Transcript 5장 비순환 디지털 필터의 설계

5장 비순환 디지털 필터의 설계
1
5.1 서 론
• FIR(Finite Impulse Response) 필터 : 유한 임펄스 응답  비순환 필터
• IIR(Infinite Impluse Response) 필터 : 무한 임펄스 응답  순환 필터
2
• 필터의 일반적인 식
N
a
k 0
k
y[n  k ] 
M
 b x[n  k ]
k 0
k
• 비순환 필터출력 : 현재와 이전의 입력에 의해 결정
M
y[n]   bk x[n  k ]
*전달함수
k 0
 H ( z) 
Y ( z )  X ( z )  bk z  k
*주파수 응답
M
b z
k 0
M
k
k
H () 
k 0
M
b
k 0
k
exp(  jk)
• 가능한 계수 bk 를 적게 쓰는 것: 10~150 정도의 계수
• 단점 : 대부분의 순환설계보다 느리게 수행된다.
• 장점 - 안정적 : 영점들로만 표현
- 이상적인 선형-위상 특성 (위상왜곡이 없다.)
3
M
H ()   bk exp(  jk)
k  M
 b0  2b1 cos   2b2 cos 2  ...  2bM cos M
M
 b0  2  bk cos k
k 1
시간 지연(시간 영역)  위상 영향(주파수 영역)  선형 위상
4
5.2 간단한 이동-평균 필터
저역 필터 ( 1장 참조)
H () 
1
1  2 cos   2 cos 2  ...  2 cos M
(2 M  1)
1
 신호의 부드러운 정도

M인자의
증가와

1  2  cos(
k) 비례
M
(2 M  1) 
k 1

 주엽(main lobe)의 폭  M의 값에 반비례
 M 이 크면  | H()|는 싱크 함수  좁은 대역의 저역 필터
5
 5 항 필터  M = 2 ,
21 항 필터  M = 10
6
  = 0  피크 값 = 1
 원하지 않는 부엽  첫번째 부엽이 주엽의 22% 를 차지
 5 항  4 영점들
z = 1에서 영점을 분실
 21 항  20 영점들
통과대역이  = 0 를 포함한다.
 실제적으로 영점들은 단위 원 위에 놓여 있다.  영점의 주파수
위치에서 주파수 응답이 0
 ex) y (n)   x(n)  x(n  1)  x(n  2)  x(n  3)  x(n  4)
1
5
1
Y ( z )  X ( z ) 1  z 1  z  2  z 3  z  4
5


1 z4  z3  z2  z 1
H ( z) 
5
z4
7
저역 필터로부터 고역 또는 대역 필터의 설계
 간단한 고역 필터와 대역 필터
- 임펄스 응답  cos(n0) (0 : 새로운 필터가 요구하는 중심 주파수)
- 시간 영역에서의 곱은 주파수영역에서 컨벌루션
- 예: = π/3인 대역 필터
1
 n 
cos
,  10  n  10
(2M  1)
3


 0, elsewhere
h[n] 
고역통과 필터  근본적인 임펄스  cos(n)
필요에 따라 진폭에 2를 곱함
8
5.3 푸리에 변환 방법
 기본적인 방법
X () 

Transform
 x[n] exp(  jn)  Fourier
푸리에
변환
n  
1
X () exp( jn) d  Inverse
Fourier
역 푸리에
변환Transform
2 2
1
h[n] 
H () exp( jn) d
2 2
ㄴh[n]의 샘플값
비 순환 필터의
 bk : coefficien
ts 곱셈계수
x[n] 
 만약 H()가 복잡하다면 풀기 어렵다
 그래서 이상적인 필터 접근방법 이용
 계수의 개수
큰 수  비경제적 필터  그래서 계수의 수를 제한해 주어야 한다.
 적분구간: 0<Ω<2π 가 아닌 -π<Ω<π 로 정의
10
이상적인 저역 통과 필터 방법
H ( )
1.0


