Transcript 6 장 순환 디지털 필터의 설계

6 장 순환 디지털 필터의 설계
1
• 순환 디지털 필터
- 하나 혹은 그 이상의 이전 출력 값에 의존한다.
- 피드백 (feedback)
- 무한한 임펄스 응답 (IIR)
• 장점 : 이전 출력 값을 이용하여 계산의 양을 줄인다.
• 단점
1) 순환 필터는 피드백 계수가 잘못 선택되어지면 불안정해진다.
2) 비선형 위상 응답
• 만약 n   , h[n]은 무한히 연속적이다.
Causal (h(n)=0 for n<0) => 더 이상 대칭적이지 않다.

2
전달함수의 일반형
M
H ( z) 
k
b
Z
k
k 0
N
k
a
Z
k
K ( z  z1 )( z  z2 ) ( z  z3 ) .....

( z  p1 )( z  p2 ) ( z  p3 ) ....
k 0
a0 y[n]  a1 y[n  1]  ... a N y[n  N ]  b0 x[n]  b1 x[n  1]  ... bM x[n  M ]
• 순환 필터
=> 강력한 이점 : H(z)의 분자와 분모를 분리해서 조절할 수 있다.
=> 분모의 크기를 특정 주파수가 작아지도록 조절 -> 첨예한 최고점의 응답
3
6.2 Z 평면에서 극점과 영점을 이용한 간단한 설계
•
•
•
•
•
•
순환 필터를 설계하는 방법은 z평면에서 극점과 영점을 먼저 선택
=> 이산 방정식을 구함
=> 주파수 응답을 계산
단위 원 위에 있는 여러 극점과 영점에서 임의의 한 점까지의 벡터의 크
기를 계산함으로써 선형 시불변 프로세서의 주파수 응답을 나타냄
극점이 단위 원에 가까울수록 첨예한 최고점을 갖는 응답
영점이 단위 원에 가까울수록 깊은 골
극점이 z평면 실수축의 어느 위치에 놓이느냐에 따라 저역 필터 또는 고
역 필터로 설계 (4.3.3 절)
공액 복소 극점쌍의 위치에 따라 대역 필터
4
•
주파수 응답 H()는 {exp(j )-zn} 형태의 분자 요소들의 곱을
{exp(j )-pn} 형태의 분모 요소들의 곱으로 나눈 형태(종속 표준형 연결가능)
•
Z =  에서 극점이 있으면
- H()의 분모는
- 진폭의 크기는
•
F1 ()  exp( j)     cos      j sin 
F1 () 
cos      sin 
2
2
1/ 2

 1  2 cos    2

1/ 2
Z =  에서 영점이 있으면
- | H() |의 분자를 나타낸다는 것이 차이
5
•
공액 복소 극점쌍 또는 영점쌍의 경우 극좌표가 (r,   )를 가진 극점쌍
- H()의 분모는
F2 ()  exp  j  r exp  j exp  j  r exp  j 
 exp 2 j  2r cos exp  j  r 2


