Transcript 다각측량

트래버스(다각) 측량
정의 및 용도
• 다각형의 정의
– 서로 인접되어있는 여러 개의 측점을 서로 연결하여 만들어진
다변형의 도형
• 다각측량의 정의
– 기준이 되는 관측점을 연결하는 관측선의 길이와 그 방향을
관측하여 관측점의 수평위치(x,y)를 결정하는 측량
• 용도
– 조밀한 간격의 보조기준점을 만들 경우
– 장애물이 많은 지역(좁은 지역, 시가지, 삼림)
– 선형이 좁고 긴 지역(도로, 하천, 철도)의 장거리 노선 측량이
필요할 경우
– 경계선 측량
– 사진측량에서 필요한 도화 기준점 등을 측량할 경우
골조의 기초가 되는 점(다각형, 트래버스)
측량하려는 구역
다각망
이차원 위치결정
점들간의 XN, YE 좌표를 구하는 것
 측량방법
 삼각측량
 다각측량
 삼변측량
 사진측량
 관성측량
 전자기파측량 및 위성측량
기본 원리
• 기지점(알고 있는 점, A)으로부터 거리와 각(방위각,
방향각)을 관측하여 미지점(B)의 좌표를 결정
N
B
135도 45분
45도 45분
(N=?m, E=?m)
A
(N=10m, E=10m)
50m
45m
C
(N=?m, E=?m)
장점 및 단점
• 장점
– 삼각측량에 비해 작업이 간편하고 신속히 진행
– 삼각점에서 좁은 지역의 기준이 되는 점을 추가 설치 시
편리
• 단점
– 삼각측량에 비해 정밀도 저하
다각형의 종류
• 개다각형(open traverse)
• 폐다각형(closed-loop traverse)
• 결합 다각형(decisive or combined traverse)
• 다각망(traverse network)
개다각형
• 출발점(기지점)과 아무런 연관성이 없는 미지점에서
종료
• 결과가 검증이 안되므로 정확도가 떨어짐
• 중요한 측량(기준점측량)에는 절대로 사용 불가
• 노선측량의 답사에 편리
개다각형
폐다각형
• 어떤 점에서 출발하여 다시 출발점으로 되돌아오는 측량
• 각에 대한 측정오차는 확인,보정 할 수 있으나 거리, 방향에
대한 오차는 확인 불가
• 토지 분할, 소규모 단독 측량에 이용
기준측선
폐다각형
결합다각형


기지점에서 출발하여 다른 기지점으로 연결하는 다각
형
높은 정확도를 요구하는 대규모 지역의 측량에 이용
기
선
결합다각형
다각측량의 순서
답사
상세한 계획측량(측점위치) 수립
선점
결합 트래버스 사용, 출발점과 결합점 사이의 거리
는 짧게 함, 평탄한 경로 선택, 측점간 거리는 균일
하게 함, 견고한 지반선택
조표
측량의 목적에 따라 필요한 기간까지 보존
관측
각 측선의 거리와 인접 측선이 서로 이루는 각 측정
방향각 관측
진북방향과 만드는 각을 시계방향으로 측정
계산
오차를 조정하여 트래버스점들의 평면위치 결정
다각측량의 계산과정
• 각,거리 관측
• 각 관측값의 오차 점검=>각관측값의 허용오차범위 및 오차분배
• 방위각 및 방위계산
• 위거 및 경거의 계산
• 다각형의 폐합오차 및 폐합비 계산 => 폐합비의 허용범위 => 폐합오차의
조정
• 조정 위,경거 결정 => 거리와 각의 정확도 균형
• 좌표계산 => 면적계산
다각측량의 측량의 계산
방위각의 계산
위거•경거의 계산
좌표 계산
면적 계산
각 관측값의 오차 점검-폐다각형
각 관측값의 오차 점검-폐다각형
• 내각 측정의 경우
– 삼각형의 내각의 합 ?, 사각형의 내각의 합?, 오각형 ?
