Transcript 연속 주기 신호의 주파수 해석-8-10주차

Signal Processing & Systems
(신호 및 시스템)
연속 주기 신호의 주파수 해석
Prof. Jae Young Choi (최재영 교수)
Signal Processing & Systems (2014 Fall)
Prof. Jae Young Choi
목차
1. 연속 주기 신호에 대한 기본 신호
2. 연속 주기 신호의 주파수 개념과 표현
3. 연속 주기 신호의 주파수 해석
4. 연속 시간 푸리에 급수의 성질
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Section 01 연속 주기 신호 주파수에 대한 기본 신호
주파수 : 신호가 변화하는 속도, 주기와 역수 관계
• 주기를 통해서 주파수의 변화 속도 수준을 파악
– 긴 주기 갖는 신호 : 신호의 변화 정도는 느림
– 짧은 주기 갖는 신호 : 신호의 변화 정도가 빠름
연속 주기 신호
• 다양한 주파수를 갖는 정현파 신호들이 조합되어 만들어진
신호
• 조합된 정현파 신호들을 분리할 수 있다면 신호의 주파수를
찾고 해석하는 일이 간단해질 것이다.
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주기 신호의 정현파 구성
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참고: Fourier
Series
1.1 기본 신호의 개념
정현파 신호
• 연속 주기 신호를 구성하고 더 이상 다른 신호로 분리 되지 않는 신호이다.
그래서 가장 순수한 신호
기본 신호basis signal
• 유일하게 하나의 주파수 성분만을 가지고 있는 신호, 정현파 신호가 대표적이다
주파수 해석frequency analysis
• 복합 신호가 어떤 진폭, 어떤 주파수의 정현파들로 구성되는가를 파악하는 것
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1.2 기본 신호의 특징
정현파 기본 신호에는 사인sine신호와 코사인cosine신호가 대표적
x1 (t )  A sin( 2f 0t   ), x2 (t )  A cos(2f 0t   )
기본 신호의 구성 : 진폭 A, 주파수f0 , 위상 Φ
사인 파형의 기대칭 특성 :
sin(t )   sin(t )
코사인 파형의 우대칭 특성 : cos(t )  cos(t )
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사인파와 코사인파의 관계
사인 파형과 코사인 파형은 π/2위상 차만 존재하는 동일한 기본 신호


sin( 2f 0 t )  cos 2f 0 t  
2

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기본 신호의 직교특성
(a,b)구간 에서 직교 정의

참고: Orthogonal
Basis
b
a
l (t )k* (t )dt
 Ek , l  k

0, l  k
 Ek  l  k 
• Φk*(t)는 신호의 공액 복소수complex conjugate, Ek는 신호의 에너지
• δ(l-k)는
크로네커Kronecker 델타
1, l  k
함수 :  l  k   
0, l  k
 , m  n
사인 신호의 직교성 :  m t  t dt ,  sin mt sin nt dt   0, m  n


정규 직교 집합
*
n

orthonomal set
: 직교 집합 신호 중에서 에너지 가 1인 경우
b
1, l  k
*
l (t )k (t )dt  
  l  k 
a
0, l  k

사인파 함수들의 정규 직교 집합 : sin t ,

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sin 2t

,
sin 3t

,
sin 4t


일반화된 푸리에 급수generalized Fourier series
 Φi(t)는 a<t<b 범위에서 정규 직교 집합, x(t) 는 동일 구간에서 유한
에너지 신호
일반화된 푸리에 급수 : 신호 x(t)를 Φi(t) 의 집합으로 표현
x(t ) 

 c  (t )
i  
i i
• 상수 Ci 는 다음으로 정의된다.
ci 

b
a
x(t )i* (t )dt, i  0,  1,  2
• Φi(t)가 직교 집합일 경우
1
ci 
Ei

b
a
x(t )i* (t )dt, i  0,  1,  2
• 푸리에 급수의 계수 Fourier series coefficients : 상수 Ci
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1.2 기본 신호의 특징
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1.2 기본 신호의 특징
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Section 02 연속 주기 신호의 주파수 개념과 표현
연속 신호의 표현 방법 : 시간 영역 표현 방법과 주파수 영역 표현 방법
• 주파수 영역 표현 방법은 더 많은 정보들을 얻 수 있어 과학 및 공학 영역에서
많이 활용
정현파 신호의 시간 영역 표현과 주파수 영역 표현
• 기본 신호는 간단하게 주파수 영역으로 표현 가능
• 복합 주기 신호는 각각의 기본 신호로 분리하는 방법이 고려되어야 주파수
영역으로 표현이 가능해진다.
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2.1 기본 신호와 오일러 공식
복합 주기 신호의 대부분 파형은 시간에 따라 계속해서 변하는 신호
• 시간 영역 표현이 효율적이지 않을 경우도 있음
• 효율적인 주파수 영역 표현 방법이 필요
오일러 공식Euler's formula : 정현파 신호의 주파수를 쉽게 찾아준다.
e jt  cost   j sin t 
e  jt  cost   j sint 
오일러 공식을 이용한 정현파의 지수함수표현