 cos 2  2r cos cos   r 2  j sin 2  2r cos sin 
- 진폭의 크기는
2 2
2 1/ 2
F2 ()  {(cos 2  2 r cos  cos   r )  (sin 2  2 r cos  sin  ) }
6
•
•
실수 극점 z = 0.9  저역통과 필터
실수 영점 z = - 0.8  저역통과 필터
(그림6.1(a)(b))
7
•
•
복소수 극점 쌍 r = 0.975,  = 150  대역통과 필터
복소수 영점 쌍 r = 1,  = 50  대역저지 필터
(그림6.1(c)(d))
8
• 원하지 않은 주파수의 좁은 대역을 제거하기 위한 대역저지 필터
 켤레 복소수 영점 쌍을 단위원 위의 적당한 점에 놓는다.
((그림6.2))
z = 0.9에서의 실수 극점을 갖는 1차 시스템
z = - 0.8에서의 실수 영점을 갖는 2차 시스템
r = 0.975,  = 150°에 공액 복소 극점쌍
r = 1,  = 50 °에 공액 복소 영점쌍
9
예제 6.1 다음의 특징을 가진 순환 디지털 대역 필터를 설계하라.
(a) 대역 중심이  = /2에 위치하고 -3dB 사이에서 진폭은  /40이며, 최대 이
득이 1이다.
(b)  = 0,  = 에서 안정상태로 차단된, 즉 0인 필터
진폭 특성을 구하기 위해 부록 A1에서 20번 프로그램을 사용하여 필터의 이
산 방정식을 구하라.
10
- BC가 직선에 근접하다 가정
- PAB가 직삼각형이라 가정
-d=1-r
(r > 0.9인 경우 합당)
- 2d = 2 (1-r)
- 2 (1-r) = /40, r = 0.961
•
•
최대이득 : 26.15(28.35dB)
방정식에서 , K = (26.15)-1 = 0.03824
Y ( z)
0.03824 ( z  1 ) ( z  1 )

X ( z ) { z  0.961 exp ( j  }{ z  0.961 exp (  j  )}
2
2
0.3824 ( z 2  1 )
 2
z  0.9235
H ( z ) 
•
응답하는 차분방정식 :
y[n+2] + 0.9235y[n] = 0.03824{x[n+2] - x[n]}
괄호 안의 각각의 항에 대해서 2씩 빼면,
y[n] = -0.9235y[n-2] + 0.03824{x[n] - x[n-2]}
11
그림6.4 간단한 대역 필터의 극점-영점 구성과 진폭 응답 (횡좌표 : 320 샘플)
12
예제 6.2(풀이)
- fs  2 fmax
- fs = 1.2 kHz
- fmax 는 최대 600Hz까지 될 수 있다.
- 2 : 1200 = o: 60
- o = 0.1 
2(1  r )

-
H ( z) 

10
,
600
r  1

120
 0.97382
Y ( z)
{ z  exp ( j 0.1 ) }{ z  exp ( j 0.1 ) }

X ( z ) { z  0.97382 exp ( j 0.1 ) }{ z  0.97382 exp ( j 0.1 ) }
z 2  2 z cos(0.1 )  1
 2
z 1.9476 cos(0.1 ) z  0.94833
z 2 1.9021z  1
 2
z 1.8523z  0.94833
13
y[n+2] - 1.8523 y[n+1] + 0.94833 y[n] = x[n+2] - 1.9021 x[n+1] + x[n]
y[n] = 1.8523 y[n-1] - 0.94833 y[n-2] + x[n] - 1.9021 x[n-1] + x[n-2]
14
6.3 아날로그 설계에 의한 필터
- 라플라스 변환 : 아날로그 신호
- z 변환 : 디지털 신호
H ( s) 
K s  z1 s  z 2 s  z3 ...
s  p1 s  p 21 s  p3 ...
15
쌍1차 변환
z 1
s
z 1
s  jw
z  e j
16
17
• 버터워스 필터
1) 가장 평탄한 통과 대역
1
(3dB)
2) Cutoff 주파수
2
3) 만약 필터의 차수가 증가한다면
통과대역, 정지대역  기능향상
천이  날카롭게 된다.
• 쳬비셰프
1) 통과대역에서의 리플
1 (1   2 )
 : ripple parameter
2) 1.0사이에서의 떨림
3) 차수의 증가  리플의 증가
4) 큰 리플  더 나은 정지대역
5) 버터워스보다 더 날카로운 천이대역을 가진다.
• 엘립틱 필터
1) 리플  정지대역 통과대역 둘다 있음
2) 좁은 천이대역
18
버터워스, 체비셰프, 엘립틱 필터
아날로그
버터워스
H ( ) 
체비셰프
H ( ) 
엘립틱
H ( ) 
디지털
1
| H ( ) | 
1/ 2
2n

   

1    


  1 

1
| H ( ) | 
1/ 2

2   
2
1   Cn  
 1 

1
1/ 2
2n
 
  
tan( )  

