Transcript 8장 고속 푸리에 변환 처리

8장 고속 푸리에 변환 처리
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8.1 서 론
 고속 푸리에 변환의 주요 적용 분야
- 디지털 스펙트럼 분석
- 고속 컨벌루션에 의한 디지털 필터링
 고속 푸리에 변환 프로그램
 고속 푸리에 변환의 속도 - N/log2N
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고속 푸리에 변환 및 역변환
그림 8.1 (a) 신호 x[n], (b) 고속 푸리에 변환을 이용해서 구한 스펙트
럼 크기 |X[k]|, (c) 역변환을 통해 복원된 신호
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8.2 스펙트럼 분석
 시간 영역 신호에서는 명확하지 않은 중요한 정보를 주파수 영역에서 제공
 신호의 특성을 파악하고 결정하는데 중요한 정보를 제공
 원하지 않는 간섭 요인이나 잡음으로부터 원하는 신호를 파악
 임펄스 또는 계단 함수 등의 입력에 의해 변화되는 시스템의 반응을 측정하며,
그 때의 시스템의 주파수 특성에 대한 정보 제공
 스펙트럼 계수 :
연속 스펙트럼 함수에 내재되어 있는, 혹은 동일한 신호의 주기적 특성을 나타
내는 고조파들에 대한 샘플
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스펙트럼 계수 및 스펙트럼 누설
2n
2n
16)  0.2 sin(
53)
512
512
2n
 0.15 cos(
211), 1  n  512
512
x[n]  0.1sin(
2n
2n
16)  0.2 sin(
53.5)
512
512
2n
 0.15 cos(
211.25), 1  n  512
512
x[n]  0.1sin(
그림 8.3 (a) 세 개의 정확한 푸리에 고조파를 포함하는 신호, (b) 고조파와 비
고조파 성분을 모두 포함하는 신호의 푸리에 변환
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스펙트럼 누설의 영향
그림 8.4 기본 대역 필터 조합으로 고려되는 8점 고속 푸리에 변환
 주엽의 폭은 4Ñ≡/N 라디안, 부엽의 폭은 2Ñ≡/N 라디안
 크기는 중심 주파수 Ωc로부터 서서히 감소
 Sinc 함수의 영점 교차는 다른 필터들의 중심 주파수와 일치
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예제 8.1
x[n]  0.1sin(
2n
2n
2n
16)  0.2 sin(
53.5)  0.15 cos(
211.25), 1  n  512
512
512
512
그림 8.5
(a) 이웃한 필터에서 나타나는 응답들이 A, B, C, D 점들과 대칭 되는 지점인 sinc 함
수 영점교차점의 중간에 위치
(b) 점들이 영점 교차 사이의 4분의 1 거리에 위치하고 중심선에 대해 대칭이 아님
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잡음 하에서의 신호의 감지
그림 8.6 잡음에서 신호를 검출하기 위한 고속 푸리에 변환의 사용
 512점의 데이터가 잡음 속에 주기적인 정방형파를 포함
 백색 잡음 + 32번째와 96번째 고조파 성분 + 잡음 스펙트럼에 의해 가려진 작
은 성분
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8.2.2 창문화
 스펙트럼
누설에 의해 신호의 해석에 어려움을 초래
 스펙트럼 변환 전에 원신호를 점감함으로써 불연속 점을 줄임
 주엽폭과 부엽의 크기를 조절
 적절한 창의 선택은 신호나 데이터의 특성과 추출코자하는 정보
의 유형에 의존
| 2n  N  1 |
N
 삼각창
 [ n]  1 
 해밍창
 [n]  0.54  0.46 cos (
{2n  N  1}
)
N
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창문화와 FFT 분석
x[n]  sin(
2n
2n
2n
2n
9)  sin(
24.5)  sin(
51)  sin(
53), 1  n  128
128
128
128
128
그림 8.7 고속 푸리에 변환에서의 창의 사용: (a) 직사각형, (b) 삼각, (c)와(d)
hamming (각 횡좌표:128 샘플)
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8.2.3 선형 시불변 시스템과 고속 푸리에 변환
그림 8.8 시스템 특성을 검색하기 위한 고속 푸리에 변환의 사용
H [k ] 
Y [k ]
,
X [k ]
y[n]  x[n] *
or
Y [k ]  X [k ] H [k ]
h[n]
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영값의 추가
그림 8.9 영값의 추가가 스펙트럼 해상도에 미치는 영향
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예제 8.2
 그림 4.11 2차 시스템
- 그림(a), (c), (d)는 많은 영값의 추가로 인해 주파수 응답은 과샘플
- 그림(b)는 h[n]이 320점 형태에 맞지 않으므로 왜곡과 스펙트럼 누설 존재
- 기수-2 고속 푸리에 변환을 위해서는 영값 추가가 필요
- 적절한 변환 길이는 (a)128, (b)512, (c)32, 그리고 (d)128점
 그림 5.5
저역 이동평균 필터
- 320개의 값들이 계산되었고 과샘플
- 5점 이동 평균 임펄스 응답은 5점 DFT 또는 8점 기수-2 FFT를 이용하여 변환
- 21점 이동 평균 임펄스 응답은 21점 DFT 또는 32점 기수-2 FFT를 이용하여 변환
 그림 6.19 주파수 샘플 대역 필터
- 320개의 값들을 계산했기 때문에 과도 샘플링 되었음
- h[n]의 가로축은 160개의 샘플 값들을 가지고 있음
- 120개의 영이 아닌 샘플 값들을 가지고 있는 유한 임펄스 응답 필터이므로 120점 DFT 혹은
128점 FFT를 적용하는 것이 적합
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8.3 고속 컨벌루션에 의한 디지털 필터링
그림 8.10 고속 컨벌루션
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y[n]  x[n]
N 1
* h[n]   x[i ] h[n  i ],
0  n  ( N  1)
i 0
그림 8.11 순환(주기) 컨벌루션
그림 8.12 선형(비주기) 컨벌루션
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고속 컨벌루션
그림 8.13 선형 고속 컨벌루션의 설명 (각 횡좌표: 128 샘플)
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8.3.2 신호 분할
xi  x[n],
 0,
iN 1  n  (i  1) N1  1
elsewhere
N 2 1
yi [n]  xi [n] * h[n]   h[k ] xi [n  k ]
k 0
N2 1
y[n]  xi [n] * h[n]   h[i] xi [n  i]
k 0
그림 8.14 중복 더함 방법을 이용한 고속 컨벌루션
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그림 8.15 중복 저장 방법을 이용한 고속 컨벌루션
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