• 내각의 합 = 180(n-2)
Ea (각오차)  180(n  2)  [a]
… n:관측각의 수
[a]:측정각의 합
각 관측값의 오차 점검-폐다각형
• 외각 측정의 경우
– 삼각형의 외각의 합 ?, 사각형의 외각의 합?, 오각형 ?
• 외각의 합= 180(n+2)
Ea (각오차)  180(n  2)  [a]
… n:관측각의 수
[a]:측정각의 합
각 관측값의 오차 점검-폐다각형
• 편각 측정의 경우
• 편각의 합= 360
Ea (각오차)  360  [a]
… n:관측각의 수
[a]:측정각의 합
• 편각은 180-내각
• 편각의 합(180n-180(n-2))=360
예제)
각 관측값의 오차 점검-결합다각형
(a)의 경우
Ea=wa-wb+[a]-180˚(n+1)
(b), (c) 의 경우
Ea=wa-wb+[a]-180˚(n-1)
(d)의 경우
Ea=wa-wb+[a]-180˚(n-3)
wa: 시작측선의 방위각
wb : 끝측선의 방위각
n : 관측각의 수
각 관측값의 오차 점검-결합다각형
a2
b
a1
a6
a4
f
d
a3
a5
c
e
AL의 방위각  wa
Ab의 방위각  Wa  a1  360
bc의 방위각  Ab의 방위각 -180  a2
cd의 방위각  bc의 방위각 -180  a3
de의 방위각  cd의 방위각 -180  a4
ef 의 방위각  de의 방위각 -180  a5
fB의 방위각  ef 의 방위각 -180  a6
BM 의 방위각  fB의 방위각 -180  an
 wa  [a]  180 (n  1)
만약 각오차가 없다면
wb  wa  [a ]  180( n  1)
각관측시 필연적으로 오차가 포함되므로
Ea  (wa  wb )  [a ]  180( n  1)
각 관측값의 오차 점검-결합다각형
각각의
경우에
대해서
공식유도
각관측값의 허용오차범위 및 오차배분
허용오차범위
•
관측값의 오차검토 결과 Ea가 허용 범위 내에 있는가 조사
•
허용오차보다 클 경우 재측
Ea  εa n
일반적인 허용오차범위
ε a : 각관측에서1측점의 수평각의허용오차
시가지 : 20" n ~30" n
n : 각관측수
평탄지 : 0.5' n ~1' n
산림및 복잡한 지형 : 1.5 '
오차배분
각관측결과 기하학적 조건과 비교하여 허용오차 이내일 경우 배분
① 각관측 정확도 같을 때는 각의 대소와 관계없이 등분하여 배분
② 각관측의 경중률이 다를 경우 경중률에 비례하여 배분
③ 변길이의 역수에 비례하여 각각에 배분
n
오차의 배분 예
방위각 및 방위의 계산
(1) 방위각의 계산
① 교각을 잰 경우
(어떤 측선의 방위각)=(하나 앞 측선의 방위각)±교각+180˚
단, 진행방향 우회교각 : 전측선 방위각+180˚+그 측선 교각
진행방향 좌회교각 : 전측선 방위각+180˚-그 측선 교각
360˚보다 큰 경우 360˚빼서 방위각으로 함
② 편각을 잰 경우
(어떤 측선의 방위각)=(하나 앞 측선의 방위각)+(그 측선의 편각)
단, 편각은 우편각이 (+), 좌편각이 (-)
360˚보다 큰 값을 얻은경우 360˚뺌
음수(-)값을 얻었을때는 360˚ 더함
(2) 방위의 계산
측선 AB의 방위각
측선 AB의 방위
0˚<(AB)<90˚
N (AB) E
90˚<(AB)<180˚
S180˚ - (AB)E
180˚<(AB)<270˚
S (AB) - 180˚W
270˚<(AB)<360˚