 
2  

1 


  tan( C )  

2  
 

1
1/ 2

 

tan( ) 



2
2
2 
1   Cn 


 tan( C ) 


2 



1
1/ 2


2 
2


1


R
L

n 

1



19
e j   1 e j  / 2 ( e j  / 2  e  j / 2 )
jw  j
 j  / 2 j  / 2  j / 2
e  1 e (e
e
)
2 jsin(  / 2)

 j tan(  / 2)
2cos( / 2)
 w  tan(  / 2)
20
디지털 Butterworth와 Chebyshev 필터를 설계하는
데 쌍 1차 변환이 중요한 이유
- 주파수 축이 압축될 때 필터의 진폭 특성인 최대 평탄과 등맥류 특성은 보
존됨.
- 아날로그 주파수 응답의 경우 에일리어싱(aliasing)이 없으므로 저역 필터의
응답은  = 에서 0이 되며 실제 응용에 많이 사용됨.
21
n차 Butterworth 저역필터
- 원주 위에 n개의 극점
- z = -1에 n차의 영점
- 극점들은 단위원 안쪽에 있는 Pm 값에 의해 주어짐
- Pm의 실수부와 허수부는 별개

  
PRm  1  tan 2  1 
 2 

    m
PI m  2 tan  1  sin 
 2   n
    m
d  1  2 tan  1  cos
 2   n
d

 d , m  0, 1, ...(2n  1)


2  
  tan  1 

 2 
22
Chebyshev 저역 필터


 
PRm  21  a tan  1  cos  
 2 

 d 1
 
PI m  2b tan  1  sin 
 2 
2


 
 
d  1  a tan  1  cos    b 2 tan 2  1  sin 2 
 2 
 2 


  m n
m  0, 1, ... (2n  1)



a  0.5 c1/ n  c 1/ n ; b  0.5 c1/ n  c 1/ n

c  1   
1


 2 1/ 2
23
예제 6.3 차단 주파수 1= 0.2이며 주파수 응답이  = 0.4에서 30 dB 이하
가 되도록 하는
(a) 필터의 최소 차수를 계산하라.
(b) z평면의 극점과 영점을 찾기 위해 21번 프로그램을 사용하여 구하고 극점
과 영점을 그려라.
(c) 필터의 이산 방정식을 구하라.
(d) 21번 프로그램을 사용하여 주파수 응답을 데시벨로 그려라.
24
풀이
(a) 0.2 차단 주파수   = 0.4
H (0.4 ) 
1
1

tan 0.2 2 n 1/ 2 {1  2.236 2 n }1/ 2
{1  [
] }
tan 0.1
 30
)  0.03162
20
1
 0.03162
2 n 1/ 2
{1  2.236 }
1
log 10
(
1  2.236 2 n 1000, n  4.29
(b) 5차의 필터가 z = -1에서 5차의 실수 영점
r

0.50953
0
0.83221
34.644
0.59619
23.125
25
(c)
- 1차와 2차 필터를 직렬로 연결
- 1차 필터는 단일 실수 극점과 영점
- 2차 필터는 복소 극점쌍과 2차의 영점을 포함
- 5개 극점과 5개의 영점
- 중간 출력 v[n], w[n]
V ( z ) ( z  1)