h[n] 
1
2
1

2



  H () exp( jn)d

1
1  exp( jn) 
1

exp
(
j

n
)
d



1
2 
jn
 1
1
1
exp( j1n)  exp(  j1n)
2jn
1

 h[n] 
sin( n1 )  1 sin c(n1 )
n


11
예제 5.1 차단 주파수가 (a) Ω1=π/5인 (b)Ω1 =π/2인 이상적이고 위상 변
화가 없는 저역 필터의 임펄스 응답을 구하고 그려라.
풀이
식 (5.11)을 이용하면 두 경우 식은
1
 n 
sin 

n
5


1
 n 
(b) h[n] 
sin 

n
2


(a ) h[n] 
와 같다. 분자와 분모가 모두 0이기 때문에 계수 h[0]은 찾기 힘들다. 그
러므로 l'Hospital의 정리를 사용하면 (a)의 경우
d   n 

sin 
dn   5 
h[0] 
d
(n )
dn

 n 
cos

5
 5 

 0.2

n 0
n 0
(b)의 경우도 유사하게 h[0]=0.5를 구할 수 있다.
12
-대역제한과 시간 제한 사이에는 정 반대의 효과 발생
-특정한 방법으로 임펄스 응답 제한
-양 끝단의 작은 샘플 값 무시(이상적 특성 만족 못하게 됨)
-코절 시스템을 위해 h[n]을 n=0에서 시작
-설계자는 절충점을 찾아야 함
13
h[n] 
1
sin( n1 ) cos( n 0 ) 2대
1(대역폭:
: bandwidth
: center
frequency
2Ω,1  0중심
주파수
: Ω0) 
n
Ω0=1800
: 고역통과 필터
• 2M+1 항으로 제한, 이동:
H ( ) 
| H () | 
1

1


 2 h[k ] cos( k)
k 1
M
 2 h[k ] cos( k)
k 1
중심주파수 Ω0=600, 대역폭 Ω1=300
16
•주파수 분할다중(Frequency-Division multiplexing) :
다수의 신호를 약간씩 다른 대역의 주파수를 이용하여 전송
• 예: ΩA와 ΩB두개의 이산 주파수 성분을 가진 신호를 전송하기 위해
다른 신호주파수 ΩC와 ΩD가 결합
•대역 필터를 사용하여 원하는 신호를 복원
ΩA와 ΩB : 통과 대역
ΩC와 ΩD :차단 대역
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ΩA와 ΩB 의
코사인 신호
ΩC와 ΩD
: 성분첨가
대역 필터에
의해
ΩC와 ΩD제거
 푸리에 변환 설계 방법: 최소 제곱 방법으로 최상의 근사값
e  2 H D ()  H A () d : 최소제곱방법
2
HD : 원하는 주파수 응답, HA : 실제로 얻은 임펄스 응답
 설계자는 필터의 부엽크기에 대해 관심이 있거나 또는 통과 대역과 정지대역
사이를 뚜렷하게 나누는데 더 관심이 있을 수도 있다.
:계수제한
창문기법
18
5.3.2 절단 창문 기법: 직사각형 창과 삼각 창
무한한 길이의 임펄스 응답을 제한 하는 방법으로 유한한 길이의 창 함수를
임펄스 응답에 곱하는 것이 있다.
관찰 창(observation window)
직사각형창
제한된 임펄스 응답
20
■ H () H () *W ()  h (n)  h (n)  w(n)
A
D
A
D
■ HD(Ω)과의 컨볼루션은 파동이나 맥류를 포함하는 근사값.
■ 통과대역의 모양을 왜곡시키고 원하지 않는 부엽을 생성.
■ 직사각형 창의 길이를 증가시키면
1.주파수 대역이 좁아짐.
2.HA(Ω) 맥류는 차단 주파수
주변에 몰림
3.통과 대역에서 저지대역으
로 천이가 더 급해짐
3개가 직사각형 창의 길이를 증가시키면 변하는 현상임
21
■ 깁스 현상 : 갑작스런 변화 구역에서 최대 맥류의 진폭크기는 대략 9
퍼센트 정도 된다는 연구결과
■ HA(Ω)에서 맥류의 형태와 크기
→ W(Ω)의 형태에 의존.
■ 만일 w(Ω)이 주파수 영역에서의 임펄스 함수라면:
→ HA(Ω) = HD(Ω)
■ 주파수 영역 → dB(데시벨) → 20log10G
진폭 크기 G
100
10
1
0.1
0.01
0.001
20log10G
40
20
0
-20
-40
-60
22
■ M = 10 → 21개의 항을 갖는 창.
■ M = 25 → 51개의 항을 갖는 창.
■ 첫번째 부엽 → 주엽에서 13.5 dB 아래에 위치.
■ 모든 부엽이 -30dB보다 큼.
23
삼각 창
 스펙트럼 : ( M  1)  2{M cos()  ( M  1) cos( 2)    cos()}
 최고점 (=0) :
( M  1)  2{M  ( M  1)    1}  ( M  1) 2
 ( M  1) | n |
, M n M

