Transcript x(n)

1 장 서론
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1
1.1.1 디지털 신호처리: 배경
• 샘플링 된 신호와 데이터들의 수치적인 처리를 다룬다.
- 신호를 디지털 형태로 표현
- 디지털 신호의 해석, 정보 추출, 특징 분석, 조작 등을 다룸
• 디지털 신호처리의 구현
- 특수한 목적의 디지털 하드웨어
- 범용 컴퓨터 또는 디지털 신호처리 전용 프로세서
하드웨어의 변경 없이 여러 가지 함수를 구현하기 위한 프로그램 또는
재프로그램이 가능
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디지털 신호처리 응용
• 영상처리
- 패턴인식, 로봇 비젼
- 인공위성 기상도
•
계측 및 제어
- 스펙트럼 해석
- 잡음제거, 데이터 압축
• 음성 및 오디오 신호처리
- 음성 인식, 음성 합성
- 디지털 오디오
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• 군용
- RADAR, SONAR
- Missile 제어
• 통신
- 유무선 통신, 데이터 통신
- 화상회의
- adaptive equalization
• 생체 신호처리
- 환자감시 장치
- 영상 진단기(MRI/CT/초음파 등)
- EEG, ECG
- X-ray 영상저장 / 영상처리
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디지털 신호처리의 일반 구성도
이산신호(discrete-time signal): 샘플링 된 순간들에서만 정의되는 신호
샘플링 된 신호(임의의 진폭 값)와 디지털신호 (양자화된 진폭 값)로 구분
T: sampling 간격, n: sample 번호, x[n],y[n]: 숫자 데이터들의 열(sequence)
그림 1.1
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기본적인 DSP 연산
• 컨벌루션 : 선형 컨벌루션, 순환 컨벌루션
- 디지털 필터링의 기본 연산
•
상관 : 자기 상관, 상호 상관
- 유사성 확인
- 두 신호 사이의 특성을 공유
• 필터링 : FIR(finite impulse response)  Non-recursive
IIR(infinite impulse response)  Recursive
• 변환 : DFT, FFT, Hardmard, Walsh, Hartly,
DCT, Wavelet...
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1.1.2 실제적인 응용 예
A. 200점 이동 평균 필터
• 원 데이터(raw data)의 평균으로 잠재적인 경향을 보고자 함
• 평활화(Smoothing)
• 저대역 필터링
그림 1.3
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• 비순환(Non-recursive) 필터
y[n] 
1
{x[n]  x[n  1]  x[n  2]      x[n  198]  x[n  199]}
200
199
 0.005 x[n  k ]
k 0
• 순환(Recursive) 필터
y[n  1]  0.005{x[n  1]  x[n]  x[n  1]      x[n  198]}
 y[n]  0.005{x[n  1]  x[n  199]}
y[n]  y[n  1]  0.005{x[n]  x[n  200]}
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FIR 대 IIR 필터
FIR 필터
IIR filter
• 선형 위상
• 비선형 위상
• 안정성
• 비안정성
• 적은 반올림 잡음
• 큰 반올림 잡음
• 적은 반올림 계수 오차
• 큰 반올림 계수 오차
• 예리한 필터특성을 위해서는
• 같은 필터특성을 위해서
많은 계수가 요구됨
• 보다 긴 계산 시간 소요
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보다 적은 계수가 요구됨
• 보다 짧은 계산 시간 소요
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B. 60Hz 대역저지(노치) 필터
EKG
EKG + 60Hz 잡음
대역저지 출력
대역저지 필터/Notch 필터: 좁은 대역 주파수 구간 제거
y[n]  1.8523 y[n  1]  0.94833 y[n  2]  x[n]  1.9021x[n  1]  x[n  2]
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• 전원 잡음 주파수
- 유럽: 50Hz
- 미국: 60Hz
• 신호를 거의 왜곡시키지 않고 전원 잡음 성분만 제거
• 디지털 필터는 특정 샘플링 율에 대하여 설계
60Hz
1200 샘플/초 (1.2 KHz)
50Hz
1000 샘플/초 (1 KHz)
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C. 대역(Bandpass) 필터
• 정해진 주파수 대역을 갖는 정보들을 전송
• 수신된 신호들로부터 서로 다른 주파수 대역의 신호들을 분리 가능하다
주기 당 20 샘플
주기 당 10 샘플
크기 감소
크기가 최대
주기 당 6 샘플
크기 감소
y[n]  1.5 y[n  1]  0.85 y[n  2]  x[n]
순환 필터
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1.2 샘플링 이론
 얼마나 빠르게 샘플링을 하여야 하나 (sampling rate)?
너무 낮다
너무 높다
그림 1.6 아날로그 신호의 샘플링
f s  2f max
최대주파수 성분이 f1 인 아날로그 신호는 적어도 2 f Hz 이상의 샘플링 율로
1
• 샘플링 이론 :
균일하게 샘플링 된 샘플들에 의하여 완전히 표현(또는 복원)될 수 있다.
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• 샘플링 이론 :
•
f max
f s  2f max
: 나이퀴스트 주파수, 신호의 최대주파수, 중복주파수
예) TV 신호 : 5MHz
샘플링 율 : 10MHz
•
fs
: 나이퀴스트 율, 신호의 최대주파수의 2배
f s  2 f max
최소 샘플링율에 대한 샘플링 간격(주기)은?
샘플링 주기 T인 디지털 시스템에서
f1 
T
1
1