N360˚ - (AB)W
4) 위거 및 경거의 계산
(1) 위거(latitude)
•
일정한 자오선에 대한 어떤 측선의 정사영
•
측선이 북쪽 : 위거 (+), 측선이 남쪽 : 위거 (-)
(2) 경거(departure)
•
일정한 동서선에 대한 어떤 측선의 정사영
•
측선이 동쪽 : 경거 (+), 측선이 서쪽 : 경거 (-)
(3) 공식
L1=+a1cosq1, D1=+a1sinq1
L2=+a2cosq2, D2=-a2sinq2
L3=-a3cosq3, D3=-a3sinq3
L4=+a4cosq4, D4=+a4sinq4
(4) 계산
① 경위거표(traverse table)
•
0˚~90 ˚까지의 각 도분에 대한 sin, cos의 1배~100배까지 계산
하여 표기한 것
•
간단한 가법에 따라 위거·경거 얻어짐
② 대수표
•
삼각함수 및 수의 대수표 사용
③ 전자계산기
•
계산량이 다량일 경우
5) 다각형의 폐합오차 및 폐합비
(1) 폐합오차(error of closure)
① 폐다각형의 폐합오차
•
폐다각형에서 거리와 각을 관측하여 출발점에 다시 돌아왔을 때
거리와 각의 관측오차
E
 L   D
2
2
② 결합다각형의 폐합오차
A점의 좌표값에 기준하여 계산된 B점의 좌표값
xb = Xa + SL, yb = Ya + SD
폐합오차 : 점B의 기지 좌표값과의 차
xb – Xb = Ex
yb – Yb = Ey
E  Ex 2  E y 2
(2) 폐합비(ratio of closure)
폐합비 
E
S
•
폐합오차를 폐다각형 각 변의 관측값의 합(SS)으로 나눈 것
•
분자가 1인 분수의 형태로 표시(1/m), 외업의 양음 판정
• 폐합비가 적은 관측의 결과는 정밀
6) 폐합비의 허용범위
시가지나 평탄지 : 1/5,000~1/10,000
낮은 산이나 평야 : 1/1,000~1/3,000
험준한 산이나 시통이 잘 안되는 지역 : 1/200~1/1,000
7) 폐합오차의 조정(balance of the error of closure)
•
오차를 각 변에 적당히 배분하여 다각형을 폐합 및 결합시키는 조정
방법
(1) 콤파스법칙
•
각관측과 거리관측의 정밀도가 동일할 때 실시
•
측선길이에 비례하여 폐합오차 배분
위거조정량=
 L
S
S , 경거조정량=
 D
S
S
(2) 트랜시트법칙
•
각관측의 정밀도가 거리관측의 정밀도보다 높을 때 실시
•
위거 L과 경거 D의 크기에 비례하여 폐합오차 배분
위거조정량=
 L
| L |
 | Li |, 경거조정량=
 D
| L |
 | Di |
8) 좌표의 계산
• 동서선을 y축, 자오선을 x축으로 하는 직교좌표축에 대한 어떤 측선 시단
의 좌표와 그 경거·위거를 알면 같은 측선의 종단의 좌표 계산 가능
• E 점의 횡좌표(abscissa) : A점의 횡좌표 + 합경거(total departure)
• E 점의 종좌표(ordinate) : A점의 종좌표 + 합위거(total latitude)
x n 1  x1  L1  L2 
yn 1  y1  D1  D2 
 Ln
 Dn
9) 면적계산
•
•
횡거 : 어떤 측선의 중점으로부터 기준선(남북자오선)에 내린 수선의
길이
다각측량에서 면적 계산 : 위거와 횡거 이용 (횡거 2배인 배횡거 사용)
(1) 배횡거
① 제 1 측선의 경우 : 제 1 측선의 경거의 길이
② 임의 측선의 경우 :
(하나 앞의 측선의 배횡거)+