w[n]   ( M  1) 2

0
, elsewhere
그 외의 범위

.
 창의 스펙트럼
W () 
1
2

{ M cos()  ( M  1) cos( 2)    cos( M)}
( M  1) ( M  1) 2
 삼각 창 (2M+1개의 항) = 직사각형창 *직사각형창
( M+1개의 항)
24
 삼각창의 부엽의 크기는 직사각형 창의 절반 정도의 부엽을 가짐.
 삼각창의 첫 부엽: 약 -27dB, 직사각형의 첫 부엽: -13.5dB
 단점 : 직사각형 창보다 2배 넓은 주엽.
 장점 : 직사각형 창보다 작은 부엽.
25
5.3.3 Von Hann창과 Hamming 창
-창의 일반적 경향
좁은 주엽
큰 부엽
넓은 주엽
작은 부엽
-절충안 필요
-HA(Ω)에서 천이 영역 폭
W(Ω)의 주엽의 폭에 의존.
예 : 가파른 천이 영역은 주엽의 폭이 좁아짐
* 부엽이 작아지면
맥류 성능이 향상.
26
• Hanning 창
 n 
w[n]  0.5  0.5 cos
,  M  n  M
 M 1
 0 elsewhere
그 외의 범위 .
• Hamming 창
 n 
w[n]  0.54  0.46 cos
,  M  n  M
M 
 0 elsewhere
그 외의 범위 .
• 일반화
 n 
w[n]  A  B cos
,  M  n  M
C


 0 elsewhere
그 외의 범위 .
27
A= 0.5 B= 0.5 C=M+1
A= 0.54 B=0.46 C= M
Von Hann창
Hamming창
스펙트럼 함수
M
W ()  w[0]  2  w[k ] cos(k)
k 1
* Hamming창이 가장 우수.
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부엽
a
직사각형창
-20dB
b
Hanning 창
-40dB
부엽
a
직사각형
-2 0 d B
b
핸
-4 0 d B
c
해밍
c
Hamming 창
46dB
-46dB
29
-Von Hann과 Hamming창의 단점: 주엽의 대역폭 크기가 주어진 100보다
크다는 것
처음부터 대역폭을 더 좁게 설계
그림 5.18 Hamming 창에 기초한 계수가 101인 저역 필터의 주파수 응답
30
5.3.4 Kaiser창
2 

n


I 0  1    

M 

, M  n  M
w[n]  
I 0 ( )
그 외의 범위
 0 elsewhere
I0 : 0 차의 첫번째 종류의 수정된 Bessel 함수
=0 : 직사각형 창
=5.44 : Hamming 함수
: 천이폭
+δ:맥류의 크기
31
•
매개변수 α는 맥류값 δ에 따라 변한다. α가 창을 가늘게 만들어 주고 부
엽의 크기를 조절하기 때문이며, 주어진 맥류값에 대해 천이폭Δ는 창의
길이와 관계가 있다. 즉. 만일 Δ값이 정해지면 매개 변수 M의 값을 찾을
수 있다.
•
맥류의 크기
•
A와 천이폭 Δ를 사용하여 M을 구함
A   20 log 10
A  7.95
M
28.72
식 5.28
32
5.4 등맥동(equiripple) 필터들
 천이 영역으로부터 멀어질수록 원하는 신호와 실제 응답 사이의 오차가
작아진다.
 오차가 0     인 모든 구간에서 동일하게 분포된다면 맥류 크기와 천
이 폭, 필터의 차수 사이에 더 나은 식을 구할 수 있을 것이다.
다른 형태의 필터 제안
 등맥동 필터 : 통과 대역 또는 저지 대역 중 어느 하나에 맥류가 분포하
는 것이 아니라 통과 대역과 저지 대역에 동시에 적절한 크기의 맥류를
갖는 근사값을 찾는 것이다.
33
H () 
M
b
k  M
k
M
exp(  jk)  b0  2 bk cos( k)
k 1
M
 h[0]  2 h[k ] cos( k)
k 1

