sin   0.85 sin 2) 2
그림 3.12

1/ 2
 1.5 sin   0.85 sin 2 
 H ()  arctan 

 1  1.5 cos   0.85 cos 2 
28
대역 저지 필터의 주파수 응답
y[n]  1.8523 y[n  1]  0.94833 y[n  2]  x[n]  1.9021x[n  1]  x[n  2]


1  1.9021exp(  j)  exp( 2 j)
H ()  

1  1.8523 exp(  j)  0.94833 exp( 2 j) 
그림 3.13
29