Transcript 2 장 시간 영역 분석

2 장 시간 영역 분석
1
2.1 서 론
•
선형 시불변 시스템
•
컨벌루션: 입력 신호에 대한 출력 신호의 관계, 선형시스템의 분석 및 응답 계
산의 중요한 수단
•
시간영역 분석은 설계보다 분석에 유용함( 설계사양이 주로 주파수 영역의
성능에 기반을 두기 때문)
•
임펄스 응답: 임펄스 함수에 대한 시스템의 응답
•
선형 시불변 시스템의 출력은 입력신호와 임펄스 응답의 컨벌루션으로 나타
남
•
컨벌루션은 중첩의 한 형태임. 선형 시불변 시스템은 중첩의 원리를 만족하
므로 출력신호는 입력신호를 구성하는 각 임펄스들의 응답의 합과 같음.
2
2.2 임펄스 함수를 이용한 디지털 신호 표현
x[n]  ...  x[2] [n  2]  x[1] [n  1]  x[0] [n]
 x[1] [n  1]  x[2] [n  2]  ...
x[n] 

 x[k ] [n  k ]
k  
x[4] 

 x[k ] [4  k ]
k  
임펄스 함수의 이동특성
3
2.3 선형 시불변 시스템
• 시스템의 고유 응답(임펄스 응답)
그림 2.2
• 다양한 형태의 임펄스 함수
그림 2.3
4
예: 대역 필터의 임펄스 응답
• 대역 필터의 회귀 공식 표현 예
y[n]  1.5 y[n  1]  0.85 y[n  2]  x[n]
(2.4)
h[n] 1.5h[n  1]  0.85h[n  2]   [n]
(2.5)
h[0]  1.5h[1]  0.85h[2]   [0]  0  0  1 1 (Causal 가정)
h[1]  1.5h[0]  0.85 h[1]   [1] 1.5  0  1 1.5
h[2]  1.5h[1]  0.85 h[0]   [1]  2.25  0.85  0 1.4
• 일반적 형태
y[n]  a1 y[n  1]  a2 y[n  2]  a3 y[n  3]
 b0 x[n]  b1 x[n  1]  b2 x[n  2] (2.6)
5
디지털 선형 시불변 시스템
• 식 (2.4) 예
a1 = 1.5, a2 = -0.85, a3 = 0 and b1 = 1, b2 = 0, b3 = 0
y[n]  1.5 y[n  1]  0.85 y[n  2]  x[n]
그림 2.4
고유주파수
6
예제 2.1
(a)
(b)
y[ n]   0.9 y[ n  1]  x[ n]
Non-recursive version
h[ n]   0.9h[ n  1]   [ n]
y[ n]  x[ n]  x[ n  1]  x[ n  2]    
h[0]   0.9h[ 1]   [0]  0  1  1
h[1]   0.9h[0]   0.9
h[ 2]   0.9h[1]  0.81
h[3]   0.9h[ 2]   0.729
h[ n]   [ n]   [ n  1]   [ n  2]    
h[0]   [0]   [1]   [2]     1
h[1]   [1]   [0]   [1]     1
Recursive version
y[ n]  y[ n  1]  x[ n]
h[ n]  h[ n  1]   [ n]    
h[0]  h[1]   [0]  0  1  1
h[1]  h[0]   [1]  1  0  1
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2.3.2 계단 응답
• 계단 함수는 실제로도 많이 발생하는 신호이다
• 갑작스런 장애에 대한 시스템의 응답 평가
• 컨벌루션은 계단 신호와 계단 응답으로도 정의할 수 있다
n
 [n]  h[n], u[n]  s[n] 
 h[m] ,
h[n]  s[n]  s[n  1]
m  
그림 2.6
8
예제 2.2
y[n]  0.8 y[n  1]  x[n]
h[n]  0.8h[n  1]   [n]
h [0]  1
h [1]  0.8
h [2]  0.82  0.64 h [3]  0.83  0.512
s[0]  h[0] 1
s[1]  h[0]  h[1] 1.8
s[2]  h[0]  h[1]  h[2]  s[1]  h[2]  2.44
s[3]  s[ 2]  h[3]  2.952
s[ 4]  s[3]  h[ 4]  3.3616
s[] 1  0.8  0.82  0.83     
1
 5.0
1  0.8
그림 2.7
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2.4 디지털 컨벌루션
y[n]      x[2] h[n  2]  x[1] h[n  1]  x[0] h[n]
 x[1]h[n  1]  x[2]h[n  2]    