X ( z) ( z   )
26
V[n] = v[n-1] + x[n] + x[n-1]
2차 필터의 전달함수
W ( z)
( z  1) 2

V ( z ) {z  r exp( j )}{z  r exp(  j )}
z 2  2 z 1
 2
z  2r cos  z  r 2
w[n] = 2r cos w[n-1] - r2w[n-2] + x[n] + 2x[n-1] + x[n-2]
v[n] = 0.50953v[n-1] + x[n] + x[n-1]
w[n] = 1.3693w[n-1] - 0.69257w[n-2] + v[n] + 2v[n-1] + v[n-2]
y[n] = 1.0966y[n-1] - 0.35544y[n-2] + w[n] + 2w[n-1] + w[n-2]
27
(d) 프로그램 20번의 입력
No. of separate real poles:
value, order, of pole:
1
0.50953, 1
No. of separate real zeros:
value, order, of zero:
1
-1, 5
No. of complex pole-pairs:
radius, angle, of each:
2
0.83221, 34.644
0.59619, 23.125
No. of complex zero-pairs:
0
28
((그림 6.7))
29
예제 6.4
(a) 3dB의 통과 대역 멱류와 0.2(36)에서 차단 주파수를 가진 3차의
Chebyshev 저역 필터의 주파수 응답을 구하기 위해 20번과 21번 프로그램을
사용하라. 이 필터는 예제 6.3의 차단 특성과 같은가?
(b) 0.7 의 차단 주파수를 가진 6차 Butterworth 고역 필터의 극점과 영점의
분포와 주파수 응답의 진폭 함수를 그려라.
풀이
(a) z = -1에서 3개의 영점을 가짐.
극점은 다음과 같다.
r

0.82343
0
0.91467
32.794
30
(b) 21번 프로그램에 의해
r

0.80853
126.95
0.52174
135.78
0.35026
160.39
31
•
Chebyshev 필터
2 : 하위 차단 주파수
3 : 상위 차단 주파수
1 = ( 3 - 2 )
두개의 극점과 영점

z  0.5 A1     0.25 A2 1     
   2 
cos 3

2


여기서 A 
2

1/ 2
   2 
cos 3

2


((그림 6.9))
32
6.3.2 임펄스-불변 필터
•
•
아날로그 필터로부터 디지털 필터를 유도하는 또 다른 방법
참조한 아날로그 필터의 impulse 응답의 샘플된 형태
((그림 6.10))
33
•
•
•
•
•
주파수 영역에서 아날로그와 디지털 필터간의 다른 관계는, bilinear 변환
에 비교됨.
실제 문제  쌍1차 변환보다 사용하기에 덜 효율적이고 더 불편함.
h(nTs) = h A(t) | t = nTs
h A(t) : 아날로그 필터, h(nTs) : h A(t)의 샘플된 형태 ‘
h1[n] = h(nT1)
n = 0, 1, 2, …
h2[n] = h(nT2)
T1<T2  h(nTs) : 에일리아싱(겹침)
적절한 샘플링율에 의존.
제한된 대역폭의 아날로그 기준 필터를 선정하는데 의존.
34
K ( s  z1 )s  z 2 s  z3  
K3
K1
K2
H (s) 




( s  p1 )s  p2 s  p3  
s  p1 s  p2 s  p3

Ki

i 1 s  pi
((그림 6.11))
35
•
•
각각의 아날로그 부필터의 임펄스 응답은 단순한 지수적 형태를 가짐.
i번째 부필터의 경우
hi (t )  K i exp( pi t ) t  0
0
t0
hi [n]  hi (t ) |t nT  K i exp( npiT )
0
n0
n0
36
H i ( z) 


 K i exp( npiT ) z
n 0
n


1 n
K
[exp(
np
T
)
z
]
 i
i
n 0
Ki
Ki z

1  exp( piT ) z 1 z  exp( piT )
Ki z
H i ( z) 
z  exp( piT )
 z 평면의 원점에서 0.
 z = exp(piT)에 극점
37
예제 6.5 아날로그 선형 시불변 프로세서에서 가장 기본적인 형태는 전달함
수가 1차인 저역 필터이다.
1
H (s) 
1  s
여기서 는 시정수(time constant)라고 부른다. (이러한 필터는 저항과 커패시
터를 사용하여 설계할 수 있다.)
38
풀이
(a) τ = 1미고 s에 jω를 대입하면
H ( ) 
1
1
, 이로부터 H ( ) 
1  j
(1   2 )1/ 2
이는 단일-극점 필터이므로 병렬 분해할 필요가 없으며,. 식(6.32)는 다음과 같이
된다.
h(t )  exp( t ),
 0,
t0
t0
｜H(ω)｜와 h(t)는 그림 6.12와 같으며 ω = 1일 때, -3dB점 즉 ｜H(ω)｜=1/√2이
된다.
39
(b) 식(6.35)를 사용하면 전달 함수는
H ( z) 
Y ( z)
1
1