(하나 앞의 측선의 경거)+
(그 측선의 경거)
(2) 다각형의 면적(A)
1
( A)    (배횡거 위거)
2
참고자료 1
방위각과 남북방향
(1) 자오선
- 진북자오선 : 지구 표면에서 북극과 남극을 연결한 선
천체 측량에 의해 결정
(지리자오선, 천체자오선)
- 도북자오선 : 평면직각 좌표계에서 중앙 자오선과 나란
한선
- 자침자오선 : 자유로이 움직이는 자침이 가리키는 북방
향과 나란한 선
자북과 진북이 일치하지 않음
자오선
남북방위
• 정의-남북 자오선과 그 측선이 이루는 각에 의하여
결정되는 측선의 방향을 말함
1) 시계방향, 반시계 방향으로 수평각 측정
2) NE, SE, NW, SW를 반드시 각과 함께 표시
N
기입) N O° O‘ O“ E
기준면
E
W
S
남북방위
방위각
• 자오선의 북쪽 끝으로부터 그 측선에 이르는 각을
시계방향으로 잰 각
• 방위각은 0~360까지 표시되며 360를 넘는 것은 그 값에서
360를 뺀 값으로 함
방위각
방위각과 방위 예제
방위각의 계산(교각 측정 경우)
[1] 좌측각 측정시
방위각의 계산(교각 측정 경우)
[2] 우측각 측정시
위거와 경거
• 위거-자오선에 대한 어떤 측선의 정사영 북쪽(+), 남쪽(-)
• 경거-동서선에 대한 어떤 측선의 정사영 동쪽(+), 서쪽(-)
방위각=
측선의 길이=S
위거LAB=Scos
경거DAB=Ssin
위거와 경거의 계산 예
위거와 경거를 구하시오?
폐합오차와 폐합비
• 폐합조건
위거(L)의 합 = 0
경거(D)의 합 = 0
• 실제로는
위거(L)의 합  0
경거(D)의 합  0
오차 발생
폐합 트래버스의 폐합오차
폐합오차
E E E
2
L
2
D
폐합오차발생
트래버스 총 길이D
=>폐합비 R
E
R 
D
EL2  ED2
D
결합 트래버스의 폐합오차
• 결합 트래버스의 폐합오차와의 관계
위거 :
S r cos  i  X i 1  X i
경거 :
S r sin  i  Yi 1  Yi
폐합오차
S 0 cos  0  X 1  X 0
S1 cos 1  X 1  Y1
:
:
폐합오차
S n 1 cos  n 1  X n  X n 1
n 1
위거 :
{Si cos 1}  X n  X 0
i 0
{S sin  }  Y
i 0
X   {S i cos 1}  X n  X 0
i 0
n 1
n 1
경거 :
n 1
i
1
n
 Y0
Y   {S i sin 1}  Yn  Y0
i 0
폐합비의 허용범위
• 폐합비 허용 범위
-장애물이 적고, 시가지의 경우
1/5000~1/40000
-낮은산, 평야
1/3000~1/5000
-험준한 산
1/300~1/1000
트래버스의 조정
컴퍼스 법칙
간이 조정법
트래버스 조정
트랜싯 법칙
크랜달 법칙
엄밀 조정법
최소 제곱법
간이 조정법의 기본가설(3가지)
(1) 각(또는 방향)의 측정이 거리 측정보다 정밀
(2) 각(또는 방향)의 측정 정밀도와 거리 측정 정밀도가 같음
(3) 거리 측정이 각의 측정보다 더 정밀하게 이루어짐
컴퍼스 법칙(=보우디치 법칙)
• 가정:각과 거리는 같은 정밀도로 측정,
오차는 우연오차로 변의 길이에 비례
eL  E L 
eD  E D 
Si
S
Si
S
eL ,eD=임의의 측선에 대한 위거 및 경거
에 대한 조정량
EL , ED=위거, 경거의 폐합오차
Si=임의의 측선의 길이
S=측선의 총길이
어느 측선의 위거(또는경거)의 조정량