1 jt
cos(t )  e  e  jt
2
1 jt
sin( t ) 
e  e  jt
2j

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
2.2 기본 신호의 주파수 영역표현
코인신호의 지수함수 표현 : A cos( 2f 0t ) 
A j 2f0t A  j 2f0t
e
 e
2
2



얻어진 정보로부터 주파수의 함수 X(f)로 표현 :X  f   

0,

코사인 신호의 주파수 스펙트럼
• 스펙트럼spectrum : 신호를 주파수의 함수로 표시하는 것
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A
, f  f0
2
A
, f   f0
2
그 밖의 경우
위상 차가 존재하는 코사인 신호의 스펙트럼
지수함수로의 표현
A j ( 2f0t  ) A  j ( 2f0t  )
e
 e
2
2
A
A
 e j e j 2f0t  e  j e  j 2f0t
2
2
A cos( 2f 0t   ) 
• 복소 진폭
A  j 와
e
2
A j : 진폭성분 A/2와 위상성분 Φ가 포함
e
2
주파수의 함수 X(f)와 각 주파수의 함수 X(Ω) 으로 표현
,
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 A j
f  f0
 e ,
2


X  f    A  j
 2 e , f   f0


0, 그 밖의경우
2.2 기본 신호의 주파수 영역표현
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2.2 기본 신호의 주파수 영역표현
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사인 신호의 주파수 영역표현
사인 신호를 지수함수로 표현하면
A j ( 2f 0t  ) A  j ( 2f 0t  )
e

e
2j
2j
A j j 2f 0t A  j  j 2f 0t

e e

e e
2j
2j
A sin(2f 0t   ) 
A sin( 2f 0t   ) 
A
e
2
 
j  
2

e j 2f 0t 
A
e
2

( j)  cos( )  j sin( )  e
2
2
je
j

2
 
 j  
2   j 2f 0t

e
주파수 함수 X(f]로 표현하면
 A j     
 e  2 ,
f  f0
2



X  f    A  j     
2
 e   , f   f0
,
2

 0,
그 밖의 경우

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
j

2
사인 신호의 주파수 스펙트럼
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코사인 신호와 사인 신호의 스펙트럼 절대값
스펙트럼 X(f)는 복소수이므로 이를 그래프에서 명확하게 표현하기
위해서 절대값 |X(f)|또는 절대값 자승 |X(f)|2으로 표시
• 복소 지수함수의 절대값 :
• 사인의 위상 성분과 음의 부호가 제거되어서 코사인과 동일한 결과가 나온다.
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2.2 기본 신호의 주파수 영역표현


1 jt
e  e  jt
2
1 jt
sin( t ) 
e  e  jt
2j
cos(t ) 

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
2.2 기본 신호의 주파수 영역표현
( j)  e
je
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j

2
j

2


 cos( )  j sin( )
2
2
2.2 기본 신호의 주파수 영역표현
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Review: Impulse Response
h[n ]
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Section 03 연속 주기 신호의 주파수 해석
3.1 실수 주기 신호의 주파수 분해
• 실수의 연속 주기 신호는 코사인 신호들만의 집합으로 구성
N 1
주파수 분해
x(t )   Ak cos2f k t  k 
k 0
• 주기 신호 x(t)의 구성 요소인 각 코사인 신호들의 주파수fk , 진폭 Ak , 위상 Φk 을
구하고 이를 통해 주파수 함수 또는 스펙트럼 X(f)로 표현하는 것
• 각 코사인의 주파수 fk 는 반드시 x(t)의 기본 주파수 f0의 정수배가 된다.
f k  kf0 
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k
T
주기 구형파 신호의 주파수 분해
주기 구형파
• 주기 구형파 신호는 유한개의 코사인 신호로는 분해되지 않지만, 무한개의
코사인이 주어지면 분해가 가능
• 주기 구형파의 수식 표현
x(t ) 

 A cos2f t   
k
k
k
k 0


 A cos2k f t   
k
0
k
k 0

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
 2k t

Ak cos
 k 
 T

k 0

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실수 주기 신호의 주파수 합성
주파수 분해의 반대 개념
• 스펙트럼을 구성하는 주파수 fk, 진폭 Ak, 위상 Φk로부터 주기 신호 를 만드는
과정을 주파수 합성이라고 한다.
• 주파수 영역에서 표현된 스펙트럼 신호를 시간 영역으로 표현하는 과정
주파수 합성 과정
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3.2 연속 시간 푸리에 급수
복소 지수 함수는 실수의 코사인 신호와 허수의 사인 함수의 합으로 구성
e j 2f k t  cos2f k t   j sin2f k t 
복소 주기 신호 x(t)는 실수의 기본 신호와 복소수의 기본 신호들의
조합으로 복소 지수함수에 의해서 표현 가능

x(t ) 
X
ke
k  
j 2kf 0t


X
ke
j
2
kt
T
k  
• 복소 주기 신호의 스펙트럼을 구하기 위한 복소 지수 함수들의 합성을 연속 시간
푸리에 급수continuous-time Fourier series라고 한다.
• Xk는 주파수 kf0=fk에서 진폭의 크기를 나타내며 푸리에 급수의 계수라고 한다.
• 복소 주기 신호를 위한 푸리에 급수의 계수
Xk 
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1
 j 2kf 0t
x
(
t
)
e
dt