X ( z ) 1  exp( T ) z 1 1  0.9512 z 1
이산 방정식은
y[n]  0.9512 y[n  1]  x[n]
(c) T = 0.5초인 경우, 이산 방정식은 다음과 같다.
y[n]  0.6065 y[n  1]  x[n]
40
20번 프로그램을 이용하면, (b)에서의 필터는 z = 0.9512에서 단일 극점을
가지며, 또한 (c) 는 z = 0.6065에서 극점을 갖는다. 그림 6.13에 각각에 대한
주파수 응답을 나타내었다.
T = 0.05초일 때, 주파수 Ω = π에 대응하는 각 주파수는 ω = π/T = 62.8 라
디안/초이다. T = 0.5초에서 주파수 Ω = π에 대응하는 각주파수는 ω = 6.28
라디안/초이다. 각각의 경우 -3dB 차단 특성은 아날로그 필터와 같이 1 라디
안/초에 가깝게 발생한다. 그러나 에일리어싱 효과는 낮은 샘플링율에서 보
다 심각하게 나타난다.
실제적으로 1 라디안/초와 같은 낮은 차단주파수를 가진 필터는 실용성이
없다. 그러나 위의 결과로 샘플링율이 비례적으로 변한다면 상대적으로 차
단주파수도 변한다는 것을 알 수 있다. 예에서 각각 T = 5×10-5초와 T =
5×10-4초에 대하여 1000 라디안/초의 차단 주파수에 적용하였다.
41
42
예제 6.6
1 라디안/초의 차단 주파수를 가진 3차의 Butterworth 저역 필터의 전달 함
수는
1
H ( s) 
( s  1)( s  0.5  j 0.866)( s  0.5  j 0.866)
(a) 샘플링 간격 0.5초인 임펄스 불변 디지털 필터를 설계하고 이산 방정식
을 구하라.
(b) 부록 A1의 20번과 21번 프로그램을 사용해서 쌍 1차 변환 방법에 의해
설계된 설계된 3차의 Butterworth 필터의 주파수 응답과 비교하라.
(c) 임펄스-불변 필터의 극점과 영점을 구하고 4번 프로그램을 이용해서 임
펄스 응답을 그려라.
43
풀이
(a) 병렬 형태의 H(s)를 표현하기 위해 부분 분수법을 사용한다.
H ( s) 
K3
K1
K2


( s  1) ( s  0.5  j 0.866) ( s  0.5  j 0.866)
복소수를 포함하고 있기 때문에 대수적인 주의가 필요하다.
K1  1; K 2  0.5  j 0.2887; K3  0.5  j 0.2887
T = 0.5초라 하면, 식(6.35)을 사용하여 디지털 전달 함수의 구성 성분을 찾을 수
있다.
z
(0.5  j 0.2887) z
(0.5  j 0.2887) z
H ( z) 


