Transcript Document

제 8장
무한 임펄스 응답 필터 설계
1. 서론

무한 임펄스 응답 디지털 필터의 설계
– 아날로그 필터 설계를 바탕으로 원하는 특징을 가지는 디지털
필터로의 변환
• 임펄스 응답불변(impulse invariant) 변환
• 양선형(bilinear) z 변환
2/53
2. IIR 필터의 기본특성

IIR 디지털 필터

y ( n)   h( k ) x (n  k )
k 0
N
M
  ak x(n  k )   bk y (n  k )
k 0
(8-1)
k 1
여기서 h(k ) 는 필터의 임펄스응답이며, ak 와 bk 는 필터의 계수들이다.
– IIR 필터의 전달함수
a0  a1 z 1  a2 z 2   aN z  N
H ( z) 
1  b1 z 1  b2 z 2   bM z  M
N

a z
k 0
M
k
k
1   bk z
k 1
(8-2)
k
3/53
– 인수분해 형식의 IIR 필터 전달함수
H ( z) 
여기서 z1 , z2 ,
K ( z  z1 )( z  z2 ) ( z  z N )
( z  p1 )( z  p2 ) ( z  pM )
, zN 은 영점들을, p1 , p2 ,
(8-3)
, pN 은 극점들은 나타내고, K 는 상수이다.
– IIR 필터의 특성
• 필터의 현재의 출력인 y (n) 은 과거의 출력들인 y(n  k ) 과 현재 및
과거의 입력들인 x(n  k ) 의 합으로 표현
– FIR에 비해 적은 계수들을 가지고도 급격한 차단특성을 지님
•
시스템의 불안정성을 초래
– 설계 과정에서 안정도 판별 필요
4/53
3. 아날로그 필터를 이용한 IIR 필터
설계

IIR 디지털 필터의 설계
– 임펄스 응답불변 변환
• 디지털 필터의 임펄스 응답이 표본점에서 아날로그 필터의 응답
과 같은 값을 가짐
그림 8-1. 임펄스 응답 불변변환 방법
5/53
– 양선형 z 변환
• s 평면에 있는 아날로그 영점과 극점들을 z 평면의 디지털 영점과
극점들로 일대일 사상(mapping)하여 변환
• 주파수 휨(frequency warping)
– s 평면의 jw 축 전체가 z 평면의 단위원으로 유일하게 사상되기 때문
에 주파수 축의 압축효과 가 나타남
6/53
그림 8-2. 임펄스 응답 불변변환 방법
7/53
그림 8-2. 임펄스 응답 불변변환 방법
8/53

임펄스 응답불변 변환
– 간단한 저역통과 아날로그 필터
a
H ( s) 
sa
(8-4)
– 임펄스 응답
• 역 라플라스 변환
h(t )  aeat , t  0
(8-5)
– 임펄스 응답열
• 임펄스 응답의 샘플링 (주기=T)
hn  h(nT )  aeanT
(8-6)
9/53
– 디지털 필터의 임펄스 응답
• z 변환

H ( z )   hn z  n
n0

  ae  anT z  n
n0

 a  (e  aT z 1 ) n
n0

a
1  e  aT z 1
(8-7)
10/53
– 임펄스 응답불변 변환의 일반화
• 단극점(single pole)로 구성되는 전달함수를 갖는 아날로그 필터
N
H ( s)  
i 1
여기서 pi 및 Ci 는 i  1, 2,
Ci
s  pi
(8-8)
, N 에 대한 실수 또는 복소수 값을 갖는 상수들이다.
• 임펄스 응답
– 역 라플라스 변환
N
h(t )   Ci e pit
i 1
(8-9)
• 임펄스 응답열
– 임펄스 응답의 샘플링 (주기=T)
N
h(nT )   Ci e pi nT
(8-10)
i 1
11/53
• z 변환