f s 2 f1
오류없이 표현가능한
최대 아날로그
주파수?
1
Hz
2T
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에일리어싱
• Sampling 조건에 위배되면 에일리어싱 현상이 생김 : 복원 불가능
f1 = 3Hz
fs = 8Hz
fs = 6Hz
fs = 5Hz
그림 1.7 신호 스펙트럼의 샘플링 효과
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15
•
f max  3Hz
(a)
(b)
(c)
fs
fs
경우
= 8Hz인 경우
( f s  2 f max )
( f s  2 f max )
f s = 5Hz인 경우 ( f s  2 f max )
= 6Hz인 경우
• 샘플링 후 스펙트럼이 샘플링 주파수의 정수배 만큼 반복됨
• 에너지가 Y축을 대칭으로 1/2로 등분됨
• 샘플링 조건에 맞지 않았을 때 문제를 보여줌
• 실제: 최소 샘플링 주파수 보다 다소 높은 주파수를 샘플링에 사용하여
보호 주파수대(guard band)를 지니도록 함. 이럴 경우 비교적 완만한 차
단 특성의 실제적인 필터를 사용하여 신호를 복원할 수 있음
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•
주파수 성분
-
A
A
A cos( wt )  exp( jwt)  exp(  jwt)
2
2
크기 : A, 주파수 :
-
cos( wt ) 
w
exp( jwt)  exp(  jwt)
2
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x(t)
양자화된
신호
0
0
디지털
신호 x(n) = {… 0 1 2 0 -1 -1 -1 …} : 순서열
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Analog-to-Digital
Converter (ADC)
샘플된
신호
Quantizing
0
Coding
아날로그
신호
Sampling
아날로그-디지털 변환
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x(nT ) :이산 시간 신호
x(t )
양자화
부호화
x(n)
샘플링
f s : 샘플링율 (1/ Ts )
ADC
x(t )
x(nT )
...... .
.
Ts 1/ f s
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.
.
부호기
.
출
력
n
...
...
입력
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• 아날로그 신호의 이진 부호화: 3-bit ADC
• 양자화
•
-
샘플링 후 양자화 과정
-
N-bit ADC : ? 개의 양자화 레벨
양자화 잡음(오차) 존재
예) 18.27C  18.3C or 18C,
•
3.4  3, 3.7  4
양자화 할 때 적당한 비트 수의 이진수를 선택
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디지털-아날로그 변환
그림 1.9
• Sample-and-hold
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1.3 기본적인 디지털 신호
1.3.1 계단, 임펄스 및 램프 함수
• unit step function
u [n]  0, n  0
u [n]  1, n  0
(1.8)
• unit impulse function
 [n]  0, n  0
 [n]  1, n  0
(1.9)
• unit ramp function
r[n]  nu[n]
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(1.12)
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• Relationship of (1.8) and (1.9)
n

m  
m 0
u [ n] 
  [ m]    [ n  m]
u(t)
step function
(t)
delta function
impulse function
 [n]  u [n]  u [n  1]
r(t)
ramp function
• 예제 1.1
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• Impulse 함수의미
 1/(2 a)
-a 
a
1
0
a 0 2a
lim
 (t )  0
 (t )  

  (t )  1
(t0)
(t=0)


 f (t ) (t )dt 

f (0)   (t )dt  f (0)


 f (t ) (t  t
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

0
)dt  f (t 0 )
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1.3.2 지수 함수, 사인 함수, 코사인 함수
x[n]  A exp(  n)
•  < 0 : 감소하는 지수 함수
•  = 0 : 고정 값 (DC 신호)
•  > 0 : 증가하는 지수 함수
• n = 0에서의 샘플 값 : A
X(n) = Aexp(n)
=0
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n0
 X(n) = Aexp(n)u(n)
n0
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•
A cos   A(
•
A sin   A(
exp( j )  exp(  j )
A
A
)  exp( j )  exp(  j )
2
2
2
exp( j )  exp(  j )
A
A
)
exp( j )  exp(  j )
2j
2j
2j
j : 90도 위상
2
t
T
•
A sin wt  A sin 2ft  A sin
•
w  2f
T
w
2
매 w 초마다 주기가 반복
A
A
A cos( n)  exp( jn)  exp(  jn)
2
2
•
A sin( n) 
2
A
A
exp( jn) 
exp(  jn)
2j
2j
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아날로그 주파수와 디지털 주파수의 관계
 x(t )  sin( 2ft ) t  nTS  sin( 2fnTs)
1
TS 
fS
2fn
 sin(
)
fS
 디지털 신호의 주기성(주기:N)
x(n)  A exp( jn)  A exp( j (n  N ))
 A exp( jn) exp( jN)

exp( jN)  1
N  2m

m

2 N
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M번째 샘플
 : 주파수
N : 샘플수
27
예:

1

2 10
N = 10
10 샘플/주기
n
x(n)  A1 sin(
)
5
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예:
 1