M
C
k 0
k
(cos k) k
M
dH ()
H ()' 
  sin  kCk (cos k) k 1
d
k 1
sin   0    0, 
34
•
Hermann과 Schuessler는 Ωp와 Ωs를 변화 시키면서 M, δ1, δ2를 설정
했으며, 그들은 그림 5.21의 등맥동 필터가 비선형식으로 나타난다
는 것을 보여주었다. Hofstetter, Oppenheim그리고 Siegel은 필요한 특
성으로 삼각 다항식을 찾기 위해 반복 알고리즘을 개발하여 M이 큰
값을 가질 때 비선형 방정식을 해결하였다.
•
Parks와 McClellan은 실제 δ1의 값을 변화시키면서 M,Ωp와 Ωs 와 맥
류비율δ1/δ2를 설정했다. 이들이 사용한 접근 방식은 실제 필터 설계
시 매우 중요한 부분인 천이영역이 잘 조절된다는 장점이 있다. 설
계 문제는 비교차 집합에 대해 Chebyshev 근사값으로 해결했다.
35
5.5 디지털 미분기
x(n)  x(n  1)  일차이산
first  order difference
| H  |
y (n)  xn   xn  1
이상적
Y z   X  z   Z 1 X  z 
Y z 
H z  
 1  Z 1  1  exp(  j)  1  cos   j sin 
X z 
| H   |

2
FOD
1  cos  2  sin  2  2 sin   
2
 
| H   | 2 sin    2   
2 2
H    j
H    A   jB 
우함수 기함수
허수의 주파수 응답
n=0 부근에서 비대칭
36
그림 5.23 디지털 미분기의 주파수 응답.
37
예제 5.2 그림 5.23(b)에서 보여지는 B(Ω)에서 H(Ω)=j B(Ω)일 때 주파수 응답
에 상응하는 임펄스 응답h[n]을 구하라. 그리고, 21항의 코절 미분 필터
에 해당하는 h[n]의 형태를 그려라.
풀이
H ()  jB()  j,
    
푸리에 역변환은(식(5.10)을 참조):
h[n] 
1
2
  H () exp( jn) d
2
으로부터
1
h[n] 
2

  j exp( jn) d

이 된다.
윗 식을 부분적으로 적분하면 다음을 얻을 수 있다.
38
1
h[n] 
2
 exp( jn) 

 exp( jn)

d
  j



jn
n


 

  1 
1 

exp( jn)  2 
2 
 n jn  

•
1
2

j
j 


exp(
jn

)


exp(

jn

)




2
2 
n n 
 n n 

n이 기수라면 exp(jnπ) = exp(-jnπ) = -1 이며, n 이 우수라면, exp(jnπ)=
exp(jnπ)=1 을 얻을 수 있다.
1
h[n]   ,
n
n  1, 3, 5   
그리고
h[n] 
1
,
n
n   2, 4, 6   
39
•
•
n=0인 경우는 위의 수식에서 공통 요소인 n 과 n2 때문에 거의 다루기가
힘들다. 식(5.40)에서 n=0일때, 쉽게 h[0]=0인 것을 알 수 있으며, 이러한 결
과는 n=0에 대하여 h[n]의 중간값인 h[0]가 0인 비대칭적임을 나타낸다.
n=0에서의 어느 한쪽으로 감소할지라도 ‘종단’은 영원히 길게 이어진다.
그림 5.24는 21 계수로 제한된 임펄스 응답을 보여준다. 그리고, n=0에서
시작되도록 이동되었다. 엄밀히 중간값이 0이기 때문에 20항이라고 말할
수도 있을 것이다. 이러한 코절형의 미분기는 최소 제곱 근사로 원하는 주
파수 응답을 구할 수 있다. 그리고, 열 개로 샘플링한 순수 지연을 보여줄
것이다.
40
41