H ( z )   h(nT ) z  n
n0

N
  Ci e pi nT z  n
(8-11)
n  0 i 1
• 교환법칙 적용
N

i 1
n0
N

H ( z )   Ci  e pi nT z  n
  Ci  (e pit z 1 )n
i 1
(8-12)
n0
• 무한급수 정리 적용

 (e piT z 1 )n 
n0
1
1  e piT z 1
(8-13)
12/53
• 임펄스 응답불변 변환 방법에 의해 설계된 디지털 필터
N
Ci
piT 1
z
i 1 1  e
H ( z)  
(8-14)
– 중근(repeated poles)을 가진 아날로그 필터
• l 차의 중근을 가지는 전달함수
H ( s) 
Ci
( s  pi )l
(8-15)
• z 변환
Ci
(1)l 1  l 1
H ( z) 
(l  1)! a l 1 1  e aT z 1
(8-16)
a  pi
13/53
– 복소근을 가진 아날로그 필터(1)
• 전달함수
H (s) 
sa
( s  a  jb)( s  a  jb)
(8-17)
• z 변환
1  (e aT cos bT ) z 1
H ( z) 
1  (2e aT cos bT ) z 1  e2 aT z 2
(8-18)
14/53
– 복소근을 가진 아날로그 필터(2)
• 전달함수
H (s) 
b
( s  a  jb)( s  a  jb)
(8-19)
• z 변환
(e aT sin bT ) z 1
H ( z) 
1  (2e aT cos bT ) z 1  e2 aT z 2
(8-20)
15/53
– 예제 8-1
• 2차 아날로그 버터워스 필터의 전달함수
H ( s) 
1
1  2s  s 2
• 부분분수 전개
H ( s) 
j 2
s  (1  j )
2

j 2
s  (1  j )
2
• 임펄스 응답 불변의 디지털 필터
– T =1인 경우
H ( z) 

j
2
1  e( 1 j )
2
 z 1
2 sin(1
1  2e 1
2
 cos(1

j
2
1  e( 1 j )
2)e 1
2
2
 z 1
 z 1
2) z 1  e 2 2  z 2
16/53
그림 8-3. 예제 8-1의 진폭응답 특성
17/53
– 임펄스 응답불변 변환방법에 의한 디지털 필터의 설계
• 샘플링 정리
– 임펄스 응답불변 변환방법음 전달함수가 대역제한함수인 경우로 국
한됨
H ( z ) z esT
1 
  H (s  jms )
T n 
(8-21)
• 필터의 이득
– 디지털 필터의 이득과 아날로그 필터의 이득이 같아지도록 H ( z ) 에
T 를 곱함
18/53

양선형 z 변환
– s 평면의 허수축을 z 평면의 단위원으로 대응시키며, 원안의 H ( z )
값들은 좌반평면의 H ( s ) 로 취해진 값들과 대응
2 z 1
T z 1
(8-22)
T
s
2
z
T
1 s
2
(8-23)
s
1
19/53
–
s    j  을 대입
T
) 
2
z
T
(1   ) 
2
(1 
T

2
T
j 
2
j
(8-24)
– 주파수 축적
• s  j, z  e jd T 대입
2
j 
T
2

T
2

T
여기서
e jd T
e jd T
e jd T
e jd T
1
1
2
 e  jd T
2
 e  jd T
T
j tan d
2
2
2
 은 아날로그 주파수, d 디지털 주파수를 나타낸다.
(8-25)
20/53
그림 8-4. 양선형 주파수 변환
21/53
– 아날로그와 디지털 주파수 사이 관계
• 주파수 휨 효과
– 아날로그 주파수가 0에서  까지의 주파수 범위를 가질 때 디지털
주파수는 0에서  / T 내에서 변화

T
2
T
2
tan d
T
2
 tan
d T
2
(8-26)
(8-27)
22/53
– 예제 8-2
• 1차 버터워스 아날로그 저역통과 필터를 사용하여 디지털 필터 설계
– 전달함수
H ( s) 
1
1  ( s c )
• 양선형 z 변환
1
H ( z) 
1
k z 1
(
)
 z 1
H ( z) 
1 1 1
 z
2 2
• 디지털 필터
– k   일 경우
23/53
• 아날로그와 디지털 필터의 특성
c e T 이다
– 아날로그 필터의 임펄스 응답은
c
– 아날로그 필터의 진폭 및 위상의 주파수응답 특성은 다음과 같다
진폭응답 =
1
1  ( c ) 2 
위상응답 = -tan (
-1
1/2
c )
1 1
, , 0, 0, 이다
2 2
– 디지털 필터의 임펄스 응답은
– 디지털 필터의 주파수응답 특성은 각각 다음과 같다
진폭응답 =
cos
d T
1
2
 sin d T 

1

cos

T
d


위상응답 = -tan 
24/53
•  와 d 는 다음의 관계를 갖는다
T

 tan d
c
2
25/53
– 예제 8-3
• 다음사양을 만족하는 저역통과 디지털 필터를 설계하라
– 필터의 응답은 1000[Hz]에서 -3[dB]의 전력이득을 가짐
– 필터의 응답은 3000[Hz]에서 -10[dB]의 전력이득을 가짐
– 표본화 주파수는 10kHz
– 필터 응답은 1000~3000[Hz] 사이의 천이대역(transition region)에서
단조 감소
• 디지털 매개변수 계산
– 표본화 주기: T  1/10000[sec]
– 차단주파수: dp  2 1000[rad/sec], drT  0.2
– 소거주파수: dr  2  3000[rad/sec], drT  0.6
26/53
• 주파수 휨 고려
 pT
2
r T
2
 tan(
 tan(
dpT
2
drT
2
)  0.3249
)  1.3764
• 버터워스 필터의 차수 결정
1.3764 2 N 