2 8
N=8
8 샘플/주기
x(n)  A2 cos(
n
)
4
nf
x(n)  sin( n)  sin( nT )  sin( 2 )
fs
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x(n)  A exp( n)  A exp({    j}n)
 A exp(  n) exp( jn)
cos(n)
분리
sin(n)
변조신호
  의 값에 따라 증가 또는 감소
예 1.2 참조
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31
1.4 디지털 신호의 모호성
• 디지털 신호 x[n]은 일반적으로 어떤 아날로그 신호를 나타내
지만, 이 디지털 신호로 변환될 수 있는 아날로그 신호는 하나가
아닐 수 있다.
• 이러한 모호성은 샘플링 이론에 따라 샘플링 하지 않을 경우 발
생한다.
• 즉, 어떤 신호의 나이퀴스트 주파수의 두 배 이상의 샘플링율로
샘플한 경우에만 아날로그 신호와 샘플된 신호 사이에 일대일
대응관계가 성립한다.
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x1(t )  cos( 2 1000t )
1000
x 2(t )  cos( 2
t)
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1.5.1 선형 시불변 시스템
• 중첩(superposition)의 원리 : 여러 신호의 합으로 이루어진 입
력 신호에 대한 선형시스템의 출력은 각 신호에 대한 개별적인
시스템 응답의 합 또는 중첩으로 이루어진다
x(n)
 1 x1(n)   2 x 2(n)
T
T
y(n)
 1 y1(n)   2 y 2(n)
• 선형 시스템의 출력은 입력 신호의 주파수와 같은 주파
수 성분 만을 출력한다.
• 시불변 시스템: 시스템의 특성이 시간에 따라 변하지 않는
시스템
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y[n] = 1.8523y[n-1] - 0.94833y[n-2] + x[n]
- 1.9021x[n-1] + x[n-2]
Fig. 1.19
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37
• 메모리
- 만일 n=n0에서의 출력 y[n]이 x[n0] 이외의 입력에 영향을 받는 이산 시스
템은 메모리를 가지고 있다
-
즉 y[n0]는 x[n0] 이외에 과거의 입력(n < n0)이나 미래의 입력(n > n0) 들
을 이용하여 구한다.
• 비메모리
- y[n0]가 x[n0]에 의해서만 결정되는 이산 시스템은 비메모리 시스템이다.
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예:
y (n0 )  x 2 (n0 )
비메모리
n0
 x ( n)
메모리
y (n0 )  x(n0  1)
메모리
y (n0 )  x(n0  1)
메모리
y (n0 ) 
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n  
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• 코졀(Causal) 시스템
- 임의의 시간 n=n0에서의 출력 y[n]이 현재 입력 x[n0]와 그 이전의 입력
신호 x[n], n < n0, 들에 의해서만 결정되는 시스템을 코졀 시스템이라고
한다. 즉, 현재의 출력 값이 미래의 입력 신호와는 무관한 시스템을 말한
다.
예:
y(n0) = x(n0)

모든 비메모리 시스템
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코졀 시스템
o
x
코졀 시스템
40
• 선형 시스템
- 중첩의 원리 (Superposition principle)
x1(n)
x2(n)
a1 x1(n) + a2 x2(n)
System L[.]
y1(n) = L[x1(n)]
y2(n) = L[x2(n)]
System L[.]
y(n)
y(n) = L[a1 x1(n) + a2 x2(n)]
= L[a1 x1(n)] + L[a2 x2(n)]
= a1 L[x1(n)] + a2 L[x2(n)]
= a1 y1(n) + a2 y2(n)
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•
시불변 시스템
-
입력이 시간 이동하였을 경우 출력도 같이 이동만 할 경우
만일
x(n)
일 경우 x(n-n0)
•

T
 y(n)

T
 y(n-n0)
시스템의 안정성
-
BIBO (bounded-input / bounded-output) 안정성
제한된 크기의 입력 신호에 대한 출력이 언제나 어느 값
이하로 제한될 경우, 이 시스템은 안정하다
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• 시스템의 역변환성
입력 신호 x[n]의 출력이 y[n]이라고 할 때 y[n]을 입력하면
그 출력이 x[n]이 되는 시스템을 말한다.
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