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제5장 이산 신호의 주파수 해석 0 신호 및 시스템 1 신호 및 시스템 5.1 이산 신호의 주파수 개념 …… …… 0 1 2 …… 4Hz 샘플링 t 2 0 …… 6 4 8 n (a) 1Hz 연속 코사인 신호와 이를 4Hz로 샘플링하여 만든 이산 코사인 신호 …… …… 0 1 2 t …… 4Hz 샘플링 …… 4 0 8 n (b) 0.5Hz 연속 코사인 신호와 이를 4Hz로 샘플링하여 만든 이산 코사인 신호 그림 5.1 연속 코사인 신호를 샘플링하여 만든 이산 코사인 신호 2 신호 및 시스템 5.1 이산 신호의 주파수 개념 …… …… 1 0 t 2 (a) 5Hz 주파수를 가지는 연속 코사인 신호 …… 0 …… 6 2 4 8 n (b) 5Hz 코사인 신호를 4Hz로 샘플링하여 만든 이산 코사인 신호 그림 5.2 연속 코사인 신호를 샘플링하여 만든 이산 코사인 신호 3 신호 및 시스템 5.1 이산 신호의 주파수 개념 이산 코사인 신호 x[n] cos[2 f0 n] fs f0 ˆ 이산 신호의 주파수 f fs fˆ 의 차이가 정수이면 동일한 주파수를 나타냄 1 5 cos[ 2 n] cos[ 2 n] 4 4 0.5 fˆ 0.5 구간에서 모든 성분의 주파수 표현 4 신호 및 시스템 5.1 이산 신호의 주파수 개념 x(t) X(f) 1 2 1 …… …… 0 1 -1 0 1 t 2 (b) x(t) 스펙트럼 (a) 1Hz 주파수를 가지는 연속 코사인 신호 Xs(f) xs(t) 1 1 2 4 2 …… …… …… 0 f -5 t (c) 4Hz로 샘플링된 연속 코사인 신호 -3 -1 0 1 3 5 f (d) 샘플링된 연속 코사인 신호의 스펙트럼 그림 5.3 이산 코사인 신호의 스펙트럼(계속) (연속 코사인 신호의 샘플링을 통하여 이산 코사안 신호의 스펙트럼을 유도하는 과정) 5 신호 및 시스템 5.1 이산 신호의 주파수 개념 X ( fˆ ) x [n ] 1 2 …… 1 …… …… 0 4 8 …… n 5 4 3 4 1 1 0 4 4 3 4 5 4 f fˆ fs (f) 주파수 0.25를가지는 이산 코사인 신호의 스펙트럼 (e) 주파수 0.25를 가지는 이산 코사인 신호 그림 5.3 이산 코사인 신호의 스펙트럼 6 신호 및 시스템 5.1 이산 신호의 주파수 개념 X ( fˆ ) 이 구간이 1 마다 반복됨 1 2 …… fˆo-1 …… 1 fˆo-1 fˆo 0 fˆo 1 fˆo+1 fˆo+1 2 2 ˆ (a) cos[2f o n]의 스펙트럼 fˆ 이 구간이 1 마다 반복됨 X ( fˆ ) 1 2j 1 2j 1 2j 1 2j 1 2j 그림 5.4 주파수 fˆ0 를 가지는 이산 코사인 신호 및 이산 사인 신호의 스펙트럼( 0 fˆ0 0.5) 1 2j …… fˆo-1 …… 1 fˆ 1 fˆ 0 fˆo fˆo -1 fˆo+1 o o +1 2 2 (b) sin[2fˆo n] 의 스펙트럼 7 fˆ 신호 및 시스템 5.1 이산 신호의 주파수 개념 이구간이마다반복됨 X ( ) …… …… 2 o 2 o o 0 (a) cos[o n] 의 스펙트럼 X ( ) j …… j 2 o 2 o 그림 5.5 주파수 2 o o 2 o 이구간이마다반복됨 j j o o 0 (b) sin[ o n] 의 스펙트럼 j 2 o j …… 2 o 0 를 가지는 이산 코사인 신호 및 사인 신호의 스펙트럼( 0 0 ) 8 신호 및 시스템 5.1 이산 신호의 주파수 개념 1 2 0 5 4 fˆ 5 4 (a) 두 개의 펄스로 구성된 스펙트럼 5 fˆ = 에 있는 4 펄스가 fˆ = 1 마다 반복 5 fˆ = 에 있는 4 펄스가 fˆ = 1 마다 반복 1 2 …… 5 4 3 4 1 4 1 4 3 4 …… fˆ 5 4 그림 5.6 cos[ 2 5 n] 신호의 4 스펙트럼 (b) 펄스 반복으로 구하여진 최종 스펙트럼 9 신호 및 시스템 5.1 이산 신호의 주파수 개념 주기 = 2 -2 0 2 4 6 n 그림 5.7 최고 주파수를 가지는 이산 신호 10 신호 및 시스템 5.1 이산 신호의 주파수 개념 X ( fˆ ) 1 1 2 …… -1.4 -1 -0.6 -0.4 0 0.4 0.6 …… 1 