10 log 1  (
)    10
0.3249 

N 1
• 원하는 아날로그 버터워스 필터
H (s) 
1
1  (s /  p )
27/53
• 양선형 z변환
– s  2 z  1 대입
T z 1
0.3949
z 1
0.3249 
z 1
0.2452( z  1)

z  0.5095
H ( z) 
그림 8-5. 예제 8-3의 진폭응답 특성
28/53
4. 두 변환방법의 비교

아날로그 필터에서 디지털 필터로의 변환
– 임펄스 응답불변 변환
• 아날로그의 임펄스 응답을 보존
z  e sT
(8-28)
– 양선형 z 변환
• 주파수 응답의 휨 효과 유발
s
2 z 1
T z 1
(8-29)
29/53
– 예제 8-4
• 임펄스 응답불변 방법과 양선형 z 변환 방법에의한 디지털 필터
1
비교 (a 
, T  0.25 sec )
0.75
• 아날로그 전달함수
H (s) 
a
1.333

s  a s  1.333
• 주파수 특성
H ( j )  H a ( j ) 
 ( j )   tan 1
1.333
 2  1.3332

1.333
30/53
• 임펄스 응답 불변변환에 의한 디지털 필터 (1)
H ( s) 
a
1  e aT z 1

1.333
1  0.716 z 1
– 주파수 특성
» z  e jT  cos(T )  j sin(T )  cos(0.25)  j sin(0.25) 대입
H (e jT )  H II ( j ) 
 ( j )   tan 1
1.333
1  0.716cos(0.25 )  0.716sin(0.25 )
2
2
0.716sin(0.25 )
1  0.716cos(0.25 )
31/53
• 양선형 변환에 의한 디지털 필터 (2)
H ( z )  H (s)
s
2 z 1
T z 1
aTz  aT
( aT  2) z  ( aT  2)
0.333 z  0.333

2.333 z  1.667

– 주파수 특성
H (e jT )  H B ( j )
0.777 cos 2 (0.25 )  0.222cos(0.25 )  0.555  0.777sin(0.25 )   1.332sin(0.25 ) 

2
2
 2.333cos(0.25 )  1.667   2.333sin(0.25 )
2
 ( j )   tan 1
2
1.332sin(0.25 )
0.777 cos 2 (0.25 )  0.222cos(0.25 )  0.555  0.777sin 2 (0.25 )
32/53
그림 8-6. 예제 8-4의 진폭응답 및 위상응답 특성
33/53
– 예제 8-5
• 아날로그 버터워스 필터의 전달함수
1
s 2  2s  1
• 전달함수의 부분분수 전개
H ( s) 
H ( s) 
j/ 2
j/ 2

1  j
1  j
s
s
2
2
• 역 라플라스 변환
h(t )  L 1 H ( s )
 2e  t /
2
 t 
sin 

 2
34/53
• 주파수 응답
H ( j ) 

1
( j ) 2  2( j )  1
1
1 4
• c  2 1000[rad/sec] 에서 -3[dB]점을 갖는 아날로그 필터
H ( s )  H ( s c )
c2
 2
s  2c s  c2
3.948 107
 2
s  8.886 103 s  3.948 107
(8-30)
35/53
• 식 (8-30)을 표준필터로 하여 임펄스 응답불변 방법을 이용한 필
터설계
– 표본화 주기 (T  104 [sec] )
H1 ( z ) 
2c e  (cT
z 2  2 ze  (cT
2)
2)
sin(cT
cos(cT
2) z
2)  e 2(cT
cT
2

2.449 103 z
H1 ( z )  2
z  1.158 z  0.4112
2)
0.2
 0.4443
2
(8-31)
36/53
• 식 (8-30)을 표준필터로 하여 양선형 z 변환방법을 이용한 필터설
계
H B ( z )  H ( s ) s  2 z 1
T z 1


c2
 2 z 1 
 2 z 1 
2

2



c
  c
 T z 1 
 T z 1 
c2T 2 ( z  1) 2
2
4( z  1) 2  2 2cT ( z 2  1)  T 2c2 ( z  1) 2
0.064( z 2  2 z  1)
 2
z  1.168 z  0.424
(8-32)
37/53
5. 주파수 변환