y[n]   x[k ] h[n  k ]
k  
컨벌루션 합
그림 2.8
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y[1]  (3)(1)  (2)( 1)  (1)( 2)  3
y[2]  (1)(1)  (3)( 1)  (2)( 2)  0
그림 2.9

y[1]   x[k ]h[1  k ]
k  

y[1]   h[k ]x[1  k ]
k  

y[n]   h[k ]x[n  k ]
그림 2.10
k  
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예제 2.3
(a) The input is as in Fig2.8 and
the impulse response is given by
h[n]  0, n  0 and n  2
h[0]  2; h[1] 1; h[2]   1
(b) The input signal is the sample sequence:
…0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0…
and the impulse response is given by :
h[n]  0, n  0 and n  1
h[0] 1; h[1]   1
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5점 이동 평균 필터
그림 2.11
y[n]  0.2x[n  2]  x[n  1]  x[n]  x[n  1]  x[n  2]
Noncausal
: 비순환 필터
y[n  1]  0.2x[n  1]  x[n]  x[n  1]  x[n  2]  x[n  3]
y[n]  y[n  1]  0.2x[n  2]  x[n  3] : 순환 필터
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10점 이동 평균 필터
시작과도 신호
그림 2.12 두개의 서로 다른 주파수 성분을 포함하는
입력신호에 대한 이동 평균 필터링
 2n 
 2n 
x[n]  sin 
  sin 
, 60  n  320
 60 
 10 
h[n]  0.1, 0  n  9
 0, elsewhere
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요약
• 교환 법칙
x1[n]  x2 [n]  x2 [n]  x1[n]
h1
x
y
h2
• 결합 법칙
x[n]  h1[n]  h2 [n]  x[n]  h1[n]  h2 [n]
• 분배 법칙
x[n]  h1[n]  h2 [n]  x[n]  h1[n]  x[n]  h2 [n]
x
h1
h2
y
x
h1 * h2
y
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2.4.2 선형 시불변 시스템에서의 과도현상
• 무한히 계속되는 실제신호는 존재하지 않는다
• 실제적인 디지털 신호처리는 어느 순간에 시작되어 언젠가는 중단된다
• 시작 과도 신호 : 신호가 인가 또는 신호처리가 시작되었을 때
• 정지 과도 신호 : 신호 입력이나 신호처리가 중단되었을 때
• 예: 디지털 대역 필터 (그림 1.5)
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그림 2.12
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• 과도 신호는 여러 가지 이유로 중요하다
1) 시작과도 특성은 출력 신호의 초기 부분에 더해지기 때문에 원하는 응답
을 볼 수 없게 한다.
2) 디지털 프로세서의 초기 출력은 0으로 가정하는 경우가 대부분이다.
그러나 이것은 이전 입력 신호가 끊긴 뒤 안정 상태에 들어간 경우에만
가능하다. 다시 말해서 모든 정지과도가 모두 사라지고 없어야 한다
3) 과도응답은 시스템의 고유응답 및 임펄스 응답과 매우 밀접한 관계가 있
다. 이들을 통해서 선형 프로세서의 동작에 관한 보다 가치 있는 통찰이
가능하다
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• “직사각형 펄스” 입력신호에 대한 세 가지 이동 평균 필터들의 과도 및
안정상태 응답 특성 : 주기 당 40 샘플
5점 이동 평균 필터
y[n]  0.2{x[n]  x[n  1]  x[n  2]
 x[n  3]  x[n  4]}
15-point moving - average filter
1
{x[n]  x[n  1]  x[n  2]
15
...  x[n  13]  x[n  14]}
y[n] 
40-point moving - average filter
1
{x[n]  x[n  1]  x[n  2]
40
...  x[n  38]  x[n  39]}
y[n] 
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시작과도 신호
정지과도 신호
y[n]  1.8523 y[n  1]  0.94833 y[n  2]
 x[n]  1.9021x[n  1]  x[n  2]
대역저지필터
x[n]  cos( 2N / 20)
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2.5 이산 방정식
•
y[n]  a1 y[n  1]  a2 y[n  2]  a3 y[n  3]
 b0 x[n]  b1 x[n  1]  b2 x[n  2]
: 3개의 순환 항
3개의 비순환 항
• 일반적인 형태
a0 y[n]  a1 y[n  1]  a2 y[n  1]   
 b0 x[n]  b1 x[n  1]  b2 x[n  1]   
또는
N
a
k 0
M
k
y[n  k ]   bk x[n  k ]
k 0
N : 시스템의 차수
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• 보조 조건 : 경계 조건
프로세서가 이전의 입력 이후에 완전한 휴식 또는 안정 상태에 있지 않는
경우를 나타내기 위함
예) y[n]  0.8 y[n  1]  x[n] or y[n]  0.8 y[n  1]  x[n]
- y[-1] 값을 안다면 y[0]를 구할 수 있다
- 시스템이 아직 이전의 입력에 대하여 반응하고 있다면 y[-1]은 0이
아닐 수 있다
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• 보조 조건이 0이 아닌 경우

