Transcript Root Locus

제어시스템설계
Chapter 4 ~ Chapter 5
Robotics and Control System Lab
contents
• Chapter4 Root Locus
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 Root Locus
•
근궤적 파라미터값(K) 에 따른 모든 폐루프의 극점위치를 도해적
으로 보여줌.
과도응답.
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 Root Locus
•
폐 루트 전달함수
C (S )
G (S )

R (S ) 1  G (S )H (S )
Q (S )
P (S )
Q (S ) P (S )  KQ (S )
1 K

0
P (S )
P (S )
KG (S )H (S )  K
특성방정식 P (S )  KQ (S )  0
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 Root Locus의 성립조건
I.
II.
| G (s )H (s ) | 1/ | K |
K0
K 0
G (s )  (2k  1)X 180
G (s )  (2k )X 180
k  0, 1  2...
만족하면 폐 루프 특성방정식 근.(K : 근궤적 파라미터)
•
근궤적 파라미터값(K)는

0< K < 
Root Locus) -
-
- 근 궤적(RL:Root Locus)
- 대응 궤적 (CRL:Contour
<K<
<K<0
- 근 컨투어 RC: Root Contours) : 한 개 이상의 파라 미터가 변
할 때 근 궤적.
- 완전 근궤적(RL:Root Locus)
- < K < 
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 근궤적 작도법
• 근 궤적의 수
= 폐 루프 특성 방정식 극점의 갯수
• 출발점
(K=0)일때 G(S)H(S)의 극점.
• 종착점
(K= )일때 G(S)H(S) 영점.
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 실수 축 상의 근 궤적
• G(s)의 극점, 영점이 어느 구간?(실수축상)
개루프 전달함수 G(s)의 pole과 zero 가있을 때
임의의 구간 우측에 있는 실수축의 개 루프
Pole의 갯수 + Zero 개수.
홀수 : 구간에 근 궤적 존재
짝수 : 존재하지 않음
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 실수 축 상의 근 궤적
• G(s)의 극점, 영점이 어느 구간?(실수축상)-cont. 위상조건
G (s1)  (s1  z 1)  (s1  z 2 )  (s1  z 3 )
(s1  p1 )  (s1  p 2 )
 0  0  180  0  0  180
위상조건 만족
G (s2 )  (s2  z 1)  (s2  z 2 )  (s2  z 3 )
(s 2  p1 )  (s 2  p 2 )
 180  0  180  0  0  0
위상조건 만족 X
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 근 궤적의 대칭성
• 복소수는 공액근 이므로 실수 축에 대해 대칭이다.
 점근선의 각도와 위치
I.
위상조건 만족.
m
 zj

j
1
II.

n
 pi

i
 (2k  1)180
1
점근선 각도
(2k  1)180
 
n m
III. 점근선의 중심점
Ac
n
m
Ac 
pi

i
0

zj

j
0
n m
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문제1. 개루프 전달함수
G (s
`)
K
s (s  2)
근궤적을 그려라.
i. 폐루프 특성방정식
K 
s 2  2s  K  0
ii. 개루프 특성방정식의 Pole
: 0, -2
K 0
o
Step Response
2
K=1
1.8
K=100
K=1000
1.6
1.4
iii.점근선.
Ac 
 pi
i
0

Amplitude
n
1.2
m
zj

j
0
n m
1
0.8

2  0
 1
20
0.6
0.4
0.2
 
180(2k  1) 180(2k  1)

 90
n m
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec)
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 분기점 위치.
• 두 근궤적이 실수축을 떠나는 이탈점(break-away point)과 도착하는
복귀점(break-in point).
• 분기점의 K 값은 실수축 상의 극값.
K =f(s) 로 변환 후 K를 s로 미분한 식을 0으로 하는 방정식의 근
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 허수 축 과의 교차점
• 근 궤적이 허수 축과 교차하고 s 평면으로 들어가는 순간
시스템의 안정도가 파괴되는 임계점.
• S에 jw을 대입해서 주파수 w와 근궤적 파라미터 K를 구할수있다.
• 혹은 Routh 안정도 판별법을 이용하여 구할수 있다.
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 출발점과 종착점의 각도
• S 평면상의 임의의 점 (-1+ij)
i. z   p    (2k  1)X 180

z
p
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 근의 감도(Sensitivity)
• K 가 변할때 특성 방정식 근의 감도
• 이탈점의 근의 감도는 
• 이상적인 근의 감도는 파라미터 변화에 따라 민감하지 않아야 한다.
• 파라미터변화에 민감하지 않는 계를 강인(强靭)계통이라고 한다.
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 극과 영점의 첨가
• 루프 전달함수 G(s)H(s)에 s 평면 좌반면극을 첨가
>> 근 궤적을 우 반면쪽을 이동.
G(s)H(s) 에 영점을 추가하면 근궤적을 좌반면으로 이동시킨다.
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