주파수 변환
– 저역통과 필터로부터 주파수변환읕 통해 고역통과, 대역 통과
또는 대역 소거 필터 설계
그림 8-7. 디지털 필터의 설계방법
38/53
그림 8-8. 아날로그필터로부터 디지털필터를 얻는 여러 변환 방법들
39/53
– 저역통과 필터
•   1[rad/sec] 에서 -3[dB]점을 가진 정규화 된 저역통과 필터
H ( s) 
•
1
s 2  2s  1
c [rad/sec] 에서 -3[dB]점을 가진 정규화 된 저역통과 필터
H ( s) 
1
( s / c )2  2( s / c )  1
– 고역통과 필터
• 주파수 변환을 이용 저역통과 필터에
H (s) 
•
s
s 1
s를
1
s
대체
c 에서 -3[dB]점을 가진 고역통과 필터
H (s) 
s
s  c
40/53
– 대역통과 필터
•   1[rad/sec] 에서 -3[dB]를 갖는 대역통과 필터
s 2  02
s
s
– 대역소거 필터
•   1[rad/sec] 에서 -3[dB]를 갖는 대역소거 필터
s
s
s 2  02
02  hl 이고,   h  l 는 소거대역폭이고, h 는 소거대역의 상한차단주
파수이고, l 는 소거대역의 하한차단주파수이다.
여기서
41/53
표 8-1. 아날로그 주파수 변환
42/53
– 예제8-6
• 정규화된 2차 전달함수를 양선형 z 변환방법을 이용하여 디지털
저역통과 필터를 설계
– 전달함수
H (s) 
1
s 2  1.414 s  1
– 표본화 주파수 f:s  100[Hz]
– 10[Hz]에서 -3[dB]점을 가짐
• 주파수 우선 휨
– 주파수 휘 고려
 c ' T 
 

tan
   0.325

2
 10 


c  tan 
43/53
• 아날로그 저역통과 필터의 전달함수
1
H ( s) 
2
 s 
 s 

1.414



 1
0.325
0.325




0.105
 2
s  0.46s  0.105
• 양선형 z 변환
H ( z )  H (s)
s  zz 11

0.105
 z 1 
 z 1 

0.46



  0.105
 z 1
 z 1
2
0.105 z 2  0.21z  0.105

1.56 z 2  1.79 z  0.645
0.067  0.135 z 1  0.067 z 2

1  1.147 z 1  0.413z 2
44/53
• 양선형 z 변환
– 계산의 편의 고려
c 
 c ' T 

 2 
2
  'T 
tan  c 
T
 2 
s
c  tan 
2 z 1
T z 1
s
z 1
z 1
– 계산의 정확성 고려
c 

2
  'T 
tan  c 
T
 2 
2
 
tan    65[rad / sec]
0.01  10 
45/53
그림 8-9. 예제 8-6의 진폭응답 특성
46/53
– 예제8-7
• 정규화된 저역통과 전달함수를 양선형 z 변환방법을 이용하여 디
지털 고역통과 필터를 설계
– 전달함수
H L ( s) 
1
s 1
– 표본화 주파수 : f s  150[Hz]
– 차단 주파수 : fc  30[Hz]
• 차단 주파수의 우선 휨
– 주파수 휘 고려
 c ' T 
 

tan
   0.7265

2
5


c  tan 
47/53
• 주파수 변환표를 이용한 아날로그 고역통과 필터 변환
H ( s)  H L ( s)

1
c
s
1
s

c
s
s
s  0.7265
• 양선형 z 변환
H ( z )  H ( s)
s  zz11
0.5792  0.5792 z 1

1  0.1584 z 1
48/53
그림 8-10. 예제 8-6의 진폭응답 특성
49/53
– 예제 8-8
• 다음의 사양을 만족하는 필터의 전달함수를 버터워스필터를 이용
한 양선형 z 변환을 이용하여 구하라
– 대역통과 : f p  200 ~ 300[Hz]
– 표본화 주파수 :
f s  2[kHz]
– 필터차수 : 2
• 저역통과와 대역통과 주파수 변환
s 2  02
s
s(h  l )
50/53
• 2차 대역 통과 필터
– 1차 저역통과 필터 이용
H L ( s) 
1
s 1
 h ' T
 2

 

tan
   0.3249

 10 

 l ' T
 2

 3 

tan
   0.5095

 20 

h  tan 
l  tan 
02  hl  0.1655
  h  l  0.1846
여기서 h , l 는 주파수 휨을 고려한 디지털 필터의 상한, 하한차단주파수이고, 
는 통과대역 폭을 나타낸다.
51/53
• 아날로그 대역통과 필터
H ( s)  H L ( s)

s
s 2 02
s
0.1846s
s 2  0.1846s  0.0274
• 양선형 z 변환
H ( z )  H (s)
s  zz11
0.1367  0.1367 z 2

1  1.2362 z 1  0.7265 z 2
52/53
그림 8-11. 예제 8-8의 진폭응답 특성
53/53