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디지털 신호처리 [email protected] chapter 03. Z-Transform 주요내용 • z-변환의 정의 • 수렴영역 • z-변환의 성질 • 역 z-변환 • z-변환의 응용 • 라플라스 변환과의 관계 4.1 z-변환의 정의 • 연속시스템의 입출력관계 -. 미분방정식으로 표현 : 푸리에변환이나 라플라스변환을 이용 • 이산시스템의 입출력관계 -. 차분방정식으로 표현 : z-변환을 이용 4.1 z-변환의 정의 • 이산신호 x(n) 의 z-변환 X (z )은 다음과 같이 정의된다 Z [ x(n)] X ( z ) x ( n) z n n (Two sided z-transform) 한편, 인과적 시스템일 경우 Z [ x(n)] X ( z ) x(n) z n n 0 (One sided z-transform) 4.1 z-변환의 정의 예제 4.1 그림과 같은 이산신호가 주어질 때 각각의 z-변환을 구하라 4.1 z-변환의 정의 (풀이) 그림 4.1(a)의 이산신호 x(n)은 로 표시할 수 있다. z-변환의 정의식을 이용하면 그림 4.1(b)는 로 주어진다. z-변환을 하면 다음과 같이 된다. 4.1 z-변환의 정의 그림 4.1(c)의 경우에는 로 표시할 수 있다. z-변환의 정의식으로부터 로 주어진다. 혹은 임펄스수열을 이용하여 X (z )을 구하여도 마찬가지이다. x(n) 은 로 표시할 수 있다. 임펄스수열의 성질 및 z-변환을 이용하면 4.1 z-변환의 정의 위 예제 4.1을 통하여 다음과 같은 성질을 알 수 있다. 즉, 이 때 z-변환은 일대일 대응관계이므로 Z 1[ Az m ] A (n m) 의 관계가 성립 4.1 z-변환의 정의 예제 4.2 스텝수열 의 z-변환을 구하라 (풀이) z-변환의 정의식으로부터 이 된다. 이 전개식은 수렴한다. 은 이거나 일때 4.2 수렴영역 • 수렴영역(Region Of Convergence : ROC) -. 이산신호 의 변환 은 무한급수이므로 로 될 때 그 합이 유한한 값으로 수렴하지 않으면 의미가 없다 -. 가 수렴하는 의 존재영역을 복소 평면상에 나타낼 때 이것을 수렴영역이라한다 4.2 수렴영역 예제 4.3 이산신호 이 일 때 z-변환을 구하라 (풀이) 정의에 의해 이 수렴하기 위해서는 의 조건을 만족해야 한다 4.2 수렴영역 4.2 수렴영역 예제 4.4 다음 이산신호 의 z 변환과 그 수렴영역을 구하라 (풀이) z 변환의 정의에 의해 이 된다. Euler 공식을 이용하면 ( 로 된다. 4.2 수렴영역 이 수렴하기 위해서는 의 수렴 영역을 만족해야 한다. 결국 은 로 된다. 위의 식을 간략히 하면 아래와 같이 된다. 4.2 수렴영역 예제 4.5 다음 이산신호의 z-변환과 그 수렴영역을 구하라 (풀이) 을 다음과 같이 표현할 수 있다 따라서, 는 로 주어진다. 이와 같은 무한급수가 수렴하기 위한 조건은 4.2 수렴영역 4.2 수렴영역 예제 4.6 다음 이산신호의 z-변환과 그 수렴영역을 구하라 (풀이) 예제 4.3과 4.5의 을 중첩한 것으로 이다. 즉, 그림 4.4와 같이 반지름이 반지름이 와 그 수렴영역은 인 원과 인 원 사이의 고리형태가 된다. 4.2 수렴영역 4.2 수렴영역 4.3 z-변환의 성질 1. 