( z  0.6065) z  (0.7788 exp(  j 0.433)) z  (0.7788 exp(  j 0.433))
44
z = 0.6065, z = rexp(±jθ)에 세 개의 극점이 있다. 여기서 r = 0.7788이고 θ =
0.433 라디안(24.8°)이다. 두 복소 표현을 결합해 보면,
H ( z) 
z
z (0.8956  z )
 2
( z  0.6065) ( z  1.414 z  0.6065)
1차와 2차 부 시스템들이 병렬로 연결된 형태로 직렬 형태로 바꿀 수 있으
며,20번 프로그램을 사용하여 주파수 응답을 나타낸다.그리고 프로그램은
직렬 형태를 가정하였으므로
z ( z 2  1.414 z  0.6065)  z (0.8956  z )( z  0.6065)
H ( z) 
( z  0.6065)( z 2  1.4138z  0.6065)
이며, 간소화하면
H ( z) 
0.08701z ( z  0.7315)
( z 3  2.0203z 2  1.438 z  0.3678)
그러므로 임펄스 불변 필터의 이산방정식은
y[n]  2.0203 y[n  1]  1.464[ y  2]  0.3678 y[n  3]  0.08701x[n  1]  0.06365 x[n  2]
45
입력
No. of separate real poles:
value, order, of pole:
No. of separate real zeros:
value, order, of zero:
No. of complex pole pairs:
value, order, of pole:
No. of complex zero pairs:
1
0.6065, 1
1
-0.7315, 1
1
0.7788, 24.8°
0
프로그램은 그림 6.14(a)와 같이 주파수 응답을 나타내며, 이 경우에 Ω =
π에 대등하는 각 주파수는 ω = π/T = 6.28 라디안/초이다. 특성에 의해
-3dB 차단점은 ω = 1에서 발생한다.
46
20번 프로그램을 사용하여 쌍 1차 변환 방법에 의해 설계된 3차의
Butterworth 필터의 응답과 비교한다. 차단 주파수는 Ω = ωT = 0.5 라디
안, 즉 28.65°이다. z = 0.5932에서 실수극점을, 반지름 0.7831과 각
±25.32°에서의 복소 극점쌍을 가지며 이 프로그램은 z = -1에서 3차의
영점을 갖는다. 20번 프로그램에 대한 입력 데이터로 사용되는 정보는
그림 6.14(b)에 나타내어져 있다.
두 개의 주파수 응답은 낮은 주파수에서 매우 유사하며 임펄스 불변 필터
의 차단 경사는 아날로그 필터 특성의 에일리어싱 때문에 고주파수에서
덜 가파르다.
47
48
순환:
2.0203, -1.464, 0.3678
비순환:
0,0.08701, 0.06365
49
6.4 주파수 샘플링 필터
 아날로그 필터의 이론에서 직접적인 부분이 없음.
 필터 크기 특성의 선택이 유동적.
 유한 임펄스 응답 필터를 만듦. (유한 임펄스 응답  선형 위상 응답)
 디지털 공명 장치들 : 단위원상에 복소수의 극점쌍, 원점에 2차 영점.
 극점의 위치에 대응하는 주파수에서 계속된 진동.
Y z 
z2
z2
H ( z) 

 2
X z  {z  exp( j )}{z  exp(  j )} z  2 cos z  1
y[n]  2 cos  y[n  1]  y[n  2]  x[n]
if   60, cos   0.5
y[n]  y[n  1]  y[n  2]  x[n]
50
 디지털 공명 장치들은 불안정.
 주파수 샘플링 필터  comb 필터와 공명 장치의 조합.
 Comb 필터의 주파수 응답은 하나의 양수 출력 임펄스와 하나의 음수
출력 임펄스인데, 그것들은 m 샘플링 간격들로 분리되어 있음. 
x(n)-x(x-m)
 comb 필터의 전달함수 
H ( z )  1  z m
z m 1

zm
 공명 장치는 정확하게 두개의 comb 필터의 영점들에서 상쇄됨.
51
 종합적으로
z2
z m 1
z m 1
H ( z)  2
 m  m2 2
z  z 1 z
z ( z  z  1)
 zm - 1 = 0  m개의 영점들은 단위원 주변에 등간격으로 분포. (comb
필터)
 z2 - z + 1 = 0  정확히 두개의 comb 필터의 영점들에서 상쇄됨.
 따라서, 전체 필터는 단지 z 평면의 영점들만을 가짐.
 m=24인 경우에 y[n] = y[n-1] - y[n-2] + x[n] - x[n-24]
 대역 통과 특성
m
 주 대역 
52
 Comb 필터와 공명 장치의 조합.
 교대의 가중치들이 반전되어야 한다. 왜냐하면, 인접한 공명 장치들의
출력들간에 위상 역전이 있기 때문이다.
53
예제 6.7 그림 6.18(a)의 주파수 응답에 근접하는 주파수 샘플링 필터를 설
계하라. 75°에서 93°사이(Ω = 1.309에서 1.623 라디안)에서 3°간격으로
주파수영역에서 샘플을 하고, z-평면의 r = 0.999에 극점들과 영점들을
위치시킨다.필터를 실행하기 위한 이산 방정식을 구하라.
풀이
그림 6.18(b)와 같이 7개의 샘플에 대하여 7개의 공진기가 필요하며, 그
림 (c) 는 주파수-샘플링 필터를 나타낸다.
3°간격으로 샘플을 구하기 때문에 컴 필터는 z-평면에서 360/3 = 120
개의 염점을 가져야 하며 반지름 0.999에 영점을 놓으면 전달함수는 다
음과 같다.
W ( z ) z120  (0.999)120
120
H ( z) 