T

T
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복소 주기 신호의 연속 시간 푸리에 급수의 스펙트럼
스펙트럼
• 스펙트럼이 이산 형태로 나타나므로 선 스펙트럼line spectrum이라고 한다.
• 절대값 |Xk|는 복소 주기 신호의 진폭 또는 크기 스펙트럼magnitude spectrum이라고
한다.
• X(t)를 구성하는 정현파 요소들의 위상은 ∠Xk 으로 표기하며, 위상 스펙트럼phase
spectrum이라고 한다.
• 주파수 kf0=fk에서 구해진 계수 Xk를 표시한 신호의 스펙트럼
보충: Magnitude
and Phase
Spectrum
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주기 신호의 연속 시간 푸리에 급수 계수
푸리에 급수 계수 Xk와 기본 주파수 f0로부터 복소 주기 신호의 생성.
• 기본 주파수가 15Hz인 연속 시간 푸리에 급수의 스펙트럼
• 스펙트럼으로부터 x(t)는
x(t ) 

j 2kf 0t
X
e
 k
k 
 X 0  X 2e j 2 2 f0t  X 2e  j 2 2 f0t  X 5e j 2 5 f0t  X 5e  j 2 5 f0t
 7  4e j 2 30t  4e  j 2 30t  2e j 2 75t  2e  j 2 75t
2Jae30Young
 7  8 cosProf.
t  Choi
4 cos2 75t 
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3.2 연속 시간 푸리에 급수
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3.2 연속 시간 푸리에 급수
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3.3 연속 시간 푸리에 급수의 해
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3.3 연속 시간 푸리에 급수의 해


1 jt
e  e  jt
2
1 jt
sin( t ) 
e  e  jt
2j
cos(t ) 

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
3.3 연속 시간 푸리에 급수의 해
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3.3 연속 시간 푸리에 급수의 해
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3.3 연속 시간 푸리에 급수의 해


1 jt
e  e  jt
2
1 jt
sin( t ) 
e  e  jt
2j
cos(t ) 

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
3.3 연속 시간 푸리에 급수의 해
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Section 04 연속 시간 푸리에 급수의 성질
4.1 실수 주기 신호의 푸리에 급수 계수의 공액 복소수
• 실수 주기 함수 x(t) 의 주파수 스펙트럼은 항상 여러 코사인 신호들의 조합으로
구성
A
A
Ak cos(2kf0t  k )  k e jk e j 2kf 0t  k e  jk e  j 2kf 0t
2
2
• 푸리에 급수의 계수
A
A
X k  k e j k , X  k  k e  j k
2
2
• 두 계수 XK와 X-K 는 공액 복소수 관계를 갖는다.
X k  X * k
• 반대로 두 푸리에 급수의 계수가 공액 복소수 관계를 만족한다면 x(t)는 반드시
실수 주기 신호이다.
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4.2 시간 이동에 따른 위상 변화
• 주기 신호 x(t)의 시간 전이된 x(t-τ)에 대한 연속 시간 푸리에 급수의 계수
Xk 
• t-τ=σ로 치환하면
1
T

T 
x(t   )e  j 2kf 0t dt
1
 j 2kf 0 (  )
x
(

)
e
d


T

T
1

 j 2kf 0
 e
   x( )e  j 2kf 0 d 
 T T 

Xk 


 X k e  j 2kf 0
– 시간 전이된 신호 x(t-τ)의 푸리에 급수 계수는 진폭 및 주파수 성질이 변하지 않는다.
그러나 시간 축 이동에 따라 위상 정보는 변하게 된다.
– 여기서
X k e  j 2kf 0
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는
 j 2kf0
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만큼의 위상 변화가 있음을 알려주고 있다.
시간축 전이와 연속 시간 푸리에 급수 계수의 위상 변화 관계
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시간축 전이와 연속 시간 푸리에 급수 계수 변화
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4.3 파스발Parsevl의 정리
• 주기 신호 x(t)의 푸리에 급수를 구하는 것은 동일한 신호를 서로 다른 방법으로
표현한 것으로, 신호의 정량적인 용량이나 크기는 변화가 없다.
• 주기 신호 에 대한 전력power
– 시간축 영역에서 전력 : P  1
T
– 주파수 영역에서 전력 : P 

2
T 


k 
Xk
x(t ) dt
2
– 파스발Parseval의 정리 : 각각의 영역에서 구해진 전력은 동일 신호의
전력이므로, 결국 같은 값을 가져야 한다.
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
1
2
x(t ) dt   X k


T

T
k 
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2
Appendix: Orthogonal Basis
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Appendix: Concept of Fourier Series
Weighted linear combination of orthogonal
basis functions


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

Appendix: Magnitude and Phase Spectrum
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Appendix: Magnitude and Phase Spectrum
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Appendix: Magnitude and Phase Spectrum
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