1.4 fˆ 그림 5.8 이산 신호의 스펙트럼 0.5 fˆ 0.5 구간의 신호가 fˆ 1.0 마다 반복되는 것 확인 fˆ 0, fˆ 0.4 이므로 x[n] 1 cos[2 0.4n] 1 cos[2 1.4n] 11 신호 및 시스템 5.2 이산 주기 신호의 주파수 해석 이산 시간 푸리에 시리즈(DTFS) 전개 x[n] X e k N 실수 x[n] j 2knfˆ0 k X e k N j 2 kn N k Ak cos[2fˆ0kn k ] k M M k M Ak cos[ 2 kn k ] N N 1 N 또는 M 1 2 2 이산 시간 푸리에 급수(DTFS) 계수 1 Xk N x[n]e j 2 kn N n N 12 신호 및 시스템 5.2 이산 주기 신호의 주파수 해석 X ( fˆ ) X-N = Xo X0 X-1 X1 X2 …… …… N 1 -1 N (a) XN=Xo XN-1 X3 …… …… N 1 1 N 1 1 2 3 0 N N N N fˆ 축에 대한 스펙트럼 fˆ X ( ) 2X-N 2X0 2X1 2X-1 2 2 N 0 2XN-1 2X3 2X2 …… …… 2XN …… 2 4 6 N N N 2 ( N 1) 2 N 그림 5.9 이산 주기 신호의 DTFS 계수 X k 와 스펙트럼 관계 …… (a) 축에 대한 스펙트럼 13 신호 및 시스템 5.2 이산 주기 신호의 주파수 해석 x[n] 1 …… …… -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n 6 (a) 이산 주기 구형파 Xk 3 5 …… …… -3 -6 -5 -4 -2 2 -1 1 0 3 4 5 6 k (b) DTFS 계수 그림 5.10 이산 주기 구형파의 DTFS 계수와 스펙트럼(계속) 14 신호 및 시스템 5.2 이산 주기 신호의 주파수 해석 X ( fˆ ) 3 5 …… …… -1 4 5 1 1 0 5 5 (c) 스펙트럼 4 5 1 6 5 fˆ 그림 5.10 이산 주기 구형파의 DTFS 계수와 스펙트럼 15 신호 및 시스템 5.2 이산 주기 신호의 주파수 해석 이산 시간 푸리에 급수 계수 우로 n = L 이동 2 kL 위상 변화 N x[n]의 이산 시간 푸리에 급수 계수 = Xk x[n-L]의 이산 시간 푸리에급수계수 X k e j x[n+L]의 이산 시간 푸리에급수계수 X k e 좌로 n = L 이동 이산 시간 푸리에 급수 계수 j 2 kL N 2 kL N 2 kL 위상 변화 N 그림 5.11 시간 이동과 이산 시간 푸리에 급수 계수의 위상 변화 관계 16 신호 및 시스템 5.3 이산 비주기 신호의 주파수 해석 이산 시간 푸리에 변환(DTFT) x[n]e X ( fˆ ) j 2fˆn n 이산 시간 푸리에 역변환(IDTFT) x[n] 1 j 2fˆn ˆ ˆ X ( f )e df 17 신호 및 시스템 5.3 이산 비주기 신호의 주파수 해석 x[n] 1 -6 -4 -2 0 1 2 3 4 5 6 n (a) 비주기 이산 구형파 X ( fˆ ) 5 …… …… -1 4 5 3 5 2 5 1 5 1 5 0 2 5 3 5 4 5 1 fˆ (b) 비주기 이산 구형파의 스펙트럼 그림 5.12 비주기 이산 구형파의 스펙트럼(계속) 18 신호 및 시스템 5.3 이산 비주기 신호의 주파수 해석 x[n] b … … -a -1 0 1 n a (c) 일반화된 비주기 이산 구형파 이 구간이 1 마다 반복 X ( fˆ ) (2a+1)b …… …… 1 2 0 1 2a 1 3 2 2a 1 2a 1 … 1 2 fˆ (d) 일반화된 비주기 이산 구형파의 스펙트럼 그림 5.12 비주기 이산 구형파의 스펙트럼 19 신호 및 시스템 5.3 이산 비주기 신호의 주파수 해석 x[n] X ( fˆ ) DTFT a -3 -1 0 1 2 3 n a (a) X ( fˆ ) x[n] a …… …… -3 fˆ 0 DTFT -1 0 1 2 3 n a … … -1 (b) 0 1 fˆ 그림 5.13 상수 값과 주기 임펄스 신호의 이산 시간 푸리에 변환 20 신호 및 시스템 5.3 이산 비주기 신호의 주파수 해석 한 주기이며 좌우 대칭임 | X ( fˆ ) | …… …… -1 -0.5 0.5 1 fˆ (a) 실수 x[n]의 스펙트럼 절대값 한 주기이며 좌우 대칭이 아님 | X ( fˆ ) | …… …… -1 -0.5 0.5 1 fˆ 그림 5.14 실수 및 복소 이산 신호의 스펙트럼의 좌우 대칭 성질 (b) 복소 x[n]의 스펙트럼 절대값 21 신호 및 시스템 5.4 신호의 주파수 해석 정리 p(t) p[n] 1 …… …… 1 …… …… -2T -T 0 T 2T t (a) 연속 신호의 반복을 위한 펄스 열 -2N -N 0 N 2N n (b) 이산 신호의 반복을 위한 펄스 열 P(f) P( fˆ ) …… 1 2 2 1 0 T T T T (c) p(t)의 스펙트럼 1 T …… …… f 1 N …… 2 1 1 2 0 N N N N (d) p[n]의 스펙트럼 fˆ 그림 5.15 비주기 신호와 주기 신호의 스펙트럼 관계(계속) 22 신호 및 시스템 5.4 신호의 주파수 해석 정리 비주기 신호 주기 신호 컨벌루션 x(t) x[n] y[n] = x[n]*p[n] 푸리에 변환 푸리에 변환 Y ( f ) X ( f ) P( f ) X(f) X ( fˆ ) y(t) = x(t)*p(t) 1 X(f ) T 1 Y ( fˆ ) X ( fˆ ) P( fˆ ) X ( fˆ ) N 곱하기 f k T k fˆ N (e) 푸리에 변환을 통하여 주기 신호의 스펙트럼을 구하는 과정 그림 5.15 비주기 신호와 주기 신호의 스펙트럼 관계 23 신호 및 시스템 5.4 신호의 주파수 해석 정리 x [n ] y[n]=x[n] * p[n] …… -2 -1 0 1 2 (a) n …… -6 -2 n 0 1 2 3 4 5 6 (b) 그림 5.16 이산 비주기 신호와 이산 주기 신호의 스펙트럼 관계(계속) 24 신호 및 시스템 5.4 신호의 주파수 해석 정리 X ( fˆ ) …… G …… -1 -0.5 0 0.5 1 fˆ (c) Y ( fˆ ) X ( fˆ ) P( fˆ ) …… …… -1 1 2 3 4 5 1 0 6 6 6 6 6 (d) G 6 fˆ 그림 5.16 이산 비주기 신호와 이산 주기 신호의 스펙트럼 관계 25 신호 및 시스템 5.4 신호의 주파수 해석 정리 xs(t) x( t ) -1 0 1 (a) 연속 신호 t -1 0 x[n] 1 (b) 샘플링된 연속 신호 t -2 -1 0 1 2 3 n (c) 이산 신호 그림 5.17 연속 신호와 이산 신호의 스펙트럼 관계(계속) 26 신호 및 시스템 5.4 신호의 주파수 해석 정리 Xs(f) X(f) 3G G -1 0 …… 1 f …… -3 (d) 연속 신호의 스펙트럼 0 3 f (e) 샘플링된 연속 신호의 스펙트럼 X ( fˆ ) 3G …… …… -1 0 (f) 이산 신호의 스펙트럼 1 fˆ 그리 5.17 연속 신호와 이산 신호의 스펙트럼 관계 27 신호 및 시스템 5.4 신호의 주파수 해석 정리 연속 시간 신호 이산 시간 신호 샘플링 주기적 반복 시간 영역 g(t) 샘플링 주기적 반복 x(t) CTFS CTFT x[n] DTFT g[n] DTFS 주파수 영역 G(f) 샘플링 G ( fˆ ) X ( fˆ ) X(f) 주기적 반복 샘플링 주기적 반복 비주기 주파수 신호 주기 주파수 신호 그림 5.18 연속/이산, 주기/ 비주기 신호의 시간 및 주파수 영역 성질(계속) (a) 시간 영역 신호와 주파수 영역 신호와의 관계 28 신호 및 시스템 5.4 신호의 주파수 해석 정리 시간 영역 성질 주기 비주기 연속 이산, 비주기 연속, 비주기 이산 이산, 주기 연속, 주기 (b) 시간 영역의 성질에 따른 주파수 영역 성질 그림 5.18 연속/이산, 주기/비주기 신호의 시간 및 주파수 영역 성질 29 신호 및 시스템 5.4 신호의 주파수 해석 정리 반복 T=2 g(t) … -1 x ( t) 반복 N=6 x[n] 3Hz 샘플링을 통하여 이산 신호로 변경 g[n] … 0 1 2 CTFS … t -1 1 t 0 0 12 3 n -3 0 12 3 -3 DTFT CTFT … n 6 DTFS X ( fˆ ) 3A X(f) G(f) 샘플링 1 f 2 A A 1 2 샘플링 1 fˆ 6 반복 및 주파수축 변경 2 0 G ( fˆ ) … f -1 0 … 1 f 0 1 3 1 fˆ A 2 … 0 1 6 … 1 fˆ 그림 5.19 연속/이산, 주기/비주기 신호의 스펙트럼 관계 30 신호 및 시스템