1

0
.
886867
z
X ( z)
z120
주어진 이산 방정식은
54
w[n]  x[n]  0.886867 x[n  120]
단위원보다 작은 반지름에 놓인 극점에 대해 수정된 공진기 식(6.37)과 같다.
y[n]  2r cosy[n  1]  r 2 y[n  2]  x[n]
각각의 7개의 공진기들은 여기서 고유각 θ를 가지며, 또한 샘플의 가중치는
이득인자이며 그림 6.18(c)에서 주어진 신호 특성과 r = 0.999을 사용하면, 7
개의 공진기 식을 얻을 수있다.
p[n]  0.517121 p[n  1]  0.998001 p[n  2]  0.5w[n]
q[n]  0.415408q[n  1]  0.998001q[n  2]  w[n]
r[n]  0.312556r[n  1]  0.998001r[n  2]  w[n]
s[n]  0.208848s[n  1]  0.998001s[n  2]  w[n]
t[n]  0.104567t[n  1]  0.998001t[n  2]  w[n]
u[n]  0.998001u[n  1]  0.666667 w[n  2]
v[n]  0.104567v[n  1]  0.998001v[n  2]  0.333333w[n]
완벽한 필터를 구현하기 위해서, 이미 주어진 컴 필터 수식을 사용하고, 마지
막 출력은 공진기의 수직을 중첩해서 나타내며
y[n]  p[n]  q[n]  r[n]  s[n]  t[n]  u[n]  v[n]
9개의 전체식은 프로그램의 루프와 연결되어 진다.
55
56
yn  2 cosθ yn  1  yn  2  xn  xn  m
θ
2cosθ
60°
90°
120°
1
0
-1
yn  yn  1  xn  xn  m
yn   yn  1  xn  xn  m
중심 주파수
Ω=π/3
Ω=π/2
Ω=2π/3
(low - pass)
(high - pass)
57
6.5 디지털 적분기
 이동합
y (n)  y (n  1)  x(n)
Y ( z)
1
z


z  1
X [ z ] 1  z 1
 사다리꼴
H [ z] 

y (n)  y (n  1) 


이상
연속합
1
x[n]  x[n  1]
2

1
1  z 1
z 1
H ( z)  2

2 z  1
1  z 1


 심슨의 법칙
사다리꼴
1
y[ n]  y[n  2]  x[ n]  4 x[n  1]  x[ n  2]
3
1
1
1  4 z  z 2
z 2  4z  1
3
H ( z) 

1  z 2
3 z 2 1
exp( j)  4 exp( j)  1
H () 
3 exp( 2 j)  1

심슨





58
그림 6.20 디지털 적분기: (a) 이동합, (b)사다리 법칙, (c)Simpson의 법칙
59
그림 6.21 이동합, 사다리, Simpson 적분기의 극점과 영점 위치
60
그림 6.22
0.05 <  < 0.95 의 범위에서 네개의 디지털 적분기들의 주파수 응답
(a) 이상적인 경우 (b) 연속합 (c) 사다리꼴 (d) 심슨 (횡축 : 320 샘플들)
61