선형성(linearity) a, b가 임의의 상수일 때 이면 다음식이 성립한다 4.3 z-변환의 성질 2. 추이정리(shift property) 일 때, 양의 정수 m에 대해서 가 성립한다 예제 4.7 구형파수열 이 다음과 같이 주어질 때 (풀이) 선형성 및 추이정리로부터 다음과 같이 된다 을 구하라 4.3 z-변환의 성질 3. 지수수열에 의한 곱셈 예제 4.8 의 z-변환을 구하라 (풀이) 로 주어지므로 의 z-변환은 다음과 같다 4.3 z-변환의 성질 4. 미분 예제 4.9 램프(ramp)함수 이 함수를 z-변환하라. (풀이) 이다. 4.3 z-변환의 성질 5. 초기치 정리 이 정리를 이용하면 값 를 구할 수 있다 에서 역변환을 하지않고 시간영역의 초기 6. 최종치 정리 이 정리를 이용하면 영역에서 직접 시간영역 수 있다 의 최종값을 구할 4.3 z-변환의 성질 7. 컨볼루션 임펄스응답을 의 출력 은 그리고 입력신호를 이라하면, 이 때 로 표시된다. 이러한 컨볼루션의 z-변환은 단순한 곱이 된다 즉, 4.3 z-변환의 성질 표 4.1 z-변환표 4.4 역 z-변환 1. 역 z-변환의 정의 주파수 영역 에서 시간영역 x(n) Z 1[ x( z )] 으로 변환하는 것 1 n 1 X ( z ) z dz 2j 식(4.8) 는 X (z )의 수렴영역내에 반 시계 방향으로 그린 閉 路이며, X (z )의 모든 극은 그 내부에 포함된다 4.4 역 z-변환 • 유수정리(residue theorem) -. 이 의 유리함수이며, 의 극이 알려져 있고 동시 에 극이 모두 단극(simple pole)일 경우에 사용 -. 복소 적분을 수행하지 않는다 -. 만약 극 중에서 m차의 중근이 포함된 경우에는 4.4 역 z-변환 예제 4.10 다음 함수 의 역변환을 구하라 (풀이) 유수정리로부터 를 얻는다. 여기서 는 1보다 큰 반경의 원이다. 즉, 수렴영역은 단위 원의 외부로서 원 내부에 있다. by, 유수정리 과 의 는 모두 단위 4.4 역 z-변환 예제 4.11 다음 함수 의 역변환을 구하라 (풀이) 유수정리로부터 로 된다. 여기서 는 1보다 큰 반경의 원이다. 즉, 의 수렴영역은 단위 원의 외부로서 과 모두 단위 원 내부에 들어 있다. 그러나 의 극은 따라 달라진다. 즉, 일 때는 는 의 값에 4.4 역 z-변환 4.4 역 z-변환 2. 멱급수 전개법 주어진 을 나눗셈을 이용하여 멱급수의 형태로 표시하는 것 이와 같이 멱급수의 형태로 표시하면 Z 1[ Az m ] A (n m) 을 이용하여 은 x(n) a0 (n) a1 (n 1) a2 (n 2) 와 같이 유도할 수 있다 4.4 역 z-변환 4.4 역 z-변환 3. 부분분수 전개법 주어진 가 부분분수로 전개되어 k k N ( z) X ( z) i D( z ) i 1z zi 로 표시 -. 분모다항식을 인수분해할 때의 근이 단근, 중근 혹은 복소수 근 인가에 따라 미정계수 를 구하는 방법이 달라진다 -. 부분분수의 형태를 에 역 z-변환 로 해서 먼저 분자에 z 를 제거한 후 4.4 역 z-변환 예제 4.13 와 같이 주어질 때 역 z-변환을 구하라 (풀이) 로 두면, 계수는 로 된다. 따라서, 로 주어진다. 표 4.1을 참고하면 4.4 역 z-변환 예제 4.14 일때 을 구하라 (풀이) 로 두고, 계수를 구하여 정리하면 로 된다. 