전체 응답 = 균일해 + 특수해
• 균일해  과도 신호
 - 0이 아닌 보조 조건에 대한 과도 응답
- 입력 신호의 스위칭에 의한 과도 응답
• 특수해  특정 입력에 대한 시스템의 정상 상태 응답
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• 예 : y[n]  y[n  1]  0.5 y[n  2]  x[n] • n=0 에서 시작되었을 경우
  2n  
x[n]  sin 
 u [n] (a)
6
6 
 
• y[n]  y p [n]  yh [n], y[1]  y[2]  0 (b)
• y p [19]  y p [18]  0.5 y p [17]  x[19]
 1.00  0.5(2.00)  1.00  1.00 (c)
• yh [1]  2.0, yh [2]  1.0 일 경우
 균일해
• 입력이 인가되지 않았을 경우
yh [1]  2.0 , yh [2]  1.0
yh [n]  yh [n  1]  0.5 yh [n  2], n  0 (d )
yh [0]  yh [1]  0.5 yh [2]  2  0.5  1.5
yh [1]  yh [0]  0.5 yh [1] 1.5  0.5(2)  0.5
yh [2]  yh [1]  0.5 yh [0]  0.5  0.5(1.5)   0.25
24
•
yp[n]은 사인 신호
•
yp[n]은 x[n]과 다른 위상을 갖고 있으나 주파수는 동일하다.
•
yh[n]은 다른 주파수로 진동하며 사라지고 있다
•
균일해는 입력의 특성이 아닌 시스템의 특성을 보여 준다.
25
예제 2.4
p. 69 그림 (a)
o
• 필터의 이산 방정식 :
o
y[n]  0.5 y[n  1]  0.5 x[n]
• 오븐의 온도는 샘플링 시작할 때 40 C 이고 이후 초당 1 C 씩 상승한다
•
Ts = 10 초
• 오븐의 온도는 10으로 나눈 값이 되도록 스케일링 된다.
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(a) 필터의 임펄스 응답을 찾고, 배열 Υ에 저장되는 출력신호 y[n]의 처음 다
섯 개의 값을 구하라
풀이) 임펄스 응답은 x[n]을 단위 임펄스로 대치함으로써 구할 수 있다. 즉,
y[n] = 0.5 y[n-1] + 0.5 x[n]
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임펄스 응답은
h[n]  0.5h[n  1]  0.5 [n]
따라서
h[0]  0.5; h[1]  0.25; h[2]  0.125
이상의 h[n]은 그림 (b)에 나타나 있다.
스케일링 요소가 10이라는 것을 감안하여 입력 신호을 그림의 (c) 부분
에 그려 놓았다. x[n]과 h[n]을 비순환적으로 컨벌루션했을 때 처음의 다
섯 개의 필터 출력은 다음과 같다.
y[0] = 0.5(4) = 2.0
y[1] = 0.5(5) + 0.25(4) = 3.5
y[2] = 0.5(6) + 0.25(5) + 0.125(4) = 4.75
y[3] = 0.5(7) + 0.25(6) + 0.125(5) + 0.0625(4) = 5.875
y[4] = 0.5(8) + 0.25(7) + 0.125(6) + 0.0625(5) + 0.03125(4) = 6.9375