=위거(또는 경거)의 폐합오차 
그 측선의 길이
측선의 총길이
트랜싯 법칙
• 가정:각의 측정이 거리의 측정보다 더 정밀
오차는 우연오차
• 조건:트래버스의 변들이 좌표의 격자와 나란한 경우에만 성립
Li
eL  E L 
 Lat
Di
eD  E D 
 Dep
eL ,eD=임의의 측선에 대한 위거 및 경거
에 대한 조정량
EL, ED=위거, 경거의 폐합오차
Li, Di=임의의 측선의 위거와 경거
ㅣLat l,  l Dep l =위거 및 경거의 절대
값의 총합
어느 측선의 위거(또는경거)의 조정량
=위거(또는 경거)의 폐합오차
그 측선의 위거(또는 경거)
위거(또는 경거)의 절대값의 총합
크랜달 방법
• 엄밀한 방법=>복잡한 계산 요구
=>사용빈도 적음
• 각:중량으로 취급
• 거리:최소제곱의 원리=>중량평균 사용
참고자료 2
다각측량의 면적계산
• 배횡거법
-횡거:어느 측선의 중앙점으로부터 기준 자오
선(N-S)에 내린 수선의 길이
-배횡거:횡거의 두배의 길이
-측선의 중점이 기준 자오선의 동쪽:(+)
서쪽:(-)
배횡거법
C’
N’
C”
P
Q
N
B’
M’
C
B
1
• MM’= (BB’)
2
1
• NN’= (BB’+CC’)
2
• NN’= N’P+PQ+QN
= MM’+ (BB’)+
(CC’’) 1
1
M
2
2
A
• 어느 측선의 횡거
1
1
=하나 앞 측선의 횡거+ (하나 앞 측선이 경거)+ (그 측선의 경거)
2
2
• 어느 측선의 배횡거(DMD):횡거×2
=하나 앞 측선의 배횡거+하나 앞 측선이 경거+그 측선의 경거
배횡거에 의한 면적
ABC=(사다리꼴 BB’C’C)- ABB’- CC’A
1
1
1
= 2 B’C’(BB’+CC’)- 2 AB’BB’- 2 AC’ CC’
Where,
BB’+CC’, BB’,CC’
=>각각 측선 BC, AB, CA의 배횡거
B’C’, AB’, AC’
=>각각의 위거
ABC=(사다리꼴 BB’C’C)- ABB’- CC’A
1
1
1
= 2 B’C’(BB’+CC’)- 2 AB’BB’- 2AC’ CC’
3측선
2측선
ABC의 면적= A
2A=(제2측선의 위거)  (제2측선의 배횡거)
+(-제1측선의 위거)  (제1측선의 배횡거)
+(-제3측선의 위거)  (제3측선의 배횡거)
1측선
2A={(각 측선의 위거) (각 측선의 배횡거)}
배횡거에 의한 면적 계산 예
7-11-2 좌표법

다각형 ABCD의 면적 A
=면적C’CDD’+면적D’DAA’-면적C’CBB’면적B’BAA’
1
1
= ( x3  x4 )( y3  y4 )  ( x4  x1 )( y4  y1 )
2
2

1
1
( x3  x2 )( y3  y2 ) - ( x2  x1 )( y2  y1 )
2
2
양변에 2를 곱하여 정리
2 A  x1 ( y4  y2 )  x2 ( y1  y3 )
 x3 ( y2  y4 )  x4 ( y3  y1 )
• 배면적:각 측점의 x좌표와 바로 인접된 측점의 y좌표의 차를 곱한 것들의 대
수합임
좌표법에 의한 면적 계산 예
2A = (30 ×90 + 50 × 80 + 120 × 40 + 130× 15 + 80 × 3이
- (30 ×50 + 90 × 120 + 80 × l30 + 40 ×80 + 15 × 30)
= 10500m2
.·.A=5250m2
다양한 면적 계산 예
좌표법 - 01
좌표법 – 02 & 03
배횡거 법