변환표를 참고하면 다음과 같이 된다 4.4 역 z-변환 예제 4.15 일때 (풀이) 여기서, 이다. 따라서 을 구하라 4.5 z-변환의 응용 1. 선형차분방정식의 해 4.5 z-변환의 응용 예제 4.16 다음 1차 차분방정식을 구하라 (풀이) 양변에 z-변환을 취하면 4.5 z-변환의 응용 예제 4. 17 다음 2차 차분방정식의 해를 구하라 (풀이) 주어진 식의 양변을 z-변환하면 로 된다. x(-1)과 x(-2)를 대입하고 정리하면 와 같이 된다. 부분분수 전개법을 이용하면 4.5 z-변환의 응용 2. 이산시스템 입출력 표현 y ( n) x ( k ) h( n k ) x ( n) * h( n) k 4.5 z-변환의 응용 예제 4.18 임펄스응답 입력신호 은 은 로 주어질 때 출력신호 을 구하라 4.5 z-변환의 응용 (풀이) h(n)의 z-변환H(z)는 이고, 이다. 이므로 4.5 z-변환의 응용 • 전달함수(transfer function) 여기서, 라면 4.5 z-변환의 응용 예제 4.19 시스템의 전달함수가 이다. 입력신호를 단위 스텝수열로 했을 때의 시스템 응답을 구하라 (풀이) 이므로 4.5 z-변환의 응용 예제 4.20 차분방정식이 로 주어지는 시스템의 임펄스응답을 구하라 (풀이) 양변에 z-변환하면 4.5 z-변환의 응용 예제 4.21 (풀이) 4.5 z-변환의 응용 3. 시스템의 인과성 및 안정판별 • 인과성 선형 시불변 시스템에서는 입력 x(n)과 출력 y(n) 사이의 관계는 다음과 같은 차분방정식으로 나타낼 수 있다 4.5 z-변환의 응용 식(4.23) 시스템이 인과시스템이 되기 위해서는 위 식에서 만족되어야 한다. 그 이유는 다음과 같다. 가령 의 관계가 일 경우에, 그런데, 인과시스템에서는 이어야 하는데, 위 경우에는 n=-2 및 -1일 때 h(n)은 0이 아닌 값을 갖는다. 따 라서 비인과시스템이 된다. 결국, 인과성을 만족하기위해서는 시스템의 전달 함수 는 의 관계가 성립하여야 한다 4.5 z-변환의 응용 • 안정성 식(4.23)에서 과 같다 단, 이라 가정하면 H(z)의 부분분수 전개는 다음 은 상수이며, 은 의 극이다 식(4.25) 4.5 z-변환의 응용 한편 시스템이 안정되기 위해서는 을 만족해야 하고 식(4.25)에서 h(n)이 발산하지 않기 위해서는 인 것을 알 수 있다. 즉, 전달함수 H(z)의 모든 극이 단위원 내에 있으면, 그 시스템은 안정 하다고 할 수 있다 4.6 라플라스변환과의 관계 T 4.6 라플라스변환과의 관계 xs (t ) 는 x(t ) 의 임펄스 열로 구성되므로 xs (t ) x(t ) (t nT ) n 여기서 x(t )의 값은 t nT 에서만 정의되므로 실제로는 인과적 시스템, 즉 실현 가능한 시스템을 취급하는 것이라고 하면 t 0 에서는 x(t ) 0 으로 된다 xs (t ) x(nT ) (t nT ) n 0 위의 식을 라플라스변환하면 선형성 및 시간추이의 성질로부터 X s ( s ) x(0) x(T )e sT x(2T ) x(nT )e sT n 0 4.6 라플라스변환과의 관계 4.6 라플라스변환과의 관계 • s 평면에서 z 평면으로의 사상관계 (1) s평면의 좌반평면은 z평면의 단위원 (2) s평면의 의 내부로 사상된다. 축은 z평면의 단위원상으로 사상된다 (3) s평면의 우반평면은 z평면의 단위원 외부에 사상된다.