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(b) 필터의 회귀 공식은 다음과 같다 : y[n] = 0.5 y[n-1] + 0.5 x[n]
저장된 배열 Υ의 첫 번째 값을 y[-1]이라고 가정을 하고, 이 식으로부터
y[n]의 처음 몇 개의 샘플 값들을 구하면
y[0] = 0.5(0) + 0.5(4) = 2
y[1] = 0.5(2.0) + 0.5(5) = 3.5
y[2] = 0.5(3.5) + 0.5(6) = 4.75
y[3] = 0.5(4.75) + 0.5(7) = 5.875
y[4] = 0.5(5.875) + 0.5(8) = 6.9375
y[5] = 0.5(6.9375) + 0.5(9) = 7.9688
y[6] = 0.5(7.9688) + 0.5(10) = 8.9844
y[7] = 0.5(8.9844) + 0.5(11) = 9.8822
y[8] = 0.5(9.9922) + 0.5(12) = 10.9961
y[9] = 0.5(10.9961) + 0.5(13) = 11.9981
-10 C의 안정상태 에러를 제외하고, y[n]이 x[n]을 따라가려는 경향이 있
다는 것을 쉽게 알 수 있다. y[n]의 처음 다섯 개의 값들은 (a)에서 구한
값들과 일치함을 알 수 있다
o
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(c) 출력의 특수해 성분을 추정하고 균일해 성분을 구하라..
풀이) 특수해는 램프 입력 신호에 대한 필터의 안정상태 응답을 나타낸
다. 위의 결과로부터 특수해는 다음과 같아야 한다는 것을 알 수 있다
y p [n]  x[n]  1.00, n  1
n=-1까지 확장하면 y p [1] 이다.
2 그러나 초기 조건을 만족시키기 위해
yh [이어야
1]  2 한다.
서 y[-1]은 0이어야 한다. 또한 균일해에 대해서는
따라서 균일해는 다음과 같은 관계를 가져야 한다.
yh [n]  0.5 yh [n  1]  0, n  0
이로부터 균일해는 다음과 같이 구할 수 있다.
y_h [0] = 0.5(-2) = -1.00
y_h [1] = 0.5(-1.00) = -0.50
y_h [2] = 0.5(-0.50) = -0.25, 등등.
균일해는 그림의 (d) 부분에 있다. 이 균일해 성분은 임펄스 응답 h[n]이
반전된 파형을 갖는다
30
(d) 모든 n에 대하여 균일해가 0이 되는 오븐의 초기 온도를 찾아라.
풀이) 만일 특수해 성분 이 n=-1일 때 0이라면, 균일해 성분은 필요 없을
것이다. 그 이유는 초기 조건이 이미 만족되기 때문이다. 앞서 (c) 부분의
결과로부터 이러한 상황은 x[0]=2일 때 발생한다는 것을 알았다. 이것은
다음과 같은 입력 신호 값에 대해서 필터의 회귀 공식을 사용함으로써
확인할 수 있다
2, 3, 4, 5, 6, 7, ….
다시 y[-1]=0이라고 가정하면
y[n] = 0.5 y[n-1] + 0.5 x[n]에서
y [0] = 0.5(0) + 0.5(2) = 1.0
y [1] = 0.5(1.0) + 0.5(3) = 2.0
y [2] = 0.5(2.0) + 0.5(4) = 3.0 등등.
예상했던 대로 시작 과도응답과 균일해 성분은